114 年 國立臺灣大學財務金融研究所甲組《統計學（I）》

核心觀念

本題主要測驗機率論與數理統計中獨立性（Independence）、**不相關（Uncorrelatedness）與條件機率／條件期望值（Conditional Expectation）**之核心定義與關聯性：

1. 獨立與不相關的單向蘊涵性：若兩隨機變數 $x$ 與 $y$ 獨立且二階動差有限，則其共變異數必為 0（即不相關，$\operatorname{Cov}(x, y) = 0$）。但反之不必然成立，不相關僅代表線性關係為零，可能存在非線性依賴關係（除非兩者服從雙變量常態分配，Bivariate Normal Distribution）。
2. 條件機率下的獨立定義：隨機變數 $x$ 與 $y$ 獨立的充分必要條件為：對所有定義域內的 $a, b$，滿足 $P(x=a \mid y=b) = P(x=a)$，而非 $P(y=b)$。
3. 均數獨立（Mean Independence）：若 $E(x \mid y) = E(x) = c$（常數），僅代表 $x$ 對 $y$ 為均數獨立（Mean Independent），此性質強於不相關（可推得 $\operatorname{Cov}(x, y) = 0$），但仍弱於完全獨立（Statistical Independence）。

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解題方法

本題為標準的觀念辨析題，解題切入點如下：

1. 利用共變異數公式 $\operatorname{Cov}(x, y) = E(xy) - E(x)E(y)$ 檢驗獨立是否蘊涵不相關。
2. 透過經典反例（如對稱分配與平方關係：$x \sim \text{Uniform}(-1, 1)$ 且 $y = x^2$）檢驗「不相關 $\implies$ 獨立」及「均數獨立 $\implies$ 獨立」是否成立。
3. 對照條件機率之獨立定義式檢視選項敘述。

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選項分析

• (a) 正確

  • 說明：若 $x$ 與 $y$ 互相獨立且二階動差有限，則其聯合期望值具可乘性，即： $$E(xy) = E(x)E(y)$$ 因此兩者的共變異數為： $$\operatorname{Cov}(x, y) = E(xy) - E(x)E(y) = E(x)E(y) - E(x)E(y) = 0$$ 相關係數 $\rho_{xy} = \frac{\operatorname{Cov}(x, y)}{\sigma_x \sigma_y} = 0$，即 $x$ 與 $y$ 必然不相關（uncorrelated）。

• (b) 錯誤

  • 說明：不相關僅代表兩者不存在「線性關係」，並不保證不存在其他「非線性依賴關係」。
  • 反例：設 $x \sim \text{Uniform}(-1, 1)$，其期望值 $E(x) = 0$。令 $y = x^2$。

核心觀念

本題評量**半常態分配（Half-Normal Distribution, 記為 $N^+$）**之機率密度函數（pdf）、期望值與變異數的推導與性質：

1. 定義：若隨機變數 $Z \sim N(0, \sigma^2)$，則其絕對值 $X = |Z|$ 即服從參數為 $\sigma^2$ 的半常態分配，記為 $X \sim N^+(0, \sigma^2)$，其取值範圍為 $x \in (0, \infty)$。
2. 對稱性與全機率積分：由常態分配對原點對稱的性質，其在正半軸的機率密度函數為原常態分配 pdf 的 2 倍。
3. 動差推導：利用變數變換法與二階動差關係式 $E(X^2) = E(Z^2) = \sigma^2$，即可推得期望值 $E(X)$ 及變異數 $\mathrm{Var}(X)$。

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解題方法

1. 機率密度函數 $f(x)$ 推導

令 $Z \sim N(0, \sigma^2)$，其 pdf 為：

$$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma^2}\right), \quad -\infty < z < \infty$$

因 $X = |Z| > 0$，由對稱性可知，當 $x > 0$ 時，累積分配函數（CDF）為：

$$F(x) = P(X \le x) = P(-x \le Z \le x) = 2\Phi(x) - 1$$

對 $x$ 微分得機率密度函數：

$$f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = 2\phi(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right), \quad 0 < x < \infty$$

