115 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《財務管理與財金數學》

本題為線性代數在財務金融數學中的應用，主要考驗對矩陣性質、特徵值與特徵向量、線性映射等基本概念的理解。

核心觀念：

1. 可逆矩陣性質：一個方陣可逆的條件與其行列式、行向量/列向量的線性獨立性、以及是否能張成整個向量空間的關係。
2. 譜定理 (Spectral Theorem)：描述實對稱矩陣的特徵值與特徵向量性質。
3. 矩陣對角化：判斷一個矩陣是否能對角化的充要條件，以及特徵值代數重數與幾何重數的關係。
4. 線性映射的同構 (Isomorphism)：同構映射的定義及其與向量空間維度的關係。
5. 矩陣秩 (Rank)：兩個矩陣乘積的秩的性質。

詳解：
(A) 正確。對於一個 $n \times n$ 的方陣 $A$，線性系統 $Ax = b$ 有唯一解的充要條件是 $A$ 為可逆矩陣，即 $\det(A) \neq 0$。若 $A$ 可逆，則其列向量（或行向量）是線性獨立的，並且能張成整個 $R^n$ 空間。

(B) 正確。譜定理 (Spectral Theorem) 指出，對於任何實對稱矩陣 $M$，存在一個正交矩陣 $P$ 使得 $M = P \Lambda P^T$，其中 $\Lambda$ 是一個對角矩陣，其對角線上的元素即為 $M$ 的特徵值。此定理保證了實對稱矩陣必可被正交矩陣對角化，且其所有特徵值均為實數。

核心觀念

• 幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion, GBM）：

$\frac{dS_t}{S_t}= \mu \,dt+\sigma \,dB_t$

其解析解為

$S_t = S_0\exp\Bigl[\bigl(\mu-\tfrac12\sigma^{2}\bigr)t+\sigma B_t\Bigr]$

因此 $\ln S_t$ 為正態分布，$S_t$ 為對數常態（log‑normal）分布。

• 單期總報酬

$R_{t,1}= \frac{S_{t+1}}{S_t}$

以 GBM 的時間間隔 $\Delta t =1$ 取得

$R_{t,1}= \exp\Bigl[\bigl(\mu-\tfrac12\sigma^{2}\bigr)+\sigma\bigl(B_{t+1}-B_t\bigr)\Bigr]$

其中 $B_{t+1}-B_t\sim N(0,1)$。

• 對數常態變數的矩：若 $X=\exp(Y)$，且 $Y\sim N(m,v)$，則

$$\mathbb{E}[X]=e^{m+v/2},\qquad \operatorname{Var}(X)=\bigl(e^{v}-1\bigr)e^{2m+v}$$

解題方法

1. 求出 $R_{t,1}$ 的對數形式，確認其符合對數常態分布的參數。
2. 直接套用對數常態的期望與變異公式，得到 $E[R_{t,1}]$ 與 $\operatorname{Var}(R_{t,1})$。
3. 逐一比對選項的敘述，判斷其正確與否。

逐項分析

選項	內容	推導結果	正確性
(A)	$E[R_{t,1}] = e^{\mu}$	由 $R_{t,1}=e^{(\mu-\frac12\sigma^2)+\sigma Z}$（$Z\sim N(0,1)$）<br>

核心觀念

• 線性目標與二次風險限制：本題屬於在橢圓形二次約束下最大化線性目標的典型型態。
• 拉格朗日乘子法 (KKT 條件)：在凸可行集合中，若目標為線性（或凹）且約束為凸，KKT 條件是必要且充分的。
• 邊界解：因目標函數 $f(x)=x_1+x_2$ 在第一象限遞增，最適必落在風險約束的邊界上（即等式成立）。

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解題方法

1. 建立拉格朗日函數

$\mathcal L(x_1,x_2,\lambda)=x_1+x_2-\lambda\bigl(2x_1^{2}+x_2^{2}-12\bigr),\qquad \lambda\ge0$

