113 年 國立臺灣大學財務金融研究所甲組《經濟分析》

核心觀念

1. 完全競爭市場均衡與剩餘分析：
   • 價格接受者性質：在完全競爭市場中，個別廠商面臨水平的需求曲線，生產者依據「價格等於邊際成本」（即供給曲線）決定產量。
   • 生產者剩餘（Producer Surplus, $PS$）：幾何意義為「市場價格線（或生產者實收價格線）」與「反供給曲線」之間所圍成的面積。若反供給曲線為線性 $P^S(Q) = c + dQ$，且最低生產價格（縱軸截距）為 $P_{\min} = c$，則當生產者實收價格為 $P$，產量為 $Q$ 時，生產者剩餘為： $$PS = \frac{1}{2} \times (P - P_{\min}) \times Q$$
2. 政府介入政策比較：
   • 政策一（保證價格無限制收購）：政府設定收購價格 $P_G$。由於政府無限制收購，市場上的生產者能確保以 $P_G$ 售出所有產品，故生產者的實收價格即為 $P_G$，生產者供給量由反供給函數 $P_G = 60 + \frac{Q_S}{3}$ 決定。
   • 政策二（定額從量補貼 $S$）：政府對每單位產品補貼生產者 $S$ 元。供給面實收價格 $P_S$ 與消費者支付價格 $P_D$ 存在價差：$P_S = P_D + S$。市場透過價格機制出清，達到新的均衡產量 $Q'$，此時消費者與生產者同時在市場交易。

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解題方法與完整推導

基本市場資訊整理

• 市場需求曲線：$P_D = 180 - Q$
• 市場供給曲線：$P_S = 60 + \frac{Q}{3}$
• 最低供給價格（供給曲線縱截距）：當 $Q = 0$ 時，$P_{\min} = 60$。
• 目標生產者剩餘：$PS^* = 1,944$（萬元）。

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(a) 求解保證收購價格 $P_G$

在政策一下，政府以 $P_G$ 無限制收購，生產者面對的邊際收益固定為 $P_G$。
生產者剩餘為價格線 $P_G$ 與供給曲線所圍成的三角形面積：

$$PS = \frac{1}{2} \times (P_G - 60) \times Q_S$$

由供給函數知：

$$P_G = 60 + \frac{Q_S}{3} \implies Q_S = 3(P_G - 60)$$

將 $Q_S$ 代入生產者剩餘公式：

$$PS = \frac{1}{2} \times (P_G - 60) \times 3(P_G - 60) = \frac{3}{2}(P_G - 60)^2$$

依題意，政府目標為 $PS = 1,944$：

$$\frac{3}{2}(P_G - 60)^2 = 1,944$$ $$(P_G - 60)^2 = 1,944 \times \frac{2}{3} = 1,296$$

兩邊開平方根（價格須高於供給截距 $60$）：

$$P_G - 60 = 36 \implies P_G = 96$$

故政府應將收購價格訂為 $96$ 元。

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(b) 求解從量補貼金額 $S$

在政策二下，生產者每賣出一單位獲得補貼 $S$ 元。
設市場最終達成的新均衡交易量為 $Q'$。生產者實收價格為 $P_S$，消費者支付價格為 $P_D$。

在補貼政策下，生產者剩餘同樣是由生產者實收價格 $P_S$ 與供給曲線圍成的三角形面積：

$$PS = \frac{1}{2} \times (P_S - 60) \times Q'$$

由供給曲線：

$$P_S = 60 + \frac{Q'}{3} \implies P_S - 60 = \frac{Q'}{3}$$

本題考查寡占市場下的產量決策，屬於 Stackelberg 模型與 Cournot 模型的變形。市場需求為線性，廠商邊際成本恆定。

市場需求函數：$P = 171 - \frac{1}{3}Q$，其中 $Q = q_1 + q_2 + q_3$。
邊際成本：$MC_1 = MC_2 = MC_3 = 3$。
固定成本為 $0$。

每個廠商的利潤函數為：
$\pi_i = P \times q_i - MC_i \times q_i = (171 - \frac{1}{3}(q_1 + q_2 + q_3))q_i - 3q_i$
$\pi_i = (171 - 3 - \frac{1}{3}(q_1 + q_2 + q_3))q_i = (168 - \frac{1}{3}(q_1 + q_2 + q_3))q_i$

(a) 廠商一為領導者，廠商二與廠商三為追隨者（同時決定）。
這是一個兩階段的 Stackelberg 模型，但這裡有三家廠商。廠商一先決定 $q_1$。接著，廠商二和廠商三根據 $q_1$ 的值，同時決定 $q_2$ 和 $q_3$。

