115 年 國立臺灣大學財務金融研究所丙組《經濟學原理》

此題考驗對菲利浦曲線（Phillips Curve）與供給衝擊（Supply Shock）的理解。傳統的菲利浦曲線描述了通貨膨脹率與失業率之間的負向關係。然而，供給衝擊會改變這種關係。

一個正向的供給衝擊（positive supply shock），例如原物料價格下降或生產力提升，會使得總供給曲線（Aggregate Supply, AS）向右移動。在短期內，這會導致物價水準下降（通貨緊縮）和總產出增加。

核心觀念

本題考的是「適應性預期下，非預期貨幣擴張的短期效果」，可用預期擴充的菲利普曲線說明：

$$u_t=u_n-\alpha(\pi_t-\pi_t^e),\qquad \alpha>0$$

其中，$u_t$ 為失業率、$u_n$ 為自然失業率、$\pi_t$ 為實際通膨率、$\pi_t^e$ 為預期通膨率。此式表示：實際通膨率高於預期通膨率時，失業率會暫時低於自然失業率。

適應性預期是指民眾依過去的預測誤差調整未來預期，例如：

$$\pi_{t+1}^e=\pi_t^e+\lambda(\pi_t-\pi_t^e), \qquad 0<\lambda\leq 1$$

因此，民眾不會在政策宣布或實施的當下，就完全預見突如其來的貨幣擴張效果。

解題方法

切入點是區分「政策造成的短期意外」與「預期調整後的長期結果」。

1. 貨幣擴張出乎預期，短期失業率下降。
   在標準總合需求與總合供給架構下，貨幣擴張提高總合需求。由於通膨預期及名目工資尚未充分調整，實際通膨率高於原先預期：

   $$\pi_t-\pi_t^e>0$$

   代入菲利普曲線可得：

   $$u_t-u_n=-\alpha(\pi_t-\pi_t^e)<0$$

   因而短期產出與就業增加，失業率下降。

2. 預期逐步調整，失業率下降效果消退。
   民眾觀察到通膨高於預期後，會調整通膨預期，工資與價格也隨之調整。當非預期通膨消退、實際通膨與預期通膨一致時：

   $$\pi_t=\pi_t^e \quad\Rightarrow\quad u_t=u_n$$

此題考驗對 IS-LM 模型及其在貨幣擴張（Monetary Expansion）下的反應的理解。

首先，我們需要建立 IS-LM 模型中的 IS 曲線和 LM 曲線。

1. IS 曲線的推導：
IS 曲線代表產品市場的均衡，即總產出 $Y$ 等於總支出 $C+I+G$。
已知：
$Y = C + I + G$
$C = 50 + 0.75(Y-T)$
$I = 180 - 8r$
$G = 250$
$T = 200$

將 $C$, $I$, $G$, $T$ 代入 IS 方程式：
$Y = (50 + 0.75(Y-200)) + (180 - 8r) + 250$
$Y = 50 + 0.75Y - 150 + 180 - 8r + 250$
$Y = 0.75Y + 330 - 8r$
$Y - 0.75Y = 330 - 8r$
$0.25Y = 330 - 8r$
$Y = 4 \times (330 - 8r)$
$Y = 1320 - 32r$ （IS 曲線）

2. LM 曲線的推導：
LM 曲線代表貨幣市場的均衡，即實際貨幣供給等於實際貨幣需求。
已知：
實際貨幣供給 $M/P = 4000 / 4 = 1000$
實際貨幣需求 $M^d/P = Y/2 - 40r$

令 $M/P = M^d/P$：
$1000 = Y/2 - 40r$
$2000 = Y - 80r$
$Y = 2000 + 80r$ （LM 曲線）

3. 均衡點的計算（貨幣擴張前）：
將 IS 和 LM 方程式聯立求解：
IS: $Y = 1320 - 32r$
LM: $Y = 2000 + 80r$

$1320 - 32r = 2000 + 80r$
$1320 - 2000 = 80r + 32r$
$-680 = 112r$
$r = -680 / 112 \approx -6.07$ （這裡出現負利率，這在標準 IS-LM 模型中可能發生，但經濟學上通常會假設利率大於等於零。在此先不考慮這個問題，繼續計算。）

核心觀念

本題測驗貨幣銀行學與金融機構管理中的利率風險管理（Interest Rate Risk Management），特別是**缺口分析（Gap Analysis）與利率交換（Interest Rate Swap, IRS）**的避險應用。

1. 重定價缺口（Rate-Sensitive Gap, $GAP$）：

   $$GAP = RSA - RSL$$

   其中：

   • $RSA$ 為利率敏感性資產（Rate-Sensitive Assets）
   • $RSL$ 為利率敏感性負債（Rate-Sensitive Liabilities）