2. 一階條件 (KKT)

$$\begin{aligned} \frac{\partial\mathcal L}{\partial x_1}=0 &\;\Rightarrow\; 1-4\lambda x_1=0 \;\Rightarrow\; x_1=\frac{1}{4\lambda},\\[4pt] \frac{\partial\mathcal L}{\partial x_2}=0 &\;\Rightarrow\; 1-2\lambda x_2=0 \;\Rightarrow\; x_2=\frac{1}{2\lambda}. \end{aligned}$$

3. 代入二次風險限制

$$2\Bigl(\frac{1}{4\lambda}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{1}{2\lambda}\Bigr)^{2}=12 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{8\lambda^{2}}+\frac{1}{4\lambda^{2}}=\frac{3}{8\lambda^{2}}=12$$ $$\Longrightarrow\;\lambda^{2}= \frac{1}{32}\quad\Rightarrow\quad \lambda^{*}= \frac{1}{4\sqrt 2}>0.$$

4. 求得最適曝險

$$x_1^{*}= \frac{1}{4\lambda^{*}}=\sqrt 2,\qquad x_2^{*}= \frac{1}{2\lambda^{*}}=2\sqrt 2.$$

檢驗：

$2(x_1^{*})^{2}+(x_2^{*})^{2}=2\cdot2+8=12,$

本題考驗對分部積分法的熟練程度，需要重複應用分部積分才能求解。

核心觀念：

• 分部積分法：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。選擇適當的 $u$ 和 $dv$ 是關鍵。

詳解：
我們要計算 $\int x^3 e^x dx$。
我們可以使用分部積分法。選擇 $u = x^3$ 和 $dv = e^x dx$。
則 $du = 3x^2 dx$ 和 $v = \int e^x dx = e^x$。

第一次分部積分：
$\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - \int e^x (3x^2 dx) = x^3 e^x - 3 \int x^2 e^x dx$

現在需要計算 $\int x^2 e^x dx$。再次使用分部積分法，選擇 $u = x^2$ 和 $dv = e^x dx$。
則 $du = 2x dx$ 和 $v = e^x$。

第二次分部積分：
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int e^x (2x dx) = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$

核心觀念

本題考查「拓撲基底（basis）」與「由基底生成拓撲」的定義。

設 $X$ 為一集合，集合族 $\mathcal{B}$ 是 $X$ 上拓撲的基底，需滿足：

1. 覆蓋條件：對每個 $x\in X$，存在 $B\in\mathcal{B}$ 使得 $x\in B$。等價於
   $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X.$

2. 交集條件：若 $x\in B_1\cap B_2$，其中 $B_1,B_2\in\mathcal{B}$，則存在 $B_3\in\mathcal{B}$，使得
   $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2.$

由基底 $\mathcal{B}$ 生成的拓撲，正是 $\mathcal{B}$ 中集合的所有聯集，並且包含空集合：

$$\tau_{\mathcal{B}} = \left\{ \bigcup\mathcal{A}:\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B} \right\}.$$

因此，拓撲中的基本開集合是基底元素，而一般開集合則是基底元素的聯集。

解題方法

令

$$B_1=\{\text{grape}\},$$ $$B_2=\{\text{grape, pineapple}\},$$ $$B_3=\{\text{apple, grape}\}.$$

並令

$$C=\{B_1,B_2,B_3\}.$$

（1）驗證 $C$ 是拓撲基底

覆蓋條件

計算三個基底集合的聯集：

$$B_1\cup B_2\cup B_3 = \{\text{grape}\} \cup \{\text{grape, pineapple}\} \cup \{\text{apple, grape}\}.$$

其中：

• $\text{apple}\in B_3$；
• $\text{grape}\in B_1$、$B_2$、$B_3$；
• $\text{pineapple}\in B_2$。

所以

$$B_1\cup B_2\cup B_3=X.$$

覆蓋條件成立。

交集條件

逐一計算不同基底集合的交集：

$$B_1\cap B_2 = \{\text{grape}\},$$ $$B_1\cap B_3 = \{\text{grape}\},$$ $$B_2\cap B_3 = \{\text{grape}\}.$$

