109 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《財務管理與財金數學》

本題考驗投資組合理論中的最小變異數投資組合權重計算。最小變異數投資組合是指能夠在所有可能的投資組合中，達到最低風險（變異數）的組合。

假設有兩個資產：Nike (N) 和 Adidas (A)。
預期報酬率：$E(R_N) = 12\% = 0.12$, $E(R_A) = 14\% = 0.14$
變異數：$\sigma_N^2 = 6\% = 0.06$, $\sigma_A^2 = 8\% = 0.08$
共變異數：$\sigma_{NA} = 5\% = 0.05$
無風險利率：$R_f = 4\% = 0.04$

對於一個由兩個資產組成的投資組合，其權重分別為 $X_N$ 和 $X_A$，且 $X_N + X_A = 1$。
投資組合的變異數為：
$\sigma_P^2 = X_N^2 \sigma_N^2 + X_A^2 \sigma_A^2 + 2 X_N X_A \sigma_{NA}$

最小變異數投資組合的權重計算公式為：
$X_N = \frac{\sigma_A^2 - \sigma_{NA}}{\sigma_N^2 + \sigma_A^2 - 2\sigma_{NA}}$
$X_A = 1 - X_N$

核心觀念

本題考查「切點投資組合」（tangency portfolio）的權重計算。切點投資組合是由無風險資產與風險資產所形成之資本配置線中，夏普值最大的風險資產組合。

其權重公式為：

$$\mathbf{X} = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_f\mathbf{1})} {\mathbf{1}^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_f\mathbf{1})}$$

其中：

• $\boldsymbol{\mu}$：各股票之期望報酬率向量
• $r_f$：無風險利率
• $\boldsymbol{\Sigma}$：報酬變異數與共變異數矩陣
• $\mathbf{X}$：風險資產組合權重向量

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解題方法

Nike 與 Adidas 的期望報酬率分別為 $12\%$、$14\%$，無風險利率為 $4\%$，因此超額報酬向量為：

$$\boldsymbol{\mu}-r_f\mathbf{1} = \begin{bmatrix} 12\%-4\%\\ 14\%-4\% \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8\\ 10 \end{bmatrix}$$

變異數與共變異數矩陣為：

$$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 6 & 5\\ 5 & 8 \end{bmatrix}$$

其反矩陣為：

$$\boldsymbol{\Sigma}^{-1} = \frac{1}{6(8)-5(5)} \begin{bmatrix} 8 & -5\\ -5 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 8 & -5\\ -5 & 6 \end{bmatrix}$$

先計算未標準化權重：

$$\boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu}-r_f\mathbf{1}) = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 8 & -5\\ -5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8\\ 10 \end{bmatrix}$$ $$= \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 8(8)-5(10)\\ -5(8)+6(10) \end{bmatrix} = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 14\\ 20 \end{bmatrix}$$

由於最後必須將權重標準化，使兩項權重加總為 $1$，因此：

$$X_{\text{Nike}} = \frac{14}{14+20} = \frac{14}{34} \approx 0.41$$

核心觀念

本題的核心在於應用高登常數成長模型（Gordon Constant-Growth Dividend Discount Model）進行股票評價，並結合市場效率與均衡預期報酬率的概念：

1. 高登常數成長模型：

   $$P_0 = \frac{D_1}{k - g}$$

   其中 $P_0$ 為股票現值，$D_1$ 為下一期預期發放之股利，$k$ 為市場資本化率（Market Capitalization Rate，即權益資金成本／必要報酬率），$g$ 為股利長期固定成長率。

2. 預期報酬率（Expected Rate of Return）分解：
   在常數成長模型下，投資人的預期報酬率可拆解為「股利殖利率」與「資本利得率（股價成長率）」：

   $$E(r) = \text{Dividend Yield} + \text{Capital Gains Yield} = \frac{D_1}{P_0} + g$$

   在效率市場均衡狀態下，股價會立即反映新資訊，使新價格下的預期報酬率 $E(r)$ 恆等於市場必要報酬率 $k$。

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解題方法

步驟 1：計算公告前的原始股價（$P_0$）

• 預計下一期股利：$D_1 =$ $5
• 原股利成長率：$g_0 = 6\%$
• 市場資本化率：$k = 15\%$

帶入高登模型計算原始股價：

$$P_0 = \frac{D_1}{k - g_0} = \frac{5}{0.15 - 0.06} = \frac{5}{0.09} \approx 55.555... \approx 55.56$$

故公告前原始股價 $P_0 \approx$ $55.56。

步驟 2：計算公告後的新股價（$P_1$）

註：題目中的 $P_1$ 指利多消息公告後之「新股價」（New Stock Price）。

• 獲利合約使成長率提升至：$g_1 = 7\%$
• 下一期股利維持：$D_1 =$ $5
• 市場資本化率不變：$k = 15\%$

帶入高登模型計算新股價：

$$P_{\text{new}} = \frac{D_1}{k - g_1} = \frac{5}{0.15 - 0.07} = \frac{5}{0.08} = 62.50$$

