114 年 國立臺灣大學財務金融研究所丙組《經濟學原理》

此題主要在測試考生對總體經濟學基本概念的理解。我們逐一檢視各選項：

A. 菲利浦曲線（Phillips Curve）描述的是失業率與通貨膨膨脹率之間的負相關關係，即失業率下降時，通貨膨脹率上升，反之亦然。選項 A 描述的是「失業率的變動」與通貨膨脹率的關係，這與標準的菲利浦曲線定義稍有不同，通常是指失業率本身與通貨膨脹率的關係。然而，在某些情境下，失業率的變動確實會影響通貨膨脹率。但相較於其他選項，我們需要進一步評估。

B. 通貨膨脹（Inflation）是指物價普遍持續上漲的現象。雖然高通膨會使商品和服務變得更昂貴，進而影響人們的購買力，但它對經濟的影響是複雜的，不全然是傷害。溫和的通貨膨脹有時被認為是經濟健康的標誌，甚至可以鼓勵消費和投資。惡性通貨膨脹（Hyperinflation）確實會對經濟造成嚴重傷害，但選項 B 的敘述過於籠統，未區分不同程度的通膨。

C. 貨幣緊縮（Monetary Contraction）通常透過提高利率來減少貨幣供給，這會抑制投資和消費，導致產出（output）下降。財政擴張（Fiscal Expansion），例如增加政府支出或減稅，通常會刺激總需求，導致產出上升。

核心觀念

• 利率與資產估值的關係：資產的現值 $V$ 與未來現金流 $CF_t$ 與貼現率 $r$ 的關係為
  $V=\sum_{t=1}^{\infty}\frac{CF_t}{(1+r)^t}$
  當貼現率上升（如聯邦基金利率上升），分母變大，現值 $V$ 下降，因而資產價格下跌。
• 市場預期與價格調整：資產價格不只對實際利率變動反應，亦會對利率變動的預期提前調整。若市場先行預期升息，資產價格會在升息前已下跌。

解題方法

1. 判斷題幹訊息：
   • 1 個月前，僅少數人預期升息。
   • 近期大多數人預期聯準會在 7/30 將利率從 1.75% 提升至 2%。
2. 依據「預期升息」的變化，分析價格變動的時間序列：
   • 預期上升 → 市場提前調整 → 資產價格在過去一個月已下跌（C）。
   • 實際升息（若 7/30真的升至 2%）→ 貼現率上升 → 當日資產價格再次下降（A）。
3. 檢視選項，找出同時符合上述兩點的組合。

核心觀念

1. 邊際消費倾向（MPC）與乘數

   • 消費函數 $C = C_0 + \text{MPC}\cdot Y$。
   • 簡單乘數 $k = \dfrac{1}{1-\text{MPC}}$，MPC 越高，乘數 $k$ 越大，貨幣供給變動對產出 $Y$ 的衝擊越強。

2. IS‑LM模型下貨幣供給的效果

   • LM 曲線：$M/P = L(Y,i)=kY - hi$，其中 $k$ 為收入對貨幣需求的敏感度，$h$ 為利率對貨幣需求的敏感度。
   • 貨幣供給增加（$M$ 向右平移）會使利率 $i$ 下降，下降幅度取決於 LM 曲線的斜率 $-\dfrac{k}{h}$：
     • $k$ 越大（LM 越陡），利率變動較小。
     • $k$ 越小（LM 越平），利率變動較大。

3. MPC 與 $k$ 的關聯

   • 高 MPC → 高消費 → 交易需求較大 → $k$ 較高（收入變動時貨幣需求較敏感）。
   • 低 MPC → 高儲蓄、較少消費 → 交易需求較小 → $k$ 較低（收入變動時貨幣需求較不敏感）。

解題方法

• 先判斷兩經濟體在 產出變化 上的差異：使用乘數公式 $k=\frac{1}{1-\text{MPC}}$，MPC 低的經濟體乘數較小，因而產出增幅較小。
• 再判斷 利率變化：在 LM 右平移的情況下，利率下降幅度與 $k$ 成反比例。$k$ 越低（即低 MPC 經濟體），LM 越平，利率下降幅度較大。
• 結合兩者結果，選出同時符合「產出較小」且「利率下降較大」的選項。