2. 期望值 $E(X)$ 推導

由期望值定義：

$$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) dx$$

令 $u = \dfrac{x^2}{2\sigma^2}$，則 $du = \dfrac{x}{\sigma^2}dx \implies x\,dx = \sigma^2 du$。代入得：

$$E(X) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}\sigma} \cdot \sigma^2 \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sqrt{\frac{2\sigma^2}{\pi}}$$

核心觀念

本題旨在測驗大數法則（Law of Large Numbers, LLN）、**中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的核心定義、漸近分配的表示方式，以及時間序列中隨機漫步（Random Walk）**非定態過程對極限定理的影響：

1. 中央極限定理（Lindeberg-Lévy CLT）：
   設隨機樣本 $x_1, x_2, \dots, x_N$ 為獨立同分布（i.i.d.），且具有有限母體平均數 $E(x_i) = \mu_x$ 與有限母體變異數 $\operatorname{Var}(x_i) = \sigma^2 < \infty$。當樣本數 $N \to \infty$ 時，標準化樣本平均數依分布收斂至標準常態分配：

   $$\frac{\bar{x} - \mu_x}{\sigma / \sqrt{N}} = \sqrt{N}\left(\frac{\bar{x} - \mu_x}{\sigma}\right) \xrightarrow{d} N(0, 1)$$

   在統計實務上，常以漸近分配（Asymptotic Distribution）記作：

   $$\bar{x} \overset{A}{\sim} N\left(\mu_x, \frac{\sigma^2}{N}\right)$$

2. 弱大數法則（WLLN）vs. 中央極限定理（CLT）：

   • 弱大數法則探討的是機率收斂（Convergence in Probability）：$\operatorname{plim}_{N \to \infty} \bar{x} = \mu_x$（即 $\bar{x} \xrightarrow{p} \mu_x$），刻劃樣本平均數具一致性（Consistency），收斂至常數 $\mu_x$。此定理僅需一階動差有限（$E|x_i| < \infty$）。
   • 中央極限定理探討的是分布收斂（Convergence in Distribution），刻劃誤差放大 $\sqrt{N}$ 倍後的極限機率分配形狀，要求二階動差有限（$\sigma^2 < \infty$）。

3. 隨機漫步過程（Random Walk Process）：
   隨機漫步為單根（Unit Root）的一階整合過程 $I(1)$，具有強烈相依性且為非定態（Non-stationary），其變異數隨時間發散至無限大，違反傳統 CLT 之基本假設。

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解題方法

依據上述極限定理與時間序列之理論性質，逐一比對各選項之數學條件、漸近變異數之形式，以及時間序列隨機漫步之統計行為。

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選項分析

• (a) 錯誤：
  $\operatorname{plim} \bar{x} = \mu_x$ 是**弱大數法則（WLLN）**的敘述，表示樣本平均數 $\bar{x}$ 依機率收斂至母體平均數 $\mu_x$（即不偏且具一致性）。
  大數法則成立並不代表中央極限定理（CLT）必然成立。舉例而言，若母體為自由度 $1 < \nu \le 2$ 之 $t$ 分配或特定帕雷托（Pareto）分配，其期望值存在但變異數為無限大（$\sigma^2 = \infty$），此時大數法則依然成立（$\operatorname{plim} \bar{x} = \mu_x$），但因二階動差發散，CLT 不成立（其標準化極限分配為穩定分布 Stable Distribution，而非高斯常態分配）。

• (b) 錯誤：
  在 i.i.d. 且具有有限平均數與變異數的條件下，當 $N$ 充分大時，$\bar{x}$ 之漸近常態分配應為：

核心觀念

本題考核連續型隨機變數的基本性質及其期望值與變異數的計算：

1. 累積分布函數（CDF）與機率密度函數（PDF）的關係：
   若隨機變數 $X$ 連續，其 PDF 為 CDF 的一階導數： $$f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x)$$ 且 CDF 必須滿足規範性：$F_X(-\infty) = 0$ 且 $F_X(+\infty) = 1$。由 $F_X(a) = \dfrac{a^2}{36} = 1$，可確定其支撐集（Support）上界為 $a = 6$；由 $F_X(0) = 0$ 可得下界為 $a = 0$。
2. 期望值（Expectation）與二階動差（Second Moment）： $$E(X) = \int_{0}^{6} x f_X(x)\,dx, \quad E(X^2) = \int_{0}^{6} x^2 f_X(x)\,dx$$
3. 變異數（Variance）： $$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

