108 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《財務管理與財金數學》

本題考查多元函數的極值與鞍點問題，需要計算一階偏導數並令其為零求出駐點，再利用二階偏導數矩陣（Hessian matrix）進行判斷。

步驟一：計算一階偏導數並令其為零

首先，我們計算函數 $f(x,y)$ 對 $x$ 和 $y$ 的一階偏導數：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 3y^2 + 6y - 9$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 6xy + 6x$

令一階偏導數為零，我們得到一個方程組：

1. $3x^2 + 3y^2 + 6y - 9 = 0 \implies x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$
2. $6xy + 6x = 0 \implies 6x(y+1) = 0$

由方程 (2) 可知，要麼 $x=0$ 要麼 $y=-1$。

情況一：$x=0$
將 $x=0$ 代入方程 (1)：
$0^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$
$y^2 + 2y - 3 = 0$
$(y+3)(y-1) = 0$
所以，$y = -3$ 或 $y = 1$。
這給出兩個駐點：$(0, -3)$ 和 $(0, 1)$。

情況二：$y=-1$
將 $y=-1$ 代入方程 (1)：
$x^2 + (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 0$
$x^2 + 1 - 2 - 3 = 0$
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
所以，$x = 2$ 或 $x = -2$。
這給出另外兩個駐點：$(2, -1)$ 和 $(-2, -1)$。

因此，我們有四個駐點：$(0, -3)$、$(0, 1)$、$(2, -1)$、$(-2, -1)$。

步驟二：計算二階偏導數

接下來，我們計算二階偏導數：
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6x$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6y + 6$

步驟三：利用二階偏導數矩陣（Hessian matrix）判斷駐點性質

二階偏導數矩陣為：
$H(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x & 6y+6 \\ 6y+6 & 6x \end{pmatrix}$

我們計算行列式 $D(x,y) = \det(H(x,y)) = (6x)(6x) - (6y+6)^2 = 36x^2 - (6y+6)^2$。

現在我們逐一檢驗四個駐點：

1. 駐點 $(0, -3)$：
   $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6(0) = 0$
   $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6(0) = 0$

本題考查高斯積分（Gaussian integral）的計算，這是機率、統計和物理學中常見的積分。高斯積分本身無法用初等函數表示，通常使用極座標轉換來求解。

步驟一：定義積分
令 $I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$。

步驟二：考慮平方積分
考慮 $I^2 = \left( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \right) \left( \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy \right)$。
由於積分變數是啞元（dummy variable），我們可以將兩個積分寫成不同變數的形式。

步驟三：合併為二重積分
$I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} e^{-y^2} dx dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy$

這個二重積分的積分區域是第一象限的無窮大區域。

步驟四：轉換為極座標
我們將笛卡兒座標 $(x, y)$ 轉換為極座標 $(r, \theta)$：
$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
$x^2 + y^2 = r^2$
$dx dy = r dr d\theta$

積分區域在極座標下變為：
$r$ 的範圍是從 0 到 $\infty$。
$\theta$ 的範圍是從 0 到 $\frac{\pi}{2}$（因為我們是在第一象限）。

本題考查利用全微分進行函數近似估計。我們需要將問題轉化為一個函數的計算，然後應用全微分的線性近似公式。

步驟一：定義函數
我們要求估計的表達式是 $\sqrt{x^2 + y^2}$。令 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$。
我們希望估計的點是 $(5.013, 11.974)$。

步驟二：選擇基準點
選擇一個靠近 $(5.013, 11.974)$ 且計算方便的點作為基準點 $(x_0, y_0)$。
由於 $5.013 \approx 5$ 且 $11.974 \approx 12$，且 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，這是一個畢氏三元數，所以我們選擇基準點為 $(x_0, y_0) = (5, 12)$。
在基準點的函數值為 $f(5, 12) = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$。

步驟三：計算函數的偏導數
計算 $f(x, y) = (x^2 + y^2)^{1/2}$ 對 $x$ 和 $y$ 的偏導數：
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{-1/2} (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{-1/2} (2y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

步驟四：計算偏導數在基準點的值
在基準點 $(x_0, y_0) = (5, 12)$ 處計算偏導數的值：
$\frac{\partial f}{\partial x}(5, 12) = \frac{5}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{5}{13}$
$\frac{\partial f}{\partial y}(5, 12) = \frac{12}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{12}{13}$

