109 年 國立臺灣大學財務金融研究所甲組《商用統計學》

核心觀念

本題考查條件機率密度函數。已知

$$f_Y(y)=1,\qquad 0<y<1,$$

且 $Y$ 與 $Z$ 相互獨立，因此 $Y,Z$ 皆服從 $Uniform(0,1)$。

要求的是在事件 $Y<Z$ 發生下，$Y$ 的條件密度：

$$f_{Y\mid Y<Z}(y) = \frac{f_Y(y)P(Y<Z\mid Y=y)}{P(Y<Z)}.$$

解題方法

固定 $Y=y$ 時，事件 $Y<Z$ 等價於 $Z>y$。由於 $Z\sim Uniform(0,1)$，

$$P(Z>y)=\int_y^1 1\,dz=1-y, \qquad 0<y<1.$$

又因為 $Y$ 與 $Z$ 同為獨立且相同分布的連續隨機變數，

$$P(Y<Z)=P(Z<Y)=\frac12.$$

因此

$$\begin{aligned} f_{Y\mid Y<Z}(y) &= \frac{f_Y(y)P(Z>y)}{P(Y<Z)}\\ &= \frac{1\cdot(1-y)}{1/2}\\ &= 2(1-y), \qquad 0<y<1. \end{aligned}$$

核心觀念

本題考查莖葉圖（Stem-and-Leaf Plot）。莖葉圖將每筆數值拆成：

• 莖（Stem）：數值的整數部分。
• 葉（Leaf）：數值的小數部分。

莖葉圖可同時呈現資料的分布形狀與各數值的出現次數。每一片葉子代表一筆觀察值，因此葉子的總數必須等於樣本數 $n=12$。

解題方法

將 Weight 資料由小到大排列：

$$4,\ 4.5,\ 5,\ 5.5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 6.5,\ 6.5,\ 7,\ 7.5,\ 8$$

以整數部分作為莖，以十分位數作為葉：

• $4$ 與 $4.5$ 對應 $4|0$、$4|5$
• $5$ 與 $5.5$ 對應 $5|0$、$5|5$
• 三筆 $6$ 與兩筆 $6.5$ 對應 $6|0,0,0,5,5$
• $7$ 與 $7.5$ 對應 $7|0$、$7|5$
• $8$ 對應 $8|0$

因此莖葉圖為：

核心觀念

本題以單因子變異數分析（one-way ANOVA）檢定不同餵食量 $Feed$ 下，Pikachu 平均體重 $Weight$ 是否相同。

$Feed$ 有三個水準：

• $Feed=1$：$n_1=5$
• $Feed=2$：$n_2=3$
• $Feed=3$：$n_3=4$

總樣本數為 $n=12$。

假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_1:\text{至少有一組平均體重不同}$$

其中 $\mu_j$ 表示 $Feed=j$ 時的母體平均體重。

ANOVA 將總變異分解為：

$$SST=SSB+SSW$$

其中：

• $SST$：總平方和（Total Sum of Squares）
• $SSB$：組間平方和（Between-group Sum of Squares）
• $SSW$：組內平方和（Within-group Sum of Squares）

檢定統計量為：

$$F=\frac{MSB}{MSW}$$

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解題方法與計算

1. 計算各組平均數與總平均數

$Feed=1$：

$$\bar W_1=\frac{4+4.5+5+5.5+6}{5}=5$$

$Feed=2$：

$$\bar W_2=\frac{6+6+6.5}{3}=\frac{37}{6}=6.1667$$

$Feed=3$：

$$\bar W_3=\frac{6.5+7+7.5+8}{4}=7.25$$

總平均數為：

$$\bar W=\frac{72.5}{12}=6.0417$$

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2. 計算組間平方和 $SSB$

公式為：

$$SSB=\sum_{j=1}^{3}n_j(\bar W_j-\bar W)^2$$

因此：

$$\begin{aligned} SSB &=5(5-6.0417)^2 +3(6.1667-6.0417)^2 +4(7.25-6.0417)^2\\ &=5.4253+0.0469+5.8403\\ &=11.3125 \end{aligned}$$

