109 年 國立臺灣大學財務金融研究所甲組《經濟分析》

此題考驗理性預期下的菲利浦曲線模型與央行政策目標的結合。Part (1) 探討固定規則下的貨幣政策，Part (2) 則探討權衡性政策下的央行選擇。

核心觀念：

1. 菲利浦曲線 (Phillips Curve)：描述失業率與通貨膨脹率之間的短期權衡關係，其中預期通貨膨脹率是關鍵因素。
2. 理性預期 (Rational Expectations)：預期是基於所有可用資訊，且不會系統性地犯錯。在模型中，意味著預期值會等於實際值（或央行設定的目標值）。
3. 央行政策目標：央行希望極小化國民的痛苦指數，該指數是失業率與通貨膨脹率的函數。
4. 貨幣政策規則 vs. 權衡性政策：固定規則（如釘住目標通貨膨脹率）提供預期穩定性，而權衡性政策則允許央行根據當前情況靈活調整。

Part (1): 固定規則下的貨幣政策

題目給定：
菲利浦曲線：$u = u^n - \alpha(\pi - E(\pi))$
痛苦指數：$M(u, \pi) = u + \theta\pi^2$
貨幣政策：釘住目標通貨膨脹率 $\pi^{target}$，央行公布後不再更改。
理性預期：民眾知悉此法則，因此 $E(\pi) = \pi^{target}$。
在這種情況下，失業率會根據菲利浦曲線調整。然而，題目特別指出「在民眾都知悉此法則之下, $E(\pi) = \pi^{target}$, 且 $u = u^n$」。這意味著，如果央行承諾一個目標通貨膨脹率 $\pi^{target}$，並且民眾完全相信這個承諾並預期 $\pi = \pi^{target}$，那麼實際的通貨膨脹率 $\pi$ 就會等於預期值 $\pi^{target}$。
若 $\pi = E(\pi) = \pi^{target}$，代入菲利浦曲線：
$u = u^n - \alpha(\pi^{target} - \pi^{target}) = u^n$。
這表示，在固定規則下，失業率會回到自然失業率 $u^n$。

央行的目標是極小化痛苦指數 $M(u, \pi) = u + \theta\pi^2$。
在 $u = u^n$ 的情況下，痛苦指數變為 $M(u^n, \pi) = u^n + \theta\pi^2$。
央行需要選擇 $\pi$ 來極小化 $u^n + \theta\pi^2$。
由於 $u^n$ 是常數，極小化這個函數等同於極小化 $\theta\pi^2$。
由於 $\theta > 0$ 且 $\pi > 0$， $\theta\pi^2$ 的最小值在 $\pi$ 趨近於 0 時取得。
然而，題目給定 $\pi > 0$。在實際政策操作中，央行通常會設定一個非負的目標。如果假設央行可以設定任何非負的目標，那麼最優的目標是 $\pi^{target} = 0$。
但是，題目問的是「央行最適的通貨膨脹率」。在這種固定規則下，央行公布了 $\pi^{target}$ 後就不再更改。如果央行想要極小化痛苦指數，它會選擇一個 $\pi^{target}$。
如果央行能夠自由選擇 $\pi^{target}$，它會選擇 $\pi^{target}=0$ 來極小化 $\theta\pi^2$。
然而，題目敘述「央行公布其目標通貨膨脹率後就不再更改」，這意味著央行已經設定了一個 $\pi^{target}$。但問題問的是「最適的通貨膨脹率」，暗示央行在設定這個目標時，會考慮到痛苦指數。
在 $u=u^n$ 的條件下，痛苦指數 $M = u^n + \theta\pi^2$。要極小化這個指數，必須極小化 $\pi^2$。由於 $\pi>0$，最小的值趨近於0。
如果央行可以自由設定 $\pi^{target}$，它會設定 $\pi^{target}=0$。
所以，(1) 的答案是 0。

那麼，該國的痛苦指數為(2)？
將 $u = u^n$ 和 $\pi = 0$ 代入痛苦指數公式：
$M(u^n, 0) = u^n + \theta(0)^2 = u^n$。
因此，(2) 的答案是 $u^n$。

Part (2): 權衡性貨幣政策

央行在給定 $E(\pi)$ 的情況下，選擇 $\pi$ 來極小化痛苦指數 $M(u, \pi) = u + \theta\pi^2$。
首先，我們需要知道失業率 $u$ 如何由 $\pi$ 和 $E(\pi)$ 決定。
菲利浦曲線：$u = u^n - \alpha(\pi - E(\pi))$。
央行要極小化 $M(u, \pi) = u + \theta\pi^2$。
將 $u$ 代入：

