111 年國立臺灣大學財務金融研究所乙組《統計學（I）》考古題與詳解

Question 1

The number of red chips and white chips in an urn is not known, but it is known that the proportion, $p$ , of reds is either $1/5$ , $1/3$ , $1/2$ , or $3/4$ . A sample of size 5, drawn with replacement, yields the sequence red, white, red, white, white. The MLE for $p$ is:
(A) $1/5$
(B) $2/5$
(C) $1/3$
(D) $1/2$
(E) $3/4$

Accepted Answer

核心觀念 - 最大概似估計 (MLE)：在參數空間中找出使觀測資料概似函數最大的參數值。 - 概似函數：對於以「放回抽樣」得到的二元序列，若紅球比例為 $p$，則觀測到 $r$ 個紅球、$w$ 個白球的概似為 $$L(p)=p^{\,r}(1-p)^{\,w}.$$ - 離散參數集合：本題的 $p$ 只能是 $\{1/5,\;1/3,\;1/2,\;3/4\}$ 中的四個值，故直接比較這四個候選值的概似即可。 --- 解題方法 1. 先統計樣本：抽樣次數 $n=5$，觀測序列為 紅、白、紅、白、白，故 $$r=2,\qquad w=3.$$ 2. 寫出概似函數（只與 $p$ 有關） $$L(p)=p^{2}(1-p)^{3}.$$ 3. 分別代入四個可能的 $p$ 值，計算概似大小（可直接算分子分母或取對數比較）： | $p$ | $L(p)=p^{2}(1-p)^{3}$ | 數值 (近似) | |-----|-----------------------|-------------| | $\displaystyle \frac15$ | $\left(\frac15\right)^{2}\!\left(\frac45\right)^{3}= \frac{64}{3125}\;$ | $0.0205$ | | $\displaystyle \frac13$ | $\left(\frac13\right)^{2}\!\left(\frac23\right)^{3}= \frac{8}{243}\;$ | $0.0329$ | | $\displaystyle \frac12$ | $\left(\frac12\right)^{2}\!\left(\frac12\right)^{3}= \frac1{32}\;$ | $0.03125$ |

Question 2

Let $\{Xi\}{i=1}^{10}$ be an IID sequence of random variables drawn from a normal distribution $N(\mu, \sigma^2)$. Define $\bar{X} := \frac{1}{10} \sum{i=1}^{10} Xi$. Suppose that $Z$ is the standard normal distribution ($Z \sim N(0,1)$). What is the probability that $X{10} \in [\bar{X}-2\sigma, \bar{X}+2\sigma]$? (A) $	ext{Pr}(X{10} \in [\bar{X}-2\sigma, \bar{X}+2\sigma]) = 	ext{Pr}(Z \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}])$ (B) $	ext{Pr}(X{10} \in [\bar{X}-2\sigma, \bar{X}+2\sigma]) = 	ext{Pr}(Z \in [-3/10, 3/10])$ (C) $	ext{Pr}(X{10} \in [\bar{X}-2\sigma, \bar{X}+2\sigma]) = 	ext{Pr}(Z \in [-2, 2])$ (D) $	ext{Pr}(X{10} \in [\bar{X}-2\sigma, \bar{X}+2\sigma]) = 	ext{Pr}(Z \in [-1.96, 1.96])$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 - 常態分布的線性組合：若 $Xi\sim N(\mu,\sigma^2)$ 且獨立，任何線性組合 $a1X1+\cdots+anXn$ 仍為常態分布，且 $$ \operatorname{E}\big[\sum aiXi\big]=\sum ai\mu,\qquad \operatorname{Var}\big[\sum aiXi\big]=\sigma^2\sum ai^2 . $$ - 樣本平均數 $\bar X$ 與單一觀測值的關係：$\bar X$ 包含 $X{10}$，因此 $X{10}$ 與 $\bar X$ 不獨立，但 $X{10}$ 與其他 $X1,\dots,X9$ 獨立。 - 標準化：將欲計算的隨機變數除以其標準差，可轉換為標準常態 $Z\sim N(0,1)$，再利用正態分布表或電腦求機率。 --- 解題方法 1. 寫出差值 $$ X{10}-\bar X =X{10}-\frac{1}{10}\Bigl(X{10}+\sum{i=1}^{9}Xi\Bigr) =\frac{9X{10}-\sum{i=1}^{9}Xi}{10}. $$ 2. 求分布 - $\displaystyle 9X{10}$ 與 $\displaystyle \sum{i=1}^{9}Xi$ 分別為常態且相互獨立（因 $X{10}$ 與 $X1,\dots,X9$ 獨立）。 - 平均值 $$\operatorname{E}[9X{10}-\sum{i=1}^{9}Xi]=9\mu-9\mu=0.$$ - 變異數 $$ \operatorname{Var}[9X{10}-\sum{i=1}^{9}Xi] =9^2\sigma^2+9\sigma^2=90\sigma^2 . $$ - 除以 $10$ 後 $$ X{10}-\bar X\;\sim\; N\!\left(0,\;\frac{90}{100}\sigma^2\right) =N\!\bigl(0,\;0.9\sigma^2\bigr). $$ 3. 標準化 $$Z:=\frac{X{10}-\bar X}{\sigma\sqrt{0.9}}\;\sim\;N(0,1).$$ 4. 將事件寫成 $Z$ 的區間

Question 3

Suppose we want to examine a policy effect on manufacturing output growth in 1960s. There is a policy that affected some cities starting 1965 in the US. Assume that the city-year level manufacturing output growth, $Y_{it}$ , follows the model below:
$Y_{it} = \mu_i + \tau_t + \delta D_{it} + \epsilon_{it}$
where $\mu_i$ is the city fixed effect; $\tau_t$ is the year fixed effect, $t \in \{1960, 1961, \dots, 1969, 1970\}$ ;
$D_{it} = \begin{cases} 1 & \text{if } t \ge 1965 \text{ \& if city } i \text{ is hit by the policy} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
, $\epsilon_{it} \sim N(0, \sigma^2)$ .
Which of the following is true?
(A) The expectation on the output growth of a city $j$ that is not affected by the policy in year $T > 1965$ is $\mu_j + \tau_T + \delta$ .
(B) $\delta$ captures the average difference in the absolute value of output growth in the entire sample period between cities affected by the policy and cities not affected by the policy.
(C) Some cities may intrinsically enjoy different output growth. This difference will be reflected by $\tau_t$ .
(D) Before 1965, cities with and without the policy should have the same expectation on the output growth: $\mu_i + \tau_t$ .
(E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

