114 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《財務管理與財金數學》

核心觀念

• 正交單位向量 (orthonormal vectors)：若向量集合 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_k\}$ 為正交單位，則
  $\alpha_i^\top \alpha_j=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}.$
• 向量的二範數：對任意 $n$ 維向量 $x$，
  $\|x\|=\sqrt{x^\top x}=\sqrt{\sum_{r=1}^n x_r^2}.$
• 向量的線性組合與內積：若 $x=\sum_{i=1}^k\beta_i\alpha_i$，則
  $x^\top x =\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\beta_i\beta_j\alpha_i^\top\alpha_j.$

解題方法

1. 先寫出 $x$ 的二範數的平方：
   $\|x\|^2 = x^\top x = \Bigl(\sum_{i=1}^k\beta_i\alpha_i\Bigr)^\top\Bigl(\sum_{j=1}^k\beta_j\alpha_j\Bigr).$
2. 以分配律展開雙重求和：
   $\|x\|^2=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\beta_i\beta_j\;\alpha_i^\top\alpha_j.$
3. 利用正交單位性質 $\alpha_i^\top\alpha_j=0$ ( $i\neq j$ ) 與 $\alpha_i^\top\alpha_i=1$，消去所有 $i\neq j$ 的項，僅剩下 $i=j$ 的情形：
   $\|x\|^2=\sum_{i=1}^k\beta_i^2.$
4. 取平方根得到 $\|x\|$：
   $\boxed{\|x\|=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^k\beta_i^2}}.$

此題考驗對正定矩陣 (positive definite matrix) 的定義與判斷方法的理解。一個對稱矩陣 $A$ 是正定的，當且僅當對於任意非零向量 $x$，都有 $x^T Ax > 0$。判斷正定矩陣的方法有幾種：

1. 檢查所有主子式 (leading principal minors) 是否皆為正。
2. 檢查所有特徵值 (eigenvalues) 是否皆為正。
3. 檢查二次型 $x^T Ax$ 是否恆大於零。

我們逐一檢驗 $A_1, A_2, A_3$。

檢驗 $A_1$：
$A_1 = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$
首先，矩陣 $A_1$ 必須是對稱的才能是正定矩陣。
$A_1^T = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} = A_1$。$A_1$ 是一個對稱矩陣。
接著，我們計算其主子式：
第一個主子式 (1x1): $D_1 = \det(-1) = -1$。
由於第一個主子式 $D_1 = -1 < 0$，根據正定矩陣的判別法則，矩陣 $A_1$ 不是正定的。
（若要正定，所有主子式都必須大於零。）

檢驗 $A_2$：
$A_2 = I - uu^T$，其中 $u$ 是 $n$ 維向量且 $\|u\| < 1$。
$I$ 是 $n \times n$ 的單位矩陣。$uu^T$ 是一個 $n \times n$ 的對稱矩陣。因此 $A_2$ 是對稱矩陣。
我們來檢查 $x^T A_2 x > 0$ 對於所有 $x \neq 0$。
$x^T A_2 x = x^T (I - uu^T) x = x^T I x - x^T uu^T x$
$x^T A_2 x = x^T x - (x^T u)(u^T x)$
注意到 $x^T u$ 是一個純量，且 $u^T x = (x^T u)^T = x^T u$。
所以，$x^T A_2 x = \|x\|^2 - (x^T u)^2$。
令 $v = x^T u$。則 $x^T A_2 x = \|x\|^2 - v^2$。
我們知道 $|v| = |x^T u| \le \|x\| \|u\|$ (Cauchy-Schwarz inequality)。
因此，$v^2 \le \|x\|^2 \|u\|^2$。
所以，$x^T A_2 x = \|x\|^2 - v^2 \ge \|x\|^2 - \|x\|^2 \|u\|^2 = \|x\|^2 (1 - \|u\|^2)$。

