111 年 國立臺灣大學財務金融研究所甲組《經濟分析》

本題考驗對 IS-LM 模型中各種政策操作與外生衝擊如何影響總體經濟變數的理解。

(A) 公開市場操作買入債券，央行釋出貨幣，導致貨幣供給增加。在 IS-LM 模型中，貨幣供給增加會使 LM 曲線右移。LM 曲線右移會導致均衡所得增加，均衡實質利率下降。因此，此敘述是正確的。

(B) 量化寬鬆 (QE) 政策通常旨在降低長期利率，增加市場流動性，鼓勵投資。如果 QE 政策使得廠商預期現金的機會成本降低（即利率下降），並且增加其投資意願，這通常會使投資函數的自主性部分 $A$ 增加，而非 $B$（代表利率對投資的敏感度）。若 $B$ 增加，代表利率對投資的敏感度下降，這會使 IS 曲線變得較陡峭。

核心觀念

• 總合供給（AS）模型：實際產出 $Y$ 與自然產出 $Y^{*}$（或稱潛在產出）之差決定實際物價 $P$ 與預期物價 $P^{e}$ 的關係。
  • 若 $Y<Y^{*}$，表示產出缺口為負，企業在產能未充分利用的情況下設定的實際物價會低於先前的預期物價。
• LM 曲線與實質貨幣供給：實質貨幣供給 $M/P$ 為名目貨幣供給 $M$ 除以物價水平 $P$。在名目貨幣供給固定時，$P$ 下降會使 $M/P$ 提升，因而 LM 曲線向右移。
• AD 曲線的形成：AD 為在不同價格水準下，IS–LM 均衡所產生的產出–物價組合。LM 向右移會使新的均衡點在較高產出與較高物價上，等效於 AD 曲線向右平移。
• 貨幣中立性（Money Neutrality）：長期內，貨幣供給的變動只會改變名目變數（如 $P$、名目工資），不會影響實質變數（如 $Y$、實質工資）。

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解題方法

1. 逐一檢視每個選項所描述的經濟機制是否符合上述核心概念。
2. 判斷敘述的因果關係是否正確（例如：價格變動是 因 還是 果），以及是否混淆了 名目 與 實質 概念。
3. 只要發現與理論不符，即判為錯誤；符合則為正確。

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選項分析

選項	判斷	理論依據與說明
(A)	正確	在總合供給模型中，$Y<Y^{*}$ 時產出缺口為負，企業為了清庫存、避免過度產能閒置，會將實際價格設定 低於 原先的預期物價 $P^{e}$。因此「物價水準會低於預期物價」的說法符合模型預測。

核心觀念

本題考查「政府預算赤字與國民儲蓄、投資」的長期關係。

國民儲蓄由私人儲蓄與公共儲蓄組成：

$$S=Y-C-G$$

其中公共儲蓄為：

$$S_{\text{public}}=T-G$$

預算赤字為 $G>T$，表示公共儲蓄為負值。若政府減少預算赤字，代表提高稅收、削減政府支出，或兩者同時進行，公共儲蓄增加，進而使國民儲蓄增加。

在封閉經濟中，國民所得恆等式為：

$$Y=C+I+G$$

移項可得：

$$Y-C-G=I$$

因此：

$$S=I$$

國民儲蓄增加會使可貸資金供給增加，均衡實質利率下降，企業借款成本降低，投資支出增加。

解題方法

採用「可貸資金市場」分析：

1. 減少預算赤字，使政府儲蓄增加。
2. 國民儲蓄增加，代表可貸資金供給增加。
3. 可貸資金供給曲線右移。
4. 均衡實質利率下降。
5. 融資成本降低，企業投資增加。

可用下列關係表示：

$$\text{預算赤字減少} \Rightarrow S_{\text{public}}\uparrow \Rightarrow S\uparrow \Rightarrow r\downarrow \Rightarrow I\uparrow$$