本題考驗對固定效果模型 (Fixed Effects Model) 的理解，特別是政策變數的解釋及其與模型參數的關係。

模型為： $Y_{it} = \mu_i + \tau_t + \delta D_{it} + \epsilon_{it}$
其中：

$Y_{it}$ : 城市 $i$ 在年份 $t$ 的製造業產出成長率。
$\mu_i$ : 城市 $i$ 的固定效果 (city fixed effect)，代表城市本身的特徵對產出成長的長期影響，與年份無關。
$\tau_t$ : 年份 $t$ 的固定效果 (year fixed effect)，代表該年份整體對產出成長的影響，與城市無關。
$D_{it}$ $D_{i t}$ : 政策變數，定義為：
- $D_{it} = 1$ 如果城市 $i$ 在年份 $t$ 受政策影響（即 $t \ge 1965$ 且城市 $i$ 被政策影響）。
- $D_{it} = 0$ 否則。
$\epsilon_{it}$ : 隨機誤差項，服從 $N(0, \sigma^2)$ ，假設獨立同分佈。

我們需要評估每個選項的正確性。

選項 (A): 「The expectation on the output growth of a city $j$ that is not affected by the policy in year $T > 1965$ is $\mu_j + \tau_T + \delta$ 。」

城市 $j$ 不受政策影響 (city $j$ is not affected by the policy)。這意味著對於所有年份 $t$ ，城市 $j$ 的 $D_{jt}$ 都是 0。
年份 $T > 1965$ 。
在這種情況下， $D_{jT} = 0$ （因為城市 $j$ 不受政策影響，即使 $T \ge 1965$ ）。
模型中的期望值是 $E[Y_{jT}] = E[\mu_j + \tau_T + \delta D_{jT} + \epsilon_{jT}]$ 。
由於 $\epsilon_{jT}$ 的期望值為 0，所以 $E[Y_{jT}] = \mu_j + \tau_T + \delta \times 0 = \mu_j + \tau_T$ 。
選項 (A) 說期望值是 $\mu_j + \tau_T + \delta$ ，這是錯誤的。

選項 (B): 「 $\delta$ captures the average difference in the absolute value of output growth in the entire sample period between cities affected by the policy and cities not affected by the policy.」

$\delta$ 是政策變數 $D_{it}$ 的係數。
$D_{it}$ 的定義是：當城市 $i$ 在年份 $t$ 受政策影響時為 1，否則為 0。

Question 4

A random variable $X$ is normally distributed, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$. A sample of size $n = 9$ is drawn and yields: $\sum{i=1}^9 Xi = 90$, and $\sum{i=1}^9 (Xi - \bar{X})^2 = 72$, where $\bar{X} = \frac{1}{9} \sum{i=1}^9 Xi$. We would like to test the following hypothesis: $H0: \mu = 4$ and $H1: \mu 
e 4$. We are given that $t{8,0.99} = 2.896$, $t{8,0.975} = 2.306$, $t{8,0.95} = 1.860$, and $t{8,0.90} = 1.397$, where $t{d, \alpha}$ is the $t$-statistic with $d$ degrees of freedom and cumulative probability of $\alpha$. Which of the following is true? (A) We cannot reject the null at 90% confidence level. (B) We can reject the null at 90% confidence level but not at 95% confidence level. (C) We can reject the null at 95% confidence level but not at 97.5% confidence level. (D) We can re…

Accepted Answer

核心觀念 - 正態母體 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，樣本大小 $n$ 為已知，採用 t 檢定（當母體變異數未知且以樣本變異數代替時）。 - 雙側檢定 $H{0}:\mu=\mu{0}$ vs. $H{1}:\mu
eq\mu{0}$，檢定統計量 $$t=\frac{\bar X-\mu{0}}{S/\sqrt{n}},\qquad df=n-1 .$$ - 以給定的臨界值 $t{d,\alpha}$（累積機率 $\alpha$）判斷是否拒絕 $H{0}$： - $90\%$ 信賴水準 ⇒ $\alpha=0.10$，臨界值 $t{8,0.95}$。 - $95\%$ 信賴水準 ⇒ $\alpha=0.05$，臨界值 $t{8,0.975}$。 - $97.5\%$、$99\%$ 同理，需要 $t{8,0.9875}$、$t{8,0.995}$，雖未直接給出，但可利用已知值作比較判斷。 --- 解題方法與實際計算 1. 計算樣本平均與樣本標準差 $$\bar X=\frac{1}{9}\sum{i=1}^{9}Xi=\frac{90}{9}=10 .$$ 樣本變異數 $$ S^{2}= \frac{\sum{i=1}^{9}(Xi-\bar X)^{2}}{n-1} =\frac{72}{8}=9 ,\qquad S=\sqrt{9}=3 . $$ 2. 算出 t 統計量 $$ t=\frac{\bar X-4}{S/\sqrt{n}} =\frac{10-4}{3/\sqrt{9}} =\frac{6}{3/3} =\frac{6}{1}=6 . $$ 自由度 $df=n-1=8$。 3. 與臨界值比較 | 信賴水準 | $\alpha$ (雙側) | 臨界值 $t{8,1-\alpha/2}$ | 判斷 | |----------|----------------|---------------------------|------| | 90% | 0.10 | $t{8,0.95}=1.860$ | $|t|=61.860$ → 拒絕 | | 95% | 0.05 | $t{8,0.975}=2.306$ | $|t|=62.306$ → 拒絕 |

Question 5

Consider a normal distribution of the form $N(\mu, 6)$ . You want to test the hypothesis that $H_0: \mu = 3$ against the alternative $H_1: \mu > 3$ . A random sample $X_1, X_2, \dots, X_n$ was obtained.
Suppose you would like to test the above one-sided hypothesis using a 5% level of significance. How would you test it?
(A) Set up a Z test where $z = \frac{\bar{X}-3}{\sqrt{6n}}$ and reject the null if $z > 1.96$ .
(B) Set up a Z test where $z = \frac{\bar{X}-3}{\sqrt{6/n}}$ and reject the null if $z > 1.645$ .
(C) Set up a Z test where $z = \frac{\bar{X}-3}{\sqrt{6/n}}$ and reject the null if $z > 1.96$ .
(D) Set up a Z test where $z = \frac{\bar{X}-3}{\sqrt{6n}}$ and reject the null if $z > 1.645$ .
(E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