2. 淨利息收入（Net Interest Income, $NII$）的變動公式：

   $$\Delta NII = GAP \times \Delta i$$

   其中 $\Delta i$ 為市場利率變動幅度。

3. 利率風險方向判定：

   • 當 $RSA > RSL$ 時，$GAP > 0$（正缺口 / 資產敏感型銀行，Asset-sensitive）。
   • 市場利率上升時（$\Delta i > 0$），$\Delta NII > 0$（獲利增加）。
   • 市場利率下降時（$\Delta i < 0$），$\Delta NII < 0$（利潤減少、面臨損失風險）。
   • 因此，正缺口面臨的利率風險是「市場利率下跌」。

4. 利用利率交換（IRS）規避風險：
   若要對沖利率下跌導致資產收益減少的風險，銀行需將部分變動利率資產轉換為固定收益，亦即鎖定固定利率收益。在利率交換合約中，銀行應扮演「收取固定利率、支付浮動利率（Receive Fixed, Pay Floating）」的一方。

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解題方法

1. 確認銀行現有曝險狀況：
   題目指明 Second Bank「擁有較多的利率敏感性資產（$RSA > RSL$）」，即處於正缺口（$GAP > 0$）。
   這代表隨市場利率浮動調整利息的資產規模大於負債規模。若未來市場利率走跌，資產收益下降的幅度將高於負債利息支出下降的幅度，造成淨利息收入（$NII$）縮水。

2. 決定避險（Hedging）目標：
   為了免疫（immunize）利率下降的衝擊，銀行必須抵銷浮動資產的跌價或減息風險，將不確定的浮動現金流轉化為確定的固定現金流。

3. 建構利率交換部位：

   • 進入一個普通利率交換（Plain Vanilla Swap）：
     • 收取（Receive）固定利率：當市場利率下跌時，固定利息收入不受影響，彌補了現貨市場利率敏感性資產收益減少的缺口。
     • 支付（Pay）浮動利率：當市場利率下跌時，應支付的浮動利率同步下降，成本降低。

此題考驗對自然失業率（Natural Rate of Unemployment）的理解及其影響因素。自然失業率是指在沒有週期性波動的情況下，勞動市場中總是存在的失業率，它包括摩擦性失業（frictional unemployment）和結構性失業（structural unemployment）。

我們逐一分析各選項：
A. 更強的就業保護法 (Stronger employment protection laws): 這些法律通常會增加企業解僱員工的成本和難度。這會使得企業在招聘時更加謹慎，並且一旦僱傭，就更傾向於維持現有員工，減少流動性。這會增加摩擦性失業和結構性失業，從而提高自然失業率。
B. 更高的失業救濟金 (Higher unemployment benefits): 當失業救濟金較高時，失業人員尋找工作的動力可能會降低，或者他們會花更長的時間來尋找一份他們更滿意的工作（延長尋找時間）。這會增加摩擦性失業，從而提高自然失業率。

核心觀念

本題測驗中央銀行的**公開市場操作（Open Market Operations, OMO）**對總體經濟的短期影響機制，涉及的核心模型與理論包含：

1. 貨幣市場均衡（Money Market Equilibrium）：實質貨幣供給等於實質貨幣需求，即

$$\frac{M^s}{P} = L(Y, i)$$

2. $IS$-$LM$ 模型（短期間價格具僵固性，Price Rigidity）：
   • $IS$ 曲線：$Y = C(Y - T) + I(r) + G$，其中投資需求 $I(r)$ 與實質利率 $r$ 呈反向變動（$\frac{dI}{dr} < 0$）。
   • $LM$ 曲線：由貨幣市場均衡導出，描述產出 $Y$ 與利率 $i$（短期物價固定下 $r = i$）的正向關係。
3. 短期貨幣非中立性（Short-run Monetary Non-neutrality）：在短期物價未能即時充分調整的情況下，貨幣供給變動會實質影響利率與實質產出水準。

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解題方法

中央銀行在公開市場賣出政府公債（Open Market Sales）屬於緊縮性貨幣政策（Contractionary Monetary Policy），其短期傳遞途徑推導如下：

1. 貨幣市場與利率效果：

   • 央行向市場（商業銀行或大眾）賣出公債，投資人支付貨幣，使流通在外之準備貨幣（Monetary Base）減少。
   • 經由貨幣乘數效應，整體名目貨幣供給量縮減（$M^s \downarrow$）。
   • 在短期物價水準 $P$ 具黏性（固定不變）下，實質貨幣供給減少（$\frac{M^s}{P} \downarrow$），貨幣供給線左移，引發貨幣市場出現超額需求，促使利率上升（$r \uparrow$）。