其中 $r$ 為實質利率，$I$ 為投資。

長期而言，投資增加也會使資本存量累積，提升未來的生產能力。因此，投資增加是本題最直接且標準的答案。

選項分析

(A) 對物價沒有影響

錯誤。

長期物價水準主要取決於貨幣供給、貨幣需求與中央銀行的貨幣政策；預算赤字減少對物價的影響，須視政府支出、稅收與貨幣政策如何配合而定，不能直接斷言「沒有影響」。

核心觀念

本題考的是完全競爭均衡與柏拉圖最適配置之間的關係，核心是第一福利定理：

在偏好具備適當條件、商品市場完全競爭，且消費者皆為價格接受者時，競爭均衡配置是柏拉圖最適的。

對每位消費者而言，效用最大化的一階條件為：

$$MRS_{xy}=\frac{P_x}{P_y}$$

其中：

• $MRS_{xy}$：消費者願意以商品 $y$ 放棄多少數量來換取一單位商品 $x$
• $P_x/P_y$：市場上商品 $x$ 相對於商品 $y$ 的價格

由於完全競爭市場中的所有消費者都面對相同的市場價格，因此在內部解下：

$$MRS_{xy}^{A}=\frac{P_x}{P_y}=MRS_{xy}^{B}$$

亦即兩人的邊際替代率相等，表示兩人對兩項商品的邊際評價一致，無法透過重新分配商品使一人變好而不使另一人變差，達成柏拉圖最適。

解題方法

判斷本題應抓住「完全競爭市場」的關鍵特徵：所有消費者面對相同的價格，且都是價格接受者。

假設兩人消費兩項商品 $x$ 與 $y$。消費者 $i$ 的效用最大化問題可表示為：

$$\max U_i(x_i,y_i)$$

subject to：

$$P_xx_i+P_yy_i\leq I_i$$

在內部最適解下，消費者會使：

$$\frac{MU_x^i}{MU_y^i}=\frac{P_x}{P_y}$$

因為兩人面對相同的價格比率，所以：

$$\frac{MU_x^A}{MU_y^A} = \frac{P_x}{P_y} = \frac{MU_x^B}{MU_y^B}$$

因此：

$$MRS_{xy}^{A}=MRS_{xy}^{B}$$

這正是交換效率的條件。若兩人的邊際替代率不同，仍可透過交換使雙方至少一人變好；當兩人的邊際替代率相同時，這種互利交換空間消失，配置達到柏拉圖最適。

所以本題正確答案是「因為這兩人面對相同的價格」。

選項分析

(A) 因為這 2 人有相同的偏好

錯誤。

核心觀念

本題考查的是「投入配置效率」或「生產效率」。

經濟體使用勞動 $L$ 與資本 $K$ 生產商品 $X$、$Y$。若投入使用有效率，表示既定的總投入下，不能透過重新分配 $L$ 與 $K$，使 $X$ 與 $Y$ 的產量同時增加。

投入在兩種產品間有效率配置的條件為：

$$MRTS_{LK}^{X}=MRTS_{LK}^{Y}$$

其中，$MRTS_{LK}^{X}$ 表示生產 $X$ 時，以資本替代勞動的邊際技術替代率；$MRTS_{LK}^{Y}$ 則表示生產 $Y$ 時的邊際技術替代率。

若定義為：

$$MRTS_{LK}^{X}=\frac{MP_L^X}{MP_K^X}$$

則有效率條件為：

$$\frac{MP_L^X}{MP_K^X} = \frac{MP_L^Y}{MP_K^Y}$$

這代表兩種產品生產部門對 $L$ 與 $K$ 的替代意願相同。若兩者不同，就能將投入從替代效率較低的部門移往替代效率較高的部門，以增加總產出。

解題方法

本題問的是「投入被有效率地使用」，焦點在於：

• $L$ 與 $K$ 如何分配到 $X$、$Y$ 的生產；
• 兩個生產部門之間的邊際技術替代率是否相等。

因此直接套用生產效率條件：

$$MRTS_{LK}^{X}=MRTS_{LK}^{Y}$$

故選項中符合者為 (D)。

選項分析

(A) $MRTS_{LK}^X = MRS_K^X$

錯誤。

$MRTS_{LK}^X$ 是生產 $X$ 時的「邊際技術替代率」，描述生產者如何以一種投入替代另一種投入。

$MRS_K^X$ 則屬於消費者偏好概念，描述消費者在維持效用不變下，願意以某種商品或資源替代另一種商品或資源。

兩者分別屬於生產面與消費面，經濟意義及衡量對象不同，不能用此等式判斷兩種投入在不同產品部門間的配置效率。

(B) $MRT_{XY} = MRS_X^Y$

錯誤。

$MRT_{XY}$ 是生產可能邊界上的邊際轉換率，表示生產一單位額外的 $X$ 必須放棄多少 $Y$，屬於生產面概念。

核心觀念

• 訊息不對稱：買方（阿金）只有公司真實價值 $V$ 的區間資訊，且在 $[10,110]$ 內均勻分布；賣方（內部經理人）知道確切的 $V$。
• 拍賣/出價機制：只有當阿金的出價 $b$ 超過真實價值 $V$ 時，賣方才會成交。若 $b\le V$ 交易不成立，阿金的利潤為 0。
• 投資回報：成交後公司價值提升 75%，即交易後的價值為 $1.75V$。阿金的實際利潤為

$\Pi = 1.75V - b \quad\text{(僅在 }b>V\text{ 時成立)} .$

• 期望利潤最大化：阿金的目標是選擇出價 $b$ 使

$\mathbb{E}[\Pi]=\mathbb{E}\big[(1.75V-b)\mathbf 1_{\{b>V\}}\big]$

最大。

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解題方法

1. 寫出期望利潤的積分式
   由於 $V\sim U[10,110]$，密度 $f(v)=\frac1{100}$。當 $b\in[10,110]$ 時，只有 $V<b$ 才會成交，因此

$\mathbb{E}[\Pi\mid b]=\int_{10}^{b}(1.75v-b)\frac{1}{100}\,dv .$

若 $b\le10$ 交易永不發生，期望利潤 = 0；若 $b\ge110$ 交易必發生，期望利潤可直接寫成 $1.75\mathbb{E}[V]-b$。

2. 計算積分

本題考驗對跨期消費模型、預算約束、效用最大化以及稅收政策影響的理解。

基本模型設定：

• 效用函數：$U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$
• 第一期所得：$Y_1 = 100$
• 第二期所得：$Y_2 = 0$ （題目未提及第二期有勞動所得）
• 實質利率：$r = 10\% = 0.1$
• 儲蓄：$S$
• 消費：$C_1$ (第一期), $C_2$ (第二期)