第二階段：廠商二和廠商三決定 $q_2$ 和 $q_3$ (給定 $q_1$)
廠商二的利潤函數：$\pi_2 = (168 - \frac{1}{3}(q_1 + q_2 + q_3))q_2$
廠商三的利潤函數：$\pi_3 = (168 - \frac{1}{3}(q_1 + q_2 + q_3))q_3$

廠商二和廠商三同時決定產量，這類似於 Cournot 競爭。我們需要找出它們的反應函數。
對 $\pi_2$ 對 $q_2$ 微分求極值：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 168 - \frac{1}{3}(q_1 + q_2 + q_3) - \frac{1}{3}q_2 = 0$
$168 - \frac{1}{3}q_1 - \frac{1}{3}q_2 - \frac{1}{3}q_3 - \frac{1}{3}q_2 = 0$
$168 - \frac{1}{3}q_1 = \frac{2}{3}q_2 + \frac{1}{3}q_3$
$504 - q_1 = 2q_2 + q_3$
$2q_2 = 504 - q_1 - q_3 \implies q_2 = 252 - \frac{1}{2}q_1 - \frac{1}{2}q_3$ (廠商二的反應函數)

同理，對 $\pi_3$ 對 $q_3$ 微分求極值：
$\frac{\partial \pi_3}{\partial q_3} = 168 - \frac{1}{3}(q_1 + q_2 + q_3) - \frac{1}{3}q_3 = 0$
$168 - \frac{1}{3}q_1 - \frac{1}{3}q_2 - \frac{1}{3}q_3 - \frac{1}{3}q_3 = 0$
$504 - q_1 - q_2 = 2q_3$
$2q_3 = 504 - q_1 - q_2 \implies q_3 = 252 - \frac{1}{2}q_1 - \frac{1}{2}q_2$ (廠商三的反應函數)

由於廠商二和廠商三是對稱的（相同的邊際成本和市場份額的影響），它們的反應函數結構相同。在 Cournot-Nash 均衡中，它們的產量應該相等，即 $q_2 = q_3$。
將 $q_3 = q_2$ 代入廠商二的反應函數：
$q_2 = 252 - \frac{1}{2}q_1 - \frac{1}{2}q_2$
$\frac{3}{2}q_2 = 252 - \frac{1}{2}q_1$
$3q_2 = 504 - q_1$
$q_2 = 168 - \frac{1}{3}q_1$
所以，在第二階段，如果廠商一決定了 $q_1$，那麼廠商二和廠商三的產量將分別是：
$q_2 = 168 - \frac{1}{3}q_1$
$q_3 = 168 - \frac{1}{3}q_1$

第一階段：廠商一決定 $q_1$
廠商一知道廠商二和廠商三的反應，並將它們的產量代入自己的利潤函數。
廠商一的總產量 $Q = q_1 + q_2 + q_3 = q_1 + (168 - \frac{1}{3}q_1) + (168 - \frac{1}{3}q_1)$
$Q = q_1 + 336 - \frac{2}{3}q_1 = 336 + \frac{1}{3}q_1$

廠商一的利潤函數（包含追隨者的反應）：
$\pi_1 = (168 - \frac{1}{3}Q)q_1 = (168 - \frac{1}{3}(336 + \frac{1}{3}q_1))q_1$
$\pi_1 = (168 - 112 - \frac{1}{9}q_1)q_1 = (56 - \frac{1}{9}q_1)q_1$
$\pi_1 = 56q_1 - \frac{1}{9}q_1^2$

為了最大化利潤，對 $q_1$ 微分並令其為零：
$\frac{d\pi_1}{dq_1} = 56 - \frac{2}{9}q_1 = 0$

核心觀念

1. 訊息不對稱 (asymmetric information)：甲只知道 $V$ 的機率分布，乙卻知道 $V$ 的真實值。
2. 篩選（screening）模型：甲先提出價格 $P$，乙根據已知的 $V$ 判斷是否接受。
3. ** Nash 均衡**：雙方同時以各自的期望報酬最大化為目標，選擇的策略必須互為最佳回應。
4. 均勻分配的期望與條件期望：