選項分析

選項	產出變化	利率變化	是否符合推導

此題考驗對「自然失業率」（Natural Rate of Unemployment）概念的理解，以及哪些因素會影響它。自然失業率是指在沒有週期性波動的情況下，勞動市場中總是存在的失業率，包括摩擦性失業和結構性失業。

我們逐一分析各選項：

A. A reduction in government spending on public goods and services.
政府支出減少通常會導致總需求下降，可能引起週期性失業（Cyclical Unemployment）的增加，進而可能暫時降低總失業率（如果總需求下降幅度較大，導致產出下降，但失業率因其他因素而未立即顯著上升，或者政府支出減少本身就是為了應對過熱經濟）。然而，這主要影響的是週期性失業，而不是自然失業率。自然失業率反映的是勞動市場的結構性問題。

B. An increase in the real money supply by the central bank.
增加貨幣供給是擴張性貨幣政策，通常用來刺激總需求，降低利率，可能減少週期性失業。它對自然失業率沒有直接影響。

C. The creation of a business cartel that restricts market competition.
一個商業卡特爾（cartel）的形成，透過限制市場競爭，通常會導致：
* 價格上漲：卡特爾會協調行動，將價格定得高於競爭市場下的水平。
* 產出下降：由於價格較高，商品和服務的需求量會下降。

此題考驗對總體經濟政策（財政政策與貨幣政策）對利率和產出的影響的理解，主要結合 IS-LM 模型。

我們要尋找一個同時導致利率上升和產出下降的政策。

A. The federal government increases infrastructure spending.
這是擴張性財政政策。增加政府支出 (G) 會使 IS 曲線右移。在標準 IS-LM 模型中，這會導致利率 (i) 上升和產出 (Y) 上升。因此，A 不符合。

B. The Federal Reserve increases the money supply.
這是擴張性貨幣政策。增加貨幣供給 (M) 會使 LM 曲線右移。這會導致利率 (i) 下降和產出 (Y) 上升。因此，B 不符合。

此題考驗對「未覆蓋利率平價」（Uncovered Interest Rate Parity, UIRP）理論的理解。

核心概念：
未覆蓋利率平價（UIRP）理論指出，在沒有交易成本且資本自由流動的條件下，兩種貨幣之間的預期匯率變動率應該等於兩種貨幣之間的利率差。其基本數學表達式為：

$E_t[S_{t+1}] / S_t - 1 = i_{US} - i_{UK}$

其中：

• $S_t$ 是當前即期匯率（例如，每單位英鎊兌美元的價格，或每單位美元兌英鎊的價格）。我們這裡假設 $S_t$ 表示「1 美元可以兌換多少英鎊」。
• $E_t[S_{t+1}]$ 是市場預期下一期（t+1）的匯率。
• $i_{US}$ 是美國的利率。
• $i_{UK}$ 是英國的利率。

從這個公式可以推導出：

• 如果 $i_{US} > i_{UK}$，則 $E_t[S_{t+1}] / S_t - 1 > 0$，意味著 $E_t[S_{t+1}] / S_t > 1$，即預期 $S_{t+1} > S_t$。如果 $S$ 代表「1 美元能換多少英鎊」，那麼 $S$ 增加意味著美元貶值，英鎊升值。
• 反之，如果 $i_{US} < i_{UK}$，則 $E_t[S_{t+1}] / S_t - 1 < 0$，意味著 $E_t[S_{t+1}] / S_t < 1$，即預期 $S_{t+1} < S_t$。如果 $S$ 代表「1 美元能換多少英鎊」，那麼 $S$ 下降意味著美元升值，英鎊貶值。

題目給定：美國的利率 ($i_{US}$) 高於英國的利率 ($i_{UK}$)，即 $i_{US} > i_{UK}$。

根據 UIRP，這意味著：
$E_t[S_{t+1}] / S_t - 1 = i_{US} - i_{UK} > 0$
$E_t[S_{t+1}] / S_t > 1$

