113 年國立臺灣大學財務金融研究所丙組《經濟學原理》考古題與詳解

Question 1

產品 Y 的市場為完全競爭市場，其市場需求函數為 $P = 180 - Q$，供給函數為 $P = 60 + \frac{1}{2}Q$，其中 $P$ 為每個產品 Y 的價格（單位為元），$Q$ 為數量（單位為萬個）。政府的目標是要讓產品 Y 市場的生產者剩餘為 1,944 萬元。為達成此目標，政府考慮執行以下兩種政策中的一種。 政策一：政府以每個 $PG$ 元的價格無限制收購產品 Y。 政策二：生產者每賣出一個產品 Y 可得到 $S$ 元的政府補貼。 (a) 若政府執行政策一，則其應將 $PG$ 訂為 (1) 元。 (b) 若政府執行政策二，則其應將 $S$ 訂為 (2) 元。

Accepted Answer

核心觀念 - 完全競爭市場：價格由市場需求與供給交點決定，企業是價格接受者。 - 產者剩餘（Producer Surplus, PS）：在給定產量 $Q$ 時，實際收到的價格與邊際成本曲線之間的面積 $$PS=\int{0}^{Q}\big(P{\text{實際}}-MC(Q)\big)\,dQ.$$ - 政府收購（價格上限）與每單位補貼（供給曲線平移）的影響： - 收購：政府以固定價格 $PG$ 無限制購買剩餘產量，生產者的有效價格為 $PG$，供給量由供給曲線與 $PG$ 的交點決定。 - 補貼 $S$：每售出一單位給予 $S$ 元，等效於把供給曲線向下平移 $S$（或把市場價格上移 $S$），生產者實得價格 $P+S$。 --- 解題方法 1. 先算出無政策時的均衡 $$ \begin{cases} PD=180-Q\[2pt] PS=60+\tfrac12Q \end{cases}\quad\Rightarrow\quad 180-Q=60+\tfrac12Q\;\Longrightarrow\;Q^=80\;(\text{萬個}),\;P^=100\;\text{元} $$ 產者剩餘 $$ PS0=\int0^{80}\big(100-(60+\tfrac12Q)\big)dQ =\int0^{80}(40-\tfrac12Q)dQ =\big[40Q-\tfrac14Q^2\big]0^{80}=1600\;(\text{萬元}) $$ 2. 政府目標：$PS{\text{目標}}=1944$ 萬元，必須額外增加 $$\Delta PS =1944-1600 = 344\;\text{萬元}$$ --- (a) 政策一：無限制收購，設定收購價格 $PG$ - 供給者在價格 $PG$ 時的供給量 $$PG = 60+\tfrac12QG \;\Longrightarrow\; QG = 2(PG-60)$$ - 產者剩餘（全部以 $PG$ 為實際價格） $$ PS =\int{0}^{QG}\big(PG-(60+\tfrac12Q)\big)dQ =(PG-60)QG-\tfrac14QG^{2} $$ 把 $QG=2(PG-60)$ 代入： $$ PS=(PG-60)\cdot2(PG-60)-\tfrac14\big[2(PG-60)\big]^2 =2A^2-A^2=A^2,\qquad A\equiv PG-60 $$ 因此 $$PS=(PG-60)^2.$$

Question 2

某寡占市場的市場需求函數為 $P = 171 - Q$，其中 $Q$ 為市場中所有廠商生產量的總和，$P$ 則為每單位的產品價格。該市場中有三家廠商。每家廠商生產時固定成本為 0，每單位的邊際成本則始終為 3。每家廠商的決策變數為其自己的產量，又廠商一、廠商二、廠商三的產量分別為 $q1$、$q2$ 與 $q3$。 (a) 假設廠商一先決定其產量。觀察到 $q1$ 後，廠商二與廠商三再同時決定 $q2$ 與 $q3$。此情況下廠商一的均衡產量為 (3)。 (b) 改變 (a) 部份的假設。假設廠商一與廠商二先同時決定產量。觀察到 $q1$ 與 $q2$ 後，廠商三再決定 $q3$。此情況下廠商一的均衡產量為 (4)。

Accepted Answer

本題考察古諾模型（Cournot Model）在不同領導者-追隨者結構下的均衡分析。古諾模型是一種寡占市場模型，其中廠商同時決定產量。本題將古諾模型擴展為具有層次結構的情況。

