108 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《統計學（I）》

此題考驗對隨機變數期望值與變異數的計算。皮卡丘從早上七點到中午十二點，共經過 $12 - 7 = 5$ 小時。假設每小時的發電量增減是獨立且服從相同分布的。

令 $H_i$ 為第 $i$ 小時的發電量變化量，其中 $i = 1, 2, 3, 4, 5$。
根據題意，每小時增加或減少 1 千安培的機率相同，即 $P(H_i = 1) = 0.5$ 且 $P(H_i = -1) = 0.5$。
則 $E(H_i) = 1 \times 0.5 + (-1) \times 0.5 = 0$。
$\text{var}(H_i) = E(H_i^2) - [E(H_i)]^2 = (1^2 \times 0.5 + (-1)^2 \times 0.5) - 0^2 = (1 \times 0.5 + 1 \times 0.5) - 0 = 1$。

此題要求寫出隨機變數 $X$ 的機率分配。 $X$ 的值取決於五個獨立且同分布的隨機變數 $H_i$ 的總和。
$X = 10 + \sum_{i=1}^{5} H_i$，其中 $H_i$ 服從 $P(H_i=1)=0.5$ 和 $P(H_i=-1)=0.5$。

令 $N$ 為 $H_i$ 中值為 1 的個數，$M$ 為 $H_i$ 中值為 -1 的個數。
則 $N+M = 5$。
$\sum_{i=1}^{5} H_i = N \times 1 + M \times (-1) = N - M = N - (5-N) = 2N - 5$。
$X = 10 + 2N - 5 = 5 + 2N$。

$N$ 服從二項分配 $B(n=5, p=0.5)$，因為我們獨立地進行了 5 次實驗（每小時），每次實驗有兩種結果（+1 或 -1），且成功的機率（增加 1）為 0.5。
$P(N=k) = \binom{5}{k} (0.5)^k (0.5)^{5-k} = \binom{5}{k} (0.5)^5$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$。

當 $N=k$ 時，$X$ 的值為 $5 + 2k$。
因此，$X$ 的機率分配為：

核心觀念

• Chebyshev 不等式：對任意隨機變數 $Y$ 與常數 $a>0$，
  $P\!\left(|Y-E(Y)|\ge a\right)\le \frac{\operatorname{Var}(Y)}{a^{2}}.$
• 樣本平均的變異數：若 $X_{1},\dots ,X_{T}$ 為相互獨立且同分布 (i.i.d.) 的隨機變數，且
  $E(X_i)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^{2},$
  則樣本平均 $\bar X_T=\frac1T\sum_{i=1}^{T}X_i$ 的期望與變異數分別為
  $E(\bar X_T)=\mu ,\qquad \operatorname{Var}(\bar X_T)=\frac{\sigma^{2}}{T}.$

解題方法

1. 先寫出 Chebyshev 不等式套用於 $\bar X_T$，並將界限中的 $a$ 取為題目要求的 $10$：

2. 代入 $\operatorname{Var}(\bar X_T)=\sigma^{2}/T$，得到

3. Chebyshev 給出的僅是上界，題目要求「機率值的下界」(lower bound)。
   由於概率本身的範圍是 $[0,1]$，且上述不等式沒有提供任何正的下界，只能保證
   $0\le P\!\left(|\bar X_T-E(\bar X_T)|>10\right).$

此題考驗對標準常態分配 (Standard Normal Distribution) 的了解，特別是其分位點 (quantile) 的概念。
標準常態分配的機率密度函數為 $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$，其期望值為 0，標準差為 1。
題目給定 $Z \sim N(0,1)$，並且 $P(Z > Z^*) = 0.005$。這表示 $Z^*$ 是標準常態分配的右尾機率為 0.005 的值，亦即 $Z^*$ 是該分配的 $1 - 0.005 = 0.995$ 分位點。
我們需要查找標準常態分配表或使用統計軟體來找到這個值。
通常，我們查找的是累積機率 $P(Z \leq z)$。

