113 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《財務管理與財金數學》

本題考查離散隨機變數的機率產生函數（Probability Generating Function, PGF）及其性質。對於一個離散型隨機變數 $X$，其機率產生函數定義為 $P_X(z) = E[z^X]$。對於 Poisson 分佈，其機率產生函數為 $P_X(z) = e^{\lambda(z-1)}$。

首先，我們根據題目給出的定義來推導 PGF：
$P_X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} P(X=n) z^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!} z^n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda z)^n}{n!}$
根據泰勒級數展開 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，我們有：
$P_X(z) = e^{-\lambda} e^{\lambda z} = e^{\lambda(z-1)}$
這與 Poisson 分佈 PGF 的標準形式一致。

接下來，我們利用 PGF 的性質來計算期望值和變異數。
PGF 的一階導數在 $z=1$ 的值等於期望值 $E[X]$：
$P_X'(z) = \frac{d}{dz} e^{\lambda(z-1)} = e^{\lambda(z-1)} \cdot \lambda$

本題考查應用 Itô's Lemma 來推導資產價值的 Itô 過程。我們需要從資產的組成部分（風險資產與無風險資產）的報酬率，推導出總資產價值的動態過程。

設投資者的總資產為 $X(t)$。在時間 $t$，投資者將 $w$ 的比例配置於風險資產，將 $(1-w)$ 的比例配置於無風險資產。
風險資產的瞬間報酬率（未乘上資產價值）為 $dr_{risky} = \mu dt + \sigma dZ$。
無風險資產的瞬間報酬率為 $dr_{risk\_free} = s dt$。

因此，總資產 $X(t)$ 的瞬間報酬率 $dX$ 可以表示為：
$dX = w X(t) \cdot \frac{dr_{risky}}{X(t)} + (1-w) X(t) \cdot \frac{dr_{risk\_free}}{X(t)}$
$dX = w X(t) \cdot (\mu dt + \sigma dZ) + (1-w) X(t) \cdot (s dt)$

本題考查線性方程組解的存在性問題。一個線性方程組有解的條件通常與其係數矩陣的秩（rank）以及增廣矩陣的秩有關。對於一個 $m \times n$ 的線性方程組 $Ax=b$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 的係數矩陣，$x$ 是 $n \times 1$ 的變數向量，$b$ 是 $m \times 1$ 的常數向量，該方程組有解的充要條件是 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A|b])$。

給定的線性方程組為：

$$\begin{cases} x_1+5x_2+2x_3 = a_1 \\ 2x_1+x_2+x_3 = a_2 \\ x_1+2x_2+x_3 = a_3 \end{cases}$$

其係數矩陣 $A$ 和增廣矩陣 $[A|b]$ 分別為：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad [A|b] = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 2 & a_1 \\ 2 & 1 & 1 & a_2 \\ 1 & 2 & 1 & a_3 \end{pmatrix}$
我們可以使用高斯消去法（Gaussian elimination）來尋找係數矩陣的秩，並同時觀察常數向量 $a_1, a_2, a_3$ 的關係。

對增廣矩陣進行行變換：

核心觀念

本題考查矩陣的秩與反矩陣：

• 矩陣的秩 $\operatorname{rank}(A)$ 等於其列梯形矩陣中主元的個數。
• 對 $n\times n$ 方陣而言，若 $\operatorname{rank}(A)=n$，則 $A$ 可逆。
• 反矩陣 $A^{-1}$ 滿足

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$

其中 $I$ 為單位矩陣。

解題方法

令

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & -2 & -3 \end{pmatrix}$$

先以列運算化為階梯矩陣。

第一階段：

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+2R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-3R_1$$

得到

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -5 & -3 \end{pmatrix}$$

再進行

$$R_1\leftarrow R_1-2R_2,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4+2R_2$$

得到

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -1 \end{pmatrix}$$

最後

$$R_4\leftarrow R_4+\frac94R_3$$

因此

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac72 \end{pmatrix}$$

共有四個主元，所以

$$\operatorname{rank}(A)=4$$

因為矩陣 $A$ 是 $4\times 4$ 方陣，且秩為 $4$，故 $A$ 可逆。

求反矩陣

使用增廣矩陣：

本題要求使用克拉瑪公式（Cramer's Rule）來求解一個三元一次線性方程組。克拉瑪公式適用於係數矩陣為方陣且其行列式不為零的線性方程組。

給定的線性方程組為：

$$\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\ 2x-y+z=0 \\ x+2y+3z=1 \end{cases}$$