步驟五：計算全微分
全微分的線性近似公式為：

本題考查資產複製（Replication）與無套利定價。我們將利用股票、無風險債券和現有的一個期權（或賣權）來組合，以複製出目標期權（或賣權）的未來現金流，從而確定其在當前的公允價值。

已知資訊：

• 股票當前價格 $S_0 = 100$ 元。
• 3 個月後景氣狀態與對應股價：
  • 好 (Up): $S_u = 125$ 元
  • 普通 (Middle): $S_m = 100$ 元
  • 壞 (Down): $S_d = 80$ 元
• 3 個月後到期，執行價 $K_1 = 110$ 元的歐式買權 (Call 1) 市價 $C_1 = 5$ 元。
• 3 個月後到期，面額 100 元的無風險零息債券市價 $B_0 = 99$ 元。
• 無風險利率（3 個月）：$r_f = \frac{100 - 99}{99} \approx 0.010101$ 或 $r_f = \frac{100}{99} - 1 \approx 1.0101 - 1 = 0.010101$。

問題 (a)：複製執行價 95 元的歐式買權 (Call 2)
目標是複製一個 3 個月後到期，執行價 $K_2 = 95$ 元的歐式買權 (Call 2)。
我們使用股票 (S)、無風險債券 (B) 和現有的歐式買權 (Call 1) 來複製。
令 $\Delta_S$ 為持有的股票數量，$\Delta_B$ 為持有的無風險債券（債券價值為 99 元，面值為 100 元，所以我們計算持有其未來現金流的比例）數量，$\Delta_{C1}$ 為持有的 Call 1 數量。
我們希望複製的 Call 2 在 3 個月後的現金流與組合的現金流在三種景氣狀態下都相同。

定義 Call 2 的未來現金流：

• 好：$\max(S_u - K_2, 0) = \max(125 - 95, 0) = 30$
• 普通：$\max(S_m - K_2, 0) = \max(100 - 95, 0) = 5$
• 壞：$\max(S_d - K_2, 0) = \max(80 - 95, 0) = 0$

定義組合的未來現金流：
組合的組成：$\Delta_S$ 股股票, $\Delta_{C1}$ 個 Call 1, $\Delta_B$ 單位無風險債券（購買債券的價值為 99 元，其未來面值為 100 元）。

• 好：$\Delta_S S_u + \Delta_{C1} \max(S_u - K_1, 0) + \Delta_B \times 100 = \Delta_S (125) + \Delta_{C1} \max(125 - 110, 0) + \Delta_B (100) = 125 \Delta_S + 15 \Delta_{C1} + 100 \Delta_B$
• 普通：$\Delta_S S_m + \Delta_{C1} \max(S_m - K_1, 0) + \Delta_B \times 100 = \Delta_S (100) + \Delta_{C1} \max(100 - 110, 0) + \Delta_B (100) = 100 \Delta_S + 0 \Delta_{C1} + 100 \Delta_B$
• 壞：$\Delta_S S_d + \Delta_{C1} \max(S_d - K_1, 0) + \Delta_B \times 100 = \Delta_S (80) + \Delta_{C1} \max(80 - 110, 0) + \Delta_B (100) = 80 \Delta_S + 0 \Delta_{C1} + 100 \Delta_B$

建立聯立方程組：
我們需要讓組合的未來現金流等於 Call 2 的未來現金流。

1. $125 \Delta_S + 15 \Delta_{C1} + 100 \Delta_B = 30$ (好狀態)
2. $100 \Delta_S + 0 \Delta_{C1} + 100 \Delta_B = 5$ (普通狀態)
3. $80 \Delta_S + 0 \Delta_{C1} + 100 \Delta_B = 0$ (壞狀態)

求解聯立方程組：
從方程 (3) 和 (2) 減去：
$(100 \Delta_S + 100 \Delta_B) - (80 \Delta_S + 100 \Delta_B) = 5 - 0$
$20 \Delta_S = 5 \implies \Delta_S = \frac{5}{20} = 0.25$