核心觀念

本題考查：

• 變異數的線性組合公式
• 獨立隨機變數的共變異數為 $0$
• 共變異數的雙線性質

已知

且 $V$ 分別與 $Z$、$W$ 獨立，因此

解題方法

由 $V=Z-W$，先計算 $V$ 與 $Z$ 的共變異數：

因為 $V$ 與 $Z$ 獨立，所以 $\operatorname{Cov}(V,Z)=0$，故

再計算 $V$ 與 $W$ 的共變異數：

因為 $V$ 與 $W$ 獨立，所以 $\operatorname{Cov}(V,W)=0$，故

因此

此題考驗對卡方分配 (Chi-squared distribution) 的理解，以及樣本變異數的性質。

題目定義了統計量：$S^2 = \frac{(W_1 - \bar{W})^2 + (W_2 - \bar{W})^2}{\sigma_W^2}$。
其中 $W_1, W_2$ 是從 $N(\mu_W, \sigma_W^2)$ 的母體中抽取的兩個獨立樣本。
$\bar{W} = \frac{W_1 + W_2}{2}$ 是這兩個樣本的平均數。

首先，我們需要確定統計量的分佈。
觀察分子中的 $(W_1 - \bar{W})^2 + (W_2 - \bar{W})^2$。
$W_1 - \bar{W} = W_1 - \frac{W_1 + W_2}{2} = \frac{2W_1 - W_1 - W_2}{2} = \frac{W_1 - W_2}{2}$。
$W_2 - \bar{W} = W_2 - \frac{W_1 + W_2}{2} = \frac{2W_2 - W_1 - W_2}{2} = \frac{W_2 - W_1}{2} = -\frac{W_1 - W_2}{2}$。

所以，$(W_1 - \bar{W})^2 = (\frac{W_1 - W_2}{2})^2 = \frac{(W_1 - W_2)^2}{4}$。
$(W_2 - \bar{W})^2 = (-\frac{W_1 - W_2}{2})^2 = \frac{(W_1 - W_2)^2}{4}$。

因此，分子為：
$(W_1 - \bar{W})^2 + (W_2 - \bar{W})^2 = \frac{(W_1 - W_2)^2}{4} + \frac{(W_1 - W_2)^2}{4} = \frac{2(W_1 - W_2)^2}{4} = \frac{(W_1 - W_2)^2}{2}$。

統計量變為：$S^2 = \frac{(W_1 - W_2)^2 / 2}{\sigma_W^2} = \frac{(W_1 - W_2)^2}{2\sigma_W^2}$。

現在，我們需要知道 $\frac{W_1 - W_2}{\sigma_W}$ 的分佈。
令 $D = W_1 - W_2$。
$E(D) = E(W_1) - E(W_2) = \mu_W - \mu_W = 0$。
$\text{var}(D) = \text{var}(W_1 - W_2) = \text{var}(W_1) + \text{var}(W_2)$ (因為 $W_1, W_2$ 獨立)。
$\text{var}(D) = \sigma_W^2 + \sigma_W^2 = 2\sigma_W^2$。

因此，$\frac{D}{\sqrt{\text{var}(D)}} = \frac{W_1 - W_2}{\sqrt{2\sigma_W^2}} = \frac{W_1 - W_2}{\sqrt{2}\sigma_W}$ 是一個標準常態分配 $N(0,1)$。

令 $Z' = \frac{W_1 - W_2}{\sqrt{2}\sigma_W}$。則 $Z' \sim N(0,1)$。
我們的統計量是 $S^2 = \frac{(W_1 - W_2)^2}{2\sigma_W^2} = (\frac{W_1 - W_2}{\sqrt{2}\sigma_W})^2 = (Z')^2$。

一個標準常態分配的平方服從自由度為 1 的卡方分配。
所以，$\frac{(W_1 - W_2)^2}{2\sigma_W^2} \sim \chi^2(1)$。

然而，題目給的統計量是 $\frac{(W_1 - \bar{W})^2 + (W_2 - \bar{W})^2}{\sigma_W^2}$。
我們之前計算得到 $(W_1 - \bar{W})^2 + (W_2 - \bar{W})^2 = \frac{(W_1 - W_2)^2}{2}$。