其係數矩陣 $A$ 和常數向量 $b$ 為：
$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

步驟 1：計算係數矩陣的行列式 $D$
$D = \det(A) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$D = 3 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$
$D = 3((-1)(3) - (1)(2)) - 2((2)(3) - (1)(1)) + 4((2)(2) - (-1)(1))$
$D = 3(-3 - 2) - 2(6 - 1) + 4(4 + 1)$
$D = 3(-5) - 2(5) + 4(5)$
$D = -15 - 10 + 20$
$D = -5$
由於 $D \neq 0$，該方程組有唯一解。

步驟 2：計算 $D_x$
將係數矩陣 $A$ 的第一列替換為常數向量 $b$：
$D_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$D_x = 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$
$D_x = 1((-1)(3) - (1)(2)) - 2((0)(3) - (1)(1)) + 4((0)(2) - (-1)(1))$
$D_x = 1(-3 - 2) - 2(0 - 1) + 4(0 + 1)$
$D_x = 1(-5) - 2(-1) + 4(1)$
$D_x = -5 + 2 + 4$
$D_x = 1$

本題要求利用拉格朗日乘數法（Lagrangian Multiplier Method）求解一個二次規劃問題，並找出拉格朗日乘數 $\lambda$ 和 $\gamma$。這個二次規劃問題定義了邊界投資組合（frontier portfolio）的權重。

問題的目標是最小化投資組合的變異數 $\frac{1}{2} w^T V w$，同時滿足兩個約束條件：

1. $w^T e = E[r_p]$ (預期報酬率約束)
2. $w^T \mathbf{1} = 1$ (權重總和為 1 的約束)

其中 $w$ 是資產權重的 $N \times 1$ 向量，$V$ 是 $N \times N$ 的協方差矩陣，$e$ 是預期報酬率的 $N \times 1$ 向量，$\mathbf{1}$ 是全為 1 的 $N \times 1$ 向量，$E[r_p]$ 是目標預期報酬率。

拉格朗日函數 $L$ 已給出：
$L(w, \lambda, \gamma) = \frac{1}{2} w^T V w + \lambda (E[r_p] - w^T e) + \gamma (1 - w^T \mathbf{1})$
其中 $\lambda$ 和 $\gamma$ 是拉格朗日乘數。題目中提到 $\lambda$ 和 $\gamma$ 是兩個「正」的常數，這通常與問題的設定有關（例如，在某些情況下，它們代表了預期報酬率和權重總和約束的影子價格）。然而，在求解過程中，我們不一定需要預設它們為正，而是通過求偏導數來確定它們。

為了找到最优解 $w_p$，我們需要對拉格朗日函數 $L$ 對 $w$ 求偏導數，並令其為零。
$\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{1}{2} w^T V w + \lambda E[r_p] - \lambda w^T e + \gamma - \gamma w^T \mathbf{1} \right)$
利用矩陣微積分的規則：$\frac{\partial}{\partial w} (w^T A w) = 2Aw$ (如果 $A$ 是對稱的) 且 $\frac{\partial}{\partial w} (w^T b) = b$。
$\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{1}{2} (2Vw) - \lambda e - \gamma \mathbf{1}$
$\frac{\partial L}{\partial w} = Vw - \lambda e - \gamma \mathbf{1}$
令偏導數為零：
$Vw - \lambda e - \gamma \mathbf{1} = 0$
$Vw = \lambda e + \gamma \mathbf{1}$
由於 $V$ 是正定矩陣，其逆矩陣 $V^{-1}$ 存在。我們可以解出 $w$：
$w = V^{-1} (\lambda e + \gamma \mathbf{1})$
$w = \lambda V^{-1} e + \gamma V^{-1} \mathbf{1}$