現在我們需要確定 $S$ 的定義。通常，匯率可以表示為：

1. 美元對英鎊的匯率 (USD/GBP)：1 美元能換多少英鎊。
2. 英鎊對美元的匯率 (GBP/USD)：1 英鎊能換多少美元。

我們假設題目中的「The U.S. dollar is expected to appreciate with respect to the British pound」是指美元的價值相對英鎊上升，也就是說，1 美元能換更多英鎊，或者 1 英鎊能換更少美元。

核心觀念
本題測驗 名目國內生產毛額 (Nominal GDP) 的計算方法。GDP 可以用三個等價的角度求得：

1. 最終支出法：只加總最終商品與服務的銷售額，排除中間投入（intermediate inputs）。
2. 價值加值法 (Value‑Added)：各產業的「銷售額 – 中間投入」之和。
3. 收入法：全體要素收入（工資、利潤、租金等）之合計。

在本題中，小麥 為 麵包公司的中間投入，只要避免重複計算，即可得到正確的 GDP。

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解題方法
採用 最終支出法，步驟如下：

1. 確認每家公司的「收入」是否為 最終商品。

   • 麵包公司販賣的是 最終商品（麵包），其營收 $500 為最終支出。
   • 小麥生產者的營收 $300 代表 中間商品（小麥）出售給麵包公司，屬於中間投入，不能直接納入 GDP。

2. 只把最終商品的營收加總：

$\text{GDP}_{\text{名目}} = \text{Bread Company Revenue} = 500$

若想以 價值加值法 檢驗，亦可得同樣結論：

• 小麥生產者的價值加值 = 銷售額 $300$ – 中間投入（小麥購買）$250 = 50$。
• 麵包公司的價值加值 = 銷售額 $500$ – 中間投入（小麥成本）$300 = 200$。
• 總加值 = $50 + 200 = 250$。

核心觀念

本題考查現代總體經濟學中**中央銀行的最適貨幣政策動態（Optimal Monetary Policy Dynamics）與適應性預期菲利浦曲線（Phillips Curve with Adaptive Expectations）**的互動關係。涉及的核心理論與公式如下：

1. 中央銀行損失函數（Central Bank's Loss Function）：
   央行在每期追求通膨與產出的雙重穩定，損失函數為對稱的二次損失形式：
   $L_t = (\pi_t - \pi^*)^2 + (Y_t - Y_n)^2$
   其中 $\pi^*$ 為目標通膨率，$Y_n$ 為自然產出水準（即產出目標）。

2. 附加預期的短期菲利浦曲線（Expectations-Augmented Phillips Curve）：
   產出與通膨的短期抵換關係為：
   $\pi_t = \pi_t^e + \alpha(Y_t - Y_n), \quad \alpha > 0$
   在**適應性預期（Adaptive Expectations）**假設下，民間部門以上一期的實際通膨作為本期預期，即 $\pi_t^e = \pi_{t-1}$，故限制式為：
   $\pi_t = \pi_{t-1} + \alpha(Y_t - Y_n)$

3. 漸進調整動態（Gradual Adjustment Dynamics）：
   當期初存在通膨缺口時，由於二次損失函數意味著產出偏離與通膨偏離的邊際損失均隨偏離幅度遞增，央行會在「產出偏離代價」與「通膨收斂速度」之間進行跨期平滑權衡，導致經濟體系呈現漸進式收斂。

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解題方法

1. 建立央行的單期最適化問題

將菲利浦曲線限制式代入央行的損失函數中。令產出缺口為 $y_t \equiv Y_t - Y_n$，則 $\pi_t = \pi_{t-1} + \alpha y_t$。央行在每一期 $t$ 透過選擇產出缺口 $y_t$ 以極小化損失：
$\min_{y_t} L_t = [(\pi_{t-1} - \pi^*) + \alpha y_t]^2 + y_t^2$

2. 求解一階條件（First-Order Condition, FOC）

對 $y_t$ 微分並令其為零：
$\frac{\partial L_t}{\partial y_t} = 2\alpha [(\pi_{t-1} - \pi^*) + \alpha y_t] + 2y_t = 0$

整理後可得當期最適產出缺口 $y_t$ 與上一期通膨缺口的關係：
$(\alpha^2 + 1)y_t = \alpha(\pi^* - \pi_{t-1})$
$y_t = Y_t - Y_n = \frac{\alpha}{1 + \alpha^2} (\pi^* - \pi_{t-1})$