將 $\Delta_S = 0.25$ 代入方程 (3)：
$80 (0.25) + 100 \Delta_B = 0$
$20 + 100 \Delta_B = 0$
$100 \Delta_B = -20 \implies \Delta_B = -0.2$

將 $\Delta_S = 0.25$ 代入方程 (1)：
$125 (0.25) + 15 \Delta_{C1} + 100 (-0.2) = 30$
$31.25 + 15 \Delta_{C1} - 20 = 30$
$11.25 + 15 \Delta_{C1} = 30$
$15 \Delta_{C1} = 30 - 11.25 = 18.75$
$\Delta_{C1} = \frac{18.75}{15} = 1.25$

所以，複製組合需要持有 0.25 股股票，賣出 1.25 個 Call 1，並賣出 0.2 個無風險債券（代表未來支付 100 元，相當於借入 99 元）。

計算複製組合的當前價格：
組合的當前價格 = $\Delta_S S_0 + \Delta_{C1} C_1 + \Delta_B B_0$
組合的當前價格 = $(0.25)(100) + (1.25)(5) + (-0.2)(99)$
組合的當前價格 = $25 + 6.25 - 19.8$
組合的當前價格 = $31.25 - 19.8 = 11.45$

根據無套利原理，Call 2 的價值應等於複製組合的當前價格。

另一種方法：使用風險中性機率（如果知道無風險利率）
先計算無風險利率：$r_f = \frac{100}{99} - 1 \approx 0.010101$。
此處有三種狀態，標準的二項式模型（或三項式模型）可以計算風險中性機率。
假設我們知道風險中性機率 $p_u, p_m, p_d$ 使得 $p_u + p_m + p_d = 1$。
則股票的預期報酬率（在風險中性世界）應為無風險利率：
$p_u S_u + p_m S_m + p_d S_d = S_0 \times (1+r_f)$
$125 p_u + 100 p_m + 80 p_d = 100 \times \frac{100}{99} = \frac{10000}{99} \approx 101.01$

這樣會有三個未知數和兩個方程，無法唯一確定 $p_u, p_m, p_d$。
因此，複製方法（或稱為均衡方法）是此處最直接且唯一可行的方法。

總結 (a)：
複製組合的組成：買入 0.25 股股票，賣出 1.25 個執行價 110 元的買權，賣出 0.2 個 3 個月期無風險債券。
組合的當前價值為 $0.25 \times 100 + 1.25 \times 5 + (-0.2) \times 99 = 25 + 6.25 - 19.8 = 11.45$ 元。

【答案 (a)】
此買權的價值為 11.45 元。

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問題 (b)：複製執行價 110 元的歐式賣權 (Put 3)
目標是複製一個 3 個月後到期，執行價 $K_3 = 110$ 元的歐式賣權 (Put 3)。
我們使用股票 (S)、無風險債券 (B) 和現有的歐式買權 (Call 1) 來複製。
令 $\Delta'_S$ 為持有的股票數量，$\Delta'_{C1}$ 為持有的 Call 1 數量，$\Delta'_B$ 為持有的無風險債券數量。

定義 Put 3 的未來現金流：

• 好：$\max(K_3 - S_u, 0) = \max(110 - 125, 0) = 0$
• 普通：$\max(K_3 - S_m, 0) = \max(110 - 100, 0) = 10$
• 壞：$\max(K_3 - S_d, 0) = \max(110 - 80, 0) = 30$

定義組合的未來現金流：
組合的組成：$\Delta'_S$ 股股票, $\Delta'_{C1}$ 個 Call 1, $\Delta'_B$ 單位無風險債券。

本題考查 Cholesky 分解在多元統計中的應用，目的是將具有相關性的多元隨機變數轉換為獨立的隨機變數。Cholesky 分解的原理是將一個正定對稱矩陣分解為一個下三角矩陣 L 及其轉置 $L^T$ 的乘積，即 $\Sigma = LL^T$。

目標：
我們要找到一個矩陣 L，使得 $\Sigma = LL^T$，其中 L 是下三角矩陣。
$L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}$
然後，我們將相關的隨機向量 $X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$ 表示為 $X = \mu + LZ$，其中 $\mu$ 是期望向量（由於是標準常態分配，期望值為 0，所以 $\mu = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$），而 $Z = \begin{pmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \end{pmatrix}$ 是一個由獨立標準常態變數組成的向量。
因此，$X = LZ$。