2. 商品市場與產出效果：

   • 利率上升導致借貸與融資成本攀升，抑制民間廠商的實質投資支出（$I \downarrow$）以及家計部門的消費融資（$C \downarrow$）。
   • 在 $IS$-$LM$ 架構中，貨幣供給減少使 $LM$ 曲線向左（上）平移，沿著既定的 $IS$ 曲線移動至新的均衡點。
   • 短期均衡結果為：實質產出下降（$Y \downarrow$）且利率上升（$r \uparrow$）。

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選項分析

• A. 錯誤（Higher output and lower interest rates）：

此題考驗對國際貿易、匯率決定機制以及長期影響的理解。題目中提到了兩個同時發生的事件：

1. 台灣對日本汽車實施進口配額（quota）。
2. 日本對台灣出口商品的需求增加。

我們需要分析這兩個事件對新台幣（NTD）兌日圓（JPY）匯率的長期影響。匯率的長期決定主要受國際收支平衡、相對購買力、相對利率等因素影響。在這裡，我們主要關注貿易餘額對匯率的影響。

事件 1：台灣對日本汽車實施進口配額。
進口配額限制了台灣從日本進口汽車的數量。這意味著台灣對日本汽車的需求（以新台幣計價）或購買力會下降。

• 對台灣而言：進口減少，意味著對日圓的需求減少。
• 從日本的角度：日本對台灣汽車的需求增加，意味著對新台幣的需求增加。

事件 2：日本對台灣出口商品的需求增加。
這意味著日本人購買台灣商品（如電子產品、機械等）的意願增強。

• 對日本而言：出口增加，意味著對新台幣的需求增加。
• 從台灣的角度：進口減少（因為配額），出口增加。

此題考驗對銀行利率風險管理、久期（Duration）概念及其應用。

銀行面臨利率風險，是因為其資產和負債的價值對利率變動的敏感度不同。久期是衡量資產或負債價值對利率變動的敏感度的一個重要指標。久期越大，價值對利率變動越敏感。

銀行的資產組合的久期記為 $D_A$，負債組合的久期記為 $D_L$。
銀行的淨值（Net Worth）的久期，可以近似表示為：
$D_{NW} \approx \frac{A \cdot D_A - L \cdot D_L}{A - L}$
其中 $A$ 是銀行總資產，$L$ 是銀行總負債，$A-L$ 是銀行淨值。

利率風險是指當市場利率變動時，銀行淨值（或市場價值）發生變化的風險。
如果銀行希望降低利率風險，通常意味著它希望將淨值的久期盡可能接近於零（$D_{NW} \approx 0$），或者使其久期與其資產負債的久期匹配，以中和利率變動的影響。

題目中提到「reduce interest rate risk」。這通常意味著銀行希望使其資產和負債的利率敏感度（久期）更加匹配，或者通過調整資產和負債的久期來降低淨值對利率變動的敏感度。

銀行可以通過兩種方式來管理利率風險：

1. 調整資產的久期 (duration of the bank's assets)。
2. 調整負債的久期 (duration of the bank's liabilities)。

選項中的「shortening」和「lengthening」分別指縮短和延長久期。

核心觀念

本題考的是「貨幣基礎」與「銀行準備」的關係。

貨幣基礎（monetary base）定義為：

$$B=C+R$$

其中：

• $B$：貨幣基礎
• $C$：流通中的現金
• $R$：商業銀行持有的準備金

因此，變動關係為：

$$\Delta B=\Delta C+\Delta R$$

若交易過程中流通現金沒有變動，即 $\Delta C=0$，則：

$$\Delta B=\Delta R$$

只有在流通現金也發生變動時，貨幣基礎的變化才會與準備金變化不同。

解題方法

逐一判斷聯準會公開市場操作後：

1. 商業銀行準備金是否改變；
2. 大眾持有的流通現金是否改變；
3. 將結果代入 $\Delta B=\Delta C+\Delta R$。

公開市場「買入」表示聯準會取得債券、增加貨幣負債；公開市場「賣出」則相反。

選項分析

A. Open market purchases from an individual who cashes the cheque

聯準會向個人買入債券，並開立支票支付。該個人將支票兌現為現金。

假設聯準會支付金額為 $X$：

• 商業銀行向聯準會取得 $X$ 的準備金，因此 $\Delta R=+X$；
• 個人持有的現金增加 $X$，因此 $\Delta C=+X$。

所以：

$$\Delta B=\Delta C+\Delta R=X+X=2X$$

此時：

$$\Delta R=X\neq 2X=\Delta B$$

準備金變化必然不同於貨幣基礎變化，本選項正確。

B. Open market purchases from a bank

聯準會直接向銀行買入債券，並以增加銀行準備金支付。

• $\Delta R=+X$
• 流通現金不變，$\Delta C=0$

核心觀念
期望理論（Expectations Theory）是期限結構（term structure）的純粹期待假說，主張遠期利率（forward rate）等於市場對未來短期利率的預期值：
$f_{t,T}=E_t \bigl[ r_{t+T} \bigr]$
其中 $f_{t,T}$ 為 $t$ 時點觀測到的 $T$ 期遠期利率，$r_{t+T}$ 為 $t+T$ 時的即期短期利率。由此可推得即期利率曲線（yield curve）的斜率直接反映對未來短期利率的預期（上斜＝預期未來利率上升、下斜＝預期下降）。期望理論不涉及投資人偏好或流動性溢酬，只假設投資人對不同期限的債券無差別。