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3. 計算組內平方和 $SSW$

公式為：

$$SSW=\sum_{j=1}^{3}\sum_{i=1}^{n_j}(W_{ij}-\bar W_j)^2$$

$Feed=1$：

$$(4-5)^2+(4.5-5)^2+(5-5)^2+(5.5-5)^2+(6-5)^2 =2.5$$

$Feed=2$：

$$(6-6.1667)^2+(6-6.1667)^2+(6.5-6.1667)^2 =0.1667$$

$Feed=3$：

核心觀念

MLR 1 要求的是「模型對參數呈線性」，並非要求應變數與每個自變數之間一定呈現直線關係。一般形式為：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\cdots+\beta_kX_{ki}+u_i$$

其中參數 $\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_k$ 只能以一次方、加法方式出現，不能出現參數的平方、參數彼此相乘，或參數位於指數函數內。

解題方法

本題指定模型為：

$$Weight_i=\alpha_0+\alpha_1Feed_i+\alpha_2Gender_i+u_i$$

將條件平均數寫出：

$$E(Weight_i\mid Feed_i,Gender_i) =\alpha_0+\alpha_1Feed_i+\alpha_2Gender_i$$

可見：

• $\alpha_0$、$\alpha_1$、$\alpha_2$ 均以一次方出現；
• 各參數之間沒有相乘；
• 沒有 $\alpha_1^2$、$\alpha_1\alpha_2$ 或 $e^{\alpha_1}$ 等非線性參數形式；
• $Gender_i$ 是二元虛擬變數，取值為 0 或 1，不影響模型對參數的線性性。

因此，此模型符合 MLR 1。

其中，性別的效果可解釋為：在餵食量相同下，雄性與雌性 Pikachu 的條件平均體重差異為 $\alpha_2$。餵食量每增加一單位，條件平均體重改變 $\alpha_1$ 單位。

如何驗證線性假設

MLR 1 的理論檢查，首先是觀察模型的函數形式，確認參數是否線性出現。本題由模型本身即可判定符合。

若要使用樣本資料進行經驗檢查，可採用：

核心觀念

MLR 3「非完全共線性」要求：除了不含截距的解釋變數之間不能存在完全線性關係外，解釋變數也不能由其他解釋變數與截距項精確表示。

本題的解釋變數為：

• $Feed$
• $Gender$

因此，檢驗重點是觀察 $Feed$ 與 $Gender$ 的相關係數是否等於 $\pm 1$。

常用的兩種 Pearson 相關係數為：

1. 中心化相關係數

$$r_c= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(z_i-\bar{z})} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(z_i-\bar{z})^2}}$$

2. 未中心化相關係數

$$r_u= \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i z_i} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2\sum_{i=1}^{n}z_i^2}}$$

若相關係數的絕對值等於 $1$，表示兩變數完全線性相關，會違反 MLR 3。

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解題方法與計算

令：

$$x_i=Feed_i,\qquad z_i=Gender_i$$

樣本數為 $n=12$。

由資料可得：

$$\sum x_i=5(1)+3(2)+4(3)=23$$ $$\sum z_i=6$$ $$\sum x_i^2=5(1^2)+3(2^2)+4(3^2)=53$$ $$\sum z_i^2=6$$

男性出現於：

• $Feed=1$ 時有 2 位；
• $Feed=2$ 時有 1 位；
• $Feed=3$ 時有 3 位。

因此：

$$\sum x_i z_i =1(2)+2(1)+3(3)=13$$

一、中心化 Pearson 相關係數

平均數為：

$$\bar{x}=\frac{23}{12},\qquad \bar{z}=\frac{6}{12}=\frac12$$

中心化交叉乘積為：

$$\sum (x_i-\bar{x})(z_i-\bar{z}) = \sum x_i z_i-\frac{(\sum x_i)(\sum z_i)}{n}$$ $$=13-\frac{23(6)}{12} =13-\frac{23}{2} =\frac32$$

$Feed$ 的中心化平方和為：

$$\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}$$ $$=53-\frac{23^2}{12} =53-\frac{529}{12} =\frac{107}{12}$$

$Gender$ 的中心化平方和為：

$$\sum (z_i-\bar{z})^2 = \sum z_i^2-\frac{(\sum z_i)^2}{n}$$

核心觀念

本題以 Feed 將樣本分成兩組，利用 $F$ 檢定比較兩組的變異數：

• $G_1$：$Feed\leq 1$，樣本數 $n_1=5$
• $G_2$：$Feed>1$，樣本數 $n_2=7$

檢定假設為：

$$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$$ $$H_1:\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$$