市場需求函數： $P = 171 - Q = 171 - (q_1 + q_2 + q_3)$
廠商邊際成本： $MC = 3$ (固定成本為 0)
廠商利潤函數： $\pi_i = (P - MC)q_i = (171 - (q_1 + q_2 + q_3) - 3)q_i = (168 - q_1 - q_2 - q_3)q_i$

(a) 廠商一為領導者，廠商二和三為追隨者。
廠商一先決定 $q_1$ 。廠商二和三觀察到 $q_1$ 後，同時決定 $q_2$ 和 $q_3$ 。
這是一個三階段的賽局。我們採用逆向歸納法（Backward Induction）來求解。

第二階段：廠商二和三決定 $q_2$ 和 $q_3$ 。
廠商二的利潤函數為： $\pi_2 = (168 - q_1 - q_2 - q_3)q_2$
為最大化利潤，廠商二對 $q_2$ 微分並令其為零（假設 $q_1$ 固定）：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 168 - q_1 - 2q_2 - q_3 = 0$
廠商二的反應函數（Reaction Function）： $q_2 = \frac{168 - q_1 - q_3}{2}$

廠商三的利潤函數為： $\pi_3 = (168 - q_1 - q_2 - q_3)q_3$
為最大化利潤，廠商三對 $q_3$ 微分並令其為零（假設 $q_1$ 固定）：
$\frac{\partial \pi_3}{\partial q_3} = 168 - q_1 - q_2 - 2q_3 = 0$
廠商三的反應函數： $q_3 = \frac{168 - q_1 - q_2}{2}$

由於廠商二和三同時決定產量，我們需要聯立求解他們的反應函數。
將廠商三的反應函數代入廠商二的反應函數：
$q_2 = \frac{168 - q_1 - (\frac{168 - q_1 - q_2}{2})}{2}$
$2q_2 = 168 - q_1 - \frac{168 - q_1 - q_2}{2}$
$4q_2 = 336 - 2q_1 - (168 - q_1 - q_2)$
$4q_2 = 336 - 2q_1 - 168 + q_1 + q_2$
$4q_2 = 168 - q_1 + q_2$
$3q_2 = 168 - q_1$
$q_2 = \frac{168 - q_1}{3}$

由於廠商二和三的成本結構和在第二階段的決策環境是對稱的，他們的反應函數結構相同。因此，廠商三的反應函數為：
$q_3 = \frac{168 - q_1}{3}$

第一階段：廠商一決定 $q_1$ 以最大化其利潤，同時考慮到廠商二和三的反應。
廠商一的利潤函數： $\pi_1 = (168 - q_1 - q_2 - q_3)q_1$
將廠商二和三的反應函數代入：
$\pi_1 = (168 - q_1 - \frac{168 - q_1}{3} - \frac{168 - q_1}{3})q_1$
$\pi_1 = (168 - q_1 - \frac{2(168 - q_1)}{3})q_1$
$\pi_1 = (168 - q_1) (1 - \frac{2}{3})q_1$
$\pi_1 = (168 - q_1) (\frac{1}{3})q_1$
$\pi_1 = \frac{1}{3}(168q_1 - q_1^2)$

Question 3

甲有一間房子要出售，其可選擇自己賣或賣給乙。若甲自己賣，則扣除所有因賣房而產生的費用後，賣房淨收入將為 $V$。甲除非經歷自己賣房子的過程，否則其不知 $V$ 確實的值，而僅知 $V$ 的分配為介於 1,200 萬元與 3,600 萬元之間的均等分配（Uniform distribution）。乙為專業房產投資人，其始終知道 $V$ 確實的值，且該房若由乙來賣，則扣除所有因賣房而產生的費用後，賣房淨收入將為 $V$。賽局進行如下：(i) 甲決定一售價 $P$ 並告知乙。決定 $P$ 時，甲僅知 $V$ 的分配而不知 $V$ 確實的值。(ii) 乙決定是否以 $P$ 的價格向甲購買該房後再賣出。若乙買，則甲與乙的報酬分別為 $P$ 與 $V-P$。若乙不買，則甲自己賣，此時甲與乙的報酬分別為 $V$ 與 0。參賽者均極大化自己的期望報酬。對甲最適的 $P$ 為 (5) 萬元。均衡時甲的期望報酬為 (6) 萬元。