核心觀念

矩陣的欄向量線性相依，等價於存在非零向量 $x$，使得 $Ax=0$。對方陣而言，欄向量線性相依也等價於矩陣不可逆。

本題可分別判斷三個矩陣的秩或可逆性：

• 若矩陣有 $n$ 個欄，且秩為 $n$，欄向量線性獨立。
• 外積矩陣 $ab^T$ 的秩至多為 $1$。
• 若 $\|ab^T\|_2<1$，則 $I-ab^T$ 可逆；其中 $\|ab^T\|_2=\|a\|\|b\|$。

解題方法

$A_1$：欄向量線性獨立

對 $A_1x=0$，依照上下分塊可得

$$\begin{bmatrix}B\\D\end{bmatrix}x=0 \quad\Longrightarrow\quad Dx=0.$$

因為 $D$ 的對角元素皆非零，所以 $D$ 可逆，故 $Dx=0$ 只能有 $x=0$。因此 $A_1$ 的欄向量線性獨立。

$A_2$：欄向量線性相依

$A_2=ab^T$ 的第 $j$ 欄為 $b_j a$，所以每一欄都是向量 $a$ 的倍數，矩陣的秩至多為 $1$。由於 $n>1$，$A_2$ 有超過一個欄，這些欄必定線性相依。若 $a=0$ 或 $b=0$，矩陣為零矩陣，結論仍成立。

$A_3$：欄向量線性獨立

核心觀念

本題考查反對稱矩陣的性質，以及矩陣可逆、可交換與正交矩陣的判定。

已知 $S^T=-S$，因此對任何實向量 $x$，

$$x^T Sx=(x^T Sx)^T=x^T S^T x=-x^T Sx,$$

故 $x^T Sx=0$。此外，矩陣 $Q$ 為正交矩陣的條件是 $Q^TQ=I$。

解題方法

判斷 I：$I-S$ 是否非奇異

若 $(I-S)x=0$，則 $x=Sx$。左右乘以 $x^T$，得到

$$x^Tx=x^TSx=0.$$

由於 $x^Tx$ 是向量各分量平方和，只能有 $x=0$。因此 $(I-S)x=0$ 只有零解，表示 $I-S$ 非奇異，命題 I 正確。

判斷 II：兩個矩陣是否可交換

先看 $I-S$ 與 $I+S$：

$$(I-S)(I+S)=I-S^2=(I+S)(I-S).$$

因為 $I-S$ 可逆，兩邊取適當乘積可知 $(I-S)^{-1}$ 與 $I+S$ 也可交換。因此

$$(I+S)(I-S)^{-1}=(I-S)^{-1}(I+S),$$

命題 II 正確。

判斷 III：$A$ 是否為正交矩陣

由 $S^T=-S$，

此題考驗求解線性齊次常微分方程 (linear homogeneous ordinary differential equation) 的方法，以及利用初始條件 (initial conditions) 求出特定解。

給定的微分方程是三階線性齊次常微分方程：
$y''' - 2y'' - y' + 2y = 0$

首先，我們需要找出其特徵方程 (characteristic equation)：
$r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0$

我們可以嘗試因式分解這個多項式。觀察係數：1, -2, -1, 2。
嘗試 $r=1$: $1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$。所以 $r=1$ 是一個根。
嘗試 $r=-1$: $(-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2(1) + 1 + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0$。所以 $r=-1$ 是一個根。
嘗試 $r=2$: $2^3 - 2(2)^2 - 2 + 2 = 8 - 2(4) - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0$。所以 $r=2$ 是一個根。

由於我們找到了三個不同的實根，特徵方程可以寫成 $(r-1)(r+1)(r-2) = 0$。
展開驗證：
$(r-1)(r+1) = r^2 - 1$
$(r^2 - 1)(r-2) = r^3 - 2r^2 - r + 2$。
這與我們的特徵方程一致。