若拒絕 $H_0$，表示不同 Feed 水準下的變異程度不相同，支持異質變異的可能性。

兩組樣本變異數分別具有自由度：

$$df_1=n_1-1=4,\qquad df_2=n_2-1=6$$

這也正是題目提供臨界值 $F_{0.05,(4,6)}=4.53$ 的由來。

解題方法與計算

第一組：$Feed\leq 1$

此組的 Weight 為：

$$4,\ 4.5,\ 5,\ 5.5,\ 6$$

樣本平均數為：

$$\bar W_1=\frac{4+4.5+5+5.5+6}{5}=5$$

樣本變異數為：

$$s_1^2 = \frac{(4-5)^2+(4.5-5)^2+(5-5)^2+(5.5-5)^2+(6-5)^2}{5-1}$$ $$s_1^2 = \frac{1+0.25+0+0.25+1}{4} = \frac{2.5}{4} = 0.625$$

第二組：$Feed>1$

此組的 Weight 為：

$$6,\ 6,\ 6.5,\ 6.5,\ 7,\ 7.5,\ 8$$

樣本平均數為：

$$\bar W_2=\frac{47.5}{7}=\frac{95}{14}\approx 6.7857$$

平方離差和可利用公式計算：

$$\sum (W_i-\bar W_2)^2 = \sum W_i^2-\frac{(\sum W_i)^2}{n_2}$$

其中：

$$\sum W_i^2=325.75,\qquad \sum W_i=47.5$$

因此：

核心觀念

本題要求檢驗多元線性迴歸的常態性假設 MLR 6：

$$u_i\mid X \sim N(0,\sigma^2)$$

實務上無法直接觀察誤差項 $u_i$，因此以 OLS 殘差 $e_i$ 作為代理，透過殘差圖、常態機率圖及常態性檢定判斷。

常見的 Jarque–Bera 檢定為：

$$JB=n\left(\frac{S^2}{6}+\frac{(K-3)^2}{24}\right)$$

其中：

• $S$ 為樣本偏態係數；
• $K$ 為樣本峰度；
• $H_0$：誤差項服從常態分配；
• $H_1$：誤差項不服從常態分配。

在 $H_0$ 成立且樣本數夠大時：

$$JB\sim\chi^2(2)$$

本題樣本數僅 $n=12$，因此檢定結果應搭配殘差圖謹慎解讀。

解題方法

迴歸模型為：

$$Weight_i=\alpha_0+\alpha_1Feed_i+\alpha_2Gender_i+u_i$$

由 OLS 估計可得：

$$\widehat{Weight}_i = 3.8146+1.0612Feed_i+0.3861Gender_i$$

因此殘差為：

$$e_i=Weight_i-\widehat{Weight}_i$$

依照題目資料，各觀察值的殘差約為：

觀察值	殘差
1	$-0.876$
2	$-0.376$
3	$0.124$
4	$0.238$
5	$0.738$
6	$0.063$
7	$-0.323$
8	$0.563$
9	$-0.884$
10	$-0.384$
11	$0.502$
12	$0.616$

核心觀念

本題考查多元線性迴歸中，控制性別變數 $Gender$ 後，估計飼料量 $Feed$ 對體重 $Weight$ 的邊際影響，並以

$$t=\frac{\hat{\alpha}_1-0}{se(\hat{\alpha}_1)}$$

檢定

$$H_0:\alpha_1=0.$$

模型為

$$Weight_i=\alpha_0+\alpha_1Feed_i+\alpha_2Gender_i+u_i.$$

其中 $\alpha_1$ 的意義是：在性別相同下，每日飼料量增加一單位，體重的平均變化量。

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解題方法：先計算迴歸所需的交叉離差

樣本數為 $n=12$，解釋變數個數為 $k=2$，包含截距項後，殘差自由度為

$$df=n-k-1=12-2-1=9.$$

各變數平均數為

$$\bar{Feed}=\frac{23}{12},\qquad \bar{Gender}=\frac{6}{12}=\frac12,\qquad \bar{Weight}=\frac{72.5}{12}=\frac{145}{24}.$$