本題考驗對單尾 Z-檢定的設定，包括檢定統計量的計算以及拒絕域的確定。

題目給定：

母體分佈為常態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$ 。
題目中給定的變異數是 $6$ 。根據常態分佈的標準表示法 $N(\mu, \sigma^2)$ ，這裡的 $6$ 應該是 $\sigma^2$ 。所以 $\sigma^2 = 6$ 。
虛無假設 $H_0: \mu = 3$ 。
對立假設 $H_1: \mu > 3$ (這是一個右尾檢定)。
顯著水準 $\alpha = 5\% = 0.05$ 。
樣本大小為 $n$ (未給定具體數值，但會出現在公式中)。
我們需要確定檢定統計量 $z$ 的形式以及拒絕域。

由於母體變異數 $\sigma^2 = 6$ 是已知的，我們可以使用 Z-檢定。
檢定統計量 $z$ 的計算公式為：
$z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\text{SE}(\bar{X})}$
其中 $\bar{X}$ 是樣本均值， $\mu_0$ 是虛無假設中的母體均值， $\text{SE}(\bar{X})$ 是樣本均值的標準誤。

樣本均值的標準誤為：
$\text{SE}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
由於 $\sigma^2 = 6$ ，所以 $\sigma = \sqrt{6}$ 。

Question 6

Follow the previous question, denote $\Phi(\cdot)$ as the CDF of normal distribution. Provide the power of this test at $\mu_1$ where $\mu_1 > 3$ .
(A) $1 - \Phi(1.645 + \frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{6}})$
(B) $1 - \Phi(1.645 + \frac{\mu_1\sqrt{n}}{\sqrt{6}})$
(C) $1 - \Phi(1.96 + \frac{\mu_1\sqrt{n}}{\sqrt{6}})$
(D) $1 - \Phi(1.645 + \frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{6}})$
(E) $\Phi(1.645 + \frac{3-\mu_1}{\sqrt{6/n}})$

Accepted Answer

核心觀念 1. 假設檢定的型別：本題屬於已知變異數的單側 (右側) 檢定。 - 虛無假設 $H0:\;\mu = 3$ - 對立假設 $H1:\;\mu 3$ 2. 檢定統計量： $$ Z=\frac{\bar X-3}{\sigma/\sqrt n} \qquad\bigl(\sigma^2=6\bigr) $$ 其中 $\bar X$ 為樣本平均，$\sigma^2$ 為已知母體變異數。 3. 臨界值：採用顯著水準 $\alpha =0.05$（單側右尾），其標準常態上 5% 分位點為 $$z{0.95}=1.645 .$$ 因此 拒絕域 為 $$ Z1.645\quad\Longleftrightarrow\quad \bar X3+\frac{1.645\,\sigma}{\sqrt n} =3+1.645\frac{\sqrt 6}{\sqrt n}. $$ 4. 檢定力 (Power) 的定義：在真實參數為 $\mu1$（$\mu13$）時，檢定正確拒絕虛無假設的機率 $$\beta(\mu1)=P{\mu1}\bigl(\text{拒絕 }H0\bigr).$$ 解題步驟 1. 寫出樣本平均的分布 在真實均值 $\mu1$ 下， $$ \bar X\sim N\!\Bigl(\mu1,\frac{\sigma^2}{n}\Bigr) =N\!\Bigl(\mu1,\frac{6}{n}\Bigr). $$ 2. 將拒絕條件以 $\bar X$ 表示 $$\text{拒絕}= \bigl\{\bar X3+1.645\frac{\sqrt 6}{\sqrt n}\bigr\}.$$ 3. 計算在 $\mu1$ 處的機率 $$ \begin{aligned} \beta(\mu1) &=P{\mu1}\!\left(\bar X3+1.645\frac{\sqrt 6}{\sqrt n}\right)\[4pt] &=1-\Phi\!\left(\frac{3+1.645\frac{\sqrt 6}{\sqrt n}-\mu1}{\sigma/\sqrt n}\right)\[4pt] &=1-\Phi\!\left( \frac{3-\mu1}{\sqrt{6/n}}+1.645\right). \end{aligned} $$ 最後一步利用 $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}= \frac{\sqrt 6}{\sqrt n}$。 4. 整理成標準形式

Question 7

Bob is testing the following empirical model using a sample of 1,500 observations:
$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1,i} + \beta_2 X_{2,i} + \beta_3 X_{3,i} + \beta_4 X_{4,i} + \epsilon_i$ .
He found that the F-statistic of the joint test for the entire model is 300. He now considers expressing the model's strength using (unadjusted) R-square. Please calculate the R-square value for him.
(A) 0.376
(B) 0.445
(C) 0.501
(D) 0.668
(E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

本題考驗 $F$ 統計量與 $R^2$ (決定係數) 之間的關係。 模型為：$Yi = \beta0 + \beta1 X{1,i} + \beta2 X{2,i} + \beta3 X{3,i} + \beta4 X{4,i} + \epsiloni$ 樣本大小 $n = 1500$。 這是一個包含截距項的迴歸模型。 自變數的數目為 $k=4$ (即 $X1, X2, X3, X4$)。 模型的總參數個數為 $p = k+1 = 4+1 = 5$ (包括截距項 $\beta0$)。 題目給定： - 整個模型的 $F$ 統計量為 $F{model} = 300$。 - 這個 $F$ 統計量是用來檢定所有迴歸係數是否同時為零的假設。 $H0: \beta1 = \beta2 = \beta3 = \beta4 = 0$ $H1:$ Not all $\betaj$ are zero for $j=1,2,3,4$. $F$ 統計量的計算公式為： $F{model} = \frac{SSR/(p-1)}{SSE/(n-p)}$ 其中： - $SSR$ (Sum of Squares due to Regression) 是迴歸平方和。 - $SSE$ (Sum of Squared Errors) 是殘差平方和。 - $p-1$ 是迴歸的自由度，在這裡是 $k=4$。 - $n-p$ 是殘差的自由度，在這裡是 $n-5 = 1500-5 = 1495$。 $R^2$ (決定係數) 的定義為： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 其中 $SST = SSR + SSE$ 是總平方和。 我們可以將 $F{model}$ 的公式改寫成與 $R^2$ 相關的形式： $F{model} = \frac{SSR/k}{SSE/(n-p)}$ $F{model} = \frac{SSR/k}{SSE/(n-p)} = \frac{SSR}{k} 	imes \frac{n-p}{SSE}$ $F{model} = \frac{SSR}{k} 	imes \frac{n-p}{SST - SSR}$ 將 $R^2 = SSR/SST$ 代入： $SSR = R^2 	imes SST$ $SSE = SST - SSR = SST - R^2 	imes SST = (1-R^2) 	imes SST$