因此，各期的最適產出水準決定式為：
$Y_t = Y_n + \frac{\alpha}{1 + \alpha^2} (\pi^* - \pi_{t-1})$

3. 推導通膨與產出的動態演變路徑

將最適產出缺口代回菲利浦曲線，得到通膨動態方程式：
$\pi_t = \pi_{t-1} + \alpha \left[ \frac{\alpha}{1 + \alpha^2} (\pi^* - \pi_{t-1}) \right]$
$\pi_t = \pi_{t-1} + \frac{\alpha^2}{1 + \alpha^2} (\pi^* - \pi_{t-1})$

兩邊同時減去 $\pi^*$ 並整理通膨缺口：
$\pi_t - \pi^* = (\pi_{t-1} - \pi^*) - \frac{\alpha^2}{1 + \alpha^2} (\pi_{t-1} - \pi^*)$

核心觀念

本題考查國際收支平衡表中的：

1. 經常帳（current account）：記錄商品、服務、所得與移轉交易。
2. 資本／金融交易：記錄跨國資產買賣與資金流動。
3. 國際收支恒等式：一國的經常帳赤字，必須由資本或金融帳的資金流入支應。
4. 匯率的單位性質：匯率數字大小取決於貨幣計價單位，不能單憑數字判斷經濟結果。

日本出口 100 輛 Lexus，每輛價值 NTD 100,000,000，因此出口總值為：

$$100 \times 100{,}000{,}000 = 10{,}000{,}000{,}000$$

也就是新臺幣 100 億元。

解題方法

臺灣完全沒有出口，卻從日本進口 Lexus，因此：

• 臺灣：商品進口大於商品出口，經常帳為赤字。
• 日本：商品出口大於商品進口，經常帳為盈餘。

由於臺灣必須支付進口貨款，而題目又排除其他國際金融交易，臺灣需要以持有的臺灣資產支付日本。換言之，日本取得臺灣資產，臺灣則出現資本或金融資金流入。

因此：

• 臺灣的經常帳是赤字；
• 日本的經常帳是盈餘；
• 日本是購買臺灣資產，而不是出售臺灣資產。

選項分析

A. Taiwan is running a deficit in its capital account.

錯誤。

臺灣有經常帳赤字，必須透過資本或金融帳的資金流入支應。日本取得臺灣資產，代表外國資金流入臺灣；以一般經濟學教材的分類來說，臺灣的資本帳應為盈餘，而不是赤字。

若採較嚴格的國際收支分類，資本帳只記錄資本移轉與非生產性非金融資產交易，本題資本帳可視為零；真正發生的是金融帳資金流入。因此無論採哪種分類，A 都不成立。

B. Japan is running a surplus in its current account.

正確。

此題考驗對 Solow 成長模型及其擴展（加入技術進步和人力資本）的理解，以及其對國家間成長差異的預測能力。

核心概念：

• Solow 模型：解釋經濟成長的長期模型，主要因素包括儲蓄率、人口成長率、技術進步率、折舊率、勞動生產力。
• 技術進步 (Technological Progress)：在 Solow 模型中，通常是外生給定，且是決定穩態時人均產出成長率的關鍵。
• 人力資本 (Human Capital)：指勞動者的技能、知識和健康水平。在擴展的 Solow 模型中，人力資本被視為一種資本投入，與實體資本（Physical Capital）並列。
• 穩態 (Steady State)：人均資本（或人均人力資本）和人均產出不再變動的長期均衡狀態。
• 人均產出成長率：在有外生技術進步 $g$ 的 Solow 模型中，穩態時人均產出（或有效勞動人均產出）的成長率由技術進步率 $g$ 決定。