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解題方法與推導

步驟一：由 CDF 求 PDF 及其有效區間（Support）

已知 $F_X(a) = \dfrac{a^2}{36}$。由於 CDF 滿足 $0 \le F_X(a) \le 1$：

• 當 $F_X(a) = 0$ 時，$a = 0$。
• 當 $F_X(a) = 1$ 時，$a^2 = 36 \implies a = 6$（隨機變數取正值區間）。

因此，隨機變數的支撐集為 $0 \le a \le 6$。在此區間內，對 CDF 微分可得 PDF：

$$f_X(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{a^2}{36}\right) = \frac{2a}{36} = \frac{a}{18}, \quad 0 \le a \le 6$$

其餘區間 $f_X(a) = 0$。

步驟二：計算一階動差（期望值）$E(X)$

$$E(X) = \int_{0}^{6} a \cdot f_X(a)\,da = \int_{0}^{6} a \left(\frac{a}{18}\right) da = \frac{1}{18} \int_{0}^{6} a^2\,da$$ $$E(X) = \frac{1}{18} \left[ \frac{a^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{54} \times 216 = 4$$

核心觀念

本題的核心觀念為期望值的性質、變異數（Variance）的定義，以及均方誤差（Mean Squared Error, MSE）極小化性質：

1. 變異數的定義：隨機變數 $x$ 的變異數定義為隨機變數對其「期望值」的離均差平方之期望值，即： $$\operatorname{Var}(x) = E\big[(x - E(x))^2\big]$$ 注意：變異數本身是一個「確定數值（常數）」，而非隨機變數。
2. 均方差極小化定理：對於任意實數常數 $b$，以常數 $b$ 來預測 $x$ 所造成的均方誤差為 $g(b) = E[(x-b)^2]$。使此均方誤差達到極小值的常數 $b$ 恰好為母體平均數 $E(x)$。

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解題方法與數學推導

令 $g(b) = E(u) = E\big[(x-b)^2\big]$。

方法一：恆等式拆解法（配方法）

將括號內的隨機變數與常數利用加減 $E(x)$ 拆解：

$$x - b = \big(x - E(x)\big) + \big(E(x) - b\big)$$

兩邊取平方後展開：

$$(x - b)^2 = \big(x - E(x)\big)^2 + 2\big(E(x) - b\big)\big(x - E(x)\big) + \big(E(x) - b\big)^2$$

兩邊取期望值：

$$\begin{aligned} E(u) = E\big[(x - b)^2\big] &= E\big[(x - E(x))^2\big] + 2\big(E(x) - b\big) E\big[x - E(x)\big] + \big(E(x) - b\big)^2 \\ &= \operatorname{Var}(x) + 2\big(E(x) - b\big) \cdot 0 + \big(E(x) - b\big)^2 \\ &= \operatorname{Var}(x) + \big(E(x) - b\big)^2 \end{aligned}$$

由於 $\big(E(x) - b\big)^2 \ge 0$，因此當且僅當 $b = E(x)$ 時，平方項為 $0$，$E(u)$ 達到最小值，且此最小值即為 $\operatorname{Var}(x)$。

方法二：微分求極值法

將期望值展開：

$$g(b) = E\big[x^2 - 2bx + b^2\big] = E(x^2) - 2b E(x) + b^2$$

對常數 $b$ 求一階導數並令其為 0：

$$g'(b) = -2E(x) + 2b = 0 \implies b = E(x)$$

檢驗二階導數：

$$g''(b) = 2 > 0$$

可知 $g(b)$ 為開口向上的二次拋物線，在 $b = E(x)$ 處取得全域最小值。

核心觀念

本題旨在測驗點估計量的優良性質（不偏性、有效性、一致性），以及在**異質變異數（Heteroskedasticity）**環境下的線性不偏估計量分析。涉及的重要觀念與定理如下：