核心觀念
新古典投資理論（Neoclassical investment theory）認為，企業的投資決策取決於「邊際效率」與「資本成本」之比較。

• 資本成本 (cost of capital)：持有每單位資本的機會成本，等同於要求報酬率 $r$，其決定因素主要包括名目利率、通貨膨脹率、稅制（折舊抵減）以及資本的邊際產出。
• 資本成本公式（簡化）
  $r = i + \pi - \tau D,$
  其中 $i$ 為名目利率，$\pi$ 為預期通貨膨脹率（正值為通膨、負值為通縮），$\tau$ 為稅率，$D$ 為可抵減的折舊額。若資本邊際產出下降（如資本存量過多），則實際需求下降，間接提升資本的機會成本。

解題方法
本題屬於概念性複選題，需判斷每個選項對 $r$ 的方向性影響。取用上式，觀察變項變動時 $r$ 是否提升：

• 名目利率 $i$ 上升 → $r$ 直接上升。
• 通貨緊縮 $\pi<0$（負的通脹率） → $r=i+\pi$ 下降，但若僅考慮「通貨緊縮」對實質利率的影響，實質利率上升（因價格下降，使名目利率的實際負擔加重），故 $r$ 上升。
• 折舊抵稅額度 $D$ 減少 → 折舊抵減減少，使 $-\tau D$ 的絕對值下降，從而 $r$ 上升。

此題考查廠商持有存貨的理由。廠商持有存貨是為了應對生產、銷售和市場的不確定性，以及優化生產和成本結構。

核心觀念：
存貨（Inventory）是指企業持有的、用於未來銷售或生產的商品。存貨包括原物料、在製品（Work-in-Process, WIP）和製成品（Finished Goods）。持有存貨會產生持有成本（如倉儲、保險、損耗、機會成本），但同時也能帶來收益，如應付需求波動、維持生產連續性、抓住銷售機會等。

我們逐一分析各選項：

(a) 每期生產固定的產量成本較低廉 (production smoothing)
有些生產製程的成本結構是，當產量較高時，平均單位生產成本較低（例如，固定成本在更大產量上分攤）。如果市場需求波動劇烈，廠商可能會選擇一個相對穩定的生產量，以獲得較低的平均生產成本。這就意味著，在需求較低的時期，生產出來的產品會形成製成品存貨；在需求較高的時期，則會動用存貨來滿足額外需求。這種「生產平滑化」（production smoothing）策略，通過存貨來緩衝生產與銷售之間的差異，從而降低總生產成本。
此選項是廠商累積存貨的理由之一。

(b) 存貨本身可視為生產要素之一
在某些經濟模型中，存貨（特別是原物料和在製品）被視為生產過程中的投入要素。例如，在生產函數中，存貨可以被納入作為一個生產要素，與勞動力、資本等結合，共同生產最終產品。

核心觀念

• 領先指標 (Leading Indicator)：在景氣循環中，若某變數的變動會先於實體經濟（GDP、產出、就業）變動，且此變動能預示未來經濟走向，則稱之為領先指標。
• 股市指數的訊號功能：股票價格反映投資人對未來企業盈餘、投資機會、技術進步的預期，屬於**預期（Expectations）**的市場資訊。
• Tobin’s q：$q = \frac{\text{企業市值}}{\text{資本的重置成本}}$。$q>1$ 時，企業會增加投資，因為市場估值高於資本成本。
• 財富效應（Wealth Effect）：股票價格上漲使股民的名目財富提高，進而提升消費（$C$），拉動總需求 $AD = C + I + G + NX$。
• 供給側預期：股價上揚往往是投資人預期未來技術、產能提升，導致**總供給（AS）**預期上升，長期潛在產出提高。

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解題方法

1. 判斷領先機制：檢視每個選項的敘述是否說明「股票指數變動 → 之後對需求或供給的變動 → 進一步帶動 GDP」的因果鏈。若此因果鏈在時間序列上是先於實體產出，則符合領先指標的定義。
2. 排除同時或滯後效應：若該機制主要是資金流入、外資投資等「同步」或「滯後」於 GDP 的因素，則不構成領先指標。