故公告後的新股價 $P_1 =$ $62.50。

步驟 3：分析未來預期報酬率（Future Expected Rate of Return）的變化

• 公告前：

核心觀念

1. CAPM（資本資產定價模型）
   $r_E = r_f + \beta_E\bigl(R_M-r_f\bigr)$
   其中 $r_E$ 為股權成本，$r_f$ 為無風險利率，$\beta_E$ 為股權β，$R_M-r_f$ 為市場風險溢酬。

2. 加權平均資本成本（WACC）（含稅）
   $\text{WACC}=w_E r_E + w_D r_D(1-T_c)$
   $w_E$、$w_D$ 分別是權益與債務在公司資本結構中的權重，$r_D$ 為債務成本，$T_c$ 為公司所得稅率。

3. 資本結構權重
   若債務／股權比（Debt : Equity）為 $4\!:\!1$，則
   $\frac{D}{E}= \frac{1}{4}=0.25$
   總資本 $V = D+E = 1.25E$，
   $w_E=\frac{E}{V}=0.80,\qquad w_D=\frac{D}{V}=0.20$

4. 永續無風險債務
   永續且無風險的債務其成本即等於無風險利率 $r_f$。

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解題方法與步驟

1. 計算股權成本（CAPM）

$r_E = 5\% + 1.2 \times 10\% = 5\% + 12\% = 17\%$

2. 計算債務成本（稅前）
   永續無風險債務的成本等於無風險利率：

$r_D = 5\%$

3. 計算稅後債務成本

$r_D^{\text{after tax}} = r_D (1-T_c)=5\%(1-0.20)=5\% \times 0.8 = 4\%$

4. 套用 WACC 公式

本題考驗債券定價的基本原理，即債券的市場價格（或稱市價）與其票面價值（par value）和票面利率（coupon rate）與到期收益率（yield to maturity, YTM）之間的關係。

債券的價格是其未來現金流（即每期支付的利息，以及到期時償還的本金）以到期收益率折現的現值。

我們知道，債券的票面價值（Par Value）通常是 $100 或 $1000。
票面利率（Coupon Rate）是每年支付的利息與票面價值的比率。
到期收益率（Yield to Maturity, YTM）是投資者購買債券後，持有至到期所能獲得的年化報酬率。

以下是三種基本情況：

1. 當票面利率 (Coupon Rate) 等於到期收益率 (YTM) 時：
   此時，債券的現金流（利息支付）的折現率等於其票面利率。因此，債券的現值（市價）將等於其票面價值。
   債券價格 = 票面價值 (Par Value)。

2. 當票面利率 (Coupon Rate) 高於到期收益率 (YTM) 時：
   此時，債券每年支付的利息（基於較高的票面利率）比市場要求的報酬率（YTM）還要高。這使得債券的現金流折現後的總現值高於票面價值。
   債券價格 > 票面價值 (Par Value)。
   這種情況下，債券被稱為「溢價債券」(Premium Bond)。

3. 當票面利率 (Coupon Rate) 低於到期收益率 (YTM) 時：
   此時，債券每年支付的利息（基於較低的票面利率）比市場要求的報酬率（YTM）還要低。

核心觀念
本題測驗的是公司資本籌措的優先順序與對資本市場訊號的認識，屬於財務管理中「資本結構」與「資訊不對稱」的概念。

• 內部資金 (內部產生的現金)：指企業從經營活動所產生的盈餘或自由現金流，用來直接投資或償還債務。
• 外部資金：包括發行新股、發行公司債或向金融機構借款。取得外部資金往往伴隨發行成本 (承銷費、律師費、會計師費等) 以及訊號傳遞效應。
• 訊號不對稱 (資訊不對稱)：公司管理層掌握較多內部資訊，投資者只能根據公開訊號做判斷。若企業宣布發行新股，投資者可能解讀為公司內部評估未來現金流不足或股價被高估，形成負面預期，稱為新股發行的負訊號。
• 市場紀律 (市場約束)：外部資金的取得會使公司受到債權人或股東的監督，迫使管理層維持一定的獲利或現金流表現。

解題方法
本題為概念性多選題，需對每個敘述的正確性作判斷，然後對照選項。檢驗步驟如下：

1. 檢視 I：發行新證券（如新股或新債）需支付承銷費、律師費、會計師費、登記費等，且若需募集大量資金，發行成本相對可觀。
2. 檢視 II：根據訊號理論（例如 Myers & Majluf 1984），公司發行新股常被市場解讀為管理層認為現有股價被高估，或公司缺乏內部可投資機會，投資者因此感到不安，股價往往下跌。
3. 檢視 III：若完全使用內部資金，管理層不必接受外部投資者或債權人的監督，確實可以「避免市場的紀律」；

本題考驗對資訊不對稱 (information asymmetry) 和逆向選擇 (adverse selection) 在金融市場中的影響，特別是這些因素如何影響交易量 (trading volume)。

當市場存在資訊不對稱時，一部分交易者（知情交易者）擁有比其他交易者（不知情交易者）更多的資訊。不知情交易者擔心自己會因為資訊劣勢而做出不利的交易，即「逆向選擇」問題。這會導致不知情交易者在某些情況下減少交易意願。