1. 不偏性（Unbiasedness）：
   若估計量 $\tilde{x}$ 滿足 $E[\tilde{x}] = \mu_x$，則稱 $\tilde{x}$ 為 $\mu_x$ 的不偏估計量。
2. 最佳線性不偏估計量（BLUE）：
   在所有滿足 $E[\tilde{x}] = \mu_x$ 且形式為 $\sum a_i x_i$ 的線性估計量中，使變異數 $\operatorname{Var}(\tilde{x})$ 達到最小者。當樣本獨立且具異質變異數 $\sigma_i^2$ 時，由加權最小平方法（WLS）原理，最優權數必須與變異數成反比。
3. 最佳不偏估計量（BUE / UMVUE）：
   在「所有」（包含線性與非線性）不偏估計量中變異數最小者。若一個估計量連 BLUE 都不是，必然不是 BUE。
4. 一致性（Consistency）：
   當樣本數 $N \to \infty$ 時，若估計量依機率收斂至母數，即 $\tilde{x} \xrightarrow{p} \mu_x$，則稱其具備一致性。若估計量不偏且其變異數隨 $N \to \infty$ 收斂至 $0$，則由柴比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）可保證一致性成立。

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解題方法

給定獨立隨機變數 $x_i \sim N(\mu_x, \sigma_i^2)$，$i = 1, \ldots, N$。定義線性估計量：

$$\tilde{x} = \sum_{i=1}^{N} a_i x_i \quad \text{其中} \quad \sum_{i=1}^{N} a_i = 1$$

1. 期望值與不偏性

利用期望值的線性性質：

$$E[\tilde{x}] = E\left[\sum_{i=1}^{N} a_i x_i\right] = \sum_{i=1}^{N} a_i E[x_i] = \mu_x \sum_{i=1}^{N} a_i$$

因 $\sum_{i=1}^{N} a_i = 1$，得：

$$E[\tilde{x}] = \mu_x$$

故對任意滿足權數和為 $1$ 的數列 $\{a_i\}$，$\tilde{x}$ 恆為 $\mu_x$ 的不偏估計量。

2. 變異數與 BLUE 權數推導

因各 $x_i$ 互相獨立，$\tilde{x}$ 的變異數為：

$$\operatorname{Var}(\tilde{x}) = \sum_{i=1}^{N} a_i^2 \operatorname{Var}(x_i) = \sum_{i=1}^{N} a_i^2 \sigma_i^2$$

欲求最佳權數，即在限制條件 $\sum_{i=1}^{N} a_i = 1$ 下極小化 $\sum_{i=1}^{N} a_i^2 \sigma_i^2$。由柯西—阿茲不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：

$$\left(\sum_{i=1}^{N} a_i^2 \sigma_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{\sigma_i^2}\right) \ge \left(\sum_{i=1}^{N} a_i \sigma_i \cdot \frac{1}{\sigma_i}\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^{N} a_i\right)^2 = 1$$

等號成立（變異數最小）若且唯若各分量成比例：

$$a_i \sigma_i \propto \frac{1}{\sigma_i} \implies a_i \propto \frac{1}{\sigma_i^2}$$