Cholesky 分解的計算步驟：
我們有 $\Sigma = LL^T$。
$\begin{pmatrix} 1 & 0.8 & 0.6 \\ 0.8 & 1 & 0.72 \\ 0.6 & 0.72 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} & l_{31} \\ 0 & l_{22} & l_{32} \\ 0 & 0 & l_{33} \end{pmatrix}$

計算矩陣 L 的元素：

1. 計算 $l_{11}$：
   $\Sigma_{11} = l_{11}^2$
   $1 = l_{11}^2 \implies l_{11} = \sqrt{1} = 1$ (我們取正值)

2. 計算 $l_{21}$：
   $\Sigma_{12} = l_{11} l_{21}$
   $0.8 = (1) l_{21} \implies l_{21} = 0.8$

3. 計算 $l_{31}$：
   $\Sigma_{13} = l_{11} l_{31}$
   $0.6 = (1) l_{31} \implies l_{31} = 0.6$

4. 計算 $l_{22}$：
   $\Sigma_{22} = l_{21}^2 + l_{22}^2$
   $1 = (0.8)^2 + l_{22}^2$
   $1 = 0.64 + l_{22}^2$
   $l_{22}^2 = 1 - 0.64 = 0.36$
   $l_{22} = \sqrt{0.36} = 0.6$ (取正值)

5. 計算 $l_{32}$：
   $\Sigma_{23} = l_{21} l_{31} + l_{22} l_{32}$
   $0.72 = (0.8)(0.6) + (0.6) l_{32}$
   $0.72 = 0.48 + 0.6 l_{32}$
   $0.6 l_{32} = 0.72 - 0.48 = 0.24$
   $l_{32} = \frac{0.24}{0.6} = 0.4$

6. 計算 $l_{33}$：
   $\Sigma_{33} = l_{31}^2 + l_{32}^2 + l_{33}^2$
   $1 = (0.6)^2 + (0.4)^2 + l_{33}^2$
   $1 = 0.36 + 0.16 + l_{33}^2$
   $1 = 0.52 + l_{33}^2$
   $l_{33}^2 = 1 - 0.52 = 0.48$
   $l_{33} = \sqrt{0.48} = \sqrt{\frac{48}{100}} = \frac{\sqrt{16 \times 3}}{10} = \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{2\sqrt{3}}{5} \approx 0.6928$

核心觀念

本題將獎學金視為一筆「無息分期貸款」：基金會先支付學生四年獎學金，之後再收回本金 $80,000。題目所問的第一筆獎學金現值，應為基金會「支付金額現值」扣除「未來收回本金現值」後的淨現值。

年利率固定為 $6\%$，現金流時點如下：

• 第 $1$ 至第 $4$ 年：每年支付 $20,000。
• 第 $5$ 至第 $14$ 年：每年收回 $8,000，共 $10$ 期。

其中每期還款金額為：

$$\frac{80,000}{10}=8,000$$

解題方法

先計算基金會支付四期獎學金的現值。這是一個從第 $1$ 年開始支付、共四期的普通年金：

$$PV_{\text{scholarship}} =20,000\times \frac{1-(1.06)^{-4}}{0.06}$$ $$=20,000\times 3.4651 =69,301.0$$

接著計算學生未來償還 $80,000 本金的現值。學生於第 $5$ 年至第 $14$ 年每年還款 $8,000，因此先在第 $4$ 年計算十期普通年金的價值：

核心觀念

本題考察三個重點：

1. 分期現金流的現值：將獎學金支出與學生未來的無息分期償還款，折算至同一時間點。
2. 無息貸款的本質：學生收到的 $80,000 並非完全成本，因為基金會日後會收到分期償還款。
3. 永續年金現值：基金會每年提供一位新學生獎學金，因此每年都會產生一筆相同的「單一學生淨現值」。