我們來分析四個敘述：

I) Total trading volume is likely to increase before unscheduled corporate announcements (such as client and product announcements)

• 未排程的公告 (Unscheduled Announcements)：這類公告通常是突發的，市場沒有充分的預期。例如，重要的客戶合約、產品重大突破或問題、高層人事變動等。
• 資訊不對稱與交易量：在這些突發消息公佈前，知情交易者會因為掌握了即將公佈的資訊而積極交易，試圖從中獲利。這會導致知情交易者與不知情交易者之間的交易增加。不知情交易者雖然擔心逆向選擇，但為了獲取潛在的利益或執行既有計畫，也可能進行交易。
• 預期與交易：市場參與者通常會預期這些突發消息會對股價產生較大的影響。這種預期會激勵交易者在消息公佈前進行交易，以期在消息公佈後獲得利潤。因此，交易量在突發消息公佈前往往會增加。
  此敘述是正確的。

II) Total trading volume is likely to decrease before unscheduled corporate announcements (such as client and product announcements)
這與敘述 I 相反。由於知情交易者的積極交易和市場對消息影響的預期，交易量在突發消息公佈前通常是增加的，而不是減少。

核心觀念

本題評量企業績效衡量中的兩大核心指標：投資報酬率（Return on Investment, ROI） 與 經濟附加價值（Economic Value Added, EVA）。

1. 投資報酬率（ROI）：
   衡量企業利用投入資本創造稅後收益的效率。題目提及的「淨投資報酬率（Net ROI）」係指以稅後淨利為基礎計算之投資報酬率：

   $$\text{ROI} = \frac{\text{稅後淨利（After-tax Earnings）}}{\text{平均投入資本（Average Investment）}}$$

2. 經濟附加價值（EVA）：
   衡量企業營運獲利扣除「所有資本成本（包含負債與權益的機會成本）」後的剩餘經濟利潤（Residual Income）：

   $$\text{EVA} = \text{稅後淨利} - (\text{平均投入資本} \times \text{資本成本率})$$

   亦可利用「超額利差法（Spread）」表示為：

   $$\text{EVA} = \text{平均投入資本} \times (\text{ROI} - \text{資本成本率})$$

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解題方法

依題目給定條件：

• 平均投入資本（$\text{Average Investment}$）= $10,000
• 稅後淨利（$\text{After-tax Earnings}$）= $1,500
• 資本成本率（$\text{Cost of Capital, } k$）= $8\%$

步驟一：計算投資報酬率（ROI）

$$\text{ROI} = \frac{1,500}{10,000} = 15\%$$

本題考驗行為財務學 (Behavioral Finance) 中，投資者的決策偏差 (Biases)。題目描述了一種特定情境下的投資者行為，需要判斷其屬於哪種偏差。

情境：一位投資者需要現金支付帳單，他願意使用他從股票中獲得的股利收入來支付，但絕對不會出售股票。

我們來分析各個選項的偏差：

• Forecast Errors (預期錯誤)：指投資者對未來市場或資產價格變動的預期與實際情況不符。這與本題中如何處理現金需求無關。

• Representativeness (代表性偏差)：投資者傾向於根據某種情況的「代表性」來判斷其發生機率，而忽略了其他統計資訊（如基本率）。例如，認為一個表現良好的公司股票未來也會持續表現良好，而忽略了市場的平均回歸趨勢。這與本題情境無關。

• Overconfidence (過度自信偏差)：投資者過度相信自己判斷的準確性，高估自己的能力，低估風險。例如，認為自己能夠準確預測市場走勢，或者能夠選擇出最好的股票。這與本題中處理現金需求的方式沒有直接關聯。

核心觀念

本題的核心在於資本預算中**風險調整折現率法（Risk-Adjusted Discount Rate Approach, RADR）與確定等值法（Certainty Equivalent Approach, CEQ）之評價等價性，以及資本資產定價模型（CAPM）**的應用。

1. CAPM 風險調整折現率公式：

   $$k = r_f + \beta \left( E(r_m) - r_f \right)$$

   其中 $k$ 為專案的必要報酬率（風險調整折現率），$r_f$ 為無風險利率，$E(r_m)$ 為市場預期報酬率，$\beta$ 為專案的系統風險係數。

2. 現金流量評價之等價原理：
   在效率市場與風險趨避假設下，以風險調整折現率對「預期風險現金流量」折現，所得之現值必定等於以無風險利率對「確定等值現金流量」折現之現值：

   $$PV = \frac{E(CF_1)}{1 + k} = \frac{CEQ_1}{1 + r_f}$$

   由上式可推導出第 1 年確定等值現金流量（$CEQ_1$）的計算公式：

   $$CEQ_1 = E(CF_1) \times \frac{1 + r_f}{1 + k}$$

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解題方法

步驟一：計算專案的風險調整折現率（$k$）

根據題目給定條件：

• 無風險利率 $r_f = 5\% = 0.05$
• 市場預期報酬率 $E(r_m) = 15\% = 0.15$
• 專案貝他值 $\beta = 1.2$