解出使變異數最小的唯一最佳權數為：

$$a_i^* = \frac{\frac{1}{\sigma_i^2}}{\sum_{j=1}^{N} \frac{1}{\sigma_j^2}}$$

若權數 $a_i$ 未依此比例設定，則無法達到最小變異數。

核心觀念

1. 下行標準差（Downside Standard Deviation）與古典標準差（Classical Standard Deviation）之定義：
   • 下行標準差 $\hat{\sigma}_x^d = \sqrt{\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \max(0, -x_i)^2}$：僅衡量小於門檻值（本題門檻值為 $0$）的下行風險（Downside Risk），即只有在 $x_i < 0$ 時才有數值貢獻（$(-x_i)^2 = x_i^2$），當 $x_i \ge 0$ 時貢獻為 $0$。
   • 古典標準差 $\hat{\sigma}_x = \sqrt{\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu_x)^2}$：衡量所有資料點偏離母體平均數 $\mu_x$ 的整體分散程度。
2. 詹森不等式（Jensen's Inequality）與標準差估計量的不偏性（Unbiasedness）：
   • 若函數 $g(u)$ 為嚴格凹函數（strictly concave），且隨機變數 $U$ 非退化（具有正變異數），則： $$E[g(U)] < g(E[U])$$
   • 由於開根號函數 $g(u) = \sqrt{u}$ 在 $u > 0$ 上為嚴格凹函數，任何不偏的變異數估計量在開根號後，所得到的標準差估計量皆為偏估計量（Biased Estimator），且必然低估母體標準差 $\sigma$。
3. 偏態（Skewness）對下行風險的影響：
   • 下行標準差衡量的是左尾（負值側、損失側）的波動風險。負偏態（左偏）代表左尾較厚／較長，下行風險較大；正偏態（右偏）則代表極端正值（右尾）拉長，在相同總風險下，左尾的極端負值縮減，故下行標準差應隨正偏態程度增加而縮小。

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解題方法

1. 比較大小關係（針對選項 (a) 與 (b)）：
   • 檢驗 $\hat{\sigma}_x^d$ 與 $\hat{\sigma}_x$ 是否存在恆定的大小關係。由兩者定義出發，分析母體平均數 $\mu_x$ 取不同值時兩估計量的大小，即可得知兩者並無絕對的大於或小於關係。
2. 分析偏態特性（針對選項 (c)）：
   • 探討下行風險指標對資產報酬率偏態的敏感性：下行風險捕捉的是左尾損失，左偏會放大下行標準差，正偏則相反。
3. 檢定估計量不偏性（針對選項 (d)）：
   • 利用期望值性質與詹森不等式，分別推導 $E[\hat{\sigma}_x]$ 與 $E[\hat{\sigma}_x^d]$ 是否等於母體標準差 $\sigma$。

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選項分析

• (a) 錯誤，(b) 錯誤：
  $\hat{\sigma}_x^d$ 與 $\hat{\sigma}_x$ 之間不存在必然的大於或小於關係，其相對大小取決於母體平均數 $\mu_x$ 的數值：
  • 若 $\mu_x$ 為極大的正數（例如 $\mu_x = 100, \sigma = 1$），則樣本中所有 $x_i$ 幾乎全為正值（$x_i > 0$），導致 $\max(0, -x_i) = 0$，此時 $\hat{\sigma}_x^d \approx 0$；而 $\hat{\sigma}_x \approx \sigma = 1$，故此時 $\hat{\sigma}_x^d < \hat{\sigma}_x$。
  • 若 $\mu_x$ 為極大的負數（例如 $\mu_x = -100, \sigma = 1$），則樣本中所有 $x_i$ 幾乎全為負值，此時 $\max(0, -x_i)^2 = x_i^2 \approx (-100)^2 = 10000$，導致 $\hat{\sigma}_x^d \approx 100$；

核心觀念

本題旨在考驗**柴比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）**於機率界限估計之應用。

柴比雪夫不等式為機率論中極具指標性的無母數性質定理。設隨機變數 $X$ 具有有限的期望值 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$（即標準差 $\sigma > 0$），則對任意常數 $k > 0$，變數 $X$ 落在期望值周圍 $k$ 個標準差之內的機率，滿足以下下界不等式：

$$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$$

若以補集形式（落在 $k$ 個標準差之外或邊界上）表示，其上界為：

$$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$$

柴比雪夫不等式的最大價值在於：不需預設隨機變數的具體分配形式（如常態分配、二項分配等），僅憑一階動差（平均數）與二階中心動差（變異數），即可保證該機率的理論下界。

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解題方法

1. 參數辨識與對照：
   題幹給定隨機變數 $x \sim (\mu_x, 1)$，此符號表示：

   • 期望值 $E(x) = \mu_x$
   • 變異數 $\text{Var}(x) = \sigma^2 = 1$，故標準差 $\sigma = \sqrt{1} = 1$