分析選項：

A. Including human capital in the Solow model does not affect the steady-state growth rate.
在標準 Solow 模型中，穩態的成長率由外生技術進步率 $g$ 決定。
當加入人力資本（Human Capital, H）作為一種資本形式，並且假設人力資本也以一定速度 $g_h$ 累積，而總體技術進步率為 $g$（影響所有要素的效率），那麼在穩態時，人均產出（或有效勞動人均產出）的成長率仍然主要由外生技術進步率 $g$ 決定。
但是，如果人力資本的累積速度不同於實體資本，或者技術進步是內生於人力資本的，則情況會更複雜。
在標準的包含人力資本和外生技術進步的 Solow 模型中，穩態時人均產出的成長率（相對於有效勞動）仍然是 $g$。
然而，如果我們考慮的是「總人均產出」的成長率，它會是 $g$ 加上人力資本的成長率。
但題目問的是「steady-state growth rate」，這通常是指模型內生決定的長期成長率。
在 Solow 模型框架下，如果技術進步是外生的，它就決定了穩態的成長率。人力資本的累積影響的是穩態的「水平」，而不是「成長率」。
更精確的說法：如果我們考慮的是 $y = f(k, h)$ 的生產函數，其中 $y$ 是人均產出，$k$ 是人均實體資本，$h$ 是人均人力資本。如果技術進步是總要素生產力（TFP）的成長，即 $A_t = A_0 e^{gt}$。則 $y_t = A_t f(k_t, h_t)$。在穩態時，人均產出的成長率由 $g$ 決定。
所以，這個選項的說法「does not affect the steady-state growth rate」是正確的，因為穩態成長率是由外生技術進步率決定的。

B. Human capital has no impact on the steady-state level of output per worker.
這是錯誤的。人力資本的累積（更高的儲蓄率用於教育、技能培訓）會提高穩態時的人均產出水平。

核心觀念

本題考查「緊縮性貨幣政策」造成所得與消費不均等的傳導機制。

緊縮性貨幣政策通常包括提高政策利率、減少貨幣供給，結果是市場利率上升：

$$i \uparrow$$

其分配效果取決於不同家戶的資產持有、借貸狀況、所得來源及金融市場參與程度。高所得家戶通常持有較多金融資產、金融所得比例較高，也較容易進入金融市場，因此緊縮政策可能使所得與消費差距擴大。

本題正確選項為 B、D。

解題方法

判斷各選項時，依序檢查三件事：

1. 緊縮性貨幣政策是否會造成該選項所述的經濟變化。
2. 該變化對高所得與低所得家戶的影響是否不同。
3. 這種差異是否會擴大所得或消費不均等。

緊縮政策的典型效果為：

• 利率上升。
• 借款成本提高。
• 金融資產與房產價格通常承受下跌壓力。
• 利息所得增加，但負債家戶的利息支出也增加。
• 信用受限家戶較難取得融資。
• 高所得家戶通常擁有較多資產及金融市場管道。

若選項把「利率上升」的受益者寫成借款人，或把緊縮政策寫成造成資產價格上升，便屬於方向錯誤。

選項分析

A. The savings redistribution channel, where higher interest rates benefit borrowers.

錯誤。

Savings redistribution channel（儲蓄重新分配管道）關注利率變動如何在儲蓄者與借款者之間重新分配所得。

緊縮性貨幣政策使利率上升：

$$i \uparrow$$

對淨儲蓄者而言，利息收入增加；對淨借款者而言，利息支出增加。因此，利率上升的所得效果是：

• 儲蓄者受益；
• 借款者受損。

題目卻說較高利率使借款人受益，與該管道的基本方向相反。若高所得家戶通常是淨儲蓄者，利率上升反而可能使所得差距擴大，但選項對受益者的描述錯誤。

B. The income composition channel, where financial income rises relative to labor income.

正確。

Income composition channel（所得組成管道）是指不同所得來源受到貨幣政策影響不同。

緊縮政策使利率上升，金融資產所產生的利息所得增加：

$$\text{Financial income} \uparrow$$

相較之下，緊縮政策可能降低總需求與產出，壓抑企業雇用及工資成長，使勞動所得受到較大壓力。因此，金融所得相對於勞動所得的比重上升：

$$\frac{\text{Financial income}}{\text{Labor income}} \uparrow$$

高所得家戶通常持有較多股票、債券、存款及其他金融資產，金融所得占其總所得比例也較高；低所得家戶則較依賴工資。因此，金融所得相對增加會使高所得家戶受益較多，擴大所得不均等。