代入 CAPM 公式求得必要報酬率 $k$：

$$k = 0.05 + 1.2 \times (0.15 - 0.05) = 0.05 + 1.2 \times 0.10 = 0.17 = 17\%$$

步驟二：利用評價等價關係求解確定等值現金流量（$CEQ_1$）

已知第 1 年預期風險現金流量 $E(CF_1) = \text{約定的預期值 }$$500。

核心觀念

• 資產定價基本式：在有效市場假設下，實際價格 $P_t$ 等於未來所有預期股利的折現值：
  $P_t=\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}E_t[D_{t+k}]$
  其中 $\rho=\frac{1}{1+r}$ 為實際折現因子，$r$ 為恆定實際利率。
• 單期持有報酬：
  $HR_{t+1}= \frac{P_{t+1}+D_{t+1}-P_t}{P_t}$
  期望值 $E_t[HR_{t+1}]$ 必須等於無風險利率 $r$（即「無套利」條件）。

解題方法

1. 先把 $P_{t+1}$ 用價格公式表示，並將 $P_t$ 拆開。
2. 利用條件期望的線性性以及 $\rho=1/(1+r)$ 的關係，整理出 $E_t[HR_{t+1}]$ 的表達式。
3. 觀察式子可化為 $\frac{1}{1+r}$ 的倒數，得到 $E_t[HR_{t+1}]=r$。

詳細推導

1. 寫出 $P_{t+1}$

$$\begin{aligned} P_{t+1} &=\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}E_{t+1}[D_{t+1+k}]\\ &= D_{t+1}+\rho\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}E_{t+1}[D_{t+2+k}] \end{aligned}$$

其中第一項 $k=0$ 為 $D_{t+1}$，其餘項利用 $\rho^{k+1}$ 重新指標化。

2. 對 $P_{t+1}+D_{t+1}$ 取 $t$ 時的期望

$$E_t[P_{t+1}+D_{t+1}] =E_t[D_{t+1}] +E_t\!\left[\rho\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}E_{t+1}[D_{t+2+k}]\right]+E_t[D_{t+1}]$$

由全期望的迴迴性（Law of Iterated Expectations），

$E_t\!\big[E_{t+1}[D_{t+2+k}] \big]=E_t[D_{t+2+k}]$

故

$$E_t[P_{t+1}+D_{t+1}] =2E_t[D_{t+1}] +\rho\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}E_t[D_{t+2+k}]$$

3. 寫出 $P_t$ 的分解
   把 $P_t$ 從 $k=0$ 開始分離 $D_t$：

$P_t = D_t + \rho\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}E_t[D_{t+1+k}]$

再把裡面的 $k=0$ 項顯示出來：

$P_t = D_t + \rho E_t[D_{t+1}] + \rho^{2}\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}E_t[D_{t+2+k}]$

4. 計算 $E_t[HR_{t+1}]$

本題考驗對矩陣的秩 (rank)、投影矩陣 (projection matrix)、跡數 (trace) 以及線性方程組解的性質的理解。

題目資訊：

• 矩陣 A 的尺寸為 $10 \times 3$。
• $\text{rank}(A) = 3$。
• $H = A(A^\top A)^{-1}A^\top$。
• $I_{10}$ 是 $10 \times 10$ 的單位矩陣。
• $CS(A)$ 是 A 的列空間 (Column Space)。

分析矩陣 H：
矩陣 $H = A(A^\top A)^{-1}A^\top$ 是一個投影矩陣。
由於 A 的尺寸是 $10 \times 3$ 且 $\text{rank}(A) = 3$，這意味著 A 的列向量是線性獨立的。
$A^\top A$ 的尺寸是 $3 \times 3$，且由於 A 的列向量線性獨立，所以 $A^\top A$ 是可逆的，其秩為 3。
$H$ 的尺寸是 $(10 \times 3) \times (3 \times 3)^{-1} \times (3 \times 10) = 10 \times 10$。
矩陣 $H$ 投影到 A 的列空間 $CS(A)$ 上。

性質分析：

1. 投影矩陣的性質：

   • $H^2 = H$ (冪等性, idempotent)
   • $H^\top = H$ (對稱性, symmetric)
   • $H$ 的特徵值只能是 0 或 1。
   • $\text{rank}(H) = \text{rank}(A) = 3$。
   • $H$ 的跡數 $\text{tr}(H) = \text{rank}(H) = 3$。
   • $H$ 代表將向量投影到 $CS(A)$ 上。

2. 正定矩陣 (Positive Definite Matrix)：
   一個對稱矩陣是正定的，如果其所有特徵值都嚴格大於零。
   由於 H 的特徵值是 0 或 1，且 $\text{rank}(H) = 3$，這意味著 H 有 3 個特徵值是 1，其餘 $10-3=7$ 個特徵值是 0。
   因為存在特徵值為 0，所以 H 不是正定矩陣。
   選項 (A) 錯誤。

3. 反矩陣的存在性：
   考慮 $I_{10} + H$。
   $H$ 的特徵值是 1 (重數 3) 和 0 (重數 7)。
   $I_{10}$ 的特徵值是 1 (重數 10)。
   $I_{10} + H$ 的特徵值是 $1+\lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 H 的特徵值。
   所以，$I_{10} + H$ 的特徵值是：
   $1+1 = 2$ (重數 3)
   $1+0 = 1$ (重數 7)
   由於 $I_{10} + H$ 的所有特徵值 (2 和 1) 都大於零，所以 $I_{10} + H$ 是正定的，並且其反矩陣存在。
   選項 (B) 正確。