Accepted Answer

核心觀念 - 不完全資訊博弈：賣方（甲）在設定售價 $P$ 時只知道 $V$ 的機率分布；買方（乙）則完全掌握 $V$。 - 信號與逆向選擇：甲的售價 $P$ 可以視為對未來交易結果的訊號，乙根據自己的資訊決定是否接受。 - 期望報酬最大化：雙方皆以自己的期望收益為目標，尋求納什均衡。 - 均等分配（Uniform distribution）：$V\sim U[12,36]$（單位：千萬元），故 $$fV(v)=\frac{1}{36-12}= \frac{1}{24},\qquad 12\le v\le36 .$$ --- 解題方法 1. 乙的最佳回應 給定 $P$，乙若買下房子，其報酬為 $V-P$。 - 若 $V\ge P$，則 $V-P\ge0$，乙會接受購買。 - 若 $V<P$，則 $V-P<0$，乙會拒絕。 因此乙的策略是「只在 $V\ge P$ 時買」​，買入機率 $$\Pr\{V\ge P\}= \frac{36-P}{24},\qquad 12\le P\le36.$$ 2. 甲的期望報酬 - 乙買房：甲得到 $P$，發生機率 $\displaystyle \frac{36-P}{24}$。 - 乙不買：甲自行賣房，得到實際的 $V$。條件在 $V<P$，此時 $V$ 在區間 $[12,P]$ 均勻分布，條件期望 $$\mathbb{E}[V\mid V<P]=\frac{12+P}{2}.$$ 其發生機率為 $\displaystyle \frac{P-12}{24}$。 合併得甲的期望報酬

Question 4

考慮如下的經濟體系。體系中有 X、Y 兩種財貨且無生產。體系中有第一、第二兩類消費者，消費者人數眾多且兩類消費者人數比例為 1 比 1。每位第一類消費者的效用函數為 $U1(x1, y1) = x1 y1$，其中 $x1$ 與 $y1$ 為該消費者財貨 X 與 Y 的消費量。每位第二類消費者的效用函數為 $U2(x2, y2) = x2 y2$，其中 $x2$ 與 $y2$ 為該消費者財貨 X 與 Y 的消費量。消費者均為價格接受者，又每位第一類消費者的原賦為：0 單位的 X 與 84單位的 Y。每位第二類消費者的原賦為：84單位的 X 與 0單位的 Y。均衡時每位第一類消費者財貨 X 的消費量為 (7)，每位第二類消費者財貨 Y 的消費量為 (8)。

Accepted Answer

本題考查埃奇沃斯箱型圖（Edgeworth Box）中的瓦拉斯均衡（Walrasian Equilibrium）。體系中有兩類消費者，兩種財貨，且無生產，因此總供給量等於總原賦量。我們需要找到均衡價格比，使得所有消費者的邊際替代率等於價格比，並且市場能夠出清。

假設有 $N$ 位第一類消費者和 $N$ 位第二類消費者（因為比例為 1:1，且人數眾多，我們可以假設共有 $2N$ 位消費者，其中 $N$ 位是第一類， $N$ 位是第二類）。

總財貨 X 的數量 $X_{total} = N \times 0 + N \times 84 = 84N$ 。
總財貨 Y 的數量 $Y_{total} = N \times 84 + N \times 0 = 84N$ 。

每位第一類消費者的效用函數是 $U_1(x_1, y_1) = x_1 y_1$ 。
邊際效用： $MU_{x1} = y_1$ , $MU_{y1} = x_1$ 。
MRS_1 = $MU_{x1} / MU_{y1} = y_1 / x_1$ 。
第一類消費者的原賦是 $(x_{1, endowment}, y_{1, endowment}) = (0, 84)$ 。

每位第二類消費者的效用函數是 $U_2(x_2, y_2) = x_2 y_2$ 。
邊際效用： $MU_{x2} = y_2$ , $MU_{y2} = x_2$ 。
MRS_2 = $MU_{x2} / MU_{y2} = y_2 / x_2$ 。
第二類消費者的原賦是 $(x_{2, endowment}, y_{2, endowment}) = (84, 0)$ 。