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選項分析

選項	內容說明	是否符合領先指標的機制	判斷理由
(a)	股市上漲使得 Tobin’s q 上升，企業投資需求增加，帶動總需求上升 → GDP 增加。

此題考查影響廠商（在此情境下，主要是營建業或房地產開發商）進行住宅投資的因素。住宅投資是總體經濟中「投資」組成部分的一部分。

核心觀念：
廠商的投資決策通常基於預期的未來收益與當前投資成本的比較。對於住宅投資，影響因素包括：

1. 融資成本 (Financing Cost)：利率、信貸條件。
2. 預期收益 (Expected Returns)：預期未來房價上漲、租金收入、市場需求。
3. 生產成本 (Production Cost)：建築材料、勞動力、土地成本。
4. 政府政策 (Government Policies)：貨幣政策、財政政策、房地產相關法規。
5. 市場需求 (Market Demand)：人口增長、家庭形成、收入水平。

我們逐一分析各選項：

(a) 政府採用更為寬鬆的貨幣政策
寬鬆的貨幣政策通常意味著降低利率（例如，央行調降基準利率，或公開市場操作買入債券）。
較低的利率會降低企業（開發商）的融資成本，即借款建造房屋的利息支出減少。
同時，較低的利率也會降低購房者的貸款成本，可能刺激購房需求。
融資成本下降和預期需求上升，都會促使廠商增加對民間住宅的投資。
此選項將使得廠商對於民間住宅的投資增加。

核心觀念

本題考察「所得（GDP）變動如何影響投資需求」，以及國內資本形成的內容。

國內資本形成不只包括廠商購買機器設備，也包括：

1. 廠商的固定資本投資；
2. 存貨投資；
3. 住宅建築投資。

在總體經濟中，投資通常受到產出、利潤、融資條件、勞動投入與住宅需求等因素影響。可概括表示為：

$$I=I(Y,\pi,\text{融資條件},L,\text{住宅需求},\ldots)$$

其中 $Y$ 為 GDP，$\pi$ 為利潤，$L$ 為勞動投入。一般而言，GDP提高會使投資需求增加，原因包括加速原理、現金流改善、資本邊際產出提高，以及住宅需求增加。

解題方法

逐項判斷 GDP 提高後，該因素是否會使國內資本形成增加：

• 若該因素使廠商更願意購買設備、增加存貨，屬於投資需求增加的理由。
• 若該因素使資本的預期報酬提高、融資障礙降低，也會刺激投資。
• 若該因素與住宅建築需求相關，也屬於國內資本形成的一部分。

選項分析

(a) GDP提高時，存貨不足的成本下降

錯誤。

GDP提高通常代表經濟活動與商品需求增加。需求增加時，若廠商存貨不足，可能發生：

• 無法立即滿足顧客需求；
• 銷售損失；
• 顧客轉向競爭者；
• 生產中斷或交貨延遲。

因此，存貨不足的機會成本通常會上升，而不是下降。廠商為避免缺貨，反而有較強動機增加存貨投資。

選項若改為「GDP提高時，存貨不足的成本上升」，即可成為刺激存貨投資的合理理由。

(b) GDP提高時，廠商的利潤較佳，融資限制減少

正確。

GDP提高通常伴隨銷售量與營收增加。若成本未同步大幅上升，廠商利潤會改善，進而產生兩項效果：

1. 內部資金增加，可以直接支應設備投資；
2. 財務狀況改善，信用評等與還款能力提高，較容易取得銀行貸款或其他外部融資。

核心觀念

本題旨在測驗標準 IS-LM 總體經濟模型之聯立均衡求解與政策乘數效果分析，涉及以下關鍵核心觀念：

1. 商品市場均衡（IS 曲線）：
   產出等於總支出（$Y = C + I + G$），刻劃使商品市場結清之實質產出 $Y$ 與實質利率 $r$ 的負向關係。
2. 貨幣市場均衡（LM 曲線）：
   實質貨幣需求等於實質貨幣供給（$(M/P)^d = M/P$），刻劃使貨幣市場結清之實質產出 $Y$ 與實質利率 $r$ 的正向關係。
3. IS-LM 聯立均衡與排擠效果（Crowding-out Effect）：
   擴張性財政政策（如減稅）使 IS 曲線右移，帶動產出增加與貨幣需求上升；在貨幣供給不變下，利率攀升引發投資減少（利率排擠），因此完整 IS-LM 模型下的乘數效果小於簡單凱因斯模型下的乘數。
4. 誘發性投資（Induced Investment）：
   當投資亦受所得水準正向影響時（$I = I_0 - br + i_1 Y$），邊際支出傾向提高，使得 IS 曲線變得更平坦，進而放大乘數效果。