跨期預算約束 (Intertemporal Budget Constraint, IBC)：
第一期的支出等於第一期的收入加上從第二期借入的資金（或減去存入的資金）。
第二期的支出等於第二期的收入加上第一期儲蓄的本利和。
IBC 的現值形式為：$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$
IBC 的終值形式為：$C_1(1+r) + C_2 = Y_1(1+r) + Y_2$

問題 (a)：所得稅影響

• 所得稅率：$t_y = 20\% = 0.2$
• 利息所得稅率：$t_r = 0\%$

1. 計算稅後所得：

• 第一期勞動所得：$Y_1 = 100$
• 第一期稅後所得：$Y_{1, \text{net}} = Y_1 (1 - t_y) = 100 \times (1 - 0.2) = 100 \times 0.8 = 80$。
• 第二期所得：$Y_2 = 0$。

2. 建立稅後跨期預算約束 (IBC)：
使用終值形式：
$C_1(1+r) + C_2 = Y_{1, \text{net}}(1+r) + Y_2$
$C_1(1+0.1) + C_2 = 80(1+0.1) + 0$
$1.1 C_1 + C_2 = 80 \times 1.1 = 88$。

3. 效用最大化：
消費者目標是最大化 $U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$，受限於 $1.1 C_1 + C_2 = 88$。
使用拉格朗日乘數法：
$L(C_1, C_2, \lambda) = \ln C_1 + \ln C_2 + \lambda (88 - 1.1 C_1 - C_2)$

一階條件：
$\frac{\partial L}{\partial C_1} = \frac{1}{C_1} - 1.1 \lambda = 0 \implies \frac{1}{C_1} = 1.1 \lambda \implies C_1 = \frac{1}{1.1 \lambda}$
$\frac{\partial L}{\partial C_2} = \frac{1}{C_2} - \lambda = 0 \implies \frac{1}{C_2} = \lambda \implies C_2 = \frac{1}{\lambda}$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 88 - 1.1 C_1 - C_2 = 0$

從前兩個條件，我們可以得到 $C_1$ 和 $C_2$ 的關係：
$C_2 = \frac{1}{\lambda}$
$C_1 = \frac{1}{1.1 \lambda} = \frac{1}{1.1} C_2$
或者 $C_1 = \frac{C_2}{1.1}$。

將此關係代入預算約束：
$1.1 C_1 + C_2 = 88$
$1.1 (\frac{C_2}{1.1}) + C_2 = 88$
$C_2 + C_2 = 88$
$2 C_2 = 88 \implies C_2 = 44$。

然後計算 $C_1$：
$C_1 = \frac{C_2}{1.1} = \frac{44}{1.1} = 40$。

4. 計算儲蓄 S：
儲蓄是第一期未消費的所得。
$S = Y_{1, \text{net}} - C_1 = 80 - 40 = 40$。
驗證：第一期支出 $C_1=40$。第一期稅後所得 $80$。儲蓄 $S=40$。
第二期消費 $C_2=44$。
第二期收入為 0。
第一期儲蓄的本利和為 $S(1+r) = 40(1+0.1) = 40 \times 1.1 = 44$。
第二期消費 $C_2=44$，正好等於儲蓄的本利和。預算約束滿足。

因此，(8) $C_1 = 40$, (9) $C_2 = 44$, (10) $S = 40$。

問題 (b)：消費稅影響

• 目標：找到一個消費稅率 $t_c$（稅收對消費課徵），使得在課徵此稅後，消費者的 2 期消費 $(C_1, C_2)$ 的結果與課徵 20% 勞動所得稅時相同。
• 消費稅率：$t_c$。
• 消費稅的影響：消費稅會增加消費的價格。

1. 建立消費稅下的預算約束：
假設消費稅是對最終消費課徵。
第一期消費的實際價格為 $P_1 = 1+t_c$。
第二期消費的實際價格為 $P_2 = 1+t_c$。

本題考驗對跨期消費模型、預算約束、效用最大化以及稅收政策影響的理解。

基本模型設定：

• 效用函數：$U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$
• 第一期所得：$Y_1 = 100$
• 第二期所得：$Y_2 = 0$ （題目未提及第二期有勞動所得）
• 實質利率：$r = 10\% = 0.1$
• 儲蓄：$S$
• 消費：$C_1$ (第一期), $C_2$ (第二期)

問題 (a)：所得稅影響

• 所得稅率：$t_y = 20\% = 0.2$
• 利息所得稅率：$t_r = 0\%$

1. 計算稅後所得：

• 第一期勞動所得：$Y_1 = 100$
• 第一期稅後所得：$Y_{1, \text{net}} = Y_1 (1 - t_y) = 100 \times (1 - 0.2) = 100 \times 0.8 = 80$。
• 第二期所得：$Y_2 = 0$。

2. 建立稅後跨期預算約束 (IBC)：
使用終值形式：
$C_1(1+r) + C_2 = Y_{1, \text{net}}(1+r) + Y_2$
$C_1(1+0.1) + C_2 = 80(1+0.1) + 0$
$1.1 C_1 + C_2 = 80 \times 1.1 = 88$。