利率固定為 $6\%$，令折現因子為：

$$v=\frac{1}{1.06}$$

每位學生每年收到 $20,000，共四年；總本金為 $80,000，因此每年償還：

$$\frac{80,000}{10}=8,000$$

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解題方法

一、計算單一學生獎學金支出的現值

以「獎學金開始提供的日期」作為時間 $0$。

學生在時間 $0,1,2,3$ 收到四期獎學金，每期 $20,000，因此其現值為四期期初年金：

$$PV_{\text{獎學金}} =20,000\left(1+v+v^2+v^3\right)$$

代入 $v=\frac{1}{1.06}$：

$$PV_{\text{獎學金}} =20,000\left(1+\frac{1}{1.06} +\frac{1}{1.06^2} +\frac{1}{1.06^3}\right)$$ $$PV_{\text{獎學金}} \approx 73,460.24$$

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二、計算學生償還款的現值

獎學金期間為四年，結束後再經過一年才開始償還，因此以獎學金開始日為時間 $0$，償還款發生於時間 $5$ 至時間 $14$，共十期。

每期償還 $8,000，故償還款現值為：

$$PV_{\text{償還}} =8,000\left(v^5+v^6+\cdots+v^{14}\right)$$

可使用延後年金公式表示：

$$PV_{\text{償還}} =8,000v^4\left(v+v^2+\cdots+v^{10}\right)$$

其中：

$$v+v^2+\cdots+v^{10} =\frac{1-v^{10}}{0.06}$$

因此：

核心觀念

本題考查固定收益證券管理中的資產負債免疫策略（Immunization Strategy）、永續年金（Perpetuity）的定價與存續期間，以及零息債券（Zero-Coupon Bond）的特性。

1. 永續年金之現值與馬考雷存續期間（Macaulay Duration）：
   • 每年期末支付固定金額 $C$、折現率為 $y$ 之永續年金現值為： $$PV = \frac{C}{y}$$
   • 其馬考雷存續期間公式為： $$D_L = \frac{1+y}{y}$$
2. 零息債券之存續期間：
   • 到期期限為 $T$ 年的零息債券，由於在到期日前無任何現金流，其馬考雷存續期間等於其到期年限： $$D = T$$
3. 雷丁頓免疫條件（Redington Immunization）：
   • 現值匹配（Fully Funded）：資產總市值等於負債總現值，$V_A = PV_L$。
   • 存續期間匹配（Duration Matching）：資產組合之存續期間等於負債之存續期間，$D_A = D_L$。
   • 凸性條件（Convexity Condition）：資產組合的凸性大於負債的凸性，$C_A > C_L$（以 5 年期與 20 年期零息債券組成槓鈴式組合來免疫 11 年期的負債，凸性條件自然滿足）。
4. 零息債券市值與面額關係：
   • 設到期年限為 $T$、殖利率為 $y$、面額為 $FV$、市值為 $MV$，則： $$MV = \frac{FV}{(1+y)^T} \iff FV = MV \times (1+y)^T$$

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解題方法

(a) 計算兩檔零息債券之所需市值（Market Value）

步驟 1：計算負債（養老金給付）之現值與存續期間

• 養老金每年給付 $C =$$1,000,000，市場利率 $y = 10\%$： $$PV_L = \frac{\$1,000,000}{0.10} = \$10,000,000$$
• 負債之馬考雷存續期間： $$D_L = \frac{1 + 0.10}{0.10} = 11 \text{（年）}$$

步驟 2：建立資產組合之存續期間匹配方程式

• 5 年期零息債券存續期間 $D_1 = 5$ 年。
• 20 年期零息債券存續期間 $D_2 = 20$ 年。
• 設投資於 5 年期零息債券的權重為 $w_1$，投資於 20 年期零息債券的權重為 $w_2 = 1 - w_1$。
• 令資產組合存續期間等於負債存續期間： $$D_A = w_1 D_1 + (1 - w_1) D_2 = D_L$$ $$w_1 \times 5 + (1 - w_1) \times 20 = 11$$