2. 建立柴比雪夫不等式標準型：
   目標機率事件為 $\{|x - \mu_x| < 2\}$。將不等式中的區間半徑 $2$ 改寫為標準差的倍數 $k\sigma$：

   $$k\sigma = 2 \implies k \times 1 = 2 \implies k = 2$$

3. 代入公式求解下界（Lower Bound）：
   根據雙尾型柴比雪夫不等式：

   $$P(|x - \mu_x| < 2) = P(|x - \mu_x| < 2\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2} = 1 - \frac{1}{2^2}$$

   計算得：

   $$1 - \frac{1}{4} = 0.75$$

因此，柴比雪夫不等式所保證的下界為 $0.75$。

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選項分析

核心觀念

本題考查聯立方程式模型（Simultaneous Equations Model）中的內生性問題（Endogeneity）與普通最小平方法（OLS）估計量的一致性（Consistency）與漸進偏誤（Asymptotic Bias / Inconsistency）。

1. 內生性與聯立偏誤：當解釋變數與誤差項相關（$\operatorname{Cov}(x, u) \neq 0$）時，OLS 估計量將失去不偏性與一致性。
2. 漸進性質公式：
   在簡單迴歸模型 $y = b_0 + b_1 x + u$ 中，斜率項的 OLS 估計量 $\hat{b}_1$ 滿足： $$\operatorname{plim} \hat{b}_1 = b_1 + \frac{\operatorname{Cov}(x, u)}{\operatorname{Var}(x)}$$
3. 不一致方向的定義：
   • 向上不一致（Upward Inconsistent）：$\operatorname{plim} \hat{b}_1 > b_1 \iff \operatorname{Cov}(x, u) > 0$
   • 向下不一致（Downward Inconsistent）：$\operatorname{plim} \hat{b}_1 < b_1 \iff \operatorname{Cov}(x, u) < 0$

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解題方法

聯立結構式模型（Structural Equations）為：

$$\begin{cases} y = b_0 + b_1 x + u \\ x = a_0 + a_1 y + v \end{cases}$$

其中誤差項滿足：$E[u] = E[v] = 0$、$\operatorname{Var}(u) = \operatorname{Var}(v) = 1$、$\operatorname{Cov}(u, v) = 0$。

步驟一：求解 $x$ 的縮減式（Reduced Form）

將 $y$ 的結構式代入 $x$ 的方程式中：

$$x = a_0 + a_1 (b_0 + b_1 x + u) + v = (a_0 + a_1 b_0) + a_1 b_1 x + a_1 u + v$$

移項整理得：

$$(1 - a_1 b_1) x = (a_0 + a_1 b_0) + a_1 u + v$$

在系統存在唯一均衡解的條件（$1 - a_1 b_1 \neq 0$）下，解得縮減式：

$$x = \frac{a_0 + a_1 b_0}{1 - a_1 b_1} + \frac{a_1 u + v}{1 - a_1 b_1}$$

步驟二：計算 $\operatorname{Cov}(x, u)$ 與 $\operatorname{Var}(x)$

對 $x$ 取期望值：

$$E[x] = \frac{a_0 + a_1 b_0}{1 - a_1 b_1}$$

則離均差為：

$$x - E[x] = \frac{a_1 u + v}{1 - a_1 b_1}$$

計算協方差 $\operatorname{Cov}(x, u)$：

$$\operatorname{Cov}(x, u) = E[(x - E[x]) u] = E\left[ \left(\frac{a_1 u + v}{1 - a_1 b_1}\right) u \right] = \frac{a_1 E[u^2] + E[u v]}{1 - a_1 b_1}$$

因為 $E[u^2] = 1$ 且 $E[u v] = 0$，得：

$$\operatorname{Cov}(x, u) = \frac{a_1}{1 - a_1 b_1}$$

計算變異數 $\operatorname{Var}(x)$：

$$\operatorname{Var}(x) = E[(x - E[x])^2] = \frac{a_1^2 E[u^2] + 2 a_1 E[u v] + E[v^2]}{(1 - a_1 b_1)^2} = \frac{a_1^2 + 1}{(1 - a_1 b_1)^2} > 0$$