Question 8

In the two-variable model: $Yi = \beta1 X{i1} + \beta2 X{i2} + \epsiloni$, $i = 1, 2, 3, \dots, 11$. Suppose that $X1'X1 = 2$, $X1'X2 = 2$, $X1'Y = 1$, $X2'Y = 1$, and $Y'Y = 4/3$, where $X1, X2$, and $Y$ are the column vectors with typical elements $X{i1}, X{i2}$, and $Yi$ respectively. Furthermore, $X1'$, $X2'$, and $Y'$ are the transpose of $X1, X2$, and $Y$ respectively. Assume $\epsiloni \sim 	ext{IID } N(0, \sigma^2)$. You are considering of testing the following hypotheses: $\beta1 = 0$. Please calculate the test statistic: $t = \frac{\hat{\beta}1 - 0}{SE(\hat{\beta}1)}$. Note: To calculate the standard errors, please estimate the variance-covariance matrix of $\beta$ as $s^2(X'X)^{-1}$ where $s^2$ is the residual sum of squares divided by the degree of freedom and $X = [X1 X2]$. (…

Accepted Answer

核心觀念 1. 普通最小平方法 (OLS)：在多元線性迴歸 $$Y = X\beta+\varepsilon ,\qquad \varepsilon\sim N(0,\sigma^{2}I)$$ 估計式為 $\hat\beta=(X'X)^{-1}X'Y$。 2. 變異數–共變異數矩陣： $$ \operatorname{Var}(\hat\beta)=\sigma^{2}(X'X)^{-1}\quad\Rightarrow\quad \widehat{\operatorname{Var}}(\hat\beta)=s^{2}(X'X)^{-1}, $$ 其中 $s^{2}= \dfrac{\text{RSS}}{n-p}$（RSS 為殘差平方和，$n$ 為觀測數，$p$ 為參數個數）。 3. t 統計量： $$ t=\frac{\hat\beta{1}-0}{\text{SE}(\hat\beta{1})}, \qquad \text{SE}(\hat\beta{1})=\sqrt{s^{2}\bigl[(X'X)^{-1}\bigr]{11}} . $$ 解題方法 1. 寫出 $X'X$ 與 $X'Y$ $$ X'X= \begin{pmatrix} X{1}'X{1} & X{1}'X{2}\[2pt] X{2}'X{1} & X{2}'X{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2\ 2 & c \end{pmatrix}, \qquad X'Y= \begin{pmatrix} X{1}'Y\[2pt] X{2}'Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\ 1 \end{pmatrix}, $$ 其中 $c:=X{2}'X{2}$ 為題目未顯示的常數，稍後再求。 2. 求 $(X'X)^{-1}$ $$ (X'X)^{-1}= \frac{1}{2c-4} \begin{pmatrix} c & -2\ -2 & 2 \end{pmatrix}. $$ 3. 算 $\hat\beta$ $$ \hat\beta=(X'X)^{-1}X'Y =\frac{1}{2c-4} \begin{pmatrix} c-2\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{c-2}{2c-4}\[8pt] 0 \end{pmatrix}. $$ 只要 $c\neq 2$，$\displaystyle\hat\beta{1}= \frac{c-2}{2c-4}= \frac12$。 因此 $\hat\beta{1}=0.5$ 與 $c$ 無關。 4. 求殘差平方和 (RSS) $$ \begin{aligned} \text{R…

Question 9

Consider 4 events, A, B, C, D. $	ext{Pr}(A) = 	ext{Pr}(B) = 	ext{Pr}(C) = 	ext{Pr}(D) = 0.4$. $	ext{Pr}(C \cap D) = 	ext{Pr}(C \cap A) = 	ext{Pr}(B \cap D) = 0$. $	ext{Pr}(A \cap B) = 0.1$. Which of the following is possible? (A) $	ext{Pr}(B \cap C) = 0.2$ (B) A and D are independent. (C) $	ext{Pr}((B \cap C) \cup (A \cap D)) = 0.45$ (D) $	ext{Pr}(D \cup A) = 0.55$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 1. 機率公理：各事件的機率均在 $[0,1]$ ，任意兩事件的交集不可大於各自的邊際機率。 2. 容斥原理： $$\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B)-\Pr(A\cap B)$$ 若兩交集互不相交，聯合機率即為各交集機率之和。 3. 相容性條件：所有互斥且已知為 $0$ 的交集會使相關的三元交集亦必為 $0$，因此只須考慮允許的兩兩交集。 --- 解題方法 設 $$x=\Pr(B\cap C),\qquad y=\Pr(A\cap D)$$ 其餘兩兩交集皆已知為 $0$，且所有三元、四元交集皆為 $0$（因任一包含已知為 $0$ 的二元交集即為 $0$）。 將每個事件的機率拆成「僅屬於該事件」的部分與交集的部分： $$ \begin{aligned} \Pr(A)&=a+ \Pr(A\cap B)+y = a+0.1+y =0.4 \;\Rightarrow\; a=0.3-y,\ \Pr(B)&=b+0.1+x =0.4 \;\Rightarrow\; b=0.3-x,\ \Pr(C)&=c+x =0.4 \;\Rightarrow\; c=0.4-x,\ \Pr(D)&=d+y =0.4 \;\Rightarrow\; d=0.4-y, \end{aligned} $$ 其中 $a,b,c,d$ 為只屬於各事件的「排他部份」，必須非負。 因此得到界限 $$0\le x\le 0.3,\qquad 0\le y\le 0.3 .$$ 全體概率（所有排他部份加上已知交集）為 $$ \begin{aligned} \Pr(	ext{全體})&=a+b+c+d+0.1+x+y\ &=(0.3-y)+(0.3-x)+(0.4-x)+(0.4-y)+0.1+x+y\ &=1.5-(x+y). \end{aligned} $$ 全體概率不得大於 $1$，故 $$1.5-(x+y)\le 1\;\Longrightarrow\;x+y\ge0.5 .$$ 綜合得到可行區域 $$0\le x\le0.3,\;0\le y\le0.3,\;x+y\ge0.5.$$ 只要在此區域內選取 $(x,y)$，即可構造符合所有條件的機率模型。 --- 選項分析