C. The portfolio channel, where wealthier households gain from asset price increases.

錯誤。

核心觀念

本題考查緊縮性貨幣政策的「所得分配效果」與「消費分配效果」，重點不是只判斷總體經濟產出下降，而是分析不同所得來源及不同家戶所得階層所受到的影響。

緊縮性貨幣政策通常包括升息、減少貨幣供給等措施，主要傳導管道包括：

1. 金融所得管道：利率上升使持有存款、債券等金融資產者獲得較高利息收入。
2. 企業所得管道：融資成本上升、需求減弱，使企業利潤與業主所得下降。
3. 勞動所得管道：不同產業與所得階層的工資所得受到不同影響。
4. 移轉所得管道：低所得家戶較依賴政府補助、社會福利等移轉所得，政策衝擊可能伴隨移轉收入增加。
5. 消費管道：所得相同幅度的變動，對不同家戶消費的影響不同。低所得家戶的邊際消費傾向通常較高，因此消費支出分配可能比所得分配變化更明顯。

可用所得分解表示：

$$Y_i=Y_i^{L}+Y_i^{F}+Y_i^{B}+Y_i^{T}$$

其中，$Y_i^{L}$ 為勞動所得、$Y_i^{F}$ 為金融所得、$Y_i^{B}$ 為企業或營業所得、$Y_i^{T}$ 為移轉所得。

解題方法

本題採用「逐一對照各所得來源與所得階層」的方法：

• 先判斷升息對金融資產持有者及借款企業的影響。
• 再觀察低所得、中所得與高所得家戶主要依賴的所得來源。
• 最後比較所得不均與消費支出不均的變化幅度。

依文章所述結果，緊縮性貨幣政策並非對所有家戶產生同方向、同程度的影響，而是透過不同所得來源造成重新分配。因此，題目中的多個敘述均可能同時成立。

選項分析

A. Low-income households see a rise in transfer income, offsetting monetary tightening effects.

正確。低所得家戶較依賴政府補助及社會福利等移轉所得。緊縮性貨幣政策造成經濟活動承壓時，移轉支付可能增加，形成部分所得補償效果。因此，低所得家戶雖受到緊縮政策的不利影響，但移轉所得上升可抵銷部分衝擊。

B. High-income households experience increased financial income after interest rate hikes.

正確。升息會提高存款、債券及其他利率敏感型金融資產的報酬。高所得家戶通常持有較多金融資產，因此金融所得增加的利益較集中於高所得家戶：

核心觀念

• 需求函數：$Q=600-P$，其中 $P=p_A+p_B$ 為遊戲系統的總價格。
• 利潤最大化：每家廠商在給定對手價格時，以自己的價格使利潤 $\pi$ 最大。
• ** Nash 均衡**：兩家廠商的最佳回應函數同時成立時的價格組合。
• 壟斷定價：合併後的單一廠商把整個系統視為唯一產品，直接決定 $P$ 以最大化總利潤。
• 消費者剩餘 (CS)：線性需求下的三角形面積
  $CS=\frac12\,(P_{\max}-P)\,Q,\qquad P_{\max}=600.$

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(a) 獨占雙方的 Nash 均衡

1️⃣ 建立利潤函數

• 廠商 A（主機）
  $\pi_A=(p_A-c_A)Q=(p_A-24)(600-p_A-p_B).$
• 廠商 B（軟體）
  $\pi_B=p_BQ-10{,}000=p_B(600-p_A-p_B)-10{,}000.$

2️⃣ 求最佳回應函數

對 $p_A$ 求導（把 $p_B$ 視為外生）：

$\frac{\partial\pi_A}{\partial p_A}= (600-p_A-p_B)+(p_A-24)(-1)=624-2p_A-p_B=0$

$$\Rightarrow\;p_A=\frac{624-p_B}{2}. \tag{BR}_A$$

對 $p_B$ 求導（把 $p_A$ 視為外生）：

$\frac{\partial\pi_B}{\partial p_B}= (600-p_A-p_B)+p_B(-1)=600-p_A-2p_B=0$

$$\Rightarrow\;p_B=\frac{600-p_A}{2}. \tag{BR}_B$$

3️⃣ 同時解聯立

將 $(BR)_B$ 代入 $(BR)_A$：

$$p_A = \frac{624-\frac{600-p_A}{2}}{2} =\frac{1248-600+p_A}{4} =\frac{648+p_A}{4}$$