解題方法

1. 先確認期望理論的核心敘述：
   • 遠期利率 = 未來短期利率的條件期望。
   • 因此，即期利率曲線的形狀即是市場對未來短期利率變動的「預期」表徵。
2. 針對每一選項，檢視其描述是否與上述敘述相符：
   • 判斷曲線向上或向下時，期望理論所預測的未來短期利率變化方向。
   • 檢查是否混入了「投資人偏好」或「機率均等」等與期望理論無關的概念。

選項分析

選項	內容	是否符合期望理論	理由

此題要求根據文章內容，判斷一個長期匯率低估政策對經濟的影響。文章提到「a long-undervalued currency」是造成台灣持續經常帳順差的原因之一。

我們逐一分析選項：

A. **It transfers purchasing power from domestic consumers to exporting firms. (它將購買力從國內消費者轉移到出口企業。) **
* 文章提到：「the cheap currency has become a costly and dangerous anachronism. For a start, it no longer delivers the benefits it once did. ... First, it is a tax on consumers. In an economy that depends on imports for food, fuel and goods, the cheap currency has shifted purchasing power from ordinary households to exporters.」
* 這句話直接支持了選項 A。匯率低估使得出口商品在國際市場上價格更便宜，有利於出口商。同時，進口商品在國內市場上價格更貴，這變相地降低了國內消費者的購買力，將購買力從消費者轉移到了出口企業。

B. **It increases private consumption as a share of GDP. (它將私人消費佔 GDP 的比例提高。) **
* 文章提到：「The result has been that even by export-economy standards, Taiwan saves too much and consumes too little. Since 1998 private consumption as a share of output has tumbled by 20 percentage points.」
* 這與選項 B 直接矛盾。匯率低估政策導致私人消費佔 GDP 的比例下降，而不是提高。

C. **It leads to excess national saving relative to domestic investment. (它導致國民儲蓄相對於國內投資過剩。) **
* 經常帳順差（Current Account Surplus）的恆等式是：$CA = S - I + (T-G)$。
* 經常帳順差意味著國民總儲蓄（National Saving, $S$）大於國內投資（Domestic Investment, $I$），即使考慮財政差額 $(T-G)$。

此題要求根據文章內容，找出哪些機制被認為是導致台灣金融體系風險的因素。文章明確指出「weak-currency policy has distorted its financial system」並「storing up financial peril」。

我們逐一分析選項：

A. **Large-scale foreign-exchange intervention increases domestic liquidity and depresses interest rates. (大規模外匯干預增加了國內流動性並壓低了利率。) **
* 文章提到：「Printing currency to buy foreign exchange has flooded Taiwan's financial system with liquidity and pushed down interest rates.」
* 這裡的「Printing currency to buy foreign exchange」就是指大規模的外匯干預，央行賣出新台幣、買入外幣（如美元）。這個過程會向國內金融體系注入新台幣，增加流動性，並由於貨幣供給增加而壓低利率。這被文章認為是導致房價上漲和金融風險的一個原因。因此，此選項被確認。

B. **Low interest rates reduce housing demand and stabilize property prices. (低利率降低了住房需求並穩定房價。) **
* 文章提到：「Printing currency to buy foreign exchange has flooded Taiwan's financial system with liquidity and pushed down interest rates. That combination lies behind a quadrupling of house prices since 1998.」
* 文章明確指出，低利率與充裕的流動性共同導致了房價的「quadrupling」（翻了四倍），而不是「stabilize property prices」（穩定房價）。因此，此選項的結論與文章內容相反。

C. **Life insurers accumulate foreign-currency assets while liabilities remain in domestic currency. (壽險公司積累外幣資產，而負債仍為本幣。) **

此題要求根據文章內容，找出解釋台灣匯率低估政策得以持續數十年的原因。文章在探討「Why, then, has the policy persisted?」時，提供了幾個原因。

我們逐一分析選項：

A. **Export-oriented manufacturers benefit disproportionately from an undervalued currency. (出口導向的製造商從低估的貨幣中不成比例地獲益。) **
* 文章提到：「For decades its central bank, known as the CBC, has kept the currency undervalued, giving manufacturing exporters a competitive boost. ... While manufacturers have been coddled...」
* 文章也提到：「The export lobby. Taiwan's chipmakers could withstand a stronger currency, but existing policy has propped up a cohort of manufacturers that subsist on thin margins and would be severely hurt by an appreciation.」
* 這表明出口導向的製造業，特別是那些利潤微薄的企業，確實從低估的貨幣中獲得了競爭優勢和好處。因此，他們有動機支持維持這種政策。此選項與文章內容一致。