Question 10

$X$ and $\epsilon$ are independent random variables. $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$ and $\epsilon \sim N(\mu_\epsilon, \sigma_\epsilon^2)$ . $\alpha$ and $b$ are real numbers. $Y$ is given by: $Y = \alpha + bX + \epsilon$ . Which of the following is the correlation coefficient $\rho$ between variable $X$ and $Y$ ?
(A) $\frac{b\sigma_X^2}{\sqrt{b^2\sigma_X^2 + \sigma_\epsilon^2}}$
(B) $\frac{b\sigma_X^2}{\sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_\epsilon^2}}$
(C) $\sqrt{b^2 + (\sigma_\epsilon/\sigma_X)^2}$
(D) $\sqrt{b^2 + (\sigma_\epsilon^2/\sigma_X^2)}$
(E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 - 相關係數 $\rho{XY}$ 定義為 $$\rho{XY}= \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigmaX\sigmaY}.$$ - 若 $X$ 與 $\epsilon$ 獨立，且 $Y=\alpha+bX+\epsilon$，則 $$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}\bigl(X,\alpha+bX+\epsilon\bigr)=b\,\operatorname{Var}(X)$$ 因為常數 $\alpha$ 與獨立變數 $\epsilon$ 與 $X$ 的協方差皆為 $0$。 - $Y$ 的變異數為 $$\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(\alpha+bX+\epsilon)=b^2\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(\epsilon)=b^2\sigmaX^2+\sigma\epsilon^2,$$ 兩項因為獨立而直接相加。 --- 解題方法 1. 計算 $X$ 與 $Y$ 的協方差： $$\operatorname{Cov}(X,Y)=b\sigmaX^2.$$ 2. 計算 $Y$ 的標準差： $$\sigmaY=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}=\sqrt{b^2\sigmaX^2+\sigma\epsilon^2}.$$ 3. 代入相關係數公式： $$ \rho{XY}= \frac{b\sigmaX^2}{\sigmaX\sqrt{b^2\sigmaX^2+\sigma\epsilon^2}} = \frac{b\sigmaX}{\sqrt{b^2\sigmaX^2+\sigma\epsilon^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2+\left(\frac{\sigma\epsilon}{\sigmaX}\right)^2}}. $$ --- 選項分析 | 選項 | 內容 | 與正確式子的比較 | 判斷 | |------|------|------------------|------| | (A) | $\displaystyle \frac{b\sigmaX^2}{\sqrt{b^2\sigmaX^2+\sigma\epsilon^2}}$ | 分母缺少 $\sigmaX$，實際上等於

Question 11

Let $X$ be a $N(0, 1)$-distributed random variable, and $Y$ be a $\chi^2(n)$-distributed random variable for some positive integer $n$. Suppose that $X$ and $Y$ are independent. Please calculate $E(X^2Y)$ and $E(X^4Y^2)$. (A) $E(X^2Y) = n$ and $E(X^4Y^2) = 2n + 7n^2$ (B) $E(X^2Y) = n$ and $E(X^4Y^2) = 4n+5n^2$ (C) $E(X^2Y) = n$ and $E(X^4Y^2) = 6n+3n^2$ (D) $E(X^2Y) = n$ and $E(X^4Y^2) = 8n+n^2$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

這題是統計學中關於「隨機變數函數期望值」與「獨立性應用」的經典考題，核心觀念在於利用獨立隨機變數的乘積期望值等於期望值的乘積這一性質，將複雜的聯合期望值拆解為單變數的動差（Moments）計算。解題關鍵在於熟記標準常態分配 $N(0,1)$ 與卡方分配 $\chi^2(n)$ 的各階動差公式，特別是高階動差如 $E(X^4)$ 與 $E(Y^2)$ 的推導或記憶，這往往是考生容易混淆或計算錯誤的地方。

以下是完整解題過程：

解題步驟分析

1. 利用獨立性拆解期望值

題目給定 $X \sim N(0, 1)$ 且 $Y \sim \chi^2(n)$ ，並明確指出 $X$ 與 $Y$ 相互獨立（independent）。
根據獨立隨機變數的性質，若 $X$ 與 $Y$ 獨立，則對於任意函數 $g(X)$ 與 $h(Y)$ ，皆有 $E[g(X)h(Y)] = E[g(X)] \cdot E[h(Y)]$ 。

因此，我們可以將題目要求的兩個期望值拆解如下：
$E(X^2Y) = E(X^2) \cdot E(Y)$
$E(X^4Y^2) = E(X^4) \cdot E(Y^2)$

接下來我們分別計算 $X$ 與 $Y$ 所需的各階動差。

2. 計算 $X$ 的動差 ( $X \sim N(0, 1)$ )

對於標準常態分配 $X \sim N(0, 1)$ ：

期望值 $E(X) = 0$ 。
變異數 $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1$ 。
由於 $E(X)=0$ ，故 $E(X^2) = 1$ 。
第四階動差 $E(X^4)$ ：
標準常態分配的偶數階動差公式為 $E(X^{2k}) = (2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times \dots \times 1$ 。
當 $k=2$ 時， $E(X^4) = 3!! = 3 \times 1 = 3$ 。