計算離差平方和與離差乘積：

$$S_{xx}=\sum (Feed_i-\bar{Feed})^2 =\sum Feed_i^2-\frac{(\sum Feed_i)^2}{n} =53-\frac{23^2}{12} =\frac{107}{12}.$$ $$S_{zz}=\sum (Gender_i-\bar{Gender})^2 =6-\frac{6^2}{12} =3.$$ $$S_{xz}=\sum (Feed_i-\bar{Feed})(Gender_i-\bar{Gender}) =\sum Feed_iGender_i-\frac{(23)(6)}{12} =13-11.5 =1.5.$$ $$S_{xy}=\sum (Feed_i-\bar{Feed})(Weight_i-\bar{Weight}) =\sum Feed_iWeight_i-\frac{(23)(72.5)}{12} =149-\frac{1667.5}{12} =\frac{241}{24}.$$ $$S_{zy}=\sum (Gender_i-\bar{Gender})(Weight_i-\bar{Weight}) =\sum Gender_iWeight_i-\frac{(6)(72.5)}{12} =39-36.25 =2.75.$$

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估計 $\hat{\alpha}_1$

在含有兩個解釋變數的多元迴歸中，

$$\hat{\alpha}_1 = \frac{S_{xy}S_{zz}-S_{xz}S_{zy}} {S_{xx}S_{zz}-S_{xz}^2}.$$

分母為

$$S_{xx}S_{zz}-S_{xz}^2 = \frac{107}{12}(3)-(1.5)^2 = \frac{49}{2}.$$

分子為

$$S_{xy}S_{zz}-S_{xz}S_{zy} = \frac{241}{24}(3)-(1.5)(2.75) = \frac{241}{8}-\frac{33}{8} =26.$$

因此

$$\hat{\alpha}_1 = \frac{26}{49/2} = \frac{52}{49} \approx 1.0612.$$

所以，控制 $Gender$ 後，每日飼料量增加一單位，預測體重平均增加約 $1.0612$ 單位。

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核心觀念

本題考查兩個重點：

1. OLS 殘差的正交性：
   $\sum_{i=1}^{n}\hat u_i=0,\qquad \sum_{i=1}^{n}\hat u_i x_{ji}=0$

2. 不可用「樣本殘差與解釋變數的相關係數為零」檢驗外生性假設 MLR 4。

由於 Feed 與 Gender 都已經包含在 OLS 迴歸式中，OLS 的一階條件會使殘差與每一個解釋變數的樣本內積必定為零。這是估計方法的機械結果，不是由於母體外生性成立。

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解題方法

迴歸模型為

$$Weight_i=\alpha_0+\alpha_1Feed_i+\alpha_2Gender_i+u_i.$$

設設計矩陣為 $X$，殘差向量為

$$\hat u=y-X\hat\alpha.$$

OLS 估計量滿足正規方程式：

$$X'(y-X\hat\alpha)=0.$$

因此

$$X'\hat u=0.$$

由於 $X$ 包含截距、Feed 與 Gender 三個欄位，所以有

$$\sum_{i=1}^{12}\hat u_i=0,$$ $$\sum_{i=1}^{12}\hat u_iFeed_i=0,$$ $$\sum_{i=1}^{12}\hat u_iGender_i=0.$$

先由資料計算 OLS 估計式。相關總和為

$$\sum Feed_i=23,\qquad \sum Feed_i^2=53,$$ $$\sum Gender_i=6,\qquad \sum Gender_i^2=6,$$ $$\sum Feed_iGender_i=13,$$ $$\sum Weight_i=72.5,$$ $$\sum Feed_iWeight_i=149,$$ $$\sum Gender_iWeight_i=39.$$

故正規方程式為

$$\begin{bmatrix} 12&23&6\\ 23&53&13\\ 6&13&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat\alpha_0\\ \hat\alpha_1\\ \hat\alpha_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72.5\\ 149\\ 39 \end{bmatrix}.$$

解得

$$\hat\alpha_0=\frac{2243}{588}\approx3.8146,$$ $$\hat\alpha_1=\frac{52}{49}\approx1.0612,$$ $$\hat\alpha_2=\frac{227}{588}\approx0.3861.$$