B. **The central bank gains political influence through large profit transfers to the government. (中央銀行通過向政府的大額利潤轉移獲得政治影響力。) **
* 文章提到：「Another reason is the CBC's unusual power. Printing Taiwan dollars to hoover up foreign-currency assets has minted handsome profits, which are remitted to the government and have become a big source of revenue. Central-bank transfers make up 6% of total government receipts, compared with a rich-world average of 0.4%.」
* 文章清楚地指出，央行通過干預外匯市場獲取利潤，並將這些利潤匯給政府，成為政府收入的重要來源。這種「unusual power」和豐厚的利潤轉移，確實可以解釋央行維持這種政策的動機，並可能間接增加其政治影響力。此選項與文章內容一致。

此題是關於一個重疊世代模型 (OLG model) 的應用，特別是涉及匯率預期、資產投資和消費決策。模型設定：

• 兩期 OLG 模型：年輕時工作儲蓄（ periodo t），年老時消費（period t+1）。
• 退休金（Pension benefits）以新台幣（NTD）計價。
• 退休金的供款（contributions）投資於美元（USD）計價的美國國庫券（U.S. Treasury bonds）。
• 名目匯率（NTD per USD）由央行外生管理（exogenously managed）。
• 預期：年輕一代相信央行未來可能允許新台幣升值（NTD appreciation），但時間不確定。

匯率預期：新台幣未來將升值（NTD appreciation）。
這意味著，以新台幣計價的美元資產的預期回報會受到影響。
假設當前匯率是 $E_t$ (NTD/USD)。未來匯率預期是 $E_{t+1}$。
如果新台幣升值，意味著 $E$ 會下降。例如，從 30 NTD/USD 降到 28 NTD/USD。
即，未來 1 USD 可以兌換更少的新台幣。

分析選項：

A. **Expected domestic-currency returns on foreign assets fall. (預期本幣（新台幣）計價的外幣資產回報下降。) **
* 年輕人將新台幣轉換成美元，購買美國國庫券。
* 假設美國國庫券的美元回報率是 $r^*$。
* 在 period t，購買 1 美元資產需要 $E_t$ 新台幣。
* 在 period t+1，1 美元資產將變為 $(1+r^*)$ 美元。
* 將這 $(1+r^*)$ 美元換回新台幣，將得到 $(1+r^*) \cdot E_{t+1}$ 新台幣。
* 因此，在新台幣計價下的總回報率是 $\frac{(1+r^*) E_{t+1}}{E_t} - 1$。
* 題目假設未來新台幣將升值，即 $E_{t+1} < E_t$。
* 如果 $E_{t+1} < E_t$，則 $\frac{E_{t+1}}{E_t} < 1$。
* 所以，預期本幣計價的外幣資產回報率 $\frac{(1+r^*) E_{t+1}}{E_t} - 1$ 將會下降。
* 此選項正確。

B. **Optimal saving by the young decreases. (年輕人的最適儲蓄減少。) **
* 儲蓄決策取決於當期消費和未來消費的權衡，以及兩期之間的利率。

此題考驗對人口結構變化（低或負增長）以及養老金體系（特別是現收現付制 PAYG 和基金制 Funded）對消費和風險影響的理解。

模型設定：人口增長低或為負，養老金對老年消費很重要。

分析選項：

A. **The implicit return on PAYG pensions declines. (現收現付制養老金的隱含回報下降。) **
* 現收現付制（Pay-As-You-Go, PAYG）養老金的模式是，當期工作人口的繳費（供款）用於支付當期退休人口的福利（養老金）。
* 其隱含回報率（implicit return rate）大致等於人口增長率加上勞動力增長率，再加上生產率增長率（或工資增長率）。
* 如果人口增長率低或為負，而工資增長率不高，那麼 PAYG 養老金的支付能力就會受到壓力，其隱含回報率也會下降。這意味著未來退休人員能獲得的養老金相對減少。
* 此選項正確。