Question 12

Let $\{(Yi,Xi')\}{i=1}^n$ be a sequence of IID random vectors, where $Xi:=(X{i1},X{i2},\ldots,X{ik})'$. Suppose that we have a multiple linear regression: $$ Yi=\sum{j=1}^k\betajX{i,j}+ei, $$ for $i=1,2,\ldots,n$. Denote $e:=(e1,e2,\ldots,en)'$. Assume that $e\mid(X1,\ldots,Xn)\sim N(0,\sigma^2In)$, where $In$ is the $n	imes n$ identity matrix. Let $f(\cdot\mid Xi,\beta,\sigma^2)$ be the conditional density function of $Yi\mid Xi$ implied by this regression, with $\beta:=(\beta1,\beta2,\ldots,\betak)'$, and let $\hat{\beta}{ML}$ and $\hat{\sigma}^2{ML}$ be the maximum likelihood estimators for $\beta$ and $\sigma^2$, respectively, defined by maximizing the objective function: $$ \frac{1}{n}\sum{i=1}^n\ln f(Yi\mid Xi,\beta,\sigma^2). $$ Which of the following is right? (A) $E(\hat{\beta}{M…

Accepted Answer

解題方法 圖中第 12 題給的是無截距的多元線性迴歸 $Yi=Xi'\beta+ei$，並假設給定所有 $Xi$ 後，誤差向量服從 $N(0,\sigma^2 In)$。第 12 題的選項列出 $\hat{\sigma}^2{ML}$ 的期望值；以下依迴歸模型的標準可估性條件，假設設計矩陣 $X$ 滿列秩 $k$。 令 $Y=X\beta+e$。常態模型的對數概似函數（略去與參數無關的常數）為 $$ \ell(\beta,\sigma^2) =-\frac{n}{2}\ln(\sigma^2) -\frac{1}{2\sigma^2}(Y-X\beta)'(Y-X\beta). $$ 對 $\beta$ 最大化概似函數，等同於最小化殘差平方和，因此 $$ \hat{\beta}{ML}=(X'X)^{-1}X'Y. $$ 代入 $Y=X\beta+e$，在給定 $X$ 下有 $$ \hat{\beta}{ML} =\beta+(X'X)^{-1}X'e, $$ 所以 $$ E(\hat{\beta}{ML}\mid X)=\beta. $$ 再對 $\sigma^2$ 最大化概似函數，可得 $$ \hat{\sigma}^2{ML} =\frac{(Y-X\hat{\beta}{ML})'(Y-X\hat{\beta}{ML})}{n} =\frac{e'MXe}{n}, $$ 其中 $MX=In-X(X'X)^{-1}X'$ 是殘差投影矩陣。其秩為 $n-k$。因為給定 $X$ 時 $e\sim N(0,\sigma^2In)$， $$ E(e'MXe\mid X) =\sigma^2\operatorname{tr}(MX) =(n-k)\sigma^2. $$ 因此

Question 13

Let $Y$ and $X$ be two random variables with finite variances. Suppose that we have a misspecified regression: $$ Y=\beta0+\beta1X+e, $$ with $E[e\mid X]=h(X)$ for some $h(\cdot)
e 0$. Let $g(X)$ be a prediction of $Y$ generated from $X$, and let $E[(Y-g(X))^2]$ be the mean squared error (MSE) of this prediction. We also let $m(X)$ be the optimal choice of $g(X)$ which minimizes the MSE. Which of the following is right? (A) $m(X)=\beta0+\beta1X+h(X)$ (B) $m(X)=\beta1X$ (C) $m(X)=h(X)$ (D) $m(X)=\beta0+\beta1X$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 由 $X$ 來預測 $Y$、並以均方誤差 $E[(Y-g(X))^2]$ 衡量預測好壞時，最佳預測函數是條件期望： $$ m(X)=E[Y\mid X]. $$ 也就是說，給定 $X$ 後，預測值應取 $Y$ 的條件平均。 解題方法 原卷第 5 頁第 13 題給定 $Y=\beta0+\beta1X+e$，且 $E[e\mid X]=h(X)$，並要求找出使 MSE 最小的 $m(X)$。將平方誤差對 $X$ 取條件期望，可得 $$ E[(Y-g(X))^2\mid X] = \operatorname{Var}(Y\mid X) + \bigl(E[Y\mid X]-g(X)\bigr)^2. $$ 其中 $\operatorname{Var}(Y\mid X)$ 不會隨 $g(X)$ 改變，因此要使條件 MSE 最小，必須令 $g(X)=E[Y\mid X]$。由題目模型，

Question 14

Let $X$ be a random variable that has the probability density function:

f(x,\kappa)=\frac{\Gamma\left(\frac{\kappa+1}{2}\right)}{\sqrt{\kappa\pi}\,\Gamma\left(\frac{\kappa}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\kappa}\right)^{-\frac{\kappa+1}{2}},

where $x\in\mathbb{R}$ and $\kappa>0$ is the parameter. In addition, we define $Z_1:=\frac{d}{d\kappa}\ln f(X,\kappa)$ and $Z_2:=Z_1^2+\frac{d^2}{d\kappa^2}\ln f(X,\kappa)$ . Which of the following is right?

(A) $E(Z_1)=\kappa\pi$ and $E(Z_2)=\kappa^2\pi^2\Gamma''\left(\frac{\kappa+1}{2}\right)$

(B) $E(Z_1)=\kappa\Gamma'\left(\frac{\kappa+1}{2}\right)$ and $E(Z_2)=\frac{\kappa+1}{2}\pi^2\frac{\Gamma''\left(\frac{\kappa+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\kappa+1}{2}\right)}$

(C) $E(Z_1)=\kappa\pi\Gamma\left(\frac{\kappa+1}{2}\right)$ and $E(Z_2)=\kappa^2\pi^2\Gamma''\left(\frac{\kappa+1}{2}\right)$

(D) $E(Z_1)=0$ and $E(Z_2)=0$

(E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是參數化機率密度的分數函數與二階對數概似導數的期望。令 $\ell(X,\kappa)=\ln f(X,\kappa)$，則題目定義的 $Z1=\frac{\partial \ell}{\partial\kappa}$ 是分數函數，而 $Z2=Z1^2+\frac{\partial^2\ell}{\partial\kappa^2}$。 由密度函數的正規化條件 $\int{-\infty}^{\infty}f(x,\kappa)\,dx=1$，對參數微分可得： $$ E(Z1)=0,\qquad E(Z2)=0. $$ 解題方法 原卷給的是自由度參數為 $\kappa0$ 的 $t$ 分配密度，並定義 $Z1$ 為對數密度的一階參數導數、$Z2$ 為一階導數平方加上二階導數。由於密度對 $\kappa$ 可微，對正規化條件微分即可，不必逐項展開伽瑪函數與冪次項。 先對 $\kappa$ 微分： $$ \frac{\partial}{\partial\kappa} \int{-\infty}^{\infty} f(x,\kappa)\,dx = \int{-\infty}^{\infty} \frac{\partial f(x,\kappa)}{\partial\kappa}\,dx =0. $$ 又因為 $\frac{\partial f}{\partial\kappa}=f\frac{\partial\ln f}{\partial\kappa}=fZ1$，所以 $$ E(Z1) = \int{-\infty}^{\infty} f(x,\kappa)Z1\,dx =0. $$ 再微分一次。利用