這些交集都是

本題考驗求解線性常微分方程組的方法，包括矩陣指數函數法或特徵值法。

核心觀念：

1. 線性常微分方程組：形如 $\frac{d\mathbf{y}}{dt} = A\mathbf{y}$ 的方程組，其中 $\mathbf{y}(t)$ 是向量函數， $A$ 是常數矩陣。
2. 特徵值與特徵向量：求解 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$，以找到特徵值 $\lambda$ 和對應的特徵向量 $\mathbf{v}$。
3. 齊次方程組的解：如果 $A$ 有 $n$ 個不同的特徵值 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 和對應的特徵向量 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n$，則通解為 $\mathbf{y}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + \dots + c_n e^{\lambda_n t}\mathbf{v}_n$。
4. 利用初始條件求解常數：將給定的初始條件代入通解，求解係數 $c_i$。

詳解：
給定的微分方程組可以寫成矩陣形式：

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix}$$

令 $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。
我們首先需要找到矩陣 $A$ 的特徵值和特徵向量。
特徵方程為 $\det(A - \lambda I) = 0$。

$$\det \begin{pmatrix} 5-\lambda & -2 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0$$ $$(5-\lambda)(2-\lambda) - (-2)(1) = 0$$ $$10 - 5\lambda - 2\lambda + \lambda^2 + 2 = 0$$ $$\lambda^2 - 7\lambda + 12 = 0$$

因式分解：

$$(\lambda - 3)(\lambda - 4) = 0$$

所以，特徵值為 $\lambda_1 = 3$ 和 $\lambda_2 = 4$。

接下來，我們尋找對應的特徵向量。

對於 $\lambda_1 = 3$：
$(A - 3I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$

$$\begin{pmatrix} 5-3 & -2 \\ 1 & 2-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

從第二行得到 $v_{11} - v_{12} = 0 \implies v_{11} = v_{12}$。
我們可以選擇 $v_{11} = 1$，則 $v_{12} = 1$。

核心觀念

本題考查兩個不同的概念：

1. 複製與線性限制：僅使用股票 $X、Y$ 的投資組合，其三種狀態給付必須是兩支股票給付向量的線性組合。
2. 無套利與無風險報酬率：無風險投資組合的期末給付在各狀態皆相同；套利則是期初淨成本為零，期末各狀態給付皆非負，且至少一個狀態為正的交易。

本題兩支股票可以組成確定給付的投資組合，但報價同時存在套利，因此必須區分「確定給付組合的報酬率」與「符合無套利假設的無風險利率」。

解題方法

（1）可複製給付的線性限制

設持有 $a$ 股 $X$、$b$ 股 $Y$，其中負的持股數代表放空。若能複製 $C$，必須滿足

$$\begin{aligned} C_1&=30a+12b,\\ C_2&=20a+22b,\\ C_3&=28a+14b. \end{aligned}$$

觀察兩支股票在三種狀態間皆有相同的線性關係：

$$\begin{aligned} 4(30)+20&=5(28),\\ 4(12)+22&=5(14). \end{aligned}$$

因此，任何由兩支股票組成的投資組合都滿足

$$\begin{aligned} 4C_1+C_2 &=4(30a+12b)+(20a+22b)\\ &=140a+70b\\ &=5(28a+14b)\\ &=5C_3. \end{aligned}$$

故所求限制為

$$\boxed{4C_1+C_2-5C_3=0}.$$

此條件也是充分條件。 因為前兩個狀態的係數矩陣行列式為

$$\begin{vmatrix} 30&12\\ 20&22 \end{vmatrix} =30(22)-12(20)=420\ne0,$$

任意指定 $C_1、C_2$，皆能求出唯一持股數

$$a=\frac{22C_1-12C_2}{420}, \qquad b=\frac{30C_2-20C_1}{420}.$$

該組合在第三種狀態的給付必為 $(4C_1+C_2)/5$。因此，只要 $C$ 滿足上述限制，就能完整複製。

（2）先檢驗市場是否符合無套利

各買入一股 $X、Y$，期初成本為

$$V_0=18+22=40,$$

核心觀念

1. 永續遞減年金（永續下降現金流）
   若第一期現金流為 $C_1$，每期以固定率 $g$ 下降（$g<0$），貼現率為 $r$，則現值

$PV=\frac{C_1}{r-g}$

此式來源於等比級數的無限求和。

2. 年金現值（先付型）
   當每筆付款在期初（即「先付」）時，若第 $k$ 期付款為 $P_k$，貼現率為 $i$，則在第 0 期（此例為 18 歲生日）所需的資金為