B. **Funded pensions become more sensitive to asset-price and exchange-rate shocks. (基金制養老金對資產價格和匯率衝擊變得更加敏感。) **
* 基金制（Funded）養老金的模式是，個人或雇主將供款投入一個基金，該基金進行投資，待退休時再根據基金的累積價值支付養老金。
* 基金的價值直接與其投資的資產價值掛鉤。因此，基金制的養老金對資產價格（如股票、債券價格）的波動非常敏感。
* 如果養老金投資於跨國資產，或者其未來支付是以不同貨幣計價，那麼它也會受到匯率波動的影響。
* 當人口結構變化（如老齡化加劇，年輕人減少，撫養比上升）時，社會對養老金的需求增加，而供款的基礎（工作人口）縮小，這可能迫使基金制養老金承擔更高的風險以追求更高的回報，或者其現有投資組合的波動性對其支付能力產生更大影響。
* 總體而言，基金制養老金的表現直接與金融市場的波動相關，因此會對資產價格和匯率衝擊更敏感。
* 此選項正確。

此題與上一題（第 15 題）是相同的題目，僅在頁碼上有所不同。因此，解題思路和答案應與第 15 題一致。

題目設定：人口增長低或為負，養老金對老年消費很重要。

分析選項：

A. **The implicit return on PAYG pensions declines. (現收現付制養老金的隱含回報下降。) **
* 現收現付制 (PAYG) 養老金的隱含回報率與人口增長率、勞動力增長率及生產率增長率相關。低或負的人口增長率會導致支付壓力，從而降低其隱含回報率。此選項正確。

B. **Funded pensions become more sensitive to asset-price and exchange-rate shocks. (基金制養老金對資產價格和匯率衝擊變得更加敏感。) **
* 基金制 (Funded) 養老金的價值直接與其投資的金融資產掛鉤，因此對資產價格和匯率波動的敏感度較高。

此題與前兩題（第 15 和 16 題）是相同的題目。

題目設定：人口增長低或為負，養老金對老年消費很重要。

分析選項：
A. **The implicit return on PAYG pensions declines. (現收現付制養老金的隱含回報下降。) **
* 低或負的人口增長率會降低 PAYG 養老金的支付能力和隱含回報率。此選項正確。

B. **Funded pensions become more sensitive to asset-price and exchange-rate shocks. (基金制養老金對資產價格和匯率衝擊變得更加敏感。) **
* 基金制養老金的價值直接與金融市場表現掛鉤，因此對資產價格和匯率波動更敏感。此選項正確。

此題與前三題（第 15、16、17 題）是相同的題目。

題目設定：人口增長低或為負，養老金對老年消費很重要。

分析選項：
A. **The implicit return on PAYG pensions declines. (現收現付制養老金的隱含回報下降。) **
* 低或負的人口增長率會降低 PAYG 養老金的支付能力和隱含回報率。此選項正確。

B. **Funded pensions become more sensitive to asset-price and exchange-rate shocks. (基金制養老金對資產價格和匯率衝擊變得更加敏感。) **
* 基金制養老金的價值直接與金融市場表現掛鉤，因此對資產價格和匯率波動更敏感。此選項正確。

此題與前四題（第 15、16、17、18 題）是相同的題目。

題目設定：人口增長低或為負，養老金對老年消費很重要。

分析選項：
A. **The implicit return on PAYG pensions declines. (現收現付制養老金的隱含回報下降。) **
* 低或負的人口增長率會降低 PAYG 養老金的支付能力和隱含回報率。此選項正確。

B. **Funded pensions become more sensitive to asset-price and exchange-rate shocks. (基金制養老金對資產價格和匯率衝擊變得更加敏感。) **
* 基金制養老金的價值直接與金融市場表現掛鉤，因此對資產價格和匯率波動更敏感。此選項正確。

此題與前五題（第 15、16、17、18、19 題）是相同的題目。

題目設定：人口增長低或為負，養老金對老年消費很重要。

分析選項：
A. **The implicit return on PAYG pensions declines. (現收現付制養老金的隱含回報下降。) **
* 低或負的人口增長率會降低 PAYG 養老金的支付能力和隱含回報率。此選項正確。

B. **Funded pensions become more sensitive to asset-price and exchange-rate shocks. (基金制養老金對資產價格和匯率衝擊變得更加敏感。) **
* 基金制養老金的價值直接與金融市場表現掛鉤，因此對資產價格和匯率波動更敏感。此選項正確。

核心觀念

1. 兩期消費模型：在無不確定性下，消費者同時選擇兩期的消費 $C_{1},C_{2}$ 以最大化跨期效用。
2. 效用函數：

$$U(C_{1},C_{2})=u(C_{1})+\beta u(C_{2}),\qquad u(c)=\frac{c^{\alpha}-1}{\alpha},\;\alpha \neq 0 .$$

其中 $u'(c)=c^{\alpha-1}$。
3. 跨期預算限制：

$C_{1}+\frac{C_{2}}{1+r}=y_{1}+\frac{y_{2}}{1+r},\qquad r>-1 .$

4. 跨期替代彈性 (IES)：

$\text{IES}= \frac{d\ln (C_{2}^{*}/C_{1}^{*})}{d\ln (1+r)} .$

它衡量利率變動對兩期消費比例的反應程度。

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(a) 推導跨期替代彈性

1. 建立拉格朗日

$\mathcal L = u(C_{1})+\beta u(C_{2})+\lambda\!\left[y_{1}+\frac{y_{2}}{1+r}-C_{1}-\frac{C_{2}}{1+r}\right].$