核心觀念

本題為複迴歸分析（Multiple Linear Regression）中包含**虛擬變數（Dummy Variable）與交互作用項（Interaction Term）**的綜合題型，評量重點涵蓋以下三個核心觀念：

1. 具交互作用項之邊際效應（Marginal Effect）與平均邊際效應（Average Marginal Effect, AME）：
   在模型 $Y_i = b_0 + b_1 X_i + b_2 D_i + b_3 (X_i D_i) + u_i$ 中，$X$ 對 $Y$ 的邊際效應取決於調節變數 $D$：

   $$\frac{\partial \widehat{Y}}{\partial X} = \widehat{b}_1 + \widehat{b}_3 D$$

   平均邊際效應（AME）即為對樣本各觀測值的邊際效應取算術平均值：

   $$\text{AME}_X = \widehat{b}_1 + \widehat{b}_3 \bar{D}$$

2. 樣本共變異數（Sample Covariance）的定義與計算：
   兩變數 $X$ 與 $D$ 的樣本共變異數估計值為：

   $$\widehat{\text{Cov}}(X, D) = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(X_i - \bar{X})(D_i - \bar{D}) = \frac{N}{N-1}\left( \overline{XD} - \bar{X}\bar{D} \right)$$

   或大樣本母體定義 $\overline{XD} - \bar{X}\bar{D}$。當 $\bar{X} = 0$ 時，兩者皆直接簡化為與 $\overline{XD}$ 等同或極度接近之數值。

3. 模型比較與均方誤差（Mean Squared Error, MSE）：
   在迴歸分析中，殘差均方（Mean Squared Residual / Mean Squared Error, $MSE$）之定義為：

   $$MSE = \frac{SSE}{N - k - 1} = s^2$$

   當自變數增加時，殘差平方和（$SSE$）必然不增（$SSE_{\text{Full}} \le SSE_{\text{Restricted}}$），但自由度也隨之減少。若加入的變數（此處為 $D$ 與 $XD$）對模型具有足夠顯著的解釋力（本題中 $XD$ 的 $t$ 值高達 $4.53$、$F$ 檢定值高達 $135.53$），$SSE$ 大幅下降的幅度遠超過自由度的折損，使得完整模型的 $MSE$ 小於簡歸模型；此外亦可透過調整後判定係數 $R_{\text{adj}}^2 = 1 - \frac{MSE}{SST/(N-1)}$ 進行反推比較。

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解題方法

1. 計算 $X$ 的平均邊際效應（AME）：

   • 根據估計方程式： $$\widehat{Y}_i = 1.14 + 1.80 X_i - 0.24 D_i + 1.44 (X_i D_i)$$
   • 對連續變數 $X_i$ 取偏微分，得到每個個體的邊際效應： $$\frac{\partial \widehat{Y}_i}{\partial X_i} = 1.80 + 1.44 D_i$$
   • 代入樣本平均值 $\bar{D} = 0.6$，計算全樣本的平均邊際效應： $$\text{AME}_X = 1.80 + 1.44 \times 0.6 = 1.80 + 0.864 = 2.664 \cong 2.66$$

2. 計算樣本共變異數 $\widehat{\text{Cov}}(X, D)$：

   • 根據題目給予之摘要統計量：$\bar{X} = 0$、$\bar{D} = 0.6$、$\overline{XD} = 0.02$、$N = 50$。
   • 樣本共變異數為：