本題考驗對對稱矩陣 (symmetric matrix) 和正定矩陣 (positive definite matrix) 性質的理解。

題目資訊：

• A 是一個 10 階的矩陣。
• A 是對稱矩陣，即 $A^\top = A$。
• A 是正定矩陣，即對於任意非零向量 $x$, $x^\top A x > 0$。

性質分析：

1. 對角化 (Diagonalizable)：
   一個矩陣是可對角化的，若且唯若它有 $n$ 個線性獨立的特徵向量（對於 $n \times n$ 矩陣）。
   一個重要的定理是：所有實對稱矩陣都是可對角化的。
   由於 A 是對稱矩陣，它一定是可對角化的。
   選項 (A) 正確。

2. 喬列斯基分解 (Cholesky Decomposition)：
   一個矩陣可以進行喬列斯基分解，若且唯若它是對稱且正定的。
   題目明確指出 A 是對稱且正定的矩陣。
   因此，A 一定可以做喬列斯基分解。
   選項 (B) 正確。

3. A 的反矩陣的性質：

   • 對稱性： 如果 A 是對稱矩陣 ($A^\top = A$)，那麼它的逆矩陣 $A^{-1}$ 也一定是對稱的。證明：$(A^{-1})^\top = (A^\top)^{-1} = A^{-1}$。
   • 正定性： 如果 A 是正定矩陣，那麼它的逆矩陣 $A^{-1}$ 也一定是正定的。證明：設 $y = A^{-1}x$。則 $x = Ay$。由於 A 是正定的，對於任意非零向量 $y$ ($y \neq 0$)，有 $x \neq 0$。我們需要證明 $x^\top A^{-1} x > 0$。
     $x^\top A^{-1} x = (Ay)^\top A^{-1} (Ay) = y^\top A^\top (A^{-1})^\top A y$
     因為 A 是對稱的，所以 $A^\top = A$。

本題考驗對矩陣的行空間 (Row Space, RS)、列空間 (Column Space, CS)、轉置 (Transpose)、反矩陣、行列式 (Determinant)、秩 (Rank) 以及特徵值 (Eigenvalues) 的性質。

基本定義：

• RS(A): A 的行空間，即 A 的行向量的線性組合所構成的空間。若 A 是 $m \times n$ 矩陣，則 RS(A) 是 $n$ 維空間 $\mathbb{R}^n$ 的一個子空間。
• CS(A): A 的列空間，即 A 的列向量的線性組合所構成的空間。若 A 是 $m \times n$ 矩陣，則 CS(A) 是 $m$ 維空間 $\mathbb{R}^m$ 的一個子空間。
• $\text{rank}(A) = \dim(\text{RS}(A)) = \dim(\text{CS}(A))$。
• $A^\top$: A 的轉置矩陣。若 A 是 $m \times n$，則 $A^\top$ 是 $n \times m$。
• $A A^\top$ 是 $m \times m$ 的矩陣。
• $A^\top A$ 是 $n \times n$ 的矩陣。

選項分析：

(A) 若 RS(A) = CS(A), 則 Aᵀ = A。

• RS(A) 是 $\mathbb{R}^n$ 的一個子空間，CS(A) 是 $\mathbb{R}^m$ 的一個子空間。
• 若 RS(A) = CS(A)，則它們的維度必須相等，即 $\dim(\text{RS}(A)) = \dim(\text{CS}(A))$，這總是成立的，因為它們都等於 $\text{rank}(A)$。
• 但是，RS(A) 位於 $\mathbb{R}^n$，而 CS(A) 位於 $\mathbb{R}^m$。如果 RS(A) = CS(A)，則必須 $m=n$。
• 若 $m=n$ (A 是方陣)，且 RS(A) = CS(A)，這意味著 A 的行空間和列空間是相同的子空間。
• 考慮 A 是 $n \times n$ 的方陣。若 RS(A) = CS(A)，這並不直接意味著 $A^\top = A$。
  例如，考慮一個矩陣 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
  $m=2, n=2$。
  $A^\top = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。$A^\top \neq A$。
  RS(A) = span{(0, 1)}，維度為 1。
  CS(A) = span{$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$}，維度為 1。
  RS(A) 和 CS(A) 的維度相等，但它們是不同空間中的子空間 (RS(A) ⊂ R², CS(A) ⊂ R²)。
  嚴格來說，RS(A) 是 A 的行向量的 span，位於 $\mathbb{R}^n$。CS(A) 是 A 的列向量的 span，位於 $\mathbb{R}^m$。
  如果 RS(A) = CS(A)，則必須 $m=n$。
  若 $m=n$，則 RS(A) 和 CS(A) 都是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。
  令 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。RS(A) = span{(0, 1)}。CS(A) = span{$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$}。
  RS(A) 和 CS(A) 的維度相等，但它們是不同的子空間。
  如果 RS(A) = CS(A) 且 A 是方陣，這意味著 A 的秩等於該子空間的維度。
  例如，若 A = $I_n$，則 RS(A) = $\mathbb{R}^n$，CS(A) = $\mathbb{R}^n$。RS(A) = CS(A)，且 $A^\top = I_n = A$。
  若 A = $c I_n$，則 RS(A) = $\mathbb{R}^n$，CS(A) = $\mathbb{R}^n$。RS(A) = CS(A)，且 $A^\top = c I_n = A$。
  但是，若 RS(A) = CS(A) 則 Aᵀ = A 是不正確的。
  例如，考慮 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。A 是對稱的。
  RS(A) = span{(1, 0), (0, -1)} = R²。CS(A) = span{$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$} = R²。
  RS(A) = CS(A) = R²。且 $A^\top = A$。
  但是，考慮 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。A 是對稱的。
  RS(A) = span{(0, 1), (1, 0)} = R²。CS(A) = span{$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$} = R²。
  RS(A) = CS(A) 且 $A^\top = A$。
  反例： 考慮 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  $A^\top = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。$A^\top \neq A$。
  RS(A) = span{(1, 1), (0, 1)} = R²。
  CS(A) = span{$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$} = R²。
  RS(A) = CS(A)，但 $A^\top \neq A$。
  選項 (A) 錯誤。