核心觀念

1. 持有成本模型與無套利定價（Cost of Carry Model & No-Arbitrage Pricing）：
   在完全資本市場（無交易成本、無放空限制、市場無摩擦）且標的資產無任何收益／持有成本（No payouts / Zero yield）的假設下，$T$ 期到期的遠期價格 $F(t, T)$ 與現貨價格 $S(t)$ 滿足現貨—期貨平價關係。
2. 期貨與遠期價格的等價性（Futures-Forward Equivalence）：
   在利率為常數（或確定性無風險利率）的環境下，期貨的每日逐日結算（Marking to Market）不會產生額外的利率風險，因此期貨價格與同天期的遠期價格完全相等。
3. 固定利率下的等比數列性質：
   若每期無風險利率維持固定，則不同天期期貨價格與現貨價格之間，隨期間呈等比（複利增長）關係。

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解題方法

設時間 $t$ 之標的資產現貨價格為 $S(t)$，單月無風險利率為 $r_m$。

根據持有成本模型，無收益資產在 3 個月與 6 個月的期貨價格公式分別為：

$$F(t, t + 3) = S(t) \cdot (1 + r_m)^3$$ $$F(t, t + 6) = S(t) \cdot (1 + r_m)^6$$

(註：若採用連續複利年利率 $r_c$，則式子寫為 $S(t)e^{r_c \times 3/12}$ 與 $S(t)e^{r_c \times 6/12}$，推導結論與數值完全一致)

步驟一：消去現貨價格，求出 3 個月的複利累積因子

將兩期貨合約價格相除：

$$\frac{F(t, t + 6)}{F(t, t + 3)} = \frac{S(t) \cdot (1 + r_m)^6}{S(t) \cdot (1 + r_m)^3} = (1 + r_m)^3$$

代入題目已知數值：

$$(1 + r_m)^3 = \frac{122}{120} = \frac{61}{60}$$

步驟二：反推現貨價格 $S(t)$

核心觀念

本題為經典的二項樹選擇權評價模型（Binomial Option Pricing Model, BOPM），主要測驗以下四大核心觀念：

1. 無套利定價與風險中立評價法（Risk-Neutral Valuation）：利用無風險利率與股價上下漲跌幅度計算風險中立上漲機率 $p$。
2. 多期二項樹推導（Multi-period Binomial Tree）：股價隨時間擴展之節點價格，以及利用倒推法（Backward Induction）計算選擇權於各節點之理論價值。
3. 無股利美式買權之提早履約性質（Early Exercise of American Calls）：在標的資產不發放股利（$q = 0$）的情況下，美式買權（American Call）提早履約將喪失時間價值與保險價值，故提早履約非最適（never optimal to exercise early），其價值必然等於同條件之歐式買權。
4. 賣權—買權平價公式（Put-Call Parity）：歐式選擇權在無套利條件下滿足 $S_0 + P_0 = C_0 + \text{PV}(X)$。

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解題步驟與詳細計算

步驟一：整理題目參數與計算風險中立機率

1. 基本參數設定：

   • 標的資產現價：$S_0 = $$80
   • 到期期間：$T = 1\text{ 年}$
   • 步數（Periods）：每 6 個月為一期，$\Delta t = 0.5\text{ 年}$，故到期時共 $N = \frac{1}{0.5} = 2$ 期
   • 上漲乘數：$u = 1.3$
   • 下跌乘數：$d = 0.8$
   • 履約價：$X = $$95
   • 半年期無風險複利率乘數（半年計息一次，年利率 6%）：
     $R = 1 + \frac{r}{2} = 1 + \frac{0.06}{2} = 1.03$

2. 計算風險中立上漲機率 $p$ 與下跌機率 $1-p$：
   $p = \frac{R - d}{u - d} = \frac{1.03 - 0.80}{1.30 - 0.80} = \frac{0.23}{0.50} = 0.46$
   $1 - p = 1 - 0.46 = 0.54$

3. 構建兩期股價樹（Stock Price Tree）：

   • $t = 0$：
     • $S_0 = 80$
   • $t = 1$（6 個月後）：
     • $S_u = 80 \times 1.3 = 104$
     • $S_d = 80 \times 0.8 = 64$
   • $t = 2$（1 年後）：
     • $S_{uu} = 80 \times (1.3)^2 = 135.2$
     • $S_{ud} = S_{du} = 80 \times 1.3 \times 0.8 = 83.2$
     • $S_{dd} = 80 \times (0.8)^2 = 51.2$

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(a) 計算歐式買權價格（European Call Option）

