114 年 國立臺灣大學財務金融研究所甲組《經濟分析》

本題旨在測驗考生對總體經濟學基本概念的理解。

選項 A：菲利浦曲線（Phillips Curve）傳統上描述失業率與通貨膨脹率之間存在負向關係，即失業率下降時，通貨膨脹率上升；反之亦然。然而，這是一個經驗性的關係，並非絕對定律，且在某些情況下（如滯脹）可能失效。但作為一個概念的描述，A 是相對正確的。

選項 B：通貨膨脹確實會使商品和服務變得更昂貴，這對消費者購買力造成負面影響。然而，通貨膨脹對經濟的影響是複雜的，適度的通貨膨脹（例如 2% 左右）被許多央行認為是健康的，有助於刺激消費和投資，並避免通貨緊縮。因此，說「通貨膨脹有害經濟」過於絕對，忽略了其潛在的正面影響或適度通膨的好處。

核心觀念

本題考的是「資產價格會反映已知資訊」以及「利率變動對資產估值的影響」。

資產價格取決於未來現金流的折現現值：

$$P=\sum_{t=1}^{\infty}\frac{CF_t}{(1+r)^t}$$

其中，$P$ 為資產價格，$CF_t$ 為未來現金流，$r$ 為折現率。當市場利率上升時，折現率提高，未來現金流的現值下降，因此資產價格通常下跌。

但資產價格反映的是「市場預期的變化」，而不是單純反映事件當天是否真的發生。

解題方法

一個月前，只有少數專家預期聯準會會升息至 2%；到了現在，多數專家已經預期 7 月 30 日會升息至 2%。

這代表「升息至 2%」的消息已逐漸被市場消化，相關影響已提前反映在資產價格中。因此：

• 從上個月到今天，市場預期利率上升，折現率提高，資產價格已經下跌。
• 7 月 30 日若聯準會只按照市場預期，將聯邦基金利率由 1.75% 調升至 2%，這是預期內的消息，不會造成額外的資產價格大跌。
• 若聯準會意外升至 2.25%，超出市場原先預期，市場會重新調整利率與未來現金流的估值，資產價格將進一步下跌。

因此，正確判斷是「資產價格在過去一個月已下跌」，且「若升息幅度超出預期至 2.25%，資產價值會在 7 月 30 日下跌」。

選項分析

A. Asset values will decline on July 30 if the Fed raises rates to 2%.

錯誤。

升息至 2% 已是市場普遍預期的結果。既然市場已經提前知道並納入估值，7 月 30 日實際升息至 2% 並不構成新的意外資訊，資產價格不會因這項預期內的升息而必然下跌。

本題考驗對貨幣政策影響的凱因斯模型（IS-LM 模型）的理解，特別是邊際消費傾向（MPC）對產出和利率的影響。

核心概念：

1. 貨幣供給增加會使 LM 曲線右移，導致利率下降和產出增加。
2. 乘數效應：產出增加的幅度取決於乘數，而乘數與 MPC 正相關。
   • 簡單的消費乘數是 $\frac{1}{1-MPC}$。
   • 在 IS-LM 模型中，貨幣供給變動對產出的影響也與 MPC 和 LM 曲線的斜率有關。

假設兩經濟體其他條件相同，唯一差異是 MPC。
經濟體 1：高 MPC
經濟體 2：低 MPC

當貨幣供給增加時，LM 曲線右移。

影響產出：
產出增加的幅度取決於 IS 曲線和 LM 曲線的交點移動。
在凱因斯模型中，貨幣供給的增加會降低利率，進而刺激投資和消費，增加總需求和產出。
乘數效應：由於乘數是 $\frac{1}{1-MPC}$，MPC 越高，乘數越大。
因此，對於相同的貨幣供給增加，高 MPC 的經濟體，其產出會增加得更多。
反之，低 MPC 的經濟體，其產出增加得會比較少。