因此，特徵根是 $r_1 = 1$, $r_2 = -1$, $r_3 = 2$。
這三個根都是實數且互不相同。
所以，微分方程的通解 (general solution) 是：
$y(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t} + c_3 e^{r_3 t}$
$y(t) = c_1 e^{t} + c_2 e^{-t} + c_3 e^{2t}$

接下來，我們需要利用初始條件來求解常數 $c_1, c_2, c_3$。
初始條件為：
$y(0) = 2$
$y'(0) = 3$
$y''(0) = 5$

首先，計算 $y'(t)$ 和 $y''(t)$：
$y'(t) = \frac{d}{dt}(c_1 e^{t} + c_2 e^{-t} + c_3 e^{2t}) = c_1 e^{t} - c_2 e^{-t} + 2c_3 e^{2t}$
$y''(t) = \frac{d}{dt}(c_1 e^{t} - c_2 e^{-t} + 2c_3 e^{2t}) = c_1 e^{t} + c_2 e^{-t} + 4c_3 e^{2t}$

將初始條件代入：

1. $y(0) = 2$:
   $c_1 e^0 + c_2 e^0 + c_3 e^0 = 2$
   $c_1 + c_2 + c_3 = 2$ (方程式 1)

此題考驗求解二階線性齊次常微分方程 (second-order linear homogeneous ordinary differential equation) 的方法，並利用初始條件求出特定解。

給定的微分方程是：
$9y'' + 12y' + 4y = 0$

其特徵方程 (characteristic equation) 為：
$9r^2 + 12r + 4 = 0$

我們可以嘗試因式分解這個二次方程，或者使用二次公式。
觀察係數 9, 12, 4。注意到 $9 = 3^2$, $4 = 2^2$, 且 $12 = 2 \times 3 \times 2$。
這是一個完全平方公式：$(3r + 2)^2 = 0$。
所以，特徵方程是 $(3r + 2)^2 = 0$。

這意味著我們有一個重根 (repeated real root)：
$3r + 2 = 0 \implies r = -\frac{2}{3}$。
這個根是二重的，即 $r_1 = r_2 = -\frac{2}{3}$。

當特徵方程有重根 $r$ 時，微分方程的通解 (general solution) 是：
$y(t) = c_1 e^{rt} + c_2 t e^{rt}$
在這裡，$r = -\frac{2}{3}$。
所以，通解為：
$y(t) = c_1 e^{-\frac{2}{3}t} + c_2 t e^{-\frac{2}{3}t}$

接下來，我們需要利用初始條件來求解常數 $c_1, c_2$。
初始條件為：
$y(0) = -3$
$y'(0) = 3$

首先，計算 $y'(t)$：
$y'(t) = \frac{d}{dt}(c_1 e^{-\frac{2}{3}t} + c_2 t e^{-\frac{2}{3}t})$
使用乘積法則：
$y'(t) = c_1 (-\frac{2}{3}) e^{-\frac{2}{3}t} + c_2 [1 \cdot e^{-\frac{2}{3}t} + t (-\frac{2}{3}) e^{-\frac{2}{3}t}]$
$y'(t) = -\frac{2}{3} c_1 e^{-\frac{2}{3}t} + c_2 e^{-\frac{2}{3}t} - \frac{2}{3} c_2 t e^{-\frac{2}{3}t}$

此題考驗對財務管理中「訊號理論」相關的「啄序理論」(Pecking Order Theory) 的理解。

啄序理論的核心觀點是，公司在選擇融資工具時，會遵循一個優先順序。這個順序是基於資訊不對稱 (information asymmetry) 所帶來的成本。資訊不對稱是指公司內部人士比外部投資者擁有更多關於公司價值的資訊。