因此估計迴歸式為

$$\widehat{Weight}_i = 3.8146+1.0612Feed_i+0.3861Gender_i.$$

由 OLS 正交性，

核心觀念

本題考查外生性（exogeneity）假設。若解釋變數與誤差項不相關，則需滿足：

$$\operatorname{Corr}(u_i,x_j)=0$$

但誤差項 $u_i$ 無法直接觀察，只能以 OLS 殘差 $\hat u_i$ 估計。

解題方法

若前一題以 OLS 殘差與各解釋變數的樣本相關係數來檢驗外生性，該方法並不恰當，因為含截距的 OLS 估計具有正規方程式：

$$\sum_{i=1}^{n}\hat u_i=0,\qquad \sum_{i=1}^{n}x_{ij}\hat u_i=0$$

核心觀念

本題考查：

• 邊際機率的計算
• 期望值的線性性質

由聯合機率分配表可得：

$$P(X=1)=0.70$$

因為 $X$ 為二元變數，所以

$$E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)$$

且題目給定：

$$W=4+8X$$

利用期望值的線性性質：

$$E(W)=E(4+8X)=4+8E(X)$$

解題方法

先計算 $X$ 的期望值：

$$E(X)=0\cdot 0.30+1\cdot 0.70=0.70$$

因此：

$$E(W)=4+8(0.70)=4+5.6=9.6$$

也可直接依照 $X$ 的取值計算：

• 當 $X=0$ 時，$W=4$
• 當 $X=1$ 時，$W=12$

所以：

核心觀念

本題考查：

1. Bernoulli 隨機變數的期望值與變異數。
2. 樣本平均數的期望值與變異數。
3. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）。
4. 標準常態分配右尾機率的查表計算。

若 $Y_i\sim \operatorname{Bernoulli}(p)$，則

$$E(Y_i)=p,\qquad \operatorname{Var}(Y_i)=p(1-p)$$

當 $n$ 夠大時，中央極限定理指出：

$$\bar Y\approx N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$$

解題方法

題目給定 $p=0.3$、$n=100$，因此

$$E(\bar Y)=p=0.3$$

且

$$\operatorname{Var}(\bar Y) =\frac{p(1-p)}{n} =\frac{0.3(0.7)}{100} =0.0021$$

所以樣本平均數的標準差為

$$\sigma_{\bar Y} =\sqrt{\frac{0.3(0.7)}{100}} =\sqrt{0.0021} \approx 0.0458$$

欲計算

$$\Pr(\bar Y\geq 0.38)$$

將 $\bar Y$ 標準化：

$$Z=\frac{\bar Y-0.3}{0.0458}$$

因此

核心觀念

本題考查期望值的線性性質，以及標準常態分配的基本結果。

若 $X\sim N(0,1)$，則：

$$E(X)=0,\qquad \operatorname{Var}(X)=1$$

又因為：

$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$

所以：

$$E(X^2)=\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2=1+0^2=1$$

此外，若 $Z\sim N(0,1)$，則：

$$E(Z)=0$$

期望值具有線性性質：

$$E(aX+bZ)=aE(X)+bE(Z)$$

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解題方法

題目給定：

$$Y=X^2+5Z$$

對兩邊取期望值：

$$E(Y)=E(X^2+5Z)$$

利用期望值的線性性質：

$$E(Y)=E(X^2)+5E(Z)$$

由於 $X$ 與 $Z$ 都是標準常態隨機變數：

$$E(X^2)=1,\qquad E(Z)=0$$

代入得：

$$E(Y)=1+5(0)=1$$

因此正確選項為 $(B)$。

核心觀念

OLS 迴歸線必定通過樣本平均數所組成的點：

$$(\bar X,\bar Y)$$

因此，對迴歸式

$$\widehat{Earnings}=134+4.24\times Capital\_Expenditure$$

將樣本平均資本支出 $\overline{Capital\_Expenditure}=43$ 代入，即可求得樣本平均公司盈餘 $\overline{Earnings}$。

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解題方法

由 OLS 迴歸線通過樣本平均點：

$$\overline{Earnings} = 134+4.24\times 43$$

計算斜率項：

$$4.24\times 43=182.32$$

因此：

$$\overline{Earnings}=134+182.32=316.32$$

公司盈餘以百萬美元表示，四捨五入至選項所呈現的整數後為 316 百萬美元。

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選項分析

核心觀念

本題考查「遺漏變數偏誤」（omitted variable bias）以及「一致性」（consistency）與「有限樣本無偏性」（unbiasedness）的差異。