1. 第 2 期（到期日 $t=2$）買權到期報酬（Payoff）：
   $C_{uu} = \max(S_{uu} - X, 0) = \max(135.2 - 95, 0) = 40.2$
   $C_{ud} = \max(S_{ud} - X, 0) = \max(83.2 - 95, 0) = 0$
   $C_{dd} = \max(S_{dd} - X, 0) = \max(51.2 - 95, 0) = 0$

2. 倒推至第 1 期（$t=1$）：

   • 上漲節點買權價值：
     $C_u = \frac{p C_{uu} + (1-p) C_{ud}}{R} = \frac{0.46 \times 40.2 + 0.54 \times 0}{1.03} = \frac{18.492}{1.03} \approx 17.9534$
   • 下跌節點買權價值：
     $C_d = \frac{p C_{ud} + (1-p) C_{dd}}{R} = \frac{0 + 0}{1.03} = 0$

3. 倒推至第 0 期（$t=0$）求現值 $C_0$：
   $C_0 = \frac{p C_u + (1-p) C_d}{R} = \frac{0.46 \times 17.9534 + 0}{1.03} = \frac{8.258564}{1.03} \approx 8.0180$

   亦可直接由兩期風險中立公式計算：

本題核心概念
本題檢驗的是 Black‑Scholes 期權定價模型 的運用：在已知標的股價、波動率、無風險利率與期限的情況下，計算歐式認購與認沽期權的理論價格。核心在於把未來不確定的股價分布（對數常態）轉換為風險中性概率，然後以期望值折現。

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(a) 認購期權 (call) 價格

1. 列出已知參數

$$S_0 = 80\;,\quad K = 85\;,\quad \sigma = 0.50\;,\quad r = 0.06\;,\quad T = 1\ \text{year}$$

2. 計算 $d_1$ 與 $d_2$

$d_1 = \frac{\ln\frac{S_0}{K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$

$\ln\frac{80}{85}= \ln(0.941176)\approx -0.0606$

$r+\frac{\sigma^2}{2}=0.06+ \frac{0.5^2}{2}=0.06+0.125=0.185$

$d_1 = \frac{-0.0606+0.185}{0.5}= \frac{0.1244}{0.5}\approx 0.249$

$d_2 = d_1-\sigma\sqrt{T}=0.249-0.5\approx -0.251$

3. 查標準常態累積分布函數 $N(\cdot)$

$N(d_1)\approx N(0.249)\approx 0.598$

$N(d_2)\approx N(-0.251)\approx 0.401$

4. 套入 Black‑Scholes 認購公式

$C = S_0\,N(d_1)-K\,e^{-rT}\,N(d_2)$

$e^{-rT}=e^{-0.06}\approx 0.941764$

核心觀念
本題要求利用資本資產定價模型 (CAPM) 計算個別股票的預期報酬率。CAPM 中

$E[r_i]=r_f+\beta_i\bigl(r_M-r_f\bigr)$

其中 $\beta_i=\dfrac{{\rm Cov}(r_i,r_M)}{{\rm Var}(r_M)}$，而

${\rm Cov}(r_i,r_M)=\rho_{i,M}\,\sigma_i\,\sigma_M .$

因此只要從已知的相關係數 $\rho_{i,M}$、個別與市場的標準差 $\sigma_i,\sigma_M$，即可算出 $\beta_i$，再代入 CAPM 得到預期報酬。

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(a) IBM 與 GM 的預期報酬率

1. 計算 $\beta$

$$\beta_i=\frac{\rho_{i,M}\,\sigma_i\,\sigma_M}{\sigma_M^{2}} =\rho_{i,M}\frac{\sigma_i}{\sigma_M}.$$

• IBM

核心觀念
本題測試兩大概念：

1. 投資組合的風險（變異數）——根據各資產的權重、個別波動度以及資產間的相關係數，使用組合變異數公式計算。
2. CAPM 中的 β（beta）——透過資產與市場投資組合之相關係數與波動度，求出每支股票的 β，最後依權重加權得到投資組合的 β。

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(b) 變異數與 β 的計算

1. 投資組合權重

總投資金額

$V_{\text{total}} = 200{,}000 + 200{,}000 + 100{,}000 = 500{,}000$

$$w_{\text{IBM}} = \frac{200{,}000}{500{,}000}=0.4,\qquad w_{\text{GM}} = \frac{200{,}000}{500{,}000}=0.4,\qquad w_{\text{F}} = \frac{100{,}000}{500{,}000}=0.2$$