3. 效用最大化：
消費者目標是最大化 $U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$，受限於 $1.1 C_1 + C_2 = 88$。
對於 $\ln C_1 + \ln C_2$ 形式的效用函數，MRS 是 $C_2/C_1$。
預算約束的價格比為 $P_1/P_2 = (1+r)/1 = 1.1/1 = 1.1$。
效用最大化條件為 $MRS = P_1/P_2$。
$\frac{C_2}{C_1} = 1.1$
$C_2 = 1.1 C_1$。

將此關係代入預算約束：
$1.1 C_1 + C_2 = 88$
$1.1 C_1 + (1.1 C_1) = 88$
$2.2 C_1 = 88$
$C_1 = \frac{88}{2.2} = 40$。

然後計算 $C_2$：
$C_2 = 1.1 C_1 = 1.1 \times 40 = 44$。

4. 計算儲蓄 S：
儲蓄是第一期未消費的所得。
$S = Y_{1, \text{net}} - C_1 = 80 - 40 = 40$。

因此，(8) $C_1 = 40$, (9) $C_2 = 44$, (10) $S = 40$。

問題 (b)：消費稅影響

• 目標：找到一個消費稅率 $t_c$（稅收對消費課徵），使得在課徵此稅後，消費者的 2 期消費 $(C_1, C_2)$ 的結果與課徵 20% 勞動所得稅時相同。
• 消費稅率：$t_c$。

本題考驗對跨期消費模型、預算約束、效用最大化以及稅收政策影響的理解。

基本模型設定：

• 效用函數：$U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$
• 第一期所得：$Y_1 = 100$
• 第二期所得：$Y_2 = 0$ （題目未提及第二期有勞動所得）
• 實質利率：$r = 10\% = 0.1$
• 儲蓄：$S$
• 消費：$C_1$ (第一期), $C_2$ (第二期)

問題 (a)：所得稅影響

• 所得稅率：$t_y = 20\% = 0.2$
• 利息所得稅率：$t_r = 0\%$

1. 計算稅後所得：

• 第一期勞動所得：$Y_1 = 100$
• 第一期稅後所得：$Y_{1, \text{net}} = Y_1 (1 - t_y) = 100 \times (1 - 0.2) = 100 \times 0.8 = 80$。
• 第二期所得：$Y_2 = 0$。

2. 建立稅後跨期預算約束 (IBC)：
使用終值形式：
$C_1(1+r) + C_2 = Y_{1, \text{net}}(1+r) + Y_2$
$C_1(1+0.1) + C_2 = 80(1+0.1) + 0$
$1.1 C_1 + C_2 = 80 \times 1.1 = 88$。

3. 效用最大化：
消費者目標是最大化 $U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$，受限於 $1.1 C_1 + C_2 = 88$。
對於 $\ln C_1 + \ln C_2$ 形式的效用函數，MRS 是 $C_2/C_1$。
預算約束的價格比為 $P_1/P_2 = (1+r)/1 = 1.1/1 = 1.1$。
效用最大化條件為 $MRS = P_1/P_2$。
$\frac{C_2}{C_1} = 1.1$
$C_2 = 1.1 C_1$。

將此關係代入預算約束：
$1.1 C_1 + C_2 = 88$
$1.1 C_1 + (1.1 C_1) = 88$
$2.2 C_1 = 88$
$C_1 = \frac{88}{2.2} = 40$。

然後計算 $C_2$：
$C_2 = 1.1 C_1 = 1.1 \times 40 = 44$。

4. 計算儲蓄 S：
儲蓄是第一期未消費的所得。
$S = Y_{1, \text{net}} - C_1 = 80 - 40 = 40$。

因此，(8) $C_1 = 40$, (9) $C_2 = 44$, (10) $S = 40$。

問題 (b)：消費稅影響

• 目標：找到一個消費稅率 $t_c$（稅收對消費課徵），使得在課徵此稅後，消費者的 2 期消費 $(C_1, C_2)$ 的結果與課徵 20% 勞動所得稅時相同。
• 消費稅率：$t_c$。

本題考驗對跨期消費模型、預算約束、效用最大化以及稅收政策影響的理解。

基本模型設定：

• 效用函數：$U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$
• 第一期所得：$Y_1 = 100$
• 第二期所得：$Y_2 = 0$ （題目未提及第二期有勞動所得）
• 實質利率：$r = 10\% = 0.1$
• 儲蓄：$S$
• 消費：$C_1$ (第一期), $C_2$ (第二期)

問題 (a)：所得稅影響

• 所得稅率：$t_y = 20\% = 0.2$
• 利息所得稅率：$t_r = 0\%$

1. 計算稅後所得：

• 第一期勞動所得：$Y_1 = 100$
• 第一期稅後所得：$Y_{1, \text{net}} = Y_1 (1 - t_y) = 100 \times (1 - 0.2) = 100 \times 0.8 = 80$。
• 第二期所得：$Y_2 = 0$。