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解題方法與詳細推導

(1) 求解市場均衡產出 $Y$ 與實質利率 $r$

步驟一：建立商品市場均衡條件（IS 方程式）

將消費函數、投資函數與政府支出代入總產出恆等式：

$Y = C + I + G$

$Y = 60 + 0.8(Y - 150) + (200 - 10r) + 300$

展開並化簡：

$Y = 60 + 0.8Y - 120 + 200 - 10r + 300$

$Y = 440 + 0.8Y - 10r$

$0.2Y + 10r = 440$

同乘以 $5$ 可得 IS 方程式：

$Y + 50r = 2200 \quad \text{--- (IS)}$

步驟二：建立貨幣市場均衡條件（LM 方程式）

實質貨幣供給為：

$\frac{M}{P} = \frac{5000}{5} = 1000$

貨幣市場結清條件為實質貨幣需求等於實質貨幣供給：

$(M/P)^d = \frac{M}{P}$

$Y - 50r = 1000 \quad \text{--- (LM)}$

步驟三：聯立求解均衡之 $Y$ 與 $r$

將 $\text{(IS)}$ 式與 $\text{(LM)}$ 式相加：

$(Y + 50r) + (Y - 50r) = 2200 + 1000$

$2Y = 3200 \implies Y^* = 1600$

將 $Y^* = 1600$ 代入 $\text{(LM)}$ 式：

$1600 - 50r = 1000$

$50r = 600 \implies r^* = 12$

因此，均衡產出 $Y$ 為 $1600$，實質利率 $r$ 為 $12$（即 $12\%$）。

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(2) 計算政府減稅的乘數效果

步驟一：推導 IS-LM 體系下的稅收乘數公式

對 IS 與 LM 體系取全微分：

由 IS 曲線：$dY = c(dY - dT) - b\,dr + dG$（其中 $c = 0.8, b = 10$）
整理得：

$(1 - c)dY + b\,dr = -c\,dT + dG$

由 LM 曲線：$k\,dY - h\,dr = d(M/P)$（其中 $k = 1, h = 50$）
在貨幣供給與物價不變下（$d(M/P) = 0$）：

$dr = \frac{k}{h}dY$

將 $dr$ 代入 IS 全微分式，且設定政府支出不變（$dG = 0$）：

$(1 - c)dY + b\left(\frac{k}{h}dY\right) = -c\,dT$

$\left(1 - c + \frac{bk}{h}\right)dY = -c\,dT$

得稅收乘數為：

核心觀念

本題考查：

1. 具有固定成本的供給決策
2. 工匠是否願意生產的參與條件
3. 買方設定收購價格後的利潤最大化
4. 離散供給下的最適價格選擇

工匠 $i$ 生產正數量時，每個花瓶的邊際成本為 $i$ 萬元，且必須負擔固定成本 20 萬元。甲向每位工匠支付統一價格 $P$ 萬元，並須收購所有願意出售的花瓶。

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解題方法

一、判斷每位工匠的最適生產量

工匠 $i$ 若生產 $q_i=1,2,3,4$ 個，利潤為

$$\pi_i=Pq_i-C_i(q_i)$$

因此：

$$\pi_i=(P-i)q_i-20$$

若 $P>i$，每多生產一個花瓶所增加的收入大於成本，因此在產能上限內會選擇生產 4 個。

若 $P\leq i$，生產每個花瓶的單位利潤不為正，不會選擇生產正數量。

所以工匠 $i$ 願意生產 4 個花瓶的條件為：

$$4(P-i)-20\geq 0$$

整理得：

$$P\geq i+5$$

因此，當收購價格為 $P$ 時，所有滿足

$$i\leq P-5$$

的工匠會參與生產；每位參與的工匠生產 4 個花瓶。

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二、將工匠數量轉換為總供給量

令共有 $k$ 名工匠參與生產，則總供給量為

$$Q=4k$$

要讓第 $k$ 名工匠參與，至少須支付：

$$P=k+5$$

在相同的參與工匠數 $k$ 下，甲會選擇最低可行價格 $P=k+5$，因為提高價格不會增加收購數量，卻會增加支出。

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三、建立甲的利潤函數

甲以每個花瓶 43 萬元售出，收購價格為 $P$ 萬元，因此每個花瓶的單位利潤為

$$43-P$$

若有 $k$ 名工匠參與，甲的總利潤為

$$\Pi(k)=(43-P)(4k)$$

代入 $P=k+5$：