影響利率：
貨幣供給增加會使 LM 曲線右移。
IS 曲線描述商品市場的均衡，LM 曲線描述貨幣市場的均衡。
當 LM 曲線右移時，新的均衡點會出現在較低的利率和較高的產出水平上。
利率下降的幅度取決於 IS 曲線的斜率和 LM 曲線的斜率。
在標準的 IS-LM 模型中，貨幣供給增加會導致利率下降。
低 MPC 表示消費對所得變化的敏感度較低。當利率下降時，消費和投資的增加會較少。
然而，我們主要關注的是貨幣供給增加對利率的直接影響。貨幣供給增加，LM 右移，在任何給定的產出水平下，利率都會下降。
更精確地說，當貨幣供給增加時，LM 曲線右移。新的均衡點會同時有較低的利率和較高的產出。
利率下降的幅度：
LM 曲線的斜率是 $\frac{h}{k}$，其中 h 是貨幣需求對利率的敏感度，k 是貨幣需求對所得的敏感度。
IS 曲線的斜率是 $-\frac{1}{b}$，其中 b 是投資對利率的敏感度。
當貨幣供給增加 $\Delta M$ 時，LM 曲線移動。
產出變動 $\Delta Y$ 和利率變動 $\Delta i$。
如果 IS 曲線較平坦（b 較大），產出增加較多，利率下降較少。
如果 LM 曲線較平坦（h 較大），利率下降較多，產出增加較少。

但這裡的關鍵是 MPC 如何影響利率的下降幅度。
MPC 影響的是 IS 曲線的斜率（間接透過消費對所得的反應）。
較高的 MPC 意味著消費對所得變化的反應更大，這會使得 IS 曲線相對較陡（因為消費乘數效應大）。
如果 IS 曲線較陡，那麼 LM 右移時，產出增加較多，利率下降較少。
反之，如果 IS 曲線較平坦（低 MPC），那麼 LM 右移時，產出增加較少，利率下降較多。

讓我們用標準 IS-LM 模型推導：
IS 曲線：$Y = C(Y-T) + I(r) + G$
LM 曲線：$M/P = L(r, Y)$
假設 $C = c_0 + c_1(Y-T)$，其中 $c_1 = MPC$。
$Y = c_0 + c_1(Y-T) + I(r) + G$
$Y(1-c_1) = c_0 - c_1T + I(r) + G$
IS 曲線的斜率：$\frac{dr}{dY} = -\frac{1-c_1}{I'(r)}$。由於 $I'(r) < 0$，所以斜率為正。
$I'(r)$ 是投資對利率的敏感度。

本題考驗對「自然失業率」（natural rate of unemployment）概念的理解。自然失業率是指在沒有週期性波動的情況下，經濟體中存在的摩擦性失業和結構性失業的總和。它代表了勞動市場的長期均衡水平，與總需求水準無關，而與勞動市場本身的結構性因素有關。

核心概念：
自然失業率的影響因素包括：

• 摩擦性失業：勞動者在尋找新工作或轉換工作時所經歷的短期失業。
• 結構性失業：由於勞動市場的技能錯配、地理位置錯配或長期產業結構變化，導致勞動者技能與可用職位不匹配而產生的失業。

分析選項：
A. 減少政府在公共財政和服務上的支出：這屬於總需求層面的變動。減少政府支出會導致總需求下降，短期內可能增加週期性失業，但對自然失業率（長期結構性或摩擦性因素）的影響不大，甚至可能因為釋放資源而略微降低結構性失業（但這不是主要影響）。
B. 中央銀行增加實質貨幣供給：這屬於貨幣政策，主要影響短期內的總需求、產出和通膨。貨幣政策無法影響自然失業率。
C. 企業卡特爾（cartel）的成立，限制市場競爭：卡特爾的形成通常會導致市場壟斷或寡占，這可能：
* 提高價格，減少產出。
* 降低對勞動力的需求，尤其是在非卡特爾行業。
* 如果卡特爾的存在導致某些行業產出結構性下降，或者因為壟斷力量導致工資被壓低（但這更可能影響實際工資，而不是勞動者尋找工作的意願或能力）。