$4p_A = 648 + p_A \;\Longrightarrow\; 3p_A = 648 \;\Longrightarrow\; p_A = 216.$

再代回 $(BR)_B$：

$p_B = \frac{600-216}{2}=192.$

4️⃣ 總價格、需求與消費者剩餘

$$P = p_A+p_B = 216+192 = 408, \qquad Q = 600-P = 600-408 = 192.$$

核心觀念

1. 子賽局完美均衡（Subgame Perfect Equilibrium, SPE）：利用逆向歸納（backward induction）從最後階段開始推導，各玩家在每一子賽局都採取其最佳策略。
2. 折現（discounting）：玩家對未來金額的現值以其折現率 $\delta_i$ 計算，$t$ 年後的 $1$ 單位金額對於玩家 $i$ 的現值為 $\delta_i^{\,t}$.
3. 最低分配限制：若法律規定每位繼承人至少取得遺產的 $1/4$，則任何提案中給予對手的金額不得低於 $250\,000$（即 $25$ 萬），此限制會改變接受門檻。

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解題方法

1. 逆向歸納：先求 $t=2$（最後一次提案）的均衡，再求 $t=1$（次一次提案）的均衡，最後求 $t=0$（第一提案）的均衡。
2. 接受門檻：在任一階段，接受者會比較當下直接得到的金額 $x$ 與若拒絕則在未來可得到的折現期望值 $\delta_i\,V_i^{\text{future}}$。若 $x\ge \delta_iV_i^{\text{future}}$，則接受；若等號成立且兩者的現值相同，題目規定會選擇接受。
3. 風險中立：玩家只在乎金額的期望值，不考慮風險，因此可直接以金額大小比較。

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(a) A 取得先提案權時的 SPE

時間	提案人	受案人接受門檻	最佳提案
$t=2$	A（最後一次）	B 若拒絕則得 $0$ → 接受門檻 $0$	$(1\,000\,000,\;0)$
$t=1$	B	A 若拒絕則在 $t=2$ 可得 $1\,000\,000$，現值 $0.9\cdot1\,000\,000=900\,000$ → 接受門檻 $900\,000$	使 $y_A=900\,000$、$y_B=100\,000$，即 $(900\,000,\;100\,000)$
$t=0$	A	B 若拒絕則在 $t=1$ 可得 $100\,000$，現值 $0.8\cdot100\,000=80\,000$ → 接受門檻 $80\,000$	使 $b=80\,000$、$a=1\,000\,000-80\,000=920\,000$，即 $(920\,000,\;80\,000)$

以「萬」為單位寫成題目要求的形式：

$\boxed{(92,\;8)}$

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(b) A 為風險中立者，願意為確保先提案權支付的最高金額

• 若 A 不 付錢，先、後提案的機率皆為 $1/2$。
• 先提案時的期望收益：$920\,000$（上一步得到）。
• 後提案時的期望收益：當 B 先提案，根據前一行的分析，B 會給 A $900\,000$。

$E[\text{不付錢的期望}] =\tfrac12(920\,000)+\tfrac12(900\,000)=910\,000$

確保先提案權後必得 $920\,000$，因此 A 最多願意支付的金額為：

$920\,000-910\,000 = 10\,000 = 1\;\text{萬美元}$

$\boxed{1}$

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(c) 考慮「特留分」規定（每人至少 $25$ 萬）

第一步：重算 SPE

核心觀念

1. 完全競爭市場：廠商是價格接受者，長期均衡必須滿足「零利潤」條件。
2. 跨期折現：未來每一期的現金流以折現率 $r$ 折算成現值，無窮期的等比級數 $\displaystyle \sum_{t=2}^{\infty}\frac{X}{(1+r)^{t-1}}= \frac{X}{r}$。
3. 消費者的轉換成本：只有在第一期可決定是否換廠商，換廠商的總成本包括一次性補貼後的價格、未來的持續價格與轉換成本 $k$。
4. 廠商的補貼：為吸引顧客，廠商在第 1 期的邊際成本變為 $c+s$，其後恢復為 $c$。

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解題方法
利用「消費者無差別」與「廠商零利潤」兩個等式，分別解出補貼 $s^{*}$ 與均衡價格 $p$。