2. 建立稅後跨期預算約束 (IBC)：
使用終值形式：
$C_1(1+r) + C_2 = Y_{1, \text{net}}(1+r) + Y_2$
$C_1(1+0.1) + C_2 = 80(1+0.1) + 0$
$1.1 C_1 + C_2 = 80 \times 1.1 = 88$。

3. 效用最大化：
消費者目標是最大化 $U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$，受限於 $1.1 C_1 + C_2 = 88$。
對於 $\ln C_1 + \ln C_2$ 形式的效用函數，MRS 是 $C_2/C_1$。
預算約束的價格比為 $P_1/P_2 = (1+r)/1 = 1.1/1 = 1.1$。
效用最大化條件為 $MRS = P_1/P_2$。
$\frac{C_2}{C_1} = 1.1$
$C_2 = 1.1 C_1$。

將此關係代入預算約束：
$1.1 C_1 + C_2 = 88$
$1.1 C_1 + (1.1 C_1) = 88$
$2.2 C_1 = 88$
$C_1 = \frac{88}{2.2} = 40$。

然後計算 $C_2$：
$C_2 = 1.1 C_1 = 1.1 \times 40 = 44$。

4. 計算儲蓄 S：
儲蓄是第一期未消費的所得。
$S = Y_{1, \text{net}} - C_1 = 80 - 40 = 40$。

因此，(8) $C_1 = 40$, (9) $C_2 = 44$, (10) $S = 40$。

問題 (b)：消費稅影響

• 目標：找到一個消費稅率 $t_c$（稅收對消費課徵），使得在課徵此稅後，消費者的 2 期消費 $(C_1, C_2)$ 的結果與課徵 20% 勞動所得稅時相同。
• 消費稅率：$t_c$。

本題考驗對跨期消費模型、預算約束、效用最大化以及稅收政策影響的理解。

基本模型設定：

• 效用函數：$U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$
• 第一期所得：$Y_1 = 100$
• 第二期所得：$Y_2 = 0$ （題目未提及第二期有勞動所得）
• 實質利率：$r = 10\% = 0.1$
• 儲蓄：$S$
• 消費：$C_1$ (第一期), $C_2$ (第二期)

問題 (a)：所得稅影響

• 所得稅率：$t_y = 20\% = 0.2$
• 利息所得稅率：$t_r = 0\%$

1. 計算稅後所得：

• 第一期勞動所得：$Y_1 = 100$
• 第一期稅後所得：$Y_{1, \text{net}} = Y_1 (1 - t_y) = 100 \times (1 - 0.2) = 100 \times 0.8 = 80$。
• 第二期所得：$Y_2 = 0$。

2. 建立稅後跨期預算約束 (IBC)：
使用終值形式：
$C_1(1+r) + C_2 = Y_{1, \text{net}}(1+r) + Y_2$
$C_1(1+0.1) + C_2 = 80(1+0.1) + 0$
$1.1 C_1 + C_2 = 80 \times 1.1 = 88$。

3. 效用最大化：
消費者目標是最大化 $U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \ln C_2$，受限於 $1.1 C_1 + C_2 = 88$。
對於 $\ln C_1 + \ln C_2$ 形式的效用函數，MRS 是 $C_2/C_1$。
預算約束的價格比為 $P_1/P_2 = (1+r)/1 = 1.1/1 = 1.1$。
效用最大化條件為 $MRS = P_1/P_2$。
$\frac{C_2}{C_1} = 1.1$
$C_2 = 1.1 C_1$。

將此關係代入預算約束：
$1.1 C_1 + C_2 = 88$
$1.1 C_1 + (1.1 C_1) = 88$
$2.2 C_1 = 88$
$C_1 = \frac{88}{2.2} = 40$。

然後計算 $C_2$：
$C_2 = 1.1 C_1 = 1.1 \times 40 = 44$。

4. 計算儲蓄 S：
儲蓄是第一期未消費的所得。
$S = Y_{1, \text{net}} - C_1 = 80 - 40 = 40$。

因此，(8) $C_1 = 40$, (9) $C_2 = 44$, (10) $S = 40$。

問題 (b)：消費稅影響

• 目標：找到一個消費稅率 $t_c$（稅收對消費課徵），使得在課徵此稅後，消費者的 2 期消費 $(C_1, C_2)$ 的結果與課徵 20% 勞動所得稅時相同。
• 消費稅率：$t_c$。

本題考驗對多變數函數最大化問題的應用，以及邊際概念的理解。

問題 (a)：最大化 GPA
小財的 GPA 函數為 $G(M, P) = 0.1M + 0.2P - 0.005P^2$。
總複習時間為 30 小時，即 $M + P = 30$。

我們需要最大化 $G(M, P)$，受限於 $M+P=30$。
首先，將約束條件代入目標函數，將 $M$ 表示為 $M = 30 - P$。
將其代入 GPA 函數：
$G(P) = 0.1(30 - P) + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3 - 0.1P + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3 + 0.1P - 0.005P^2$

為了找到最大值，我們對 $P$ 求導並令其為 0：
$\frac{dG}{dP} = 0.1 - 2 \times 0.005P = 0.1 - 0.01P$
令導數為 0：
$0.1 - 0.01P = 0$
$0.01P = 0.1$
$P = \frac{0.1}{0.01} = 10$。