本題考驗對凱因斯模型（IS-LM 模型）中不同政策工具影響的理解，特別是如何同時導致利率上升和產出下降。

核心概念：

• IS 曲線：描述商品市場均衡，Y 隨 r 下降而增加（斜率為負）。
• LM 曲線：描述貨幣市場均衡，Y 隨 r 上升而增加（斜率為正）。
• 政策影響：
  • 擴張性財政政策（增加 G 或減稅）：IS 右移，導致 Y 和 r 上升。
  • 緊縮性財政政策（減少 G 或增稅）：IS 左移，導致 Y 和 r 下降。
  • 擴張性貨幣政策（增加 M）：LM 右移，導致 Y 上升，r 下降。
  • 緊縮性貨幣政策（減少 M）：LM 左移，導致 Y 下降，r 上升。

分析選項：
A. 政府增加基礎建設支出（擴張性財政政策）：IS 曲線右移。這會導致產出 Y 上升，利率 r 上升。不符合題目要求（較低產出）。

本題考驗對「未 covered 利率平價」（Uncovered Interest Rate Parity, UIRP）的理解。

核心概念：
未 covered 利率平價（UIRP）理論認為，在資本自由流動的開放經濟體中，兩種貨幣之間的匯率預期變動率，應該等於兩種貨幣之間的利率差。其數學表達式為：
$(1 + i_{US}) = (1 + i_{UK}) \times \frac{E_{e}}{E}$
其中：

• $i_{US}$ 是美國的利率。
• $i_{UK}$ 是英國的利率。
• $E$ 是即期匯率（例如，每英鎊兌多少美元，或每美元兌多少英鎊）。
• $E_e$ 是預期的未來即期匯率。

如果我們採用每英鎊代表的美元數額（即 $E$ 是美元/英鎊匯率），則：
$i_{US} \approx i_{UK} + \frac{E_e - E}{E}$
或者，簡化為：
$i_{US} - i_{UK} \approx \frac{E_e - E}{E}$

這意味著，如果美國的利率高於英國的利率 ($i_{US} > i_{UK}$)，那麼預期中的美元相對於英鎊的貶值率應該為正，即美元預期會貶值，或者說英鎊預期會升值。
$\frac{E_e - E}{E} > 0$

核心觀念

• 名目GDP（Nominal GDP）：以當期市場價格衡量，一個經濟體在一定期間內所生產的最終商品與服務的價值總和。
• 最終商品 vs. 中間商品：最終商品直接供給最終使用者；中間商品在生產過程中被再投入其他商品的生產，不能重複計入。
• 加值法（Value‑Added Approach）：GDP = 各產業的「收入 – 中間投入」之和，也等於所有最終商品的銷售額總和。

解題方法

1. 先辨識每間公司的營收 (Revenue from Sales) 與「Wheat Purchases」是否屬於中間投入。
2. 計算最終商品的銷售額：
   • 小麥廠的營收 $300，其中 **$250 用於向麵包公司出售小麥**（中間投入），剩餘 $50 為直接賣給最終消費者的小麥。
   • 麵包公司的營收 $500，全部是向最終消費者出售的麵包（已完成加工），因此全額