1. 消費者無差別條件

$$\underbrace{(p-s) + \frac{p}{r}+k}_{\text{換廠商的成本現值}} \;=\; \underbrace{p + \frac{p}{r}}_{\text{不換廠商的成本現值}} .$$

兩邊同時減去 $\frac{p}{r}$，得到

$p-s+k = p \;\Longrightarrow\; s = k .$

因此 $s^{*}=k$。

2. 廠商零利潤條件
   第 1 期利潤：$p-(c+s)$。
   第 2 期起每期利潤：$p-c$。
   無窮期的現值

$V = \bigl[p-(c+s)\bigr] \;+\; \frac{p-c}{r},$

令 $V=0$（長期零利潤），代入 $s=k$ 得

$\bigl[p-(c+k)\bigr] \;+\; \frac{p-c}{r}=0 .$

乘以 $r$ 整理：

$$r\bigl[p-(c+k)\bigr] + (p-c)=0 \;\Longrightarrow\; (r+1)p = r(c+k)+c .$$

解得均衡價格

$$\boxed{p^{*}= \frac{r(c+k)+c}{\,r+1\,}} = c + \frac{r}{r+1}\,k .$$

核心觀念

1. 子賽局完美均衡（Subgame Perfect Equilibrium, SPE）：利用逆向歸納（backward induction）從最後階段開始推導，各玩家在每一子賽局都採取其最佳策略。
2. 折現（discounting）：玩家對未來金額的現值以其折現率 $\delta_i$ 計算，$t$ 年後的 $1$ 單位金額對於玩家 $i$ 的現值為 $\delta_i^{\,t}$.
3. 最低分配限制：若法律規定每位繼承人至少取得遺產的 $1/4$，則任何提案中給予對手的金額不得低於 $250\,000$（即 $25$ 萬），此限制會改變接受門檻。

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解題方法

1. 逆向歸納：先求 $t=2$（最後一次提案）的均衡，再求 $t=1$（次一次提案）的均衡，最後求 $t=0$（第一提案）的均衡。
2. 接受門檻：在任一階段，接受者會比較當下直接得到的金額 $x$ 與若拒絕則在未來可得到的折現期望值 $\delta_i\,V_i^{\text{future}}$。若 $x\ge \delta_iV_i^{\text{future}}$，則接受；若等號成立且兩者的現值相同，題目規定會選擇接受。
3. 風險中立：玩家只在乎金額的期望值，不考慮風險，因此可直接以金額大小比較。

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(a) A 取得先提案權時的 SPE

時間	提案人	受案人接受門檻	最佳提案
$t=2$	A（最後一次）	B 若拒絕則得 $0$ → 接受門檻 $0$	$(1\,000\,000,\;0)$
$t=1$	B	A 若拒絕則在 $t=2$ 可得 $1\,000\,000$，現值 $0.9\cdot1\,000\,000=900\,000$ → 接受門檻 $900\,000$	使 $y_A=900\,000$、$y_B=100\,000$，即 $(900\,000,\;100\,000)$
$t=0$	A	B 若拒絕則在 $t=1$ 可得 $100\,000$，現值 $0.8\cdot100\,000=80\,000$ → 接受門檻 $80\,000$	使 $b=80\,000$、$a=1\,000\,000-80\,000=920\,000$，即 $(920\,000,\;80\,000)$

以「萬」為單位寫成題目要求的形式：

$\boxed{(92,\;8)}$

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(b) A 為風險中立者，願意為確保先提案權支付的最高金額

• 若 A 不 付錢，先、後提案的機率皆為 $1/2$。
• 先提案時的期望收益：$920\,000$（上一步得到）。
• 後提案時的期望收益：當 B 先提案，根據前一行的分析，B 會給 A $900\,000$。

$E[\text{不付錢的期望}] =\tfrac12(920\,000)+\tfrac12(900\,000)=910\,000$

確保先提案權後必得 $920\,000$，因此 A 最多願意支付的金額為：

$920\,000-910\,000 = 10\,000 = 1\;\text{萬美元}$

$\boxed{1}$

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(c) 考慮「特留分」規定（每人至少 $25$ 萬）

第一步：重算 SPE