真實模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+\varepsilon_i.$$

若只將 $Y$ 對 $X_1$ 迴歸，則 $X_2$ 被遺漏，新的誤差項為

$$u_i=\beta_2X_{2i}+\varepsilon_i.$$

因此，關鍵在於判斷 $X_1$ 是否與新的誤差項 $u_i$ 相關。

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解題方法：由簡單迴歸估計量推導

含截距的簡單迴歸中，$\hat{\beta}_1$ 可寫為

$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{1i}-\bar X_1)(Y_i-\bar Y)} {\sum_{i=1}^{n}(X_{1i}-\bar X_1)^2}.$$

代入真實模型：

$$Y_i-\bar Y = \beta_1(X_{1i}-\bar X_1) +\beta_2(X_{2i}-\bar X_2) +(\varepsilon_i-\bar\varepsilon).$$

整理可得

$$\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_2 \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{1i}-\bar X_1)(X_{2i}-\bar X_2)} {\sum_{i=1}^{n}(X_{1i}-\bar X_1)^2} + \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{1i}-\bar X_1)\varepsilon_i} {\sum_{i=1}^{n}(X_{1i}-\bar X_1)^2}.$$

其中第二項就是遺漏 $X_2$ 所造成的偏誤來源。

由題目條件，$X_1$ 與 $X_2$ 在母體中不相關：

$$\operatorname{Cov}(X_1,X_2)=0.$$

因此，當樣本數增加時，

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{1i}-\bar X_1)(X_{2i}-\bar X_2) \xrightarrow{p}0.$$

在 OLS 假設成立下，誤差項也與 $X_1$ 不相關，因此

核心觀念

迴歸模型中，斜率表示自變數增加一個單位時，應變數平均改變多少。本題同時改變應變數與自變數的測量單位，因此斜率也必須依比例換算。

原迴歸式為：

$$\widehat{Weight}=-50+3.21Height$$

其中：

• Weight 以磅計算；
• Height 以英吋計算。

單位換算為：

$$Weight_{\text{kg}}=0.454Weight_{\text{lb}}$$ $$Height_{\text{cm}}=2.54Height_{\text{in}}$$

因此：

$$Height_{\text{in}}=\frac{Height_{\text{cm}}}{2.54}$$

解題方法

將原迴歸式中的兩個變數改寫成新單位：

$$\widehat{Weight}_{\text{kg}} =0.454\widehat{Weight}_{\text{lb}}$$

代入原迴歸式：

$$\widehat{Weight}_{\text{kg}} =0.454\left(-50+3.21Height_{\text{in}}\right)$$

再以 $Height_{\text{in}}=\dfrac{Height_{\text{cm}}}{2.54}$ 代入：

$$\widehat{Weight}_{\text{kg}} =0.454\left(-50+3.21\frac{Height_{\text{cm}}}{2.54}\right)$$

因此，新迴歸式的斜率為：

$$\widehat{\beta}_1^{\,new} =\frac{0.454}{2.54}\times 3.21$$

核心觀念

本題考察迴歸分析中的決定係數 $R^2$，以及變更測量單位對迴歸結果的影響。

決定係數定義為

$$R^2=\frac{\text{回歸平方和}}{\text{總平方和}} =1-\frac{\text{殘差平方和}}{\text{總平方和}}.$$

當應變數與自變數只進行正比例的單位轉換時，資料的相對變異與線性關係並未改變，因此 $R^2$ 不變。

解題方法

原迴歸式為

$$\widehat{Weight}=-50+3.21\times Height, \qquad R^2=0.57.$$

令原單位下的體重與身高分別為 $W$ 與 $H$，新單位下分別為 $W^*$ 與 $H^*$，則

$$W^*=0.454W, \qquad H^*=2.54H.$$

因此

$$W=\frac{W^*}{0.454}, \qquad H=\frac{H^*}{2.54}.$$

新迴歸式可由原式轉換得到：

$$\widehat{W^*} =0.454\widehat{W} =0.454\left(-50+3.21\frac{H^*}{2.54}\right).$$

整理後為

$$\widehat{W^*} =-22.7+\frac{0.454\times 3.21}{2.54}H^*.$$

截距與斜率會因測量單位改變，但新模型的預測值與實際值都同時乘上 $0.454$，所以殘差平方和與總平方和皆乘上 $0.454^2$：