現在，我們將這個解代回兩個約束條件中，以求解 $\lambda$ 和 $\gamma$。

約束條件 1：$w^T e = E[r_p]$
$(\lambda V^{-1} e + \gamma V^{-1} \mathbf{1})^T e = E[r_p]$
$(\lambda (V^{-1} e)^T + \gamma (V^{-1} \mathbf{1})^T) e = E[r_p]$
$(\lambda e^T (V^{-1})^T + \gamma \mathbf{1}^T (V^{-1})^T) e = E[r_p]$
由於 $V$ 是對稱的，所以 $V^{-1}$ 也是對稱的，即 $(V^{-1})^T = V^{-1}$。
$(\lambda e^T V^{-1} + \gamma \mathbf{1}^T V^{-1}) e = E[r_p]$
$\lambda e^T V^{-1} e + \gamma \mathbf{1}^T V^{-1} e = E[r_p]$
令 $A = e^T V^{-1} e$，$B = \mathbf{1}^T V^{-1} e$。
$\lambda A + \gamma B = E[r_p] \quad (*)$

約束條件 2：$w^T \mathbf{1} = 1$
$(\lambda V^{-1} e + \gamma V^{-1} \mathbf{1})^T \mathbf{1} = 1$
$(\lambda (V^{-1} e)^T + \gamma (V^{-1} \mathbf{1})^T) \mathbf{1} = 1$
$(\lambda e^T V^{-1} + \gamma \mathbf{1}^T V^{-1}) \mathbf{1} = 1$

本題考查額外資金需求（Additional Funds Needed, AFN）的計算，並探討股利發放率（payout ratio）變化對 AFN 的影響。AFN 的計算公式為：
$\text{AFN} = \frac{\text{Assets}_1}{\text{Sales}_1} \Delta \text{Sales} - \frac{\text{Liabilities}_1}{\text{Sales}_1} \Delta \text{Sales} - \text{Profit margin} \times \text{Sales}_1 \times (1 - \text{Payout Ratio})$
其中：

• $\text{Assets}_1 / \text{Sales}_1$ 是資產對銷售額的比率 (A/S ratio)。
• $\Delta \text{Sales}$ 是銷售額的預期增長。
• $\text{Liabilities}_1 / \text{Sales}_1$ 是應付帳款和應付票據等自動負債對銷售額的比率 (SPN/S ratio)。
• $\text{Profit margin}$ 是利潤率。
• $\text{Sales}_1$ 是下一期的預期銷售額。
• Payout Ratio 是股利發放率。

首先，我們需要計算今年（第二年）的銷售額 $S_1$。
$S_0 = 400$ 百萬
$g = 35\% = 0.35$
$S_1 = S_0 (1+g) = 400 (1 + 0.35) = 400 \times 1.35 = 540$ 百萬

接下來，我們計算資產對銷售額的比率 (A/S ratio)。因為公司營運在滿產能，所以資產會隨著銷售額同比例增長。
$A_0^* = 700$ 百萬
$A_1^* = A_0^* (1+g) = 700 (1 + 0.35) = 700 \times 1.35 = 945$ 百萬
A/S ratio = $A_1^* / S_1 = 945 / 540 = 1.75$。
或者，我們也可以使用上一年資料計算：$A_0^* / S_0 = 700 / 400 = 1.75$。

然後，我們計算自動負債（應付帳款和應付票據）對銷售額的比率 (SPN/S ratio)。
應付帳款 $AP = 80$ 百萬
應付票據 $NP = 35$ 百萬
總自動負債 $SPN = AP + NP = 80 + 35 = 115$ 百萬
SPN/S ratio = $SPN / S_0 = 115 / 400 = 0.2875$。

股利發放率（Payout Ratio）從 20% 變為 40%。
留存比率（Retention Ratio）則從 $1 - 20\% = 80\%$ 變為 $1 - 40\% = 60\%$。

情況一：原股利發放率為 20%
留存比率 = 80%
淨利潤 $NI_1 = S_1 \times \text{Profit Margin} = 540 \times 15\% = 540 \times 0.15 = 81$ 百萬

本題要求確定公司的最佳資本結構，並計算在此結構下的資本總成本（Cost of Capital）。這需要我們計算不同資本結構下的加權平均資本成本（Weighted Average Cost of Capital, WACC），並找出使 WACC 最小的資本結構。