核心觀念

本題考察「理性政策制定下的短期 Phillips Curve」與「適應性預期」如何共同決定產出動態。

線性 Phillips Curve 可寫為：

$$\pi_t=\pi_t^e+\kappa(Y_t-Y_n),\qquad \kappa>0$$

其中：

• $\pi_t$：實際通膨率
• $\pi_t^e$：預期通膨率
• $Y_n=Y^*$：自然產出
• $\kappa$：產出缺口對通膨的影響程度

適應性預期表示：

$$\pi_t^e=\pi_{t-1}$$

因此，當期通膨預期等於前一期實際通膨。

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解題方法

令產出缺口為：

$$x_t=Y_t-Y_n$$

則 Phillips Curve 變為：

$$\pi_t=\pi_{t-1}+\kappa x_t$$

中央銀行每一期都最小化損失函數：

$$L_t=(\pi_t-\pi^*)^2+x_t^2$$

將 Phillips Curve 代入：

$$L_t=(\pi_{t-1}+\kappa x_t-\pi^*)^2+x_t^2$$

對 $x_t$ 微分並令其等於零：

$$2\kappa(\pi_{t-1}+\kappa x_t-\pi^*)+2x_t=0$$

整理得：

$$\kappa(\pi_{t-1}-\pi^*)+(1+\kappa^2)x_t=0$$

因此最適產出缺口為：

$$x_t=\frac{\kappa(\pi^*-\pi_{t-1})}{1+\kappa^2}$$

題目給定 $\pi_0<\pi^*$，所以在 $t=1$：

$$x_1=\frac{\kappa(\pi^*-\pi_0)}{1+\kappa^2}>0$$

故：

$$Y_1>Y_n$$

也就是產出在第 1 期上升。

接著求通膨率的變化。由 Phillips Curve：

$$\pi_t-\pi^*=(\pi_{t-1}-\pi^*)+\kappa x_t$$

代入最適產出缺口後：

$$\pi_t-\pi^* = \frac{\pi_{t-1}-\pi^*}{1+\kappa^2}$$

因此通膨率與目標值之間的差距會逐期縮小，但不會在單一期內完全消失。令初始通膨缺口為 $\pi^*-\pi_0$，可得：

$$\pi^*-\pi_t = \frac{\pi^*-\pi_0}{(1+\kappa^2)^t}$$

而產出缺口為：

本題考驗對國際收支平衡表（Balance of Payments, BOP）結構的理解，特別是經常帳戶（Current Account, CA）與資本帳戶（Capital Account, KA）之間的關係。

核心概念：
國際收支平衡表的恆等式為：
經常帳戶餘額 + 資本帳戶餘額 + 準備資產交易餘額 = 0
（在簡化模型中，通常忽略準備資產交易，或者將其視為平衡項目，使得經常帳戶餘額 + 資本帳戶餘額 = 0）。
這意味著，經常帳戶的盈餘必須由資本帳戶的赤字來平衡，反之亦然。

題目情境：

• 台灣不出口任何商品或服務。
• 日本獨家向台灣出口 100 輛 Lexus 汽車，總價值為 $100,000,000$ 新台幣（NTD）。
• 台灣和日本之間沒有其他國際貿易或金融交易。

分析：

1. 經常帳戶 (Current Account, CA)：記錄商品、服務、所得和單方面移轉的交易。

   • 台灣的出口為零。
   • 台灣的進口是 100 輛 Lexus 汽車，價值 NTD $100,000,000$。
   • 因此，台灣的商品貿易帳戶是赤字。
   • 由於沒有其他國際交易，台灣的經常帳戶餘額為負（赤字）。

2. 資本帳戶 (Capital Account, KA)：記錄資產（如股票、債券、房地產）的交易。

   • 日本向台灣出口汽車，這對台灣來說是進口，需要支付外匯。
   • 台灣需要支付 NTD $100,000,000$ 給日本。
   • 由於沒有其他金融交易，這筆支付意味著台灣必須以外匯（例如日圓或美元）來支付，或者日本獲得了台灣的資產。
   • 從台灣的角度看，這筆交易是從台灣流出資金（或獲得資產），以購買日本的商品。
   • 如果台灣用外匯支付，那麼這筆錢從何而來？題目說「沒有其他金融交易」。這意味著，為了支付這筆汽車的款項，台灣必須出售資產給日本人，或者日本人用他們已經持有的外匯來支付。
   • 最直接的理解是，日本出口汽車獲得 NTD，這筆 NTD 必須用來購買台灣的資產，或者用於其他台灣的支出。
   • 由於台灣沒有出口，經常帳戶是赤字。根據 BOP恆等式，資本帳戶必須是盈餘，以平衡經常帳戶的赤字。
   • 資本帳戶的盈餘意味著淨資本流入。即，外國人（日本人）購買了台灣的資產，或者台灣償還了外債。
   • 在這裡，日本出口汽車，獲得了 NTD $100,000,000$。這筆 NTD 必須被台灣的金融機構或政府吸收。最常見的吸收方式是，日本人用這筆 NTD 購買台灣的資產（例如台灣的股票、債券、房地產等）。
   • 因此，從台灣的角度看，資本帳戶是盈餘（淨資本流入）。從日本的角度看，資本帳戶是赤字（淨資本流出）。