當 $P=10$ 小時時，計算 $M$：
$M = 30 - P = 30 - 10 = 20$ 小時。

我們需要檢查二階導數以確認是最大值：
$\frac{d^2G}{dP^2} = -0.01 < 0$。
所以 $P=10$ 是最大值點。

最佳複習時間分配：
數學 (M)：20 小時
物理 (P)：10 小時

計算最大 GPA：
將 $M=20$ 和 $P=10$ 代入 GPA 函數：
$G_{max} = 0.1(20) + 0.2(10) - 0.005(10)^2$
$G_{max} = 2 + 2 - 0.005(100)$
$G_{max} = 4 - 0.5 = 3.5$。

因此，(11) M = 20 小時, (12) P = 10 小時, (13) GPA = 3.5 分。

問題 (b)：增加複習時間與邊際產出解釋
小財決定取消約會，額外獲得 5 小時複習時間，總複習時間變為 $30 + 5 = 35$ 小時。
新的約束條件為 $M + P = 35$。
新的目標函數 $G(M, P) = 0.1M + 0.2P - 0.005P^2$ 保持不變。

將 $M = 35 - P$ 代入 GPA 函數：
$G(P) = 0.1(35 - P) + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3.5 - 0.1P + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3.5 + 0.1P - 0.005P^2$

為了找到新的最大值，我們對 $P$ 求導並令其為 0：
$\frac{dG}{dP} = 0.1 - 0.01P$
令導數為 0：
$0.1 - 0.01P = 0 \implies P = 10$。

新的最佳物理複習時間仍然是 $P=10$ 小時。
計算新的數學複習時間：
$M = 35 - P = 35 - 10 = 25$ 小時。

額外分配的數學複習時間：
在問題 (a) 中，數學時間是 20 小時。現在是 25 小時。
額外分配的數學時間為 $25 - 20 = 5$ 小時。

因此，(14) 小財會再多分配 5 小時複習數學。

解釋變動（邊際產出觀點）：
首先，我們計算邊際產出 (Marginal Product, MP)。
數學的邊際產出：$MP_M = \frac{\partial G}{\partial M} = 0.1$。
物理的邊際產出：$MP_P = \frac{\partial G}{\partial P} = 0.2 - 0.01P$。

在最適配置下，為了最大化效用（GPA），應該使得兩種投入的邊際產出相等（或者說，在約束下，邊際產出與價格的比率相等，但這裡時間是免費的，只是總量有限，所以我們關注的是邊際效用/邊際成本）。由於時間是同質的，我們希望在總時間約束下，最後一小時投入到哪裡能帶來最大的 GPA 增長。

在問題 (a) 的最適點 ($M=20, P=10$)：
$MP_M = 0.1$。
$MP_P = 0.2 - 0.01(10) = 0.2 - 0.1 = 0.1$。
此時 $MP_M = MP_P = 0.1$。這意味著在 $M=20, P=10$ 的情況下，將最後一小時從數學轉到物理，或者從物理轉到數學，GPA 變化量是相同的（都是 0.1）。

在問題 (b) 的新情況下，總時間增加到 35 小時。
我們發現新的最適點是 ($M=25, P=10$)。
此時：
$MP_M = 0.1$。
$MP_P = 0.2 - 0.01(10) = 0.1$。
再次 $MP_M = MP_P = 0.1$。

解釋變動：

1. 為什麼數學時間增加而物理時間不變？
   當總時間從 30 小時增加到 35 小時時，我們的優化問題是：最大化 $G(P) = 3.5 + 0.1P - 0.005P^2$（對於 $M+P=35$）。
   這個函數的頂點（最大值）發生在 $P=10$。這個頂點的位置是由函數的形式決定的，與總時間約束 $M+P=35$ 的總和無關。
   因此，無論總時間是 30 小時還是 35 小時，最佳的物理複習時間 $P$ 始終是 10 小時。
   由於總時間增加，而物理時間保持不變，所有額外的時間都分配給了數學。

2. 邊際產出的角度解釋：

   • 數學的邊際產出 $MP_M = 0.1$ 是常數。這意味著每增加一小時複習數學，GPA 增加 0.1，無論數學複習了多久（在 $M \ge 0$ 的範圍內）。
   • 物理的邊際產出 $MP_P = 0.2 - 0.01P$ 是遞減的。這意味著每增加一小時複習物理，GPA 增加的量會隨著物理複習時間 $P$ 的增加而減少。

   在問題 (a) 的情況下，最適點是 $M=20, P=10$。此時 $MP_M = 0.1$ 且 $MP_P = 0.1$。

本題考驗對多變數函數最大化問題的應用，以及邊際概念的理解。

問題 (a)：最大化 GPA
小財的 GPA 函數為 $G(M, P) = 0.1M + 0.2P - 0.005P^2$。
總複習時間為 30 小時，即 $M + P = 30$。

我們需要最大化 $G(M, P)$，受限於 $M+P=30$。
首先，將約束條件代入目標函數，將 $M$ 表示為 $M = 30 - P$。
將其代入 GPA 函數：
$G(P) = 0.1(30 - P) + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3 - 0.1P + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3 + 0.1P - 0.005P^2$