WACC 的計算公式為：
$\text{WACC} = W_d \times r_d (1 - T) + W_s \times r_e$
其中：

• $W_d$ 是債務佔總資本的比例。
• $r_d$ 是債務的稅前成本（Before-tax cost of debt）。
• $T$ 是公司稅率。
• $W_s$ 是股權佔總資本的比例。
• $r_e$ 是股權的成本（Cost of Equity）。

我們需要為表格中提供的每一種資本結構計算 WACC。

步驟 1：計算股權成本 ($r_e$)
股權成本使用 CAPM 模型計算：$r_e = r_f + \beta \times (r_m - r_f)$
其中 $r_f$ 是無風險利率，$(r_m - r_f)$ 是市場風險溢價。
題目給出：$r_f = 3.8\%$, 市場風險溢價 $= 6.5\%$。
但是，股權成本 $r_e$ 會隨著公司的槓桿程度（即 $W_d$ 的增加）而改變。我們需要使用 Hamada 方程式來計算不同槓桿水平下的 beta 值。
Hamada 方程式：$\beta_L = \beta_U [1 + (1 - T) (W_d / W_s)]$
其中 $\beta_L$ 是有槓桿的 beta，$\beta_U$ 是無槓桿的 beta。
題目給出無槓桿 beta $\beta_U = 1.1$。

步驟 2：為每一種資本結構計算 $r_e$ 和 WACC

資本結構 1：$W_d = 0.2$, $W_s = 0.8$
$r_d = 5.50\%$
$\beta_L = 1.1 [1 + (1 - 0.34) (0.2 / 0.8)] = 1.1 [1 + 0.66 \times 0.25] = 1.1 [1 + 0.165] = 1.1 \times 1.165 = 1.2815$
$r_e = 3.8\% + 1.2815 \times 6.5\% = 0.038 + 1.2815 \times 0.065 = 0.038 + 0.0832975 \approx 12.13\%$
WACC = $0.2 \times 5.50\% (1 - 0.34) + 0.8 \times 12.13\%$
WACC = $0.2 \times 0.055 \times 0.66 + 0.8 \times 0.1213$
WACC = $0.00726 + 0.09704 = 0.1043 \approx 10.43\%$

資本結構 2：$W_d = 0.3$, $W_s = 0.7$
$r_d = 5.90\%$
$\beta_L = 1.1 [1 + (1 - 0.34) (0.3 / 0.7)] = 1.1 [1 + 0.66 \times (3/7)] = 1.1 [1 + 0.282857] = 1.1 \times 1.282857 \approx 1.4111$
$r_e = 3.8\% + 1.4111 \times 6.5\% = 0.038 + 1.4111 \times 0.065 = 0.038 + 0.0917215 \approx 12.97\%$
WACC = $0.3 \times 5.90\% (1 - 0.34) + 0.7 \times 12.97\%$
WACC = $0.3 \times 0.059 \times 0.66 + 0.7 \times 0.1297$

核心觀念

• 自由現金流 (Free Cash Flow, FCF)：企業經營活動在各期產生的可供投資或分派的現金。
• 加權平均資本成本 (WACC)：折現率，用於將未來現金流折回至當前價值。
• 永續成長模型 (Gordon 成長模型)：若自由現金流在第 3 期之後以固定成長率 $g$ 永續成長，則第 3 期末的終值（Terminal Value）為

$TV_3 = \frac{FCF_3(1+g)}{WACC-g}$

• 折現：把每期現金流與終值以 $(1+WACC)^t$ 折回至 $t=0$ 時的現值。

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解題方法

1. 求永續成長率 $g$
   從第 2 年到第 3 年的成長率

$$g = \frac{FCF_3-FCF_2}{FCF_2} = \frac{86-82}{82} = \frac{4}{82} \approx 0.04878\;(4.88\%)$$

2. 計算第 3 期末的終值 $TV_3$

$$TV_3 = \frac{86(1+0.04878)}{0.15-0.04878} = \frac{86\times1.04878}{0.10122} \approx \frac{90.20}{0.10122} \approx 891.3\;(\text{百萬})$$