2. 投資組合變異數

只有風險資產（IBM、GM）會產生變異數，無風險資產的變異數為 0。

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(P) &= w_{\text{IBM}}^{2}\sigma_{\text{IBM}}^{2} + w_{\text{GM}}^{2}\sigma_{\text{GM}}^{2} + 2w_{\text{IBM}}w_{\text{GM}}\sigma_{\text{IBM}}\sigma_{\text{GM}}\rho_{\text{IBM,GM}} \end{aligned}$$

代入已知數值

$$\begin{aligned} \sigma_{\text{IBM}}^{2} &= (0.0900)^{2}=0.0081\\ \sigma_{\text{GM}}^{2} &= (0.0625)^{2}=0.00390625\\ 2w_{\text{IBM}}w_{\text{GM}}\sigma_{\text{IBM}}\sigma_{\text{GM}}\rho_{\text{IBM,GM}} &=2(0.4)(0.4)(0.0900)(0.0625)(0.40)\\ &=0.00072 \end{aligned}$$

核心觀念
本題測試你對 CAPM 與有效前緣 (Efficient Frontier) 的運用。當市場存在無風險資產時，所有有效的風險資產組合都會落在 資本市場線 (CML) 上：在給定的標準差下，CML 提供最高的期望報酬率。因此，只要先算出原投資組合的標準差，再找出在 CML 上與其標準差相同的投資組合，即可得到最高可達的期望報酬。

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(c) 求與原組合相同標準差、期望報酬率最高的有效組合

1. 先算出原投資組合的標準差

原投資組合的權重（以總資產 $500,000 為基礎）

$$w_{IBM}= \frac{200,000}{500,000}=0.4,\qquad w_{GM}=0.4,\qquad w_{F}=0.2$$

CAPM 下，資產的協方差僅來自於它們對市場的曝險（Beta）：

$\beta_i = \rho_{i,M}\,\frac{\sigma_i}{\sigma_M}$

$$\begin{aligned} \beta_{IBM} &= 0.60\frac{0.0900}{0.040}=1.35\\[4pt] \beta_{GM} &= 0.80\frac{0.0625}{0.040}=1.25 \end{aligned}$$

市場變異 $\sigma_M^2 = 0.04^2 = 0.0016

核心觀念
本題測試的是資本資產定價模型 (CAPM) 中 beta 的線性組合性：投資組合的 beta 等於各資產 beta 乘上其在投資組合中的權重之加總。若把資金分配在無風險資產（beta = 0）與市場組合（beta = 1），投資組合的 beta 就是 市場組合的權重。

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解題過程

1. 了解各資產的 beta

   • 國庫券（Bills）：屬於無風險資產，β_{Bills}=0。
   • 市場組合（Market Portfolio）：CAPM 中的基準投資組合，β_{Market}=1。

2. 寫出投資組合的 beta 公式
   若投資組合的資金比例為 $w_{B}$ 投入國庫券，$w_{M}$ 投入市場組合，且 $w_{B}+w_{M}=1$，則

核心概念
本題在測試你是否了解 P/E 比率與永續成長模型 (Gordon Model) 之間的關係。題目假設同產業內的公司，營運風險、財務槓桿 都相同，亦即它們的 必要報酬率 $r$ 與 資產報酬率（或 ROE） 相同。此時，$P/E$ 的變動只能來源於 資產（或盈餘）成長率 $g$，其他因素皆被控制住。

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解題步驟

1. 由股利折現模型導出 $P/E$ 公式

   永續成長股利折現模型（Gordon Model）給出股價
   $P = \frac{D_1}{r-g}$
   其中 $D_1 = EPS_1 \times (1-b)$，$b$ 為盈餘留存比率，$EPS_1 = EPS_0(1+g)$。
   因此

$P = \frac{EPS_0(1+g)(1-b)}{r-g}$

2. 計算 $P/E$

$\frac{P}{E} = \frac{P}{EPS_0}= \frac{(1+g)(1-b)}{r-g}$