為了找到最大值，我們對 $P$ 求導並令其為 0：
$\frac{dG}{dP} = 0.1 - 2 \times 0.005P = 0.1 - 0.01P$
令導數為 0：
$0.1 - 0.01P = 0$
$0.01P = 0.1$
$P = \frac{0.1}{0.01} = 10$。

當 $P=10$ 小時時，計算 $M$：
$M = 30 - P = 30 - 10 = 20$ 小時。

我們需要檢查二階導數以確認是最大值：
$\frac{d^2G}{dP^2} = -0.01 < 0$。
所以 $P=10$ 是最大值點。

最佳複習時間分配：
數學 (M)：20 小時
物理 (P)：10 小時

計算最大 GPA：
將 $M=20$ 和 $P=10$ 代入 GPA 函數：
$G_{max} = 0.1(20) + 0.2(10) - 0.005(10)^2$
$G_{max} = 2 + 2 - 0.005(100)$
$G_{max} = 4 - 0.5 = 3.5$。

因此，(11) M = 20 小時, (12) P = 10 小時, (13) GPA = 3.5 分。

問題 (b)：增加複習時間與邊際產出解釋
小財決定取消約會，額外獲得 5 小時複習時間，總複習時間變為 $30 + 5 = 35$ 小時。
新的約束條件為 $M + P = 35$。
新的目標函數 $G(M, P) = 0.1M + 0.2P - 0.005P^2$ 保持不變。

將 $M = 35 - P$ 代入 GPA 函數：
$G(P) = 0.1(35 - P) + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3.5 - 0.1P + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3.5 + 0.1P - 0.005P^2$

為了找到新的最大值，我們對 $P$ 求導並令其為 0：
$\frac{dG}{dP} = 0.1 - 0.01P$
令導數為 0：
$0.1 - 0.01P = 0 \implies P = 10$。

新的最佳物理複習時間仍然是 $P=10$ 小時。
計算新的數學複習時間：
$M = 35 - P = 35 - 10 = 25$ 小時。

額外分配的數學複習時間：
在問題 (a) 中，數學時間是 20 小時。現在是 25 小時。
額外分配的數學時間為 $25 - 20 = 5$ 小時。

因此，(14) 小財會再多分配 5 小時複習數學。

解釋變動（邊際產出觀點）：
首先，我們計算邊際產出 (Marginal Product, MP)。
數學的邊際產出：$MP_M = \frac{\partial G}{\partial M} = 0.1$。
物理的邊際產出：$MP_P = \frac{\partial G}{\partial P} = 0.2 - 0.01P$。

在最適配置下，為了最大化效用（GPA），應該使得兩種投入的邊際產出相等（或者說，在約束下，邊際產出與價格的比率相等，但這裡時間是免費的，只是總量有限，所以我們關注的是邊際效用/邊際成本）。由於時間是同質的，我們希望在總時間約束下，最後一小時投入到哪裡能帶來最大的 GPA 增長。

在問題 (a) 的最適點 ($M=20, P=10$)：
$MP_M = 0.1$。
$MP_P = 0.2 - 0.01(10) = 0.2 - 0.1 = 0.1$。
此時 $MP_M = MP_P = 0.1$。這意味著在 $M=20, P=10$ 的情況下，將最後一小時從數學轉到物理，或者從物理轉到數學，GPA 變化量是相同的（都是 0.1）。

在問題 (b) 的新情況下，總時間增加到 35 小時。
我們發現新的最適點是 ($M=25, P=10$)。
此時：
$MP_M = 0.1$。
$MP_P = 0.2 - 0.01(10) = 0.1$。
再次 $MP_M = MP_P = 0.1$。

解釋變動：

1. 為什麼數學時間增加而物理時間不變？
   當總時間從 30 小時增加到 35 小時時，我們的優化問題是：最大化 $G(P) = 3.5 + 0.1P - 0.005P^2$（對於 $M+P=35$）。
   這個函數的頂點（最大值）發生在 $P=10$。這個頂點的位置是由函數的形式決定的，與總時間約束 $M+P=35$ 的總和無關。
   因此，無論總時間是 30 小時還是 35 小時，最佳的物理複習時間 $P$ 始終是 10 小時。
   由於總時間增加，而物理時間保持不變，所有額外的時間都分配給了數學。

2. 邊際產出的角度解釋：

   • 數學的邊際產出 $MP_M = 0.1$ 是常數。這意味著每增加一小時複習數學，GPA 增加 0.1，無論數學複習了多久（在 $M \ge 0$ 的範圍內）。
   • 物理的邊際產出 $MP_P = 0.2 - 0.01P$ 是遞減的。這意味著每增加一小時複習物理，GPA 增加的量會隨著物理複習時間 $P$ 的增加而減少。

   在問題 (a) 的情況下，最適點是 $M=20, P=10$。此時 $MP_M = 0.1$ 且 $MP_P = 0.1$。

本題考驗對多變數函數最大化問題的應用，以及邊際概念的理解。

問題 (a)：最大化 GPA
小財的 GPA 函數為 $G(M, P) = 0.1M + 0.2P - 0.005P^2$。
總複習時間為 30 小時，即 $M + P = 30$。