$V\sim\text{Uniform}[a,b],\qquad a=1200,\;b=3600.$

$$f_V(v)=\frac1{b-a}=\frac1{2400},\qquad \mathbb{E}[V]=\frac{a+b}{2}=2400.$$

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解題方法

1. 乙的最佳回應
   乙若以 $P$ 價購買，之後以實際淨收入 $V$ 再出售，報酬為 $V-P$。因此乙只會買進當且僅當

$V-P\ge 0\;\Longleftrightarrow\;V\ge P .$

若 $V<P$，乙會拒絕，甲自行賣房，兩人的報酬分別是 $V$ 與 $0$。

2. 甲的期望報酬函式
   甲在只知道 $V$ 的分布時，對任意報價 $P$ 的期望報酬為

$$\Pi_A(P)=\mathbb{E}\!\left[\; \underbrace{P}_{\text{乙買}} \mathbf 1_{\{V\ge P\}} +\underbrace{V}_{\text{乙不買}} \mathbf 1_{\{V<P\}}\;\right].$$

以均勻密度代入，分為三個區間討論：

• (i) $P\le a$：所有 $V\ge a>P$，乙必買，故 $\Pi_A(P)=P$。此區間的最大值在 $P=a$ 時為 $a=1200$（單位：萬元）。
• (ii) $a<P<b$：

$\Pi_A(P)=\frac1{b-a}\!\left[\int_a^{P} v\,dv+\int_{P}^{b} P\,dv\right].$

 計算如下  

$$\begin{aligned} \Pi_A(P)&=\frac1{2400}\!\left[\frac{P^{2}-a^{2}}2+P(b-P)\right]\\[2mm] &=\frac{-P^{2}+7200P-1\,440\,000}{4800}. \end{aligned}$$

核心觀念

本題考的是：

1. 以消費者原賦計算所得。
2. Cobb–Douglas 偏好下的最適需求。
3. 一般均衡中的市場出清條件。
4. 利用相對價格求出均衡配置。

設財貨 $X$、$Y$ 的價格分別為 $p_X$、$p_Y$。由於價格只影響相對價格，可將 $Y$ 的價格標準化為

$$p_Y=1$$

並令

$$p_X=p$$

兩類消費者人數比例為 $1:1$，因此可直接以「一位第一類消費者加一位第二類消費者」作為代表性市場單位。

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Cobb–Douglas 需求公式

若效用函數為

$$U(x,y)=x^\alpha y^\beta$$

所得為 $m$，價格為 $p_X,p_Y$，則最適需求為

$$x=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_X}, \qquad y=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_Y}$$

也就是將所得的比例 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 用於購買 $X$，比例 $\frac{\beta}{\alpha+\beta}$ 用於購買 $Y$。

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解題方法與關鍵推導

第一類消費者

第一類消費者的效用函數為

$$U_1(x_1,y_1)=x_1y_1^2$$

因此其所得為原賦的市場價值：

$$m_1=80p+84$$

由於 $X$ 的次方為 $1$、$Y$ 的次方為 $2$，第一類消費者將所得的 $\frac13$ 用於購買 $X$，將所得的 $\frac23$ 用於購買 $Y$。

因此：

$$x_1=\frac13\frac{80p+84}{p}$$ $$y_1=\frac23(80p+84)$$

第二類消費者

第二類消費者的效用函數為

$$U_2(x_2,y_2)=x_2^2y_2$$

其原賦為 $84$ 單位的 $X$，因此所得為

$$m_2=84p$$

由於 $X$ 的次方為 $2$、$Y$ 的次方為 $1$，第二類消費者將所得的 $\frac23$ 用於購買 $X$，將所得的 $\frac13$ 用於購買 $Y$。

所以：

$$x_2=\frac23\frac{84p}{p}=56$$ $$y_2=\frac13(84p)=28p$$

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利用市場出清求均衡價格

市場中每一組「一位第一類消費者加一位第二類消費者」的 $Y$ 總供給為

核心觀念

1. 資源配置的最適化：在資源總量固定的情況下，決定如何分配給兩個效用函數以最大化總效用。
2. 效用函數的性質
   • 女兒：$U_1(x_1,y_1)=4\ln x_1+8\ln y_1$ 為 凹（concave） 的可分離對數效用，邊際效用遞減。
   • 兒子：$U_2(x_2,y_2)=\max (x_2,2y_2)$ 為 分段線性 效用，效用取決於 $x_2$ 與 $2y_2$ 之較大者。
3. 拉格朗日乘數法：在有等式約束（資源總量）時，用於求解凹函數的最適分配。
4. 分段分析：因兒子的效用為 $\max$ 形式，需要分別考慮兩個情形：$x_2\ge 2y_2$ 與 $x_2<2y_2$。

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解題方法

設

$$\begin{aligned} x_1+x_2 &= 16,\\ y_1+y_2 &= 8,\\ x_i,y_i &\ge 0 . \end{aligned}$$