根據啄序理論，公司偏好的融資順序是：

1. 內部融資 (Internal financing)：例如保留盈餘 (retained earnings)。這是最優先的，因為它不需要外部資訊揭露，且沒有外部融資成本。
2. 債務融資 (Debt financing)：如果內部資金不足，公司會優先考慮發行債務。債務的資訊不對稱程度相對較低，因為債權人通常不像股東那樣關心公司的長期成長前景，且債務合約有明確的還款條款。在債務中，公司可能也會有進一步的優先順序，例如優先債券、普通債券、可轉換債券等。

此題考驗對首次公開發行 (IPO) 定價現象，特別是「IPO 定價不足」(IPO underpricing) 的原因與特徵的理解。

IPO 定價不足是指 IPO 發行價格低於上市後第一個交易日的收盤價，導致發行公司在短期內股價大幅上漲。

我們逐一分析各個敘述：

(A) IPO underpricing is related to firms' negative signaling motives.
這句話是錯誤的。
IPO 定價不足通常被認為與公司的正面訊號或對抗負面訊號有關。
例如，公司可能故意壓低 IPO 價格，以傳達公司價值被低估的正面訊號，吸引更多投資者。
另一種理論是，公司定價不足是為了避免負面訊號，例如，如果公司定價過高，但上市後表現不佳，這會發出強烈的負面訊號。為了避免這種情況，公司寧願定價低一些。
然而，將定價不足直接歸因於「負面訊號」本身，是不符合主流理論的。
反而是，定價不足有時被視為一種「訊號」本身，但這個訊號通常是正面的（例如，公司有成長潛力，希望吸引更多投資者）。

(B) IPO underpricing is not limited to the U.S. financial markets.
這句話是正確的。
IPO 定價不足是一個全球性的現象，在許多國家的 IPO 市場都觀察到。雖然不同市場的定價不足程度可能不同，但現象本身普遍存在。

此題考驗複利計算 (compound interest calculation) 的應用。

已知：
本金 (Principal, P) = $100
年利率 (Annual interest rate, r) = 12% = 0.12
計息期數 (Number of years, t) = 3 年
計息頻率 (Compounding frequency per year, n) = 每季一次，所以 n = 4

我們需要計算 3 年後的總金額 (Future Value, FV)。

複利計算公式為：
$FV = P (1 + \frac{r}{n})^{nt}$

將已知數值代入公式：
$FV = 100 (1 + \frac{0.12}{4})^{4 \times 3}$
$FV = 100 (1 + 0.03)^{12}$
$FV = 100 (1.03)^{12}

此題考驗有效年報酬率 (Effective Annual Rate, EAR) 的計算。

有效年報酬率 (EAR) 是指考慮了複利效應後，一年實際獲得的報酬率。它與名目年利率 (Nominal Annual Rate) 的區別在於計息頻率。

計算 EAR 的公式為：
$EAR = (1 + \frac{r}{n})^n - 1$
其中：
$r$ 是名目年利率 (annual nominal interest rate)
$n$ 是每年計息的次數 (number of compounding periods per year)

根據上一題的資訊：
名目年利率 (r) = 12% = 0.12
每年計息次數 (n) = 4 (因為是每季計息一次)

此題考驗對「財報公布後異常報酬漂移」(Post-Earnings-Announcement Drift, PEAD) 現象的理解，以及其背後可能的行為金融學解釋。

PEAD 現象指的是，在公司公布財報後，股票的累積異常報酬 (cumulative abnormal returns, CAR) 會持續朝著財報「驚喜」(earnings surprise) 的方向移動，這種移動會持續數週甚至數月。
「財報驚喜」是指實際公布的每股盈餘 (EPS) 與市場預期 EPS 之間的差異。
如果實際 EPS 高於預期 (positive earnings surprise)，股票的異常報酬傾向於持續上漲。
如果實際 EPS 低於預期 (negative earnings surprise)，股票的異常報酬傾向於持續下跌。

這種現象與市場效率假說 (Efficient Market Hypothesis, EMH) 的強式或半強式效率有所矛盾，因為如果市場是完全有效的，資訊（財報）公布後，股價應該立即且完全地反映該資訊，不會出現持續的「漂移」。