3. 將每期現金流與終值折回至 Year 0

$$\begin{aligned} PV_1 &= \frac{-16}{(1+0.15)^1}= \frac{-16}{1.15}= -13.91 \\ PV_2 &= \frac{ 82}{(1+0.15)^2}= \frac{ 82}{1.3225}= 62.00 \\ PV_3 &= \frac{ 86+TV_3}{(1+0.15)^3} =\frac{86+891.3}{1.520875} =\frac{977.3}{1.520875} \approx 642.8 \end{aligned}$$

本題考查市場預期變化對股價的影響，特別是在一個資訊不對稱的市場中，突發新聞如何影響資產價格。這與效率市場假說（Efficient Market Hypothesis, EMH）中的半強式效率有關，即所有公開資訊都會迅速反映在股價中。

事件分析：

1. 預期情況（事前）： 市場普遍預期 Koffing (K) 贏得合約的機率為 99%，Kingler (L) 贏得合約的機率為 1%。
2. 實際情況（事後）： NTU 宣布將合約授予 Kingler。這是一個「意外」的正面消息，因為結果與市場預期完全相反。
3. 合約價值： 此合約將增加 Kingler 的市場價值 6.8 億美元。

對 Kingler (L) 的影響：

• 事前： 由於市場預期 Kingler 贏得合約的機率極低（1%），其股價已經反映了這種低機率的預期。
• 事後： Kingler 意外贏得了價值 6.8 億美元的合約。這是一個重大利好消息。
  • Kingler 的市場價值將增加 6.8 億美元。
  • Kingler 的總股份數為 3.9 億股。
  • 每股股價的預期上漲幅度為：$6.8 \text{ 億美元} / 3.9 \text{ 億股} \approx 1.7436$ 美元/股。
• 結論： Kingler 的股價預期會大幅上漲。

對 Koffing (K) 的影響：

• 事前： 市場幾乎 100% 確定 Koffing 將贏得合約。其股價已經充分反映了贏得此合約的預期價值。
• 事後： Koffing 意外未能贏得此合約。這對 Koffing 而言是一個重大利空消息。
  • Koffing 原本預期從此合約獲得的價值（市場預期中的價值）現在消失了。

本題考查權益報酬率（Return on Equity, ROE）在資本結構改變時的變化。我們需要計算在兩種不同的債務融資比例下的 ROE，然後找出其差值。

ROE 的計算公式為：$\text{ROE} = \frac{\text{Net Income}}{\text{Total Equity}}$

已知資訊：

• 銷售額 (Sales) = $990,000
• 營運成本 (Operating Costs) = $788,500
• 年終資產 (Total Assets) = $866,000
• 稅率 (Tax Rate, T) = 31% = 0.31
• 債務利率 (Interest Rate) = 7.5% = 0.075

情況一：原始資本結構

• 債務佔總資產比例 (Debt-to-Total-Assets ratio) = 17% = 0.17
• 總債務 (Total Debt) = Total Assets $\times$ 0.17 = $866,000 \times 0.17 = 147,220$
• 總股權 (Total Equity) = Total Assets - Total Debt = $866,000 - 147,220 = 718,780$
• 利息支出 (Interest Expense) = Total Debt $\times$ Interest Rate = $147,220 \times 0.075 = 11,041.5$
• 稅前淨利 (Earnings Before Tax, EBT) = Sales - Operating Costs - Interest Expense
  EBT = $990,000 - 788,500 - 11,041.5 = 190,458.5$
• 所得稅 (Taxes) = EBT $\times$ Tax Rate = $190,458.5 \times 0.31 = 59,042.135$
• 稅後淨利 (Net Income) = EBT - Taxes = $190,458.5 - 59,042.135 = 131,416.365$
• 原始 ROE = Net Income / Total Equity = $131,416.365 / 718,780 \approx 0.182837 \approx 18.28%

本題考查投資組合理論（Portfolio Theory）中的基本概念，包括相關性、分散化、效率前緣（Efficient Frontier）和投資組合權重。我們需要逐一判斷每個敘述的真偽。

A) When stocks are perfectly positively correlated, the set of portfolios is identified graphically by a straight line between them.

• 分析： 當兩個資產的相關係數 $\rho = +1$ 時，它們的組合的風險-報酬關係（在風險-報酬圖上）會形成一條直線。這意味著組合的預期報酬率是資產預期報酬率的線性組合，而組合的標準差（風險）也是資產標準差的線性組合。
• 判斷： 真。

B) An investor seeking high returns and low volatility should only invest in an efficient portfolio.