2. 一階條件 (FOC)

$$\begin{aligned} \frac{\partial\mathcal L}{\partial C_{1}} &: \; u'(C_{1})-\lambda =0 \;\Rightarrow\; \lambda = C_{1}^{\alpha-1},\\[2mm] \frac{\partial\mathcal L}{\partial C_{2}} &: \; \beta u'(C_{2})-\frac{\lambda}{1+r}=0 \;\Rightarrow\; \beta C_{2}^{\alpha-1}= \frac{C_{1}^{\alpha-1}}{1+r}. \end{aligned}$$

3. 取得消費比例

$$\beta\frac{C_{2}^{\alpha-1}}{C_{1}^{\alpha-1}} =\frac{1}{1+r} \;\Longrightarrow\; \left(\frac{C_{2}}{C_{1}}\right)^{\alpha-1}= \frac{1}{\beta(1+r)} .$$

兩期最適消費比例可寫成

$$\frac{C_{2}^{*}}{C_{1}^{*}}= \bigl[\beta(1+r)\bigr]^{\frac{1}{1-\alpha}} .$$

4. 取對數並微分

$\ln\!\frac{C_{2}^{*}}{C_{1}^{*}}=\frac{1}{1-\alpha}\,\ln\!\bigl[\beta(1+r)\bigr].$

因 $\beta$ 為常數，對 $\ln(1+r)$ 求導得到

$$\frac{d\ln(C_{2}^{*}/C_{1}^{*})}{d\ln(1+r)}= \frac{1}{1-\alpha}.$$

跨期替代彈性

$\boxed{\displaystyle \text{IES}= \frac{1}{\,1-\alpha\,}} .$

這正是 CRRA 效用 $\displaystyle u(c)=\frac{c^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}$ 中 $\sigma$（相對風險厭惡）之倒數：$\text{IES}=1/\sigma$。

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核心觀念
本題屬於**跨期選擇（Intertemporal Choice）**的典型問題，考點如下：

1. 效用函數：$U(C_1,C_2)=\alpha\ln C_1+\beta\ln C_2$（對數效用是常見的消費平滑模型）。
2. 預算限制式：以年利率 $r$ 把未來的消費折現到現在
   $C_1+\frac{C_2}{1+r}=y_1+\frac{y_2}{1+r}$
   其中 $y_1$、$y_2$ 為第一期、第二期的收入。
3. 拉格朗日乘數法：求 $\max\;U$ subject to 預算限制，得到 第一階條件（Euler 方程）
   $\frac{\alpha}{C_1}= \frac{\beta}{C_2}\cdot\frac{1}{1+r}$

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解題方法

1. 寫出拉格朗日函數

$$\mathcal L=\alpha\ln C_1+\beta\ln C_2 +\lambda\!\left[y_1+\frac{y_2}{1+r}\;-\;C_1-\frac{C_2}{1+r}\right]$$

2. 對 $C_1$, $C_2$, $\lambda$ 取偏微分並設為 0

$$\frac{\partial\mathcal L}{\partial C_1}= \frac{\alpha}{C_1}-\lambda =0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{\alpha}{C_1}$$ $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial C_2}= \frac{\beta}{C_2}-\frac{\lambda}{1+r}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{\beta}{C_2}(1+r)$$

令兩式相等，消去 $\lambda$，得到 Euler 方程

$$\frac{\alpha}{C_1}= \frac{\beta}{C_2}\cdot\frac{1}{1+r} \tag{1}$$

3. 代入已知參數

$\alpha=-1,\qquad \beta=\frac{5}{22},\qquad r=0.1\;(1+r=1.1)$

(1) 式化簡為

$$\frac{-1}{C_1}= \frac{5/22}{C_2}\cdot\frac{1}{1.1} \Longrightarrow C_2 =\frac{5}{22}\cdot\frac{1}{1.1}\,C_1$$

計算比例係數

此題是第 (1) 題 Part (b) 的重複。題目參數與 Part (b) 完全相同，要求計算 $(C_1^*, C_2^*)$。

根據 Part (b) 的計算過程：
$\alpha = -1$, $\beta = 5/22$, $r = 0.1$, $y_1 = 36$, $y_2 = 66$。
預算約束：$C_1 + \frac{C_2}{1.1} = 96$。
一階條件導出：$C_2 = \frac{5}{11} C_1$。

將 $C_2$ 代入預算約束：
$C_1 + \frac{1}{1.1} (\frac{5}{11} C_1) = 96$
$C_1 (1 + \frac{5}{12.1}) = 96$
$C_1 (\frac{17.1}{12.1}) = 96$