Question 15

Let $In$ be the $n	imes n$ identity matrix, and $X$ be an $n	imes 2$ matrix with $n2$: $$ X:= \begin{bmatrix} x{11} & x{12}\ x{21} & x{22}\ \vdots & \vdots\ x{n1} & x{n2} \end{bmatrix}, $$ in which the $x{ij}$'s are independent and $N(0,1)$-distributed random variables. Note that $X'$ is the transpose of $X$. Suppose that $X'X$ is positive definite. Denote $Y:=X(X'X)^{-1}X'$, $Z:=In-Y$, $M1:=E[\operatorname{trace}(YZ)]$, and $M2:=E[\operatorname{trace}(ZZ)]$. Please calculate $M1$ and $M2$. (A) $M1=0$ and $M2=(n-2)$ (B) $M1=0$ and $M2=(n-2)^2$ (C) $M1=0$ and $M2=(n-4)$ (D) $M1=0$ and $M2=(n-4)^2$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 $Y=X(X'X)^{-1}X'$ 是投影到 $X$ 的欄空間上的投影矩陣；在 $X'X$ 正定時，$X$ 的欄秩為 $2$，所以 $Y$ 對稱且冪等，並有 $\operatorname{rank}(Y)=2$。因此 $Z=In-Y$ 也是對稱冪等矩陣，投影到 $Y$ 的正交補空間，秩為 $n-2$。 解題方法 依原卷圖，$X$ 是 $n	imes2$ 矩陣，元素相互獨立且服從 $N(0,1)$，並假設 $X'X$ 正定；題目定義 $Y=X(X'X)^{-1}X'$、$Z=In-Y$，要求 $M1=E[\operatorname{trace}(YZ)]$ 與 $M2=E[\operatorname{trace}(ZZ)]$。 由 $Y$ 的冪等性 $Y^2=Y$，可得 $$ YZ=Y(In-Y)=Y-Y^2=0, $$ 因此 $$ M1=E[\operatorname{trace}(YZ)]=0. $$ 又因 $Z=In-Y$，且 $Y$、$In$ 都是對稱矩陣，$Z$ 也是對稱矩陣。並且 $$ Z^2=(In-Y)^2=In-2Y+Y^2=In-Y=Z. $$ 所以 $$ M2=E[\operatorname{trace}(ZZ)] =E[\operatorname{trace}(Z^2)] =E[\operatorname{trace}(Z)]. $$

Question 16

Let $\{Xi\}{i=1}^n$ be an IID sequence of $N(0,1)$ random variables, and let $\{Zi\}{i=1}^n$ be another IID sequence of $N(0,1)$ random variables. In addition, $\{Xi\}{i=1}^n$ is independent of $\{Zi\}{i=1}^n$, and we define $Yi:=3Xi^2+4Zi^3$. Consider a simple linear regression: $$ Yi=\beta0+\beta1Xi+ei, $$ where $\beta0$ and $\beta1$ are regression coefficients, and $ei$ is a zero-mean error. Let $\hat{\beta}0$ and $\hat{\beta}1$ be the ordinary least squares estimators for $\beta0$ and $\beta1$, respectively. Suppose that $\hat{\beta}0$ and $\hat{\beta}1$ are, respectively, consistent for $\beta0^$ and $\beta1^$ as $n	o\infty$. Please calculate $\beta0^$ and $\beta1^$. (A) $\beta0^=6$ and $\beta1^=3$ (B) $\beta0^=5$ and $\beta1^=2$ (C) $\beta0^=4$ and $\beta1^=1$ (D) $\beta0^=3$ and $\…

Accepted Answer

核心觀念 這題考的是簡單線性迴歸的母體線性投影係數。在大樣本下，最小平方法估計量收斂至： $$ \beta1^=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)}, \qquad \beta0^=E[Y]-\beta1^E[X]. $$ 這裡的 $\beta0^,\beta1^$ 是以 $X$ 線性預測 $Y$ 時的母體截距與斜率。 解題方法 圖中第 17 題給定 $Xi$ 與 $Zi$ 分別為標準常態 IID 序列，且兩序列相互獨立，並定義 $Yi=3Xi^2+4Zi^3$。因此以母體線性投影公式計算截距與斜率即可。 由標準常態分配的動差， $$ E[X]=E[Z]=0,\qquad E[X^2]=1,\qquad E[X^3]=E[Z^3]=0. $$ 先求 $Y$ 的期望： $$ E[Y]=3E[X^2]+4E[Z^3]=3. $$ 再求斜率。因為 $E[X]=0$、$\operatorname{Var}(X)=1$， $$ \beta1^ =\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)} =E[XY]. $$ 代入 $Y$ 並利用 $X,Z$ 獨立：

Question 17

Let $\{(Yi,X{1i},X{2i})\}{i=1}^n$ be an IID sequence of trivariate normal random variables. The mean vector and the covariance matrix of $(Yi,X{1i},X{2i})'$ are unknown. Consider the following linear regression: $$ Yi=\beta0+\beta1X{1i}+\beta2X{2i}+ei, $$ where $ei$ is a zero-mean error. Let $P$ be the p-value of the $t$ statistic for the following hypotheses: $$ H0:\ \beta2=0;\qquad H1:\ \beta20. $$ Please calculate the third and fourth moments of $P$ under $H0$. (A) $E(P^3)=0.25$ and $E(P^4)=0.20$ (B) $E(P^3)=0.45$ and $E(P^4)=0.30$ (C) $E(P^3)=0.15$ and $E(P^4)=0.10$ (D) $E(P^3)=0.35$ and $E(P^4)=0.15$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念

本題考查虛無假設成立時，連續檢定統計量所對應的 $p$ 值服從均勻分配。若 $P\sim U(0,1)$ ，則其第 $k$ 階動差為

E(P^k)=\int_0^1 p^k\,dp=\frac{1}{k+1}.