目標是最大化

$$W = U_1(x_1,y_1)+U_2(x_2,y_2) =4\ln x_1+8\ln y_1+\max (x_2,2y_2).$$

因為 $U_2$ 為 $\max$ 形式，我們必須分段求解。

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1. 情形 I：$x_2\ge 2y_2$

此時 $U_2=x_2$。總效用變為

$W=4\ln x_1+8\ln y_1+x_2 .$

將約束式代入 $x_1=16-x_2,\;y_1=8-y_2$ 並加入條件 $x_2\ge 2y_2$，得到

$W(x_2,y_2)=4\ln (16-x_2)+8\ln (8-y_2)+x_2 .$

對 $x_2$ 與 $y_2$ 分別求一階條件（只要在可行區間內即可）：

$$\frac{\partial W}{\partial x_2}= -\frac{4}{16-x_2}+1=0 \;\Longrightarrow\;16-x_2=4\;\Longrightarrow\;x_2^{*}=12 .$$ $$\frac{\partial W}{\partial y_2}= -\frac{8}{8-y_2}=0 \;\Longrightarrow\; \text{無解，表示在此情形下 $W$ 隨 $y_2$ 單調遞減。}$$

因此在此情形下，$y_2$ 應取最小可能值 $y_2^{*}=0$。檢驗條件 $x_2^{*}\ge 2y_2^{*}$ 成立（$12\ge 0$），故此解是可行的。

得到的分配：

$$\boxed{ \begin{aligned} x_2^{*}&=12,\quad y_2^{*}=0,\\ x_1^{*}&=16-12=4,\quad y_1^{*}=8-0=8 . \end{aligned}}$$

總效用

$W^{*}=4\ln4+8\ln8+12\approx34.18 .$

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2. 情形 II：$x_2< 2y_2$

此時 $U_2=2y_2$。總效用變為

$W=4\ln x_1+8\ln y_1+2y_2 .$

代入約束式得到

$$W(x_2,y_2)=4\ln (16-x_2)+8\ln (8-y_2)+2y_2 , \quad\text{且 }x_2<2y_2 .$$

對 $x_2$ 求導：

$$\frac{\partial W}{\partial x_2}= -\frac{4}{16-x_2}=0 \;\Longrightarrow\; \text{無內部解，故在可行域內 $W$ 隨 $x_2$ 增大而遞減。}$$

【第 6 題】詳細解答

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一、核心觀念

1. 薪資儲蓄率：每年投入金融資產的金額 = 薪資 × 儲蓄率。
2. 未來值 (Future Value)：年末固定金額 $S$ 以年報酬率 $r$ 投資 $n$ 年的累積價值

$FV_{n}=S\;\frac{(1+r)^{n}-1}{r}$

這是 普通年金終值公式（投資於期末）。
3. 資產成長：若已有資產 $A_{0}$，在 $n$ 年內只靠報酬率成長，則

$A_{n}=A_{0}(1+r)^{n}$

4. 退休門檻：金融資產必須 ≥ 25 倍 退休前年一年 的生活開銷。
   • 生活開銷 = 薪資的 70％（或等同於 薪資‑儲蓄金額 $\,= \text{薪資}-S$）。

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二、解題步驟與推導

(i) 何時最早可以退休？（資產報酬率 4%，薪資、開支、儲蓄率皆不變）

• 薪資 $=100$ 萬，開支 $=70$ 萬，儲蓄金額 $S=30$ 萬。
• 退休目標資產

$T = 25\times 70 = 1750\text{ 萬}$

• 只要每年年末投入 $S=30$ 萬，$r=0.04$，未來值為

$A_{n}=30\;\frac{(1.04)^{n}-1}{0.04}$

• 求最小整數 $n$ 滿足 $A_{n}\ge 1750$：

$$\frac{(1.04)^{n}-1}{0.04}\ge \frac{1750}{30}=58.333\;\Longrightarrow\; (1.04)^{n}\ge 3.333$$

$n\ge\frac{\ln 3.333}{\ln 1.04}\approx30.7$

故需 $n=31$ 年。

• 起始年齡 25 歲，所以退休年齡

$25+31= \boxed{56}\text{ 歲}$

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(ii) 35 歲時的金融資產（仍以原條件）

35 歲距離 25 歲正好 10 年，所以

$A_{10}=30\;\frac{(1.04)^{10}-1}{0.04}$

$$(1.04)^{10}\approx1.4802\quad\Rightarrow\quad A_{10}=30\;\frac{0.4802}{0.04}=30\times12.005\approx360.2$$