3. 日本的角度：

   • 日本出口汽車，獲得 NTD $100,000,000$。這部分計入日本的經常帳戶（出口）。
   • 日本獲得了 NTD，這筆 NTD 必須用來購買台灣的資產，或者用於其他台灣的金融交易。
   • 如果日本人用這筆 NTD 購買台灣的資產，這就是日本的資本帳戶赤字（淨資本流出）。
   • 所以，日本的經常帳戶是盈餘（出口大於進口），而資本帳戶是赤字（購買台灣資產）。

分析選項：
A. 台灣正在運行資本帳戶赤字。
* 台灣的經常帳戶是赤字。根據 BOP恆等式，資本帳戶必須是盈餘。所以 A 是錯誤的。
B. 日本正在運行經常帳戶盈餘。
* 日本出口汽車（價值 NTD $100,000,000$），這是日本的出口。
* 日本沒有進口。
* 因此，日本的經常帳戶是盈餘。B 是正確的。
C. 日本正在出售台灣資產。
* 日本出口汽車，獲得 NTD。為了消化這筆 NTD，日本人很可能會購買台灣的資產。這意味著日本人出售了他們在日本持有的資產（或外匯）來換取 NTD，然後用 NTD 購買台灣的資產。所以，從台灣的視角看，日本人是購買台灣資產。從日本的視角看，日本賣掉了自己的資產（或外匯）來換取 NTD，然後用 NTD 購買台灣的資產。
* 更精確地說，日本出口汽車，然後獲得 NTD。這筆 NTD 必須被台灣方面吸收。如果日本人用這筆 NTD 購買台灣的資產，那麼日本就在購買台灣資產。
* 題目說「日本獨家出口 100 輛 Lexus 汽車」。這意味著日本獲得了 NTD $100,000,000$。這筆 NTD 必須被用於在台灣的某種金融交易。最可能的情況是，日本人用這筆 NTD 購買了台灣的資產。這意味著日本人「購買」了台灣的資產。
* 選項 C 說「日本正在出售台灣資產」。這似乎是說日本持有台灣資產，然後賣掉。這與題目情境不符。題目情境是日本向台灣出口，獲得 NTD。然後這筆 NTD 如何被日本吸收，是關鍵。最常見的假設是，日本人用這筆 NTD 購買台灣的資產。這意味著日本人「獲得」了台灣的資產，而不是「出售」台灣資產。所以 C 是錯誤的。
D. 新台幣兌日圓的匯率必須大於 1。

核心觀念

• Solow 成長模型：基本框架為 $Y=F(K,L)$，在加入技術進步 $A(t)$（使產出變為 $Y=A(t)F(K,L)$）與人力資本 $H$（使產出變為 $Y=A(t)F(K,H,L)$）後，模型仍保持「規模報酬不變」與「邊際遞減」的性質。
• 穩態（steady‑state）：在均衡條件下，資本（實體與人力）與有效勞工的比率 $k=\frac{K}{AL}$、$h=\frac{H}{AL}$ 皆趨於常數；此時每單位有效勞工的產出 $y=\frac{Y}{AL}=f(k,h)$ 不再變動。
• 長期增長率：在均衡路徑（balanced growth path）上，總產出 $Y$ 的增長率等於技術進步率 $g_A$，而 $y$（每工人產出）亦以 $g_A$ 增長。人力資本的加入改變 水平（steady‑state level），但不改變 增長率。

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解題方法

1. 辨識題目所問：題目詢問關於「加入人力資本後」模型在 steady‑state growth rate、steady‑state level、以及 國際不平等 的預測。
2. 套用模型結果：
   • 由 $k$、$h$ 的動態方程式
     $\dot k = s_K f(k,h) - (n+g_A+\delta_K)k,$
     $\dot h = s_H f(k,h) - (n+g_A+\delta_H)h,$
     可得 steady‑state $k^*$、$h^*$ 為常數。
   • 因 $A$ 以 $g_A$ 成長，$Y=ALf(k^*,h^*)$ 的增長率為 $g_A$，與是否包含 $h$ 無關。
   • 產出/勞工 $y=\frac{Y}{L}=Af(k^*,h^*)$ 的增長率亦為 $g_A$。
3. 檢驗選項：將上述結論與每個選項比對，判斷其真偽。