在瓦拉斯均衡下，所有消費者的 MRS 必須等於價格比 $P_x / P_y$ 。
令 $p = P_x / P_y$ 為財貨 X 相對於財貨 Y 的價格比。

對於第一類消費者：
MRS_1 = $y_1 / x_1 = p$ 。
這表示在均衡時，第一類消費者的消費組合 $(x_1, y_1)$ 必須滿足 $y_1 = px_1$ 。
由於他們是價格接受者，他們會根據價格比 $p$ 來最大化效用。
第一類消費者的預算線： $P_x x_1 + P_y y_1 = P_x x_{1, endowment} + P_y y_{1, endowment}$
$P_x x_1 + P_y y_1 = P_x (0) + P_y (84)$
$p x_1 + y_1 = 84$
將 $y_1 = px_1$ 代入預算線：
$px_1 + px_1 = 84$
$2px_1 = 84$
$x_1 = \frac{42}{p}$
$y_1 = p x_1 = p \frac{42}{p} = 42$ 。
所以，第一類消費者的均衡消費為 $(x_1, y_1) = (42/p, 42)$ 。

對於第二類消費者：
MRS_2 = $y_2 / x_2 = p$ 。

Question 5

某人有一子一女，均消費 X 與 Y 兩種財貨。女兒的效用函數為：$U1(x1, y1) = 4 \ln x1 + 8 \ln y1$，其中 $x1$ 與 $y1$ 分別為女兒消費 X 與 Y 的數量，ln 為自然對數。兒子的效用函數為：$U2(x2, y2) = \max\{x2, 2 y2\}$，其中 $x2$ 與 $y2$ 分別為兒子消費 X 與 Y 的數量，max 為極大值函數，是指大括號內所有數值中的最大值。某人要將 16 單位的 X 與 8 單位的 Y 分給女兒與兒子，其目標為極大化女兒與兒子兩人效用的總和。某人應給女兒 (9) 單位的 Y，給兒子 (10) 單位的 X。

Accepted Answer

核心觀念 1. 資源配置（Resource Allocation）：將有限的兩種財貨 $X$、$Y$ 在兩人之間分配，使總效用最大。 2. 效用函數 - 女兒：$U1(x1,y1)=4\ln x1+8\ln y1$ （對數型，邊際效用遞減）。 - 兒子：$U2(x2,y2)=\max\{x2,\,2y2\}$。此函數在兩個指標中取較大者，形成 分段線性 的效用形態。 3. 資源限制 $$x1+x2=16,\qquad y1+y2=8,\qquad xi\ge0,\;yi\ge0.$$ 4. 總效用目標 $$\max{x1,y1}\; \bigl[4\ln x1+8\ln y1+\max\{16-x1,\;2(8-y1)\}\bigr].$$ 這是一個 帶不等式分段 的最適化問題。 --- 解題方法 1. 將兒子效用的 max 拆成兩個區間 - 區間 A：$x2\ge 2y2$ $\Longleftrightarrow$ $16-x1\ge 2(8-y1)$ $\Longleftrightarrow$ $x1\le 2y1$。 此時 $U2 = x2 = 16-x1$。 - 區間 B：$2y2\ge x2$ $\Longleftrightarrow$ $x1\ge 2y1$。 此時 $U2 = 2y2 = 2(8-y1)$。 2. 分別對兩區間求極大 區間 A（$x1\le 2y1$） $$fA(x1,y1)=4\ln x1+8\ln y1+16-x1 .$$ - 對 $x1$ 求導：$\displaystyle \frac{\partial fA}{\partial x1}= \frac{4}{x1}-1=0$ → $x1^{}=4$。 - 對 $y1$ 求導：$\displaystyle \frac{\partial fA}{\partial y1}= \frac{8}{y1}0$，故 $y1$ 越大越好。受限於總量 $y1\le8$，取上界 $y1^{}=8$。 - 檢查不等式：$4\le 2\cdot8$ 成立。 - 此時分配：$x1=4,\;y1=8$，$x2=12,\;y2=0$。 - 總效用 $$U^{A}=4\ln4+8\ln8+12\approx5.545+16.636+12=34.18 .$$ 區間 B（$x1\ge 2y1$） $$fB(x1,y1)=4\ln x1+8\ln y1+2(8-y1)=4\ln x1+8\ln y1+16-2y1 .$$ - $\partial fB/\partial x1=4/x10$，故 $x1$ 越大越好，取上界 $x1=16$。 - 代入後得到單變數函數