四捨五入取整數：

$\boxed{360}\text{ 萬}$

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(iii) 加薪後的最早退休年齡

• 加薪後薪資 $=150$ 萬，生活開支仍為薪資的 70％ → $105$ 萬。
• 目標資產

$T' = 25\times105 = 2625\text{ 萬}$

• 加薪後的儲蓄金額仍保持 30% → $S'=45$ 萬。
• 35 歲時已有資產 $A_{0}=360$ 萬，之後每年年末投入 $45$ 萬，報酬率仍 4%。
  設加薪後投資的年數為 $m$，則

$A_{m}=360(1.04)^{m}+45\;\frac{(1.04)^{m}-1}{0.04}$

令 $A_{m}\ge 2625$：

$360A+1125(A-1)\ge 2625\quad (A\equiv(1.04)^{m})$

$1485A\ge 3750\quad\Longrightarrow\quad A\ge2.524$

$m\ge\frac{\ln 2.524}{\ln 1.04}\approx23.6\;\Rightarrow\;m=24$

• 因此退休年齡

$35+24=\boxed{59}\text{ 歲}$

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(iv) 讓加薪後仍能在 同一退休年齡（即 56 歲）退休的條件

• 56 歲距離 35 歲還有 21 年，設年投資金額為 $S$（單位：萬）。
• 初始資產仍為 360 萬，報酬率 4%。
• 21 年後的資產

$$\underbrace{360(1.04)^{21}}_{S_{0}(21)} +\underbrace{\frac{(1.04)^{21}-1}{0.04}}_{f_{a}(21)}\;S$$

• 退休目標資產 = 25 × (薪資‑投資金額) = $25(150-S)$（因年生活開支 = 薪資‑$S$）。
• 需要滿足

一、核心觀念

1. 短期利率與殖利率的定義

   • 短期利率 $r_t$ 為期間 $t-1$ 到 $t$ 的無風險即期利率。
   • 零息短期債券（到期於 $t=1$）的價格 $P(0,1)=\dfrac{1}{1+r_1}$，其殖利率 $y_1$ 定義為 $\displaystyle (1+y_1)=\frac{1}{P(0,1)}$。
   • 零息長期債券（到期於 $t=2$）的價格 $P(0,2)=\dfrac{1}{(1+r_1)(1+r_2)}$，其殖利率 $y_2$ 定義為 $\displaystyle (1+y_2)^2=\frac{1}{P(0,2)}$。

2. 遠期利率 $f_2$

   • 由遠期合約的無套利條件得

$$(1+y_2)^2=(1+y_1)(1+f_2)\quad\Longrightarrow\quad 1+f_2=\frac{(1+y_2)^2}{1+y_1}.$$

• 若同時觀測到 $r_1,r_2$，則實際遠期利率必等於第二期即期利率：$f_2=r_2$。

3. 流動性溢酬 $\delta>0$
   • 當只能觀測 $y_1$ 而未知 $r_2$ 時，模型假設

$f_2=E(r_2)+\delta ,$

 其中 $\delta$ 為因長債流動性不足而要求的額外補償。

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二、解題方法與推導

(i) 同時觀測 $r_1,r_2$ 時的無套利關係

1. 短期殖利率

$$P(0,1)=\frac{1}{1+r_1}\quad\Longrightarrow\quad 1+y_1=\frac{1}{P(0,1)}=1+r_1\;\;\Rightarrow\;\; y_1=r_1 .$$

2. 長期殖利率

$$P(0,2)=\frac{1}{(1+r_1)(1+r_2)}\quad\Longrightarrow\quad (1+y_2)^2=\frac{1}{P(0,2)}=(1+r_1)(1+r_2).$$

3. 遠期利率

$$1+f_2=\frac{(1+y_2)^2}{1+y_1} =\frac{(1+r_1)(1+r_2)}{1+r_1}=1+r_2 \;\;\Rightarrow\;\; f_2=r_2 .$$

4. $y_2<y_1$ 與 $r_2<r_1$ 的等價性

$$y_2<y_1\;\Longleftrightarrow\;(1+y_2)^2<(1+y_1)^2 \;\Longleftrightarrow\;(1+r_1)(1+r_2)<(1+r_1)^2 \;\Longleftrightarrow\;1+r_2<1+r_1 \;\Longleftrightarrow\;r_2<r_1 .$$

(ii) 只能觀測 $y_1$ 時的期望與流動性溢酬

• 由 (i) 的結果，遠期利率實際等於 $r_2$。但投資人在 $t=0$ 無法觀測，只能利用

$f_2=E(r_2)+\delta ,\qquad \delta>0 .$

• 透過 $f_2$ 的顯式式

$f_2=\frac{(1+y_2)^2}{1+y_1}-1,$

可比較 $f_2$ 與當前即期利率 $r_1=y_1$：