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選項分析

本題考驗對貨幣政策對收入和消費不平等影響的機制理解，特別是緊縮性貨幣政策（Contractionary Monetary Policy）。文章引用了一篇研究，並要求考生從中識別出影響不平等的機制。

核心概念：

• 緊縮性貨幣政策：通常指央行提高利率、收緊信貸，目的是抑制通貨膨脹。
• 收入和消費不平等：指不同收入群體（如低收入、中等收入、高收入家庭）在收入、消費和財富上的差距。
• 研究發現：文章指出，緊縮性貨幣政策會提高收入和消費不平等，且非分配中性。

文章中提到的幾個傳導機制：

1. 收入構成渠道 (Income composition channel)：

   • 文章提到：「緊縮性貨幣政策對企業和勞動收入產生負面影響，同時增加金融收入，不成比例地使高收入家庭受益。」
   • 這意味著，緊縮性貨幣政策（如升息）會降低企業利潤（勞動收入的一部分），但可能增加金融市場相關的收入（如債券利息、股息等，或資產增值），而高收入家庭通常擁有更多的金融資產。
   • 因此，金融收入相對於勞動收入上升，有利於高收入家庭。這符合選項 B。

2. 儲蓄再分配渠道 (Savings redistribution channel)：

   • 文章提到：「當利率上升時，儲蓄再分配渠道將財富從借款人重新分配給儲蓄者，有利於老年、較富有的房主，而不是年輕、負債較多的家庭。」
   • 這意味著，利率上升時，借款人（通常是年輕、負債較多的家庭）的利息支出增加，而儲蓄者（通常是老年、較富有的家庭，擁有更多儲蓄和資產）的利息收入增加。
   • 這導致財富從借款人轉移到儲蓄者，加劇了不平等。
   • 選項 A 說「利率上升使借款人受益」，這與文章描述的相反。文章說利率上升「有利於老年、較富有的房主」，這些人通常是儲蓄者，而不是借款人。所以選項 A 是錯誤的。

本題考驗對緊縮性貨幣政策對不同家庭收入群體影響的理解，同樣基於文章內容。

核心概念：

• 緊縮性貨幣政策（Contractionary Monetary Policy）：指提高利率、收緊信貸等措施，旨在抑制通膨。
• 家庭收入群體：低收入、中等收入、高收入家庭。
• 文章發現：緊縮性貨幣政策對收入和消費不平等有顯著影響。

分析文章內容以判斷各選項：

A. 低收入家庭的轉移收入增加，抵消了貨幣緊縮的影響。
* 文章提到：「緊縮性貨幣政策對企業和勞動收入產生負面影響，同時增加金融收入，不成比例地使高收入家庭受益。」
* 文章也提到，緊縮性政策「對勞動收入產生負面影響」。
* 文章沒有明確提到低收入家庭的轉移收入會增加，也沒有說這能抵消貨幣緊縮的影響。
* 一般來說，貨幣緊縮會減緩經濟增長，可能導致失業增加，這對依賴勞動收入和轉移支付（如失業救濟金）的低收入家庭可能產生負面影響，而非正面。
* 因此，A 可能是錯誤的。

B. 高收入家庭在利率上升後，金融收入增加。
* 文章明確指出：「緊縮性貨幣政策……同時增加金融收入，不成比例地使高收入家庭受益。」
* 利率上升是緊縮性貨幣政策的典型特徵。
* 高收入家庭通常擁有更多的金融資產（股票、債券等），利率上升可能增加他們從這些資產中獲得的收入（例如債券利息）。
* 因此，B 是正確的。

核心觀念

• Nash 均衡：在同時決策的博弈中，若每一玩家的策略在給定對手策略下都是自己的最佳回應，則該策略組合即為 Nash 均衡。
• 價格設定的寡頭（Bertrand）模型：兩家公司分別以獨占方式選擇自己產品的單位價格，將對手的價格視為外生。若商品是純粹的加價商品（即消費者必須同時購買兩者，總價格 $P= p_a+p_b$），其需求僅取決於總價格 $P$。
• 利潤最大化：$\pi_i = p_i \, Q(P)$，其中 $Q(P)$ 為需求函數。
• 線性需求（最常見的教科書例子）