我們需要最大化 $G(M, P)$，受限於 $M+P=30$。
首先，將約束條件代入目標函數，將 $M$ 表示為 $M = 30 - P$。
將其代入 GPA 函數：
$G(P) = 0.1(30 - P) + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3 - 0.1P + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3 + 0.1P - 0.005P^2$

為了找到最大值，我們對 $P$ 求導並令其為 0：
$\frac{dG}{dP} = 0.1 - 2 \times 0.005P = 0.1 - 0.01P$
令導數為 0：
$0.1 - 0.01P = 0$
$0.01P = 0.1$
$P = \frac{0.1}{0.01} = 10$。

當 $P=10$ 小時時，計算 $M$：
$M = 30 - P = 30 - 10 = 20$ 小時。

我們需要檢查二階導數以確認是最大值：
$\frac{d^2G}{dP^2} = -0.01 < 0$。
所以 $P=10$ 是最大值點。

最佳複習時間分配：
數學 (M)：20 小時
物理 (P)：10 小時

計算最大 GPA：
將 $M=20$ 和 $P=10$ 代入 GPA 函數：
$G_{max} = 0.1(20) + 0.2(10) - 0.005(10)^2$
$G_{max} = 2 + 2 - 0.005(100)$
$G_{max} = 4 - 0.5 = 3.5$。

因此，(11) M = 20 小時, (12) P = 10 小時, (13) GPA = 3.5 分。

問題 (b)：增加複習時間與邊際產出解釋
小財決定取消約會，額外獲得 5 小時複習時間，總複習時間變為 $30 + 5 = 35$ 小時。
新的約束條件為 $M + P = 35$。
新的目標函數 $G(M, P) = 0.1M + 0.2P - 0.005P^2$ 保持不變。

將 $M = 35 - P$ 代入 GPA 函數：
$G(P) = 0.1(35 - P) + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3.5 - 0.1P + 0.2P - 0.005P^2$
$G(P) = 3.5 + 0.1P - 0.005P^2$

為了找到新的最大值，我們對 $P$ 求導並令其為 0：
$\frac{dG}{dP} = 0.1 - 0.01P$
令導數為 0：
$0.1 - 0.01P = 0 \implies P = 10$。

新的最佳物理複習時間仍然是 $P=10$ 小時。
計算新的數學複習時間：
$M = 35 - P = 35 - 10 = 25$ 小時。

額外分配的數學複習時間：
在問題 (a) 中，數學時間是 20 小時。現在是 25 小時。
額外分配的數學時間為 $25 - 20 = 5$ 小時。

因此，(14) 小財會再多分配 5 小時複習數學。

解釋變動（邊際產出觀點）：
首先，我們計算邊際產出 (Marginal Product, MP)。
數學的邊際產出：$MP_M = \frac{\partial G}{\partial M} = 0.1$。
物理的邊際產出：$MP_P = \frac{\partial G}{\partial P} = 0.2 - 0.01P$。

在最適配置下，為了最大化效用（GPA），應該使得兩種投入的邊際產出相等（或者說，在約束下，邊際產出與價格的比率相等，但這裡時間是免費的，只是總量有限，所以我們關注的是邊際效用/邊際成本）。由於時間是同質的，我們希望在總時間約束下，最後一小時投入到哪裡能帶來最大的 GPA 增長。

在問題 (a) 的最適點 ($M=20, P=10$)：
$MP_M = 0.1$。
$MP_P = 0.2 - 0.01(10) = 0.2 - 0.1 = 0.1$。
此時 $MP_M = MP_P = 0.1$。這意味著在 $M=20, P=10$ 的情況下，將最後一小時從數學轉到物理，或者從物理轉到數學，GPA 變化量是相同的（都是 0.1）。

在問題 (b) 的新情況下，總時間增加到 35 小時。
我們發現新的最適點是 ($M=25, P=10$)。
此時：
$MP_M = 0.1$。
$MP_P = 0.2 - 0.01(10) = 0.1$。
再次 $MP_M = MP_P = 0.1$。

解釋變動：

1. 為什麼數學時間增加而物理時間不變？
   當總時間從 30 小時增加到 35 小時時，我們的優化問題是：最大化 $G(P) = 3.5 + 0.1P - 0.005P^2$（對於 $M+P=35$）。
   這個函數的頂點（最大值）發生在 $P=10$。這個頂點的位置是由函數的形式決定的，與總時間約束 $M+P=35$ 的總和無關。
   因此，無論總時間是 30 小時還是 35 小時，最佳的物理複習時間 $P$ 始終是 10 小時。
   由於總時間增加，而物理時間保持不變，所有額外的時間都分配給了數學。

2. 邊際產出的角度解釋：

   • 數學的邊際產出 $MP_M = 0.1$ 是常數。這意味著每增加一小時複習數學，GPA 增加 0.1，無論數學複習了多久（在 $M \ge 0$ 的範圍內）。
   • 物理的邊際產出 $MP_P = 0.2 - 0.01P$ 是遞減的。這意味著每增加一小時複習物理，GPA 增加的量會隨著物理複習時間 $P$ 的增加而減少。

   在問題 (a) 的情況下，最適點是 $M=20, P=10$。此時 $MP_M = 0.1$ 且 $MP_P = 0.1$。