(B) 若 Aᵀ = -A, 則 RS(A) = CS(A)。

• 若 $A^\top = -A$，則 A 是反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix)。
• 若 A 是 $m \times n$ 矩陣，則 $A^\top$ 是 $n \times m$。若 $A^\top = -A$，則必須 $m=n$。所以 A 必須是方陣。
• 若 A 是 $n \times n$ 反對稱矩陣：
  • RS(A) 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。
  • CS(A) 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。
  • 一個性質是：對於任何 $x \in \text{CS}(A)$ 和 $y \in \text{RS}(A)$，有 $x^\top y = 0$。
  • 也就是說，CS(A) 垂直於 RS(A) 的正交補空間。
  • 令 $x \in \text{CS}(A)$。則 $x = Ay$ 對某個 $y \in \mathbb{R}^n$。
  • 令 $z \in \text{RS}(A)^\perp$。則 $z^\top A = 0$。
  • 考慮 $x^\top z = (Ay)^\top z = y^\top A^\top z = y^\top (-A) z = -y^\top A z$。
  • 由於 $z$ 在 $A$ 的零空間 (Null Space) 中，所以 $Az = 0$。
  • 因此，$x^\top z = -y^\top (0) = 0$。
  • 這意味著 CS(A) 包含在 RS(A) 的正交補空間中。
  • 另一個性質是：$\text{rank}(A) = \text{rank}(A^\top) = \text{rank}(-A)$。
  • $\dim(\text{RS}(A)) = \text{rank}(A)$。
  • $\dim(\text{CS}(A)) = \text{rank}(A)$。
  • 對於反對稱矩陣 A，其行空間和列空間是相同的。
  • 證明： 令 $y \in \text{CS}(A)$。則 $y = Ax$ 對某個 $x$。

本題考驗對矩陣行列式 (determinant)、反矩陣 (inverse)、相似矩陣 (similar matrices)、秩 (rank)、零空間 (null space) 以及交換子 (commutator) 的性質。

選項分析：

(A) det(-A) = -det(A)。

• 對於一個 $n \times n$ 的矩陣 A，$\det(-A) = (-1)^n \det(A)$。
• 只有當 n 是奇數時，$\det(-A) = -\det(A)$。
• 題目說 A 是 n 階方陣，但沒有指定 n 是奇數還是偶數。
• 例如，若 A 是 $2 \times 2$ 矩陣，則 $\det(-A) = (-1)^2 \det(A) = \det(A)$。
• 因此，這個敘述不一定正確。
• 選項 (A) 錯誤。

(B) 若 A 與 B 的反矩陣皆存在, 則 det((A+B)(A-B)) = det(A²) - det(B²)。

• 行列式的性質是 $\det(XY) = \det(X)\det(Y)$。
• 但是，$\det(A+B)$ 通常不等於 $\det(A) + \det(B)$。
• $(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$。
• 除非 AB = BA (即 A 和 B 可交換)，否則 $(A+B)(A-B) \neq A^2 - B^2$。
• 即使 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ (例如 A 和 B 可交換)，我們也需要 $\det(A^2) = (\det(A))^2$ 和 $\det(B^2) = (\det(B))^2$。
• 所以，$\det((A+B)(A-B)) = \det(A^2 - B^2)$。
• 在一般情況下，$\det(A^2 - B^2) \neq \det(A^2) - \det(B^2)$。
• 例如，令 $A = I$, $B = 2I$ (n 階)。A 和 B 可逆。
  $A+B = 3I$, $A-B = -I$。
  $(A+B)(A-B) = (3I)(-I) = -3I$。
  $\det((A+B)(A-B)) = \det(-3I) = (-3)^n$。
  $A^2 = I^2 = I$, $\det(A^2) = \det(I) = 1$。
  $B^2 = (2I)^2 = 4I$, $\det(B^2) = \det(4I) = 4^n$。
  $\det(A^2) - \det(B^2) = 1 - 4^n$。
  顯然 $(-3)^n \neq 1 - 4^n$ (除非 n=1, (-3) ≠ (1-4)=-3; n=2, 9 ≠ 1-16=-15)。
• 選項 (B) 錯誤。