核心觀念

本題評量以下四大核心數理統計觀念：

1. Student's $t$ 分布的抽樣構造：
   若隨機變數 $X \sim N(0, 1)$ 與 $V \sim \chi^2(q)$ 相互獨立，則隨機變數 $$T = \frac{X}{\sqrt{V / q}}$$ 服從自由度為 $q$ 的 Student's $t$ 分布，記作 $T \sim t(q)$。
2. Student's $t$ 分布動差之存在性條件（Existence of Moments）：
   若 $T \sim t(q)$，其 $k$ 階動差 $\mathbb{E}[T^k]$ 存在的充要條件為 $q > k$。
   • 當 $q = 1$ 時，$t(1)$ 即為標準柯西分布（Standard Cauchy Distribution），其期望值不存在（積分發散）。
   • 當 $q \le 3$ 時，$3$ 階動差 $\mathbb{E}[T^3]$ 不存在。
3. 厚尾性與有限樣本高階動差：
   當 $q > 2m$ 時，由獨立性可知 $\mathbb{E}[T^{2m}] = \mathbb{E}[X^{2m}] \cdot q^m \mathbb{E}[V^{-m}]$。利用逆卡方動差（Inverse Chi-Square Moments）性質，其偶數階動差均嚴格大於標準常態分布之對應動差。
4. 漸近常態性（Asymptotic Normality）與動差收斂：
   由弱大數法則（WLLN）與 Slutsky 定理，當 $q \to \infty$ 時，$Z_i(q) \xrightarrow{d} N(0, 1)$，其各階動差亦收斂至標準常態分布之動差： $$\mathbb{E}[Z^{2m}] = (2m - 1)!! = \prod_{j=1}^m (2j - 1)$$

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解題方法

步驟一：確認隨機變數的分布與獨立性

題目給定 $\{(X_i, Y_i)'\}_{i=1}^{q}$ 為相互獨立且服從 $N(0, I_2)$ 分布的隨機向量序列。這表示：

• 所有 $X_1, \dots, X_q, Y_1, \dots, Y_q$ 均為相互獨立的標準常態隨機變數，即 $X_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, 1)$、$Y_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, 1)$，且 $X_i$ 與所有 $Y_j$ 獨立。
• 分母根號內的平方和令為 $V = \sum_{j=1}^{q} Y_j^2$。因為 $Y_j \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, 1)$，故其平方和服從自由度為 $q$ 的卡方分布： $$V \sim \chi^2(q)$$
• 由於 $X_i$ 與 $Y_1, \dots, Y_q$ 獨立，故分子 $X_i$ 與分母中的 $V$ 相互獨立（$X_i \perp V$）。

依據 Student's $t$ 分布之定義：

$$Z_i(q) = \frac{X_i}{\sqrt{\sum_{j=1}^{q} Y_j^2 / q}} = \frac{X_i}{\sqrt{V / q}} \sim t(q)$$

即 $Z_i(q)$ 服從自由度為 $q$ 的 $t$ 分布。

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步驟二：推導 $Z_i(q)$ 之各階動差公式

由於 $X_i \perp V$，若動差存在，可利用期望值相乘分解：

$$\mathbb{E}\left[Z_i^k(q)\right] = \mathbb{E}\left[ \frac{X_i^k}{(V / q)^{k/2}} \right] = \mathbb{E}[X_i^k] \cdot q^{k/2} \cdot \mathbb{E}\left[V^{-k/2}\right]$$

對於 $V \sim \chi^2(q) \equiv \text{Gamma}(\alpha = q/2, \beta = 2)$，其負冪次期望值為：

$$\mathbb{E}\left[V^{-r}\right] = \int_{0}^{\infty} v^{-r} \frac{1}{\Gamma(q/2) 2^{q/2}} v^{q/2 - 1} e^{-v/2} \, dv = \frac{\Gamma(q/2 - r)}{\Gamma(q/2) 2^r}$$

此積分收斂的充要條件為 $\frac{q}{2} - r > 0 \iff q > 2r$。取 $r = k/2$，得動差存在的充要條件為：

$$q > k$$

1. 奇數階動差（$k = 1, 3$）：
   • 若 $q > k$，由分子 $X_i \sim N(0, 1)$ 之對稱性可知 $\mathbb{E}[X_i^k] = 0$，故 $\mathbb{E}[Z_i^k(q)] = 0$。
   • 若 $q \le k$，則 $\mathbb{E}[V^{-k/2}] = \infty$，積分發散，動差不存在。