此題考驗對「無相關」(uncorrelated) 與「獨立」(independent) 兩個概念的區別。

敘述：「若隨機變數 $X$ 和 $Y$ 為無相關,則 $E(XY) = E(X)E(Y)$。」

說明：
「無相關」是指 $Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = 0$。
展開後，即 $E(XY) - E(X)E(Y) - E(Y)E(X) + E(X)E(Y) = 0$。
$E(XY) - E(X)E(Y) - E(Y)E(X) + E(X)E(Y) = 0$
$E(XY) - E(X)E(Y) = 0$ (因為 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 是常數，所以 $E(Y)E(X) = E(X)E(Y)$)。
因此，$E(XY) = E(X)E(Y)$。

這表示「無相關」這個條件，確實可以推導出 $E(XY) = E(X)E(Y)$。
所以，這個敘述是正確的。

此題考驗對邦費羅尼校正 (Bonferroni correction) 的理解及其適用範圍。

邦費羅尼校正是用於多重比較 (multiple comparisons) 的一種方法，目的是在進行多次假設檢定時，控制整體第一類錯誤率 (family-wise error rate, FWER)。
當我們進行了 $m$ 次獨立或相關的檢定時，若每次檢定的顯著水準為 $\alpha$，則整體犯第一類錯誤的機率可能遠大於 $\alpha$。
邦費羅尼校正的做法是將原來的顯著水準 $\alpha$ 除以檢定次數 $m$，即設定每個單獨檢定的顯著水準為 $\alpha' = \frac{\alpha}{m}$。
這樣做可以確保整體第一類錯誤率不會超過 $\alpha$。

此題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解。

中央極限定理是統計學中最基本的定理之一。其核心內容是：
如果從一個具有有限期望值 $\mu$ 和有限變異數 $\sigma^2$ 的任何母體分佈中，獨立地抽取一個足夠大的隨機樣本 $\{X_1, X_2, ..., X_n\}$，那麼樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ 的抽樣分佈將近似於一個常態分配 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
隨著樣本大小 $n$ 的增加，這個近似會變得越來越精確。

此題考驗對卡方檢定 (Chi-square test) 和卡方分配 (Chi-squared distribution) 的理解。

卡方檢定是一類統計檢定方法的總稱，用於分析類別數據。常見的卡方檢定包括：

1. 適合度檢定 (Goodness-of-fit test)：檢定觀察到的頻率分佈是否與理論上的預期頻率分佈一致。
2. 獨立性檢定 (Test of independence)：檢定兩個類別變數之間是否相互獨立。
3. 同質性檢定 (Test of homogeneity)：檢定不同群體之間對於某個類別變數的比例是否相同。

核心觀念

本題考的是「應變數的衡量誤差」對 OLS 估計的影響，以及「零共變異數、不偏性、一致性」三者的差別。

依題目明列條件，四個選項都不是必然成立的敘述。要得到常見的「選 (a)、(b)、(c)」，必須另加零條件平均、衡量誤差與原誤差不相關等假設。

將衡量誤差寫成 $e_{0i}$，由題意可得：

令合併誤差為 $v_i=u_i+e_{0i}$。題目給定：

但這只表示 $\beta_i$ 與 $v_i$ 沒有線性相關，並不表示：

這些未給定的條件，正是判斷各選項的關鍵。

解題方法

一、由 OLS 公式判斷斜率與截距

設樣本有 $n$ 家公司，並令：

OLS 斜率可寫成：

有限樣本不偏性要求右側比值的期望為零。由於分母也會隨樣本變動，母體的 $\operatorname{Cov}(\beta_i,v_i)=0$ 並不足以保證這件事。常用的充分條件是：給定整組解釋變數後，各誤差的條件平均均為零。