• 分析： 效率前緣（Efficient Frontier）上的投資組合提供了在給定風險水平下最高的預期報酬，或者在給定預期報酬水平下最低的風險。尋求高報酬和低風險的投資者，其最佳策略是選擇效率前緣上的某個投資組合（可能結合無風險資產）。
• 判斷： 真。

C) Efficient portfolios can be easily ranked, because investors will choose from among them those with the highest expected returns.

• 分析： 效率前緣上的投資組合提供了不同的風險-報酬組合。投資者會根據自己的風險偏好，在效率前緣上選擇一個點。雖然效率前緣上的所有投資組合都是「有效」的，但它們無法簡單地「排名」，因為一個投資組合可能在報酬上優於另一個，但在風險上也更高。投資者會根據自己的效用函數來選擇。說「可以輕鬆排名」是因為它們提供了「最高的預期報酬」，這是不準確的。在給定風險下，它們提供最高的預期報酬，但在風險不同時，排名就取決於個人偏好。
• 判斷： 假。效率前緣上的組合本身無法簡單排名，投資者會根據其風險偏好從中選擇。

核心觀念
本題屬於資本資產定價模型（CAPM）與有效前緣（efficient frontier）之應用。關鍵概念包括：

1. 投資組合的期望報酬與波動率：

$E[R]=\mu,\qquad \sigma=\text{volatility}$

2. 有效（切點）投資組合：在資本市場線（CML）上，唯一同時最大化夏普比率（Sharpe Ratio）的投資組合。
3. 資本市場線（CML）方程式：任意可行投資組合的期望報酬與波動率關係為

$E[R_p]=R_f+\frac{E[R_T]-R_f}{\sigma_T}\,\sigma_p$

其中 $R_f$ 為無風險利率，$E[R_T],\sigma_T$ 為有效投資組合的期望報酬與波動率，$\sigma_p$ 為該投資組合的波動率。

解題方法
題目給定目前投資組合的波動率 $\sigma_{\text{curr}}=12\%$。若不希望波動率超過此水平，則在 CML 上找到對應的最高期望報酬。直接使用 CML 方程式把 $\sigma_p$ 代入 $\sigma_{\text{curr}}$ 便可求得最大可得報酬 $E[R_{\max}]$。

計算步驟：

1. 計算有效投資組合的夏普比率：

$$SR_T=\frac{E[R_T]-R_f}{\sigma_T} =\frac{23\%-4.5\%}{17\%}= \frac{0.185}{0.17}\approx 1.0882$$

2. 依照 CML，把目前的波動率代入：

核心觀念

1. Alpha（α）：投資組合在扣除基準報酬後，仍能產生的超額報酬。
2. 管理費（fee）：基金公司對全部管理資產（AUM）收取固定比例的費用。
3. 均衡（equilibrium）：投資人只會在 淨期望報酬 > 0 時投入資金，若淨報酬 ≤ 0 則不會再淨流入或流出。
4. 邊際投資人的判斷：在均衡狀態下，邊際投資人的 淨報酬 = 0（正好沒動機再增資或撤資）。

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解題方法

1. 設基金的總資產規模為 $A$（單位：百萬美元）。
2. Alpha 產生的超額報酬
   • 只有前 $999 百萬的資金能獲得 $\alpha =3.5\%$ 的超額報酬。
   • 超額報酬金額

$\text{Alpha profit}=0.035 \times 999\text{ M}=34.965\text{ M}$

3. 管理費收入
   • 受費率 $\beta =0.75\% =0.0075$。
   • 管理費收入為 $\beta A$。
4. 均衡條件
   • 邊際投資人只在 淨期望報酬 = 0 時保持資金不變。
   • 基金的 總淨報酬 為「Alpha profit」減去「管理費」：

$\text{Net profit}=34.965\text{ M}-0.0075A$

• 均衡要求 $\text{Net profit}=0$，因此

$34.965\text{ M}=0.0075A \;\Longrightarrow\; A=\frac{34.965}{0.0075}=4{,}662\text{ M}$

5. 求管理費收入

$\text{Fee income}=0.0075\times 4{,}662\text{ M}=34.965\text{ M}$