Question 6

1 月 1 日滿 25 歲的小玲開始在金融業工作，起初沒有任何金融資產，每年薪資所得為 100 萬元，每年生活開銷佔薪資所得的 70%（即 70 萬元），其餘 30%（30 萬元）年底時投資在預期報酬率為 4% 的金融資產。定義薪資儲蓄率為薪資所得中作為金融投資的比率，因此小玲的薪資儲蓄率為 30%。小玲設定當金融資產累積超過退休前一年生活花費的 25 倍時就可以退休。除第 (iv) 小題外請參考表 1 至表 3 中的資訊來回答問題。

(i) 在每年薪資、生活花費、薪資儲蓄率都維持固定，且資產報酬率符合預期之下，請問小玲預計最早滿幾歲時可以退休？答案必須是整數。(11)
(ii) 呈上小題，請問小玲滿 35 歲時預期可累積多少萬元的金融資產？答案必須是整數。(12)
(iii) 小玲在滿 35 歲時換到新的公司上班，此後每年薪資所得增加為 150 萬元。假設小玲仍維持薪資儲蓄率在 30%，且此時累積的金融資產金額達到 (ii) 的答案。在其他條件不變之下，請問小玲預計最早滿幾歲時可以退休？回答此題時需要考慮小玲獲得加薪後，年生活花費以及達成退休目標所需累積的金融資產金額也隨之增加。答案必須是整數。(13)
(iv) 假設小玲希望獲得加薪後維持退休的年齡與加薪前相同。請問小玲的加薪後的每年的薪資儲蓄 $S$ （即投資在金融資產的金額）需要滿足以下哪一個條件？ $S_0(n)$ 為 35 歲時預期累積的金融資產（即 (ii) 的答案）在 4% 的報酬率下繼續投資 $n$ 年所累積的價值。 $f_a(n)$ 代表在 4% 報酬率之下每年年底投資 1 元在金融資產，持續 $n$ 年後所累積的價值。(14) (請將答案寫在「非」選擇題作答區)
(a) $S_0(19) + f_a(19) \times S \ge 25S$
(b) $S_0(19) + f_a(19) \times (150-S) \ge 25S$
(c) $S_0(19) + f_a(19) \times S \ge 25(150-S)$
(d) $S_0(21) + f_a(21) \times S \ge 25S$
(e) $S_0(21) + f_a(21) \times (150-S) \ge 25S$
(f) $S_0(21) + f_a(21) \times S \ge 25(150-S)$
(v) 呈上小題，定義加薪儲蓄率為加薪後多投資在金融資產的金額占加薪金額的比率，例如若小玲加薪 50 萬元後每年投資在金融資產的金額從 30 萬增加到 40 萬，則加薪儲蓄率為 (40-30)/50=20%。假設小玲希望獲得加薪後維持退休的年齡與加薪前相同，請問小玲的加薪儲蓄率最小應為多少%？答案必須是整數，不需要寫出%符號。(15)

Accepted Answer

一、核心觀念 1. 薪資儲蓄率：薪資收入中投入金融資產的比例。 2. 未來價值（Future Value）：在固定報酬率下，年金（每年固定存款）在若干年後的累積金額。 $$FV = C\;\frac{(1+r)^n-1}{r}\qquad (C\!:\! ext{年存款},\;r\!:\! ext{年報酬率},\;n\!:\! ext{期數})$$ 3. 退休條件：當金融資產 ≥ 25 × 退休前一年的生活花費。 $$ ext{目標資產}=25 imes ext{生活開銷}$$ 二、解題方法 | 小題 | 主要步驟與公式 | |------|----------------| | (i) | 以年金未來價值公式求出資產必須達到的目標 $25 imes 70=1750$（單位：萬元）。解不等式 $30\frac{(1.04)^n-1}{0.04}\ge 1750$，得到最小整數年數 $n=31$，再換算成退休年齡。 | | (ii) | 計算第 10 年（25→35 歲）資產： $30\frac{(1.04)^{10}-1}{0.04}$，四捨五入為整數。 | | (iii) | 重新設定：年薪 150、每年儲蓄 $S=0.30 imes150=45$、生活開銷 $105$。以「起始資產 $A0=360$」與新年金公式計算 $Am =360(1.04)^m+45\frac{(1.04)^m-1}{0.04}$，令 $Am\ge25 imes105=2625$，求最小 $m$ 再轉換成退休年齡。 | | (iv) | 依題目定義：