PEAD 現象的常見解釋與投資者的行為有關：

1. 投資者反應遲緩/反應不足 (Under-reaction)：這是 PEAD 最主流的解釋。當財報公布時，投資者可能沒有立即完全理解或消化這些資訊，或者由於某些原因（如資訊處理能力限制、機構投資者的交易規則等）而導致反應遲緩。因此，股價的調整是一個緩慢的過程，而不是即時的。

2. 投資者過度反應 (Over-reaction)：雖然過度反應通常與股價的均值回歸 (mean reversion) 有關，但某些理論認為，在某些情況下，過度反應可能也會導致初始的價格衝擊，然後再緩慢調整。然而，PEAD 更直接的解釋是反應遲緩。

核心觀念

• 零息債券定價：零息債券的現值 $P$ 只與面額 $F$、到期年限 $n$ 與到期收益率 $y$ 相關，公式
  $P=\frac{F}{(1+y)^{n}}$
• 持有期間報酬率 (Holding‑Period Return, HPR)：投資於單一期間的報酬率為
  $\text{HPR}= \frac{P_{t_{1}}-P_{t_{0}}}{P_{t_{0}}}$
  若持有期間為 1 年，該 HPR 即為年度報酬率。
• 稅後報酬率：對於資本利得課徵稅率 $τ$，稅後報酬率為

$$\text{After‑tax}= \frac{(P_{t_{1}}-P_{t_{0}})-τ\,(P_{t_{1}}-P_{t_{0}})}{P_{t_{0}}} = (1-τ)\,\text{HPR}$$

本題稅率在普通收入與資本利得均為 25%，因此以 25% 計算。

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解題方法

1. 計算買入時價格 $P_0$（面額 $F=1{,}000$、到期收益率 $y_0=5.5\%$、剩餘年限 $n_0=5$）

$$P_{0}= \frac{1{,}000}{(1+0.055)^{5}} =\frac{1{,}000}{1.055^{5}} \approx \frac{1{,}000}{1.30696}= \$764.66$$

2. 計算一年後的賣出價格 $P_1$（此時剩餘年限 $n_1=4$，市場新到期收益率 $y_1=6.77\%$）

核心觀念

1. 自由現金流 (FCFF、FCFE)

   • FCFF（Free Cash Flow to the Firm）是指在扣除營運資本變動、資本支出後，尚未考慮稅後利息與債務變動的現金流。
   • FCFE（Free Cash Flow to Equity）則是在 FCFF 基礎上，扣除稅後利息支出，並加入（或扣除）淨借款（Net Borrowing）的變動。其公式
     $\text{FCFE}= \text{FCFF}-\text{Interest}\times (1-T)+\text{Net Borrowing}$
   • 稅後利息 = Interest × (1‑Tax Rate)。

2. 永續成長估值（Gordon 成長模型）

   • 若股東的自由現金流每期以固定成長率 $g$ 成長，且折現率（成本）為 $k_e$，則公司（股權）的市場價值為
     $V_{\text{equity}}=\frac{\text{FCFE}_{1}}{k_e-g}=\frac{\text{FCFE}_{0}\,(1+g)}{k_e-g}$
   • 前提：$k_e>g$，且現金流在無限期內以恆定 $g$ 成長。

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解題方法

1. 由 FCFF 轉換至 FCFE
   • 給定

$$\begin{aligned} \text{FCFF}&=177\ \text{million}\\ \text{Interest}&=6\ \text{million}\\ T&=31\%\\ \Delta \text{Net Debt}&=+17\ \text{million}\;( \text{net borrowing}) \end{aligned}$$

• 計算稅後利息

$\text{Interest}_{\text{after tax}} = 6 \times (1-0.31)=6 \times 0.69 = 4.14\ \text{million}$