(C) 若 A = CBC⁻¹, 則 det(A-λIₙ) = det(B-λIₙ)。

• 若 $A = CBC^{-1}$，則 A 和 B 是相似矩陣 (similar matrices)。
• 相似矩陣具有相同的特徵值、相同的行列式、相同的跡數、相同的秩。

本題考驗對群 (group) 的四個基本性質的理解：封閉性 (closure)、結合律 (associativity)、單位元 (identity element) 和反元素 (inverse element)。

群的性質：
一個集合 G 和一個二元運算 ⊕，若滿足以下四個性質，則稱 (G, ⊕) 為一個群：

1. 封閉性 (Closure)： 對於 G 中任意的 a, b，a ⊕ b 必須也在 G 中。
2. 結合律 (Associativity)： 對於 G 中任意的 a, b, c，(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)。
3. 單位元 (Identity Element)： 存在 G 中的一個元素 e，使得對於 G 中任意的 a，a ⊕ e = e ⊕ a = a。
4. 反元素 (Inverse Element)： 對於 G 中的每一個元素 a，存在 G 中的一個元素 a⁻¹，使得 a ⊕ a⁻¹ = a⁻¹ ⊕ a = e。

我們逐一檢查每個選項：

(A) G = {所有的非負整數}, 運算 ⊕: a ⊕ b = max(a, b)。

• 封閉性： 對於任意非負整數 a, b，max(a, b) 必定是一個非負整數。封閉性成立。
• 結合律： max(max(a, b), c) = max(a, max(b, c))。結合律成立。
• 單位元： 是否存在一個 e 使得 max(a, e) = a 對所有非負整數 a？
  若 a = 5，則 max(5, e) = 5。這要求 e ≤ 5。
  若 a = 10，則 max(10, e) = 10。這要求 e ≤ 10。
  如果 e 必須對所有 a 都成立，則 e 必須小於等於所有非負整數。唯一可能的 e 是 0。
  檢查：max(a, 0) = a。這對所有非負整數 a 都成立。所以單位元 e = 0 存在。
• 反元素： 對於 G 中的每一個元素 a，是否存在 G 中的一個元素 a⁻¹ 使得 max(a, a⁻¹) = 0？
  若 a = 5，則 max(5, a⁻¹) = 0。這是不可能的，因為 max(5, a⁻¹) 至少是 5。
  因此，不存在反元素。
• 結論： (A) 不是群。

(B) G = {x ∈ 複數集 | xⁿ=1}, 運算 ⊕: a ⊕ b = ab。

• G 是複數集中模長為 1 的 n 次單位根組成的集合。這是一個有限的乘法群。
• 封閉性： 若 $|a|=1$ 且 $|b|=1$，則 $|ab| = |a||b| = 1 \times 1 = 1$。封閉性成立。
• 結合律： 複數乘法滿足結合律。結合律成立。
• 單位元： 複數乘法的單位元是 1。因為 $1^n = 1$，所以 1 屬於 G。對於 G 中任意的 a，a * 1 = a。單位元 e = 1 存在。
• 反元素： 對於 G 中的任意元素 a (其中 $|a|=1$)，其複數乘法反元素是 $a^{-1} = 1/a$。
  由於 $|a|=1$，則 $|a^{-1}| = |1/a| = 1/|a| = 1/1 = 1$。
  所以 $a^{-1}$ 也屬於 G。
  例如，若 $a = e^{i \theta}$ 且 $a^n = 1$，則 $a^{-1} = e^{-i \theta}$。由於 $(a^{-1})^n = (e^{-i \theta})^n = (e^{i \theta})^{-n} = (a^n)^{-1} = 1^{-1} = 1$。所以 $a^{-1}$ 也在 G 中。
• 結論： (B) 是群。

(C) G = {1, 2, 3, 4}, 運算 ⊕: a ⊕ b = ab (mod 5)。

• G 是模 5 意義下的非零整數集合。這實際上是 $\mathbb{Z}_5^*$，即模 5 意義下的乘法群。
• 封閉性： 對於 G 中的任意 a, b，ab mod 5 的結果一定在 {0, 1, 2, 3, 4} 中。由於 G 中沒有 0，且 ab mod 5 的結果不會是 0 (因為 5 是質數，所以 $\mathbb{Z}_5$ 是域，其非零元素構成乘法群)。例如，11=1, 12=2, 13=3, 14=4, 22=4, 23=6≡1, 24=8≡3, 33=9≡4, 34=12≡2, 44=16≡1。所有結果都在 G 中。封閉性成立。
• 結合律： 模運算乘法滿足結合律。結合律成立。
• 單位元： 尋找 e 使得 a * e ≡ a (mod 5)。顯然 e = 1。1 屬於 G。單位元 e = 1 存在。
• 反元素：
  • 1 的反元素是 1 (1*1 ≡ 1 mod 5)。
  • 2 的反元素是 3 (2*3 = 6 ≡ 1 mod 5)。
  • 3 的反元素是 2 (3*2 = 6 ≡ 1 mod 5)。
  • 4 的反元素是 4 (4*4 = 16 ≡ 1 mod 5)。
    所有元素的 are 存在於 G 中。
• 結論： (C) 是群。