$Q(P)=a-P \quad (a>0)$

最大願付價格為 $a$，當 $P\ge a$ 時需求為 $0$。

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解題方法

1. 寫出每家公司的利潤函數

$\pi_a(p_a,p_b)=p_a\;Q(p_a+p_b)=p_a\bigl(a-(p_a+p_b)\bigr)$

$\pi_b(p_a,p_b)=p_b\;Q(p_a+p_b)=p_b\bigl(a-(p_a+p_b)\bigr)$

2. 分別對自己的價格求一階導數（給定對手價格不變）

$\frac{\partial\pi_a}{\partial p_a}=a-(p_a+p_b)-p_a= a-P-p_a=0$

$\frac{\partial\pi_b}{\partial p_b}=a-(p_a+p_b)-p_b= a-P-p_b=0$

3. 得到最佳回應條件

$p_a = a-P,\qquad p_b = a-P$

4. 同時滿足兩式，解出均衡總價格 $P$

$P = p_a+p_b = 2(a-P) \;\Longrightarrow\; P = \frac{2a}{3}$

5. 求出個別均衡價格

$p_a^{*}=p_b^{*}= a-P = a-\frac{2a}{3}= \frac{a}{3}$

6. 計算消費者剩餘（CS）
   需求為線性且截距為 $a$，所以最高願付價格為 $a$。

$Q^{*}=a-P = a-\frac{2a}{3}= \frac{a}{3}$

本題為個體經濟學的獨占市場模型。在廠商合併後，市場上只剩下一家廠商，該廠商將面臨整個市場的需求曲線，並以獨占者的身分來決定價格或產量以最大化利潤。

核心概念：

• 獨占 (Monopoly)：市場上只有一個生產者。
• 利潤最大化：獨占者透過設定產量或價格，使其邊際收益（MR）等於邊際成本（MC）。
• 需求曲線與邊際收益曲線：對於線性需求曲線 $P = a - bQ$，邊際收益曲線為 $MR = a - 2bQ$。
• 總成本 (TC)：合併後廠商的總成本。
• 消費者剩餘 (CS)：由需求曲線下方、價格線以上的部分構成。

題目給定：

• 合併後的廠商（獨占者）。
• 市場需求函數：$Q = 600 - P$，或寫成 $P = 600 - Q$。
• 廠商 A 的成本：$MC_A = 24$，$FC_A = 0$。
• 廠商 B 的成本：$MC_B = 0$，$FC_B = 10,000$。
• 合併後廠商的總成本 $TC(Q)$。

步驟 1：計算合併後廠商的總成本函數

合併後的廠商擁有 A 和 B 的所有資產和債務。
總成本 = 廠商 A 的總成本 + 廠商 B 的總成本。
$TC(Q) = TC_A(Q) + TC_B(Q)$
$TC_A(Q) = MC_A \times Q + FC_A = 24Q + 0 = 24Q$
$TC_B(Q) = MC_B \times Q + FC_B = 0 \times Q + 10,000 = 10,000$
合併後總成本 $TC(Q) = 24Q + 10,000$。

步驟 2：計算邊際成本 (MC)

邊際成本是總成本對產量的導數。
$MC(Q) = \frac{dTC(Q)}{dQ} = \frac{d(24Q + 10,000)}{dQ} = 24$。
合併後的邊際成本是常數 24。

步驟 3：建立邊際收益 (MR) 函數

市場需求函數是 $P = 600 - Q$。
總收益 (TR) = $P \times Q = (600 - Q)Q = 600Q - Q^2$。
邊際收益 (MR) = $\frac{dTR}{dQ} = 600 - 2Q$。

步驟 4：求解利潤最大化的產量

核心觀念

本題結合消費者的跨期選擇與完全競爭廠商的零利潤條件：

• 消費者在「換門號」與「不換門號」之間無差異時，兩種選擇的成本現值相同。
• 完全競爭市場的均衡要求廠商利潤現值為零。
• 一次性補貼只增加第 1 期的邊際成本；第 2 期起，廠商每期的邊際成本回到 $c$。