解題方法

依原卷圖中第 18 題，資料為三變量常態的獨立同分配樣本，模型含截距與兩個解釋變數，檢定為 $H_0:\beta_2=0$ 對 $H_1:\beta_2>0$ 。在常態模型及設計矩陣滿秩的條件下，虛無假設成立時，對 $\beta_2$ 的 $t$ 統計量服從中心 $t$ 分配；設其累積分配函數為 $F_t$ ，則單尾 $p$ 值為 $P=1-F_t(T)$ 。

由連續分配的機率積分轉換， $F_t(T)\sim U(0,1)$ ，因此 $1-F_t(T)$ 也服從 $U(0,1)$ 。代入 $k=3$ 與 $k=4$ ：

Question 18

Let $\{Xi\}{i=1}^n$ be an IID sequence of random variables with zero mean and variance $\sigma^2<\infty$. Define $\bar{X}:=n^{-1}\sum{i=1}^nXi$. Let $Mn(\cdot)$ be the moment generating function of the statistic $n^{1/2}\bar{X}/\sigma$, and $M(\cdot)$ be the moment generating function of the random variable $Xi$. We also let $t$ be an arbitrary real number. Which of the following is right? (A) $nMn(t)=\frac{1}{\sigma^2\sqrt{n}}M\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)^{n-1}$ (B) $Mn(t)=\frac{1}{\sigma^2\sqrt{n}}M\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)^{n-2}$ (C) $Mn(t)=\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}M\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)^n$ (D) $Mn(t)=M\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)^n$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是動差生成函數（MGF）的定義，以及獨立隨機變數和的 MGF 乘積性。若 $X1,\ldots,Xn$ 獨立同分布，則 $$ M{\sum{i=1}^n Xi}(s) = \prod{i=1}^n M{Xi}(s) = \bigl[M(s)\bigr]^n. $$ 解題方法 依原卷，$X1,\ldots,Xn$ 為平均數為 $0$、變異數為 $\sigma^2<\infty$ 的 IID 隨機變數，$\bar X=n^{-1}\sum{i=1}^n Xi$；題目要找統計量 $\sqrt n\,\bar X/\sigma$ 的 MGF。先把統計量寫成各 $Xi$ 的線性組合： $$ \frac{\sqrt n\,\bar X}{\sigma} = \frac{\sqrt n}{\sigma}\cdot\frac{1}{n}\sum{i=1}^n Xi = \sum{i=1}^n\frac{Xi}{\sigma\sqrt n}. $$ 依 MGF 定義， $$ \begin{aligned} Mn(t) &=E\left[\exp\left(t\frac{\sqrt n\,\bar X}{\sigma}ight)ight]\ &=E\left[\exp\left(\sum{i=1}^n\frac{tXi}{\sigma\sqrt n}ight)ight]\ &=E\left[\prod{i=1}^n\exp\left(\frac{tXi}{\sigma\sqrt n}ight)ight]. \end{aligned} $$

Question 19

Let $\{Yi\}{i=1}^n$ and $\{Xi\}{i=1}^n$ be two sequences of IID normal random variables. Consider a simple linear regression: $$ Yi=\beta Xi+ei, $$ where $ei$ is a zero-mean error. Let $\hat{\beta}$ be the ordinary least squares estimator for $\beta$. Denote the fitted value $\hat{Y}i:=\hat{\beta}Xi$, the residual $\hat{e}i:=Yi-\hat{Y}i$, and the sample averages: $$ \bar{Y}:=n^{-1}\sum{i=1}^nYi \qquad	ext{and}\qquad \bar{\hat{Y}}:=n^{-1}\sum{i=1}^n\hat{Y}i. $$ We also define $$ R^2:=\frac{\sum{i=1}^n(Yi-\bar{\hat{Y}})^2}{\sum{i=1}^n(Yi-\bar{Y})^2}. $$ and let $\hat{ho}$ be the sample correlation coefficient of $\{(Yi,\hat{Y}i)\}{i=1}^n$. Which of the following is right? (A) $n^{-1}\sum{i=1}^n\hat{e}i=0$ (B) $0\leq R^2\leq 1$ (C) $n^{-1}\sum{i=1}^nXi\hat{e}i=0$ (D) $R^2=\hat{ho}^2$ (E)…

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是沒有截距項的簡單線性迴歸。模型為 $Yi=\beta Xi+ei$，最小平方法只保證殘差與解釋變數正交： $$ \sum{i=1}^n Xi\hat ei=0. $$ 因為模型沒有截距，並不保證殘差總和為零；以樣本平均數計算的 $R^2$ 也不能直接套用含截距迴歸的常見性質。 解題方法 原卷圖中列出的模型沒有截距項，殘差定義為 $\hat ei=Yi-\hat\beta Xi$；圖中 $R^2$ 的分母是以 $\bar Y$ 為中心的總平方和。先由最小平方法的一階條件判斷選項，再檢查其餘敘述是否為此模型必然成立的性質。 最小化殘差平方和 $$ \sum{i=1}^n (Yi-\beta Xi)^2 $$ 對 $\beta$ 微分並令其為零： $$ -2\sum{i=1}^n Xi(Yi-\hat\beta Xi)=0. $$ 因此 $$ \sum{i=1}^n Xi\hat ei=0, \qquad n^{-1}\sum{i=1}^n Xi\hat ei=0. $$ 這正是選項 (C)。 選項分析 (A) 錯。 沒有截距項時，最小平方法不保證殘差平均數為零。以 $n=2$、$(X1,X2)=(1,0.1)$、$(Y1,Y2)=(1,1.1)$ 為例， $$ \hat\beta=\frac{\sum XiYi}{\sum Xi^2} =\frac{1.11}{1.01}
e 1, $$ 殘差總和不為零。

111 年國立臺灣大學財務金融研究所乙組《統計學（I）》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

核心觀念

解題方法

第 9 題

第 10 題

第 11 題

解題步驟分析

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

核心觀念

解題方法

第 18 題

核心觀念

解題方法

第 19 題

第 20 題

核心觀念

解題方法

選項分析

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