至於一致性，在獨立同分配、適當有限動差及 $\operatorname{Var}(\beta_i)>0$ 等通常條件下：

因此，題目的零共變異數條件可支持斜率的一致性，但不能直接推出有限樣本不偏性。

截距則滿足：

在上述通常條件下：

題目沒有給定誤差平均為零，因此截距未必收斂至 $\gamma_0$。

二、比較合併誤差的變異數

加入衡量誤差後：

因此，衡量誤差是否增加誤差變異數，取決於它與原誤差之間的共變異數，不能只看 $\operatorname{Var}(e_{0i})$。

在同方差、不同公司誤差互不相關，且條件平均為零的通常迴歸設定下，給定相同的 $\beta_i$ 樣本：

所以斜率的理論標準誤如何變動，關鍵在於 $\sigma_v^2$ 如何變動。

選項分析

此題考驗對計量經濟學中解釋變數 (自變數) 衡量誤差 (measurement error in explanatory variable) 的影響。

題目模型為 $E(r_i) = \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i + u_i$。
現在假設 $E(r_i)$ 可直接觀察，但 $\beta_i$ 有衡量誤差 $e_1$，即 $\hat{\beta}_i = \beta_i + e_1$。
因此，實際估計的模型是 $r_i = \gamma_0 + \gamma_1 \hat{\beta}_i + v_i$。
其中 $v_i = u_i - \gamma_1 e_1$。
我們有 $Cov(\beta_i, u_i) = 0$ (標準 SML 假設)。
題目給定 $Cov(\beta_i, e_1) = 0$。

分析 OLS 估計量 $\hat{\gamma}_1$ 的性質：
OLS 估計量的一致性要求 $Cov(\hat{\beta}_i, v_i) = 0$。
$Cov(\hat{\beta}_i, v_i) = Cov(\beta_i + e_1, u_i - \gamma_1 e_1)$
$= Cov(\beta_i, u_i) - \gamma_1 Cov(\beta_i, e_1) + Cov(e_1, u_i) - \gamma_1 Cov(e_1, e_1)$
$= 0 - \gamma_1 \times 0 + Cov(e_1, u_i) - \gamma_1 \text{var}(e_1)$
$= Cov(e_1, u_i) - \gamma_1 \text{var}(e_1)$。

如果我們假設衡量誤差 $e_1$ 與原始誤差項 $u_i$ 無關，即 $Cov(e_1, u_i) = 0$，那麼
$Cov(\hat{\beta}_i, v_i) = - \gamma_1 \text{var}(e_1)$。
由於 $\gamma_1$ (SML 的斜率) 通常為正，且 $\text{var}(e_1) > 0$ (因為有衡量誤差)，所以 $Cov(\hat{\beta}_i, v_i) < 0$。
這意味著解釋變數 $\hat{\beta}_i$ 與新的誤差項 $v_i$ 存在負相關。
因此，OLS 估計量 $\hat{\gamma}_1$ 是有偏 (biased) 且不一致 (inconsistent) 的。

關於選項 (b) $\hat{\gamma}_1$ 為 $\gamma_1$ 的不偏及一致估計式：
由於 $\hat{\gamma}_1$ 是不一致的，所以這個選項是錯誤的。

關於選項 (a) $\hat{\gamma}_0$ 為 $\gamma_0$ 的不偏及一致估計式：
由於 $\hat{\gamma}_1$ 不一致，$\hat{\gamma}_0$ 通常也會不一致。所以這個選項也是錯誤的。

接下來分析標準誤 (選項 (c) 和 (d))：
當解釋變數存在衡量誤差時，OLS 估計量的變異數 (和標準誤) 會受到影響。

核心觀念
本題屬於 測量誤差 (errors‑in‑variables) 與 OLS 估計量的偏誤與一致性 的應用。

• 觀測模型：
  $r_i = \alpha_i + \beta_i\,r_M + u_i, \qquad i=1,\dots,N$
  其中 $r_i$ 為資產 $i$ 的期望報酬，$r_M$ 為市場投資組合報酬，$\beta_i$ 為真實的系統風險係數。
• 估計模型：因 $\beta_i$ 只能由時間序列估計得到，寫成
  $\hat\beta_i = \beta_i + e_i ,$
  其中 $e_i$ 為測量誤差。
• 再以橫斷面回歸（SML）估計
  $\bar r_i = \gamma_0 + \gamma_1 \hat\beta_i + \varepsilon_i$
  其中 $\bar r_i$ 為資產 $i$ 的樣本平均報酬。