Question 7

考慮有三個時間點 ($t=0, 1, 2$) 的利率期限結構（term structure of interest rate）模型的。定義短期利率為時間 $t-1$ 到時間 $t$ 的無風險利率，$rt$, $t=1, 2$。在時間 0 時，市場上有短期與長期兩種沒有違約風險、也沒有交易成本的債券。短期債券在時間 1 到期，時間 0 時的殖利率為 $y1$。長期債券在時間 2 到期，時間 0 時的殖利率為 $y2$。定義遠期利率 $f{1,2} = (1+y2)^2 / (1+y1) - 1$，即須滿足： $$ (1+y2)^2 = (1+y1)(1+f{1,2}) $$ (i) 假設投資人在時間 0 時可以同時觀察到 $y1$ 與 $y2$，在無套利機會的條件之下，請問以下敘述何者正確？（答案可能不只一項，完全答對才給分）(18) (請將答案寫在「非」選擇題作答區) (a) $y1 = r1$ (b) $(1+y2)^2 = (1+r1)/(1+r2)$ (c) $f{1,2} = r2$ (d) 若 $y2 < y1$, 代表 $f{1,2} < r1$ (ii) 假設投資人在時間 0 只能觀察到 $y1$ 但無法預知 $r2$。財務模型指出在無套利機會的條件下，$f{1,2} = E[r2] + \delta$。$E[r2]$ 為投資人在時間 0 對 $r2$ 的期望值。$\delta 0$ 為流動性溢酬，代表有短期資金需求的人持有長債所得到的額外補償（因為若時間 1 時提前賣出長債須面對利率風險）。在此設定之下，以下敘述哪一個是正確的？ (19) (請將答案寫在「非」選擇題作答區) (a) 若 $y2 y1$, 代表 $E[r2] r1$ (b) 若 $y2 y1$, 代表 $E[r2] < r1$ (c) 若 $y2 < y1$, 代表 $E[r2] r1$ (d…

Accepted Answer

一、核心觀念 1. 短期利率與即期殖利率 - 短期利率 $rt$ 定義為 $t\!-\!1$ 時點到 $t$ 時點的無風險單期利率。 - $t=0$ 時的 1 年零息債券殖利率 $y1$ 僅有一期，所以其價格為 $P1=\frac{1}{1+y1}$，必須等於以 $r1$ 折現的面額 $1$，故 $y1=r1$。 2. 遠期利率 $f{1,2}$ - 兩年零息債券價格 $P2=\frac{1}{(1+y2)^2}$。 - 若在 $t=0$ 購買 1 年債券並於 $t=1$ 再以即時的 1 年利率 $r2$ 投資，則 $P2$ 亦可寫成 $$P2=\frac{1}{1+r1}\cdot\frac{1}{1+r2}.$$ - 兩條路徑等價（無套利）得到 $$(1+y2)^2=(1+r1)(1+r2).$$ - 由此定義的遠期利率 $$f{1,2}\equiv\frac{(1+y2)^2}{1+y1}-1$$ 正好等於 $r2$（在確定利率情形下）或在隨機情形下等於 風險中性期望 $E^{\mathbb Q}[r2]$。 3. 流動性溢酬（Liquidity Premium） - 實務上遠期利率往往高於投資人對未來短期利率的實際期望： $$f{1,2}=E[r2]+\delta,\qquad \delta0.$$ - $\delta$ 代表持有較長期限債券須承受的利率風險與流動性成本。 --- 二、解題方法 1. 利用無套利等式把 $y1,\;y2$ 與 $r1,\;r2$ 串聯。 2. 代入遠期利率定義，比較大小關係（例如 $y2<y1$ 時 $f{1,2}<y1$）。 3. 在加入流動性溢酬的情況下，從 $f{1,2}=E[r2]+\delta$ 推導 $E[r2]$ 與 $r1$ 的相對大小。 4. 對倒掛情形的經濟詮釋，依照「預期未來利率」與「央行政策」的方向判斷哪幾個說法與模型相容。 --- 三、選項分析 (i) 無套利且可同時觀察 $y1,y2$ | 選項 | 推導與判斷 | 結論 | |------|-----------|------| | (a) $y1=r1$ | 1 年零息債券價格 $P1=\frac{1}{1+y1}$，亦等於 $\frac{1}{1+r1}$，兩者相等必有 $y1=r1$。 | 正確 | | (b) $(1+y2)^2=\dfrac{1+r1}{1+r2}$ | 從無套利得到 $(1+y2)^2=(1+r1)(1+r2)$，左側與右側的分母不應出現在式子中。 | 錯誤 | | (c) $f{1,2}=r2$ | $f{1,2}=\dfrac{(1+y2)^2}{1+y1}-1$，代入 (a) 與前式得到 $f{1,2}=r2$。 | 正確 | | (d) 若 $y2<y1$，則 $f{1,2}<r1$ | $y2<y1\;…