$PV = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{P_{k}}{(1+i)^{k}}$

其中 $P_{k}=P_0(1+g)^{k}$ 為因費用成長率 $g$ 而上升的學費。

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a. 礦場現值計算

• 第一年的礦石價值：$C_1 = 10,000$ 美元
• 價值每年下降 8% → 成長率 $g = -0.08$
• 適用的貼現率 $r = 0.06$

套用永續下降年金公式

$PV = \frac{C_1}{r-g}= \frac{10,000}{0.06-(-0.08)} = \frac{10,000}{0.14}=71,428.57\;{\text{美元}}$

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b. 兒童大學學費所需資金

1. 未來四年學費（以現在的學費 $C_0=12,500$ 美元、年成長率 $g=0.04$ 計算）

$$\begin{aligned} C_{18} &= C_0(1+g)^{18} \\ C_{19} &= C_0(1+g)^{19} \\ C_{20} &= C_0(1+g)^{20} \\ C_{21} &= C_0(1+g)^{21} \end{aligned}$$

計算結果（四捨五入至美元）

$$\begin{aligned} C_{18} &= 12,500\,(1.04)^{18}=25,312.50 \\ C_{19} &= 12,500\,(1.04)^{19}=26,325.00 \\ C_{20} &= 12,500\,(1.04)^{20}=27,375.00 \\ C_{21} &= 12,500\,(1.04)^{21}=28,475.00 \end{aligned}$$

2. 以 7% 貨幣利率折現（付款於每學年開始）

$$PV = C_{18} +\frac{C_{19}}{1.07} +\frac{C_{20}}{(1.07)^2} +\frac{C_{21}}{(1.07)^3}$$

計算步驟

(a) 本題核心觀念

• 投資評估：以 淨現值（NPV） 判斷專案是否值得投資。
• 現金流來源：營運現金流（稅後淨利＋折舊）與 營運資本（NWC） 的變動。
• 折舊：直線法、年折舊額 = 初始成本 / 使用年限，屬非現金費用，需加回。
• 營運資本需求：依年度銷售額的比例計算，期末全部回收。
• 折現：以 加權平均資本成本（WACC） = 11% 為貼現率，折算未來每年的自由現金流。

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解題步驟與說明

1. 基本數據

項目	數值
初始設備成本	$180,000
設備折舊（直線）	$\displaystyle \frac{180,000}{4}=45,000$ / 年
稅率	21%
貼現率 (WACC)	11%
單位價格	$420$（恒定）
單位變動成本	$190

本題考驗對債券投資的報酬率計算，包含購買價格、票面利率、到期殖利率、賣出價格、以及稅務影響。

核心觀念：

1. 債券價格計算：債券價格是未來所有現金流（票息和到期本金）的現值，使用 YTM 作為折現率。
2. 年金現值 (PV of Annuity) 和 單筆現值 (PV of a Lump Sum)：用於計算債券價格。
3. 資本利得稅 (Capital Gains Tax)：賣出資產時，如果賣出價高於買入價，需要繳納的稅。
4. 所得稅 (Income Tax)：對收到的利息收入繳納的稅。
5. 總報酬率 (Total Rate of Return)：包含所有收入（利息收入和資本利得）的總和，除以初始投資。

詳解：

步驟 1：計算債券的購買價格 (Purchase Price, P₀)

債券的購買價格是其未來現金流（每年 8% 的票息，以及 10 年後的 1000 元本金）以 6.0% 的 YTM 折現的現值。
票息 (Coupon Payment, C) = 8.0% × $1,000 =$80$ (每年)。
債券剩餘年期 (n) = 10 年。
購買時的 YTM = 6.0% = 0.06。

$P_0 = C \times \left[ \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} \right] + FV \times (1+r)^{-n}$
$P_0 = 80 \times \left[ \frac{1 - (1+0.06)^{-10}}{0.06} \right] + 1000 \times (1+0.06)^{-10}$