核心觀念

• 模型設定：房仲的效用函數為
  $v(a,\theta)=\bigl(a-(\theta+1)\bigr)^2$
  其中 $a$ 為房仲建議買方的出價，$\theta$ 為房仲觀測到的「真實價值」訊號。
• 買方的最佳策略：在第 (b) 小題已求得買方在給定 $\theta$ 時的最適出價 $a^*(\theta)$。此最適出價滿足
  $a^*(\theta)=\theta+1$
  它使得房仲的效用 $v(a^*,\theta)=0$（即最低的損失/最高的效用），因此在第 (b) 的設定下，房仲沒有動機偏離此建議。
• 期望效用：給定 $\theta=2$，只要買方照第 (b) 的策略出價，房仲的實現效用為 $v=0$。若房仲主動給出與第 (b) 不同的建議（$L$），則出價會偏離 $\theta+1$，效用會變成正的平方值，對房仲而言是「更差」的結果（因為效用函數是平方損失）。

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解題方法

1. 由第 (b) 的策略取得最適出價
   第 (b) 已證明在訊號 $\theta$ 下，買方的最適出價為
   $a^*(\theta)=\theta+1.$
   代入 $\theta=2$ 得
   $a^*_H = 2+1 = 3.$

2. 計算 $H$ 建議的期望效用
   房仲依照第 (b) 的策略（即 $H$ 建議）給予 $a_H=3$，代入效用函數：
   $v_H = (3-(2+1))^2 = (3-3)^2 = 0.$
   因為 $\theta$ 已知且唯一，期望值即為此實現值：
   $\mathbb{E}[v_H\mid\theta=2]=0.$

此題要求計算引入房仲後，買方預期效用的變化量（增加或減少）。這需要比較有房仲情況下的買方預期效用，與無房仲情況下的買方預期效用。

核心觀念：

1. 買方的預期效用： 買方在做決策時，會考慮到信息的不確定性（如房屋真實價值 $\theta$ 的機率分佈）以及決策帶來的後果（出價 $a$ 和真實價值 $\theta$ 影響其效用）。
2. 房仲的角色： 房仲提供建議，幫助買方做出更好的出價決策。
3. 信息與決策： 房仲的存在可能改善買方獲取的信息，從而影響其出價和最終效用。

步驟 1：計算無房仲時買方的預期效用。

• 買方不知道真實價值 $\theta \in \{0, 1, 2\}$，且先驗機率為 $P(\theta=0)=P(\theta=1)=P(\theta=2)=1/3$。
• 買方的效用函數是 $u(a, \theta) = (a - \theta)^2$。
• 買方會選擇出價 $a$ 以極大化其預期效用 $E[u(a, \theta)] = \sum_{\theta} P(\theta) u(a, \theta)$。
• $E[u(a, \theta)] = \frac{1}{3}(a-0)^2 + \frac{1}{3}(a-1)^2 + \frac{1}{3}(a-2)^2$
• $E[u(a, \theta)] = \frac{1}{3} [a^2 + (a^2 - 2a + 1) + (a^2 - 4a + 4)]$
• $E[u(a, \theta)] = \frac{1}{3} [3a^2 - 6a + 5]$
• 為了極大化（或在此是極小化，因為是平方差，所以是找最接近平均值的出價），我們對 $a$ 求導並令其為零：
  $\frac{d}{da} E[u(a, \theta)] = \frac{1}{3} [6a - 6] = 0$
  $6a - 6 = 0 \implies a = 1$。
• 所以，無房仲時買方的最適出價是 $a^* = 1$。
• 無房仲時買方的預期效用 $E[u(a^*, \theta)]$：
  $E[u(1, \theta)] = \frac{1}{3}(1-0)^2 + \frac{1}{3}(1-1)^2 + \frac{1}{3}(1-2)^2$
  $E[u(1, \theta)] = \frac{1}{3}(1)^2 + \frac{1}{3}(0)^2 + \frac{1}{3}(-1)^2$
  $E[u(1, \theta)] = \frac{1}{3}(1) + 0 + \frac{1}{3}(1) = \frac{2}{3}$。
• 無房仲時買方的預期效用是 $2/3$。

步驟 2：計算有房仲時買方的預期效用。

• 房仲根據其觀察到的 $\theta$ 給出建議 $m \in \{L, H\}$。
• 買方根據建議出價 $a_L^*$ 或 $a_H^*$。
• Part (c) 已經假設了買方的出價策略（儘管是基於一個有問題的 Part (b)）。
  • 房仲給 $H$ 建議時，買方出價 $a_H^* = 3$。
  • 房仲給 $L$ 建議時，買方出價 $a_L^* = 2$。