選項	推導與判斷	結論
(a) $y_1=r_1$	1 年零息債券價格 $P_1=\frac{1}{1+y_1}$ ，亦等於 $\frac{1}{1+r_1}$ ，兩者相等必有 $y_1=r_1$ 。	正確
(b) $(1+y_2)^2=\dfrac{1+r_1}{1+r_2}$	從無套利得到 $(1+y_2)^2=(1+r_1)(1+r_2)$ ，左側與右側的分母不應出現在式子中。	錯誤
(c) $f_{1,2}=r_2$	$f_{1,2}=\dfrac{(1+y_2)^2}{1+y_1}-1$ ，代入 (a) 與前式得到 $f_{1,2}=r_2$ 。	正確
(d) 若 $y_2<y_1$ ，則 $f_{1,2}<r_1$	$y_2<y_1\;\Rightarrow\;(1+y_2)^2<(1+y_1)^2\;\Rightarrow\;\dfrac{(1+y_2)^2}{1+y_1}<1+y_1\;\Rightarrow\;f_{1,2}<y_1=r_1$ 。	正確

113 年國立臺灣大學財務金融研究所丙組《經濟學原理》

第 1 題

(a) 政策一：無限制收購，設定收購價格 $P_G$

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 8 題

(i) 無套利且可同時觀察 $y_1,y_2$

(ii) 只能觀察 $y_1$ ，遠期利率具流動性溢酬 $f_{1,2}=E[r_2]+\delta\;( \delta>0)$

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小題	主要步驟與公式
(i)	以年金未來價值公式求出資產必須達到的目標 $25\times 70=1750$ （單位：萬元）。解不等式 $30\frac{(1.04)^n-1}{0.04}\ge 1750$ ，得到最小整數年數 $n=31$ ，再換算成退休年齡。
(ii)	計算第 10 年（25→35 歲）資產： $30\frac{(1.04)^{10}-1}{0.04}$ ，四捨五入為整數。
(iii)	重新設定：年薪 150、每年儲蓄 $S=0.30\times150=45$ 、生活開銷 $105$ 。以「起始資產 $A_0=360$ 」與新年金公式計算 $A_m =360(1.04)^m+45\frac{(1.04)^m-1}{0.04}$ ，令 $A_m\ge25\times105=2625$ ，求最小 $m$ 再轉換成退休年齡。
(iv)	依題目定義：<br> - $S_0(n)$ ：35 歲時的資產 $360$ 只做利息複利 $n$ 年的價值。<br> - $f_a(n)$ ：每年存入 1 元，4% 報酬率下 $n$ 年的未來價值。<br> 退休條件變為 $S_0(n)+f_a(n)S\ge25(\text{新生活開銷})=25(150-S)$ ，且「維持退休年齡」＝原本退休前剩餘年數 $n=21$ 。比對選項即可找出正確式。
(v)	取 (iv) 中的等號求 $S$ 的最小值：<br>
$360(1.04)^{21}+ \frac{(1.04)^{21}-1}{0.04}\,S = 25(150-S)$
<br> 解得 $S\approx51.4$ （萬元）。加薪額為 $150-100=50$ （萬元），加薪儲蓄率＝ $(S-30)/50$ ，取最小整數即 43（%）。

113 年 國立臺灣大學財務金融研究所丙組《經濟學原理》