計算 $(1.06)^{-10}$:
$(1.06)^{-10} \approx 0.558394777$

$P_0 = 80 \times \left[ \frac{1 - 0.558394777}{0.06} \right] + 1000 \times 0.558394777$
$P_0 = 80 \times \left[ \frac{0.441605223}{0.06} \right] + 558.394777$
$P_0 = 80 \times 7.36008705 + 558.394777$
$P_0 = 588.806964 + 558.394777 \approx 1147.2017$

所以，購買價格 $P_0 \approx$$1,147.20。

步驟 2：計算第一年的票息收入與稅務

Stellar Capital 在今天（持有債券一年後）收到第一年的利息支付。
票息收入 = $80

本題考驗對股票預期報酬率、Alpha 值計算以及資本資產定價模型 (CAPM) 的理解。

核心觀念：

1. 資本資產定價模型 (CAPM)：用於計算股票的預期報酬率。公式為：$E(R_i) = R_f + \beta_i [E(R_m) - R_f]$。
2. 預期報酬率 (Expected Rate of Return)：根據 CAPM 模型計算出的理論預期報酬率。
3. 實際預期報酬率 (Actual Expected Rate of Return)：基於市場預測（如目標價和股息）計算出的預期報酬率。
4. Alpha 值 (Alpha)：實際預期報酬率與 CAPM 預期報酬率之間的差額。Alpha 代表了超越市場表現的部分。公式為：$\alpha = E(R_i) - [R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)]$。
5. 強烈賣出建議 (Strong Sell Recommendation)：通常對應負的 Alpha 值，表示該股票的預期表現低於其風險水平所應得的報酬。

詳解：

步驟 1：計算股票的預期報酬率 (Actual Expected Rate of Return)

根據題目給出的 12 個月預測：

• 目前股價 (Current Price, $P_0$) = $100.00
• 目標價格 (Target Price, $P_1$) = $105.00
• 預期股息 (Dividend, D) =

核心觀念

本題評量權益證券評價（Equity Valuation）中的三大核心模型與觀念整合：

1. 資本資產定價模型（CAPM）：用以估算投資人要求的必要報酬率（權益資金成本 $k$）： $$k = r_f + \beta \times \left[ E(r_m) - r_f \right]$$
2. 高登常數成長模型（Gordon Constant Growth DDM）：結合內部永續成長率 $g = b \times ROE$ 與預期發放股利 $D_1 = EPS_1 \times (1 - b)$，計算股票內在價值： $$V_0 = \frac{D_1}{k - g}$$
3. 成長機會現值（PVGO）價值拆解：將公司股票內在價值拆解為「零成長價值（No-growth / Zero-growth Value）」與「成長機會現值（PVGO）」： $$V_0 = \frac{EPS_1}{k} + PVGO \implies PVGO = V_0 - \frac{EPS_1}{k}$$ 成長機會現值佔比定義為： $$PVGO\% = \frac{PVGO}{V_0} \times 100\%$$

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解題方法

第一步：計算權益資金成本（$k$）

由 CAPM 公式求得市場要求的必要報酬率：

$$k = 3.5\% + 1.25 \times (9.5\% - 3.5\%) = 3.5\% + 1.25 \times 6.0\% = 3.5\% + 7.5\% = 11.0\% = 0.11$$

第二步：計算內部永續成長率（$g$）與預期現金股利（$D_1$）

• 盈餘保留率 $b = 50\% = 0.5$，股利發放率為 $1 - b = 1 - 0.5 = 0.5$
• 內部成長率： $$g = b \times ROE = 50\% \times 15\% = 7.5\% = 0.075$$
• 預期每股現金股利： $$D_1 = EPS_1 \times (1 - b) = \$5.00 \times 0.5 = \$2.50$$

第三步：計算股票當前內在價值（$V_0$）

代入高登常數成長模型：

$$V_0 = \frac{D_1}{k - g} = \frac{2.50}{0.11 - 0.075} = \frac{2.50}{0.035} = \frac{500}{7} \approx \$71.43$$

第四步：計算成長機會現值（$PVGO$）與其佔比（$PVGO\%$）

• 零成長價值（將所有盈餘 $100\%$ 作為股利發放之價值）：