解題方法與推導

先由消費者的無差異條件求補貼。題目給定：

$$(p-s)+\frac{p}{r}+k=p+\frac{p}{r}$$

兩邊消去相同的未來服務成本現值 $\frac{p}{r}$，整理得：

$$-s+k=0$$

因此，廠商提供的補貼必須恰好抵銷消費者的轉換成本：

$$s^*=k$$

核心觀念

完全競爭下，廠商爭取一位新客戶時，會把該客戶帶來的跨期收益反映在補貼與價格上。均衡時，消費者收到的跳槽補貼恰好抵銷其轉換成本，因此 $s=k$；而廠商爭取客戶的預期淨現值為零。

每期廣告收入 $e$ 是廠商的收入，等同於每位客戶每期帶來的額外收益，會抵減廠商提供服務的淨成本。

解題方法

以第 1 期為基準，廠商每位新客戶的第 1 期利潤為 $p-c-s+e$。從第 2 期開始，每期利潤為 $p-c+e$。因此，取得一位新客戶的利潤現值為

$$(p-c-s+e)+\sum_{t=2}^{\infty}\frac{p-c+e}{(1+r)^{t-1}}$$

無窮期利潤流的折現值為

核心觀念

本題考有限期、交替提案的遺產分配賽局。子賽局完美均衡可用逆向歸納法求解：先從最後一次提案開始，算出每位提案者面對的接受門檻，再逐期折現回 $t=0$。

接受者若接受與拒絕後續局的現值相同，依題意會選擇接受。因此，提案者只需給接受者恰好等於其拒絕所得現值的金額，就能使提案獲接受，並保留其餘遺產。

解題方法

以下金額以「萬美元」為單位，遺產總額為 $100$ 萬美元。

第一步：求 $t=2$ 的最後一次提案

在 $t=2$，由 A 提案，B 決定是否接受。若 B 拒絕，遺產捐給慈善機構，B 得 $0$。因此，B 接受的最低金額是 $0$；依題意，B 在兩種選擇的現值相同時會接受。

所以 A 可提出：

$$(A,B)=(100,0)$$

第二步：求 $t=1$ 的提案

若賽局進入 $t=1$，由 B 提案，A 決定是否接受。若 A 拒絕，賽局進入 $t=2$，A 將取得 $100$ 萬美元；以 A 的折現率 $0.9$ 折回 $t=1$，A 的拒絕所得現值為：

核心觀念

• 特留分：法律規定每位繼承人至少必須取得遺產的 $\frac14$（即 25 萬美元）。任何提案若使任一當事人所得低於此額，皆屬非法、不可接受。
• Ultimatum Game（最後通牒博弈）：提案者（第一手）可提出任意合法分配，接受者只要分配符合最低法定額即必接受。若第一手提案失敗，則輪到第二手提案，情形同上。
• 先提案權的價值：先取得提案權即可決定自己是「高額受領者」還是「最低受領者」。在本題中，高額受領者可取得 $75$ 萬美元（最低 25 萬 + 剩餘 50 萬），最低受領者只能取得 25 萬美元。先手的淨增益為 $75-25=50$ 萬美元。

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解題方法

1. 確定遺產總額：題目暗示遺產為 100 萬美元（因最低分配 25 萬、四分之一法定）。
2. 合法分配範圍：

$x_A \ge 25,\qquad x_B \ge 25,\qquad x_A+x_B = 100$

其中 $x_A, x_B$ 表示 A、B 最終取得的金額（單位：萬美元）。
3. 第一手提案的最佳策略：提案者將自己設定為「高額受領者」並給對方最低合法額。

• 若 A 為第一手：$x_A = 75,\; x_B = 25$。
• 若 B 為第一手：$x_B = 75,\; x_A = 25$。
  接受者必接受，因其已滿足最低 25 萬的法定要求。

4. 先提案權的經濟價值：從第二手變成第一手可把自己的所得從 25 萬提升至 75 萬，增益為

$\Delta = 75 - 25 = 50\;(\text{萬美元})$