• 轉為 FCFE

$\text{FCFE}=177 - 4.14 + 17 = 189.86\ \text{million}$

2. 套用永續成長模型
   • 成長率 $g=4\% =0.04$，成本 $k_e=11\% =0.11$。
   • 計算下一期 FCFE（$FCFE_1$）

$\text{FCFE}_1 = \text{FCFE}_0(1+g)=189.86\times1.04 = 197.44\ \text{million}$

• 估值公式

核心觀念

• 實現複合收益率（realized compound yield）：指投資人在持有期間所有現金流（含再投資之利息）累計至到期時的總價值與初始投資額之間的內部報酬率（IRR），滿足
  $P_0(1+r)^n = \sum_{t=1}^{n} C_t\prod_{k=t}^{n-1}(1+i_k) + F_n,$
  其中 $P_0$ 為購入價格，$C_t$ 為第 $t$ 年的票息，$i_k$ 為第 $k$ 年的再投資利率，$F_n$ 為到期時的本金＋最後一期票息，$n$ 為持有年數。
• 年金的再投資：每筆票息在收到後會依當期之「再投資率」放到下一期，直至到期。
• 內部報酬率（IRR）：求解 $r$ 使上式成立，通常以代數求解或數值求解（此題只要算出 $(1+r)^3$ 再開立方根即可）。

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解題方法

1. 算出每筆票息的到期累積值

   • 票息金額 $C = 0.075 \times 1{,}000 = 75$。
   • 第 1 年票息於 $t=1$ 收到，之後需以「第 1 年」的再投資率 $6.11\%$ 投資至 $t=2$，再以「第 2 年」的再投資率 $7.22\%$ 投資至 $t=3$：
     $FV_1 = 75(1+0.0611)(1+0.0722).$
   • 第 2 年票息於 $t=2$ 收到，只需以「第 2 年」的再投資率 $7.22\%$ 投資至 $t=3$：
     $FV_2 = 75(1+0.0722).$
   • 第 3 年（到期）票息與面額同時收回，無需再投資：
     $FV_3 = 75 + 1{,}000 = 1{,}075.$

2. 計算累積總值

$$\begin{aligned} FV_1 &= 75 \times 1.0611 \times 1.0722 = 85.3284,\\ FV_2 &= 75 \times 1.0722 = 80.4150,\\ FV_{\text{total}} &= FV_1 + FV_2 + FV_3 \\ &= 85.3284 + 80.4150 + 1{,}075 \\ &= 1{,}240.7434. \end{aligned}$$

核心觀念

• PVGO（Present Value of Growth Opportunities）：
  $PVGO = P_0-\frac{E_1}{r}$
  其中 $P_0$ 為股票的現值（或公司價值），$E_1$ 為下一期盈餘，$r$ 為股本成本。
• 恆定成長模型（Gordon Model）：
  $P_0=\frac{E_1}{r-g}$
  $g$ 為盈餘的永續成長率，計算方式為
  $g = b \times ROE$
  $b$ 為留存比率（盈餘再投資比例），$ROE$ 為留存盈餘的投資報酬率。

解題方法

1. 先求出永續成長率 $g$。
2. 代入 Gordon Model 求得公司價值 $P_0$。
3. 計算 $E_1/r$（即無成長時的價值）。
4. 用 $PVGO = P_0-\frac{E_1}{r}$ 得出成長機會的現值。

計算過程

1. 留存比率與投資報酬率

$b = 14\% = 0.14,\quad ROE = 9\% = 0.09$

$g = b \times ROE = 0.14 \times 0.09 = 0.0126\;(1.26\%)$

2. 下一期盈餘

$E_1 = \$29$

3. 依 Gordon Model 求 $P_0$

$r = 7\% = 0.07$

$$P_0 = \frac{E_1}{r-g} = \frac{29}{0.07-0.0126} = \frac{29}{0.0574} \approx \$505.23$$

4. 無成長時的價值