(D) G = {A ∈ M₃ₓ₃(R) | Aᵀ = A}, 運算 ⊕: AB = AB。

• G 是所有 $3 \times 3$ 的實對稱矩陣集合。
• 封閉性： 若 A 和 B 都是對稱矩陣，則 $A^\top = A$ 且 $B^\top = B$。
  考慮 $AB$ 的轉置：$(AB)^\top = B^\top A^\top = BA$。
  若 $AB$ 要在 G 中，則必須 $(AB)^\top = AB$，即 $BA = AB$。
  但是，兩個對稱矩陣的乘積不一定是對稱的，除非它們可交換。
  例如，設 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$， $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  A 是對稱的。B 不是對稱的。

本題考驗資產複製 (asset replication) 的概念，這是無套利定價 (no-arbitrage pricing) 的基礎。如果一個金融衍生品（這裡稱為或有請求權 C）的未來現金流可以被市場上現有的資產（股票 X 和 Y）的組合所複製，那麼該衍生品的價格必須等於複製組合的價格，否則就會存在套利機會。

複製組合的建立：
假設我們想複製或有請求權 C 的未來現金流 $[C_1, C_2, C_3]$。
市場上有兩支股票 X 和 Y，它們在未來三種狀態下的價格分別是：

• 狀態 1 (State 1): $S_{X1}=25, S_{Y1}=15$
• 狀態 2 (State 2): $S_{X2}=15, S_{Y2}=20$
• 狀態 3 (State 3): $S_{X3}=20, S_{Y3}=17.5$

我們要找到股票 X 和 Y 的持有比例 $\Delta_X$ 和 $\Delta_Y$ (即購買 $\Delta_X$ 單位的 X 股票和 $\Delta_Y$ 單位的 Y 股票)，使得在所有三個狀態下，複製組合的價值等於或有請求權 C 的價值。

在狀態 1 下，複製組合的價值為 $\Delta_X S_{X1} + \Delta_Y S_{Y1} = 25\Delta_X + 15\Delta_Y$。
在狀態 2 下，複製組合的價值為 $\Delta_X S_{X2} + \Delta_Y S_{Y2} = 15\Delta_X + 20\Delta_Y$。
在狀態 3 下，複製組合的價值為 $\Delta_X S_{X3} + \Delta_Y S_{Y3} = 20\Delta_X + 17.5\Delta_Y$。

為了複製或有請求權 C，必須滿足以下三個線性方程：

1. $25\Delta_X + 15\Delta_Y = C_1$
2. $15\Delta_X + 20\Delta_Y = C_2$
3. $20\Delta_X + 17.5\Delta_Y = C_3$

這是一個包含三個方程和兩個未知數 ($\Delta_X, \Delta_Y$) 的方程組。
為了使這個方程組有解（即存在 $\Delta_X, \Delta_Y$ 使得複製成立），這三個方程必須是線性相關的。換句話說，第三個方程必須是前兩個方程的線性組合，或者說，向量 $[C_1, C_2, C_3]$ 必須在由股票 X 和 Y 的狀態價格向量構成的空間中。

我們可以將股票 X 和 Y 的狀態價格向量寫成矩陣形式：
$S_X = \begin{pmatrix} 25 \\ 15 \\ 20 \end{pmatrix}$
$S_Y = \begin{pmatrix} 15 \\ 20 \\ 17.5 \end{pmatrix}$

我們尋找一個向量 $C = \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{pmatrix}$，使得 $C$ 可以被 $S_X$ 和 $S_Y$ 的線性組合表示。
這意味著 $C$ 必須在由 $S_X$ 和 $S_Y$ 張成的空間中。
這個空間是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子空間，其維度最多為 2 (因為 $S_X$ 和 $S_Y$ 顯然不是線性相關的)。

線性相關的條件可以通過檢查矩陣 $\begin{pmatrix} 25 & 15 \\ 15 & 20 \\ 20 & 17.5 \end{pmatrix}$ 的列空間來找到。
或者，更直接地，我們可以通過檢查向量 $[C_1, C_2, C_3]$ 是否滿足某個線性關係。
如果 $C$ 可以被 $S_X$ 和 $S_Y$ 線性組合複製，那麼向量 $C$ 必須在由 $S_X$ 和 $S_Y$ 張成的平面（或直線，如果它們共線）內。
這意味著向量 $\begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{pmatrix}$ 必須與向量 $\begin{pmatrix} 25 \\ 15 \\ 20 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 15 \\ 20 \\ 17.5 \end{pmatrix}$ 共面。
換句話說，這三個向量是線性相關的。

我們可以用行列式的方法來檢查線性相關性，但這裡有三個向量和三個維度。
如果 $C = \Delta_X S_X + \Delta_Y S_Y$，則向量 $C$ 屬於由 $S_X$ 和 $S_Y$ 張成的空間。