若測量誤差 與真實斜率 $\beta_i$ 無相關（$Cov(\beta_i,e_i)=0$），則

即著名的 衰減偏誤 (attenuation bias)；截距 $\hat\gamma_0$ 仍為不偏且一致。

本題把假設改為 $Cov(\beta_i,e_i)\neq0$（未指定符號），此時

因 $\bar r_i =\gamma_0+\gamma_1\beta_i+u_i$，且 $Cov(e_i,u_i)=0$（常假設），有

$Cov(e_i,\bar r_i)=\gamma_1\,Cov(e_i,\beta_i) .$

代入得

解題方法

1. 先寫出 測量誤差模型 的 OLS 估計式，並以 概率極限 (plim) 方式展開。
2. 由 $Cov(\beta_i,e_i)\neq0$ 可以直接判斷：
   • 分子與分母都受到 $Cov(\beta_i,e_i)$ 的影響，偏誤的方向取決於 $Cov(\beta_i,e_i)$ 的正負。
   • 截距 $\hat\gamma_0$ 的 $plim$ 變為

此題要求寫出 OLS 估計量 $\hat{\gamma}_1$ 的機率極限 (plim)，作為 $\gamma_1, \beta_i$ 和 $e_1$ 的函數。
這是第 13 題的延續，但第 13 題的假設是 $Cov(\beta_i, e_1) \neq 0$。

模型為 $r_i = \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i + u_i$，但我們觀察到 $\hat{\beta}_i = \beta_i + e_1$。
估計模型為 $r_i = \gamma_0 + \gamma_1 \hat{\beta}_i + v_i$，其中 $v_i = u_i - \gamma_1 e_1$。
我們假設 $Cov(\beta_i, u_i) = 0$，$Cov(e_1, u_i) = 0$。
第 13 題的假設是 $Cov(\beta_i, e_1) \neq 0$。

OLS 估計量 $\hat{\gamma}_1$ 的機率極限由以下公式給出：
$\text{plim}(\hat{\gamma}_1) = \frac{Cov(\hat{\beta}_i, r_i)}{Var(\hat{\beta}_i)}$

我們需要計算分子和分母。
分母：$Var(\hat{\beta}_i)$
$\hat{\beta}_i = \beta_i + e_1$
$Var(\hat{\beta}_i) = Var(\beta_i + e_1) = Var(\beta_i) + Var(e_1) + 2 Cov(\beta_i, e_1)$
令 $\sigma_\beta^2 = Var(\beta_i)$, $\sigma_e^2 = Var(e_1)$, $\sigma_{\beta e} = Cov(\beta_i, e_1)$。
則 $Var(\hat{\beta}_i) = \sigma_\beta^2 + \sigma_e^2 + 2\sigma_{\beta e}$。

分子：$Cov(\hat{\beta}_i, r_i)$
$r_i = \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i + u_i$
$\hat{\beta}_i = \beta_i + e_1$
$Cov(\hat{\beta}_i, r_i) = Cov(\beta_i + e_1, \gamma_0 + \gamma_1 \beta_i + u_i)$

【核心觀念】

1. OLS 迴歸係數的解釋

   • 迴歸式 $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2$ 中，$\beta_1$ 表示 自變數 $x_1$ 增加 1 個單位，其他變數不變 時，因變數 $y$ 會改變 $\beta_1$ 個單位。
   • 係數的單位必須與變數的量測單位相配合。

2. 對數變數的增幅解釋

   • 若自變數以自然對數形式加入：$y = \beta_0 + \beta_1 \ln(x)$，則 $x$ 增加 $k\%$（即 $x$ 乘以 $1+k/100$）所帶來的 $y$ 變化為
     $\Delta y = \beta_1\big[\ln(x(1+k/100))-\ln(x)\big]=\beta_1\ln(1+k/100).$
   • $\ln(1.01) \approx 0.00995$，即「1%」對數變化約為 $0.01$。

3. ROA 的量測

   • $ROA$ 為「稅前息前盈餘 / 總資產」的比例，常以 百分點（0.01）表示。迴歸式中的 $ROA_i$ 為純數值（如 0.035 = 3.5%），所以係數 $\beta_2$ 代表 $ROA$ 每 增加 1 個完整單位（即 100%） 時，薪資變化 $\beta_2$（千元）。

【解題方法】

1. 確認各變數的量測單位

   • $\text{salary}$：千元 (NTD)。
   • $\text{sales}$：百萬元 (= 1,000,000 NTD)。
   • $ROA$：純比例（如 0.05 代表 5%）。

2. 逐一檢驗選項

   • (a)「公司營收增加 1% 時，CEO 的薪資將增加 21.7 萬元」
     • 1% 增幅的對數變化 $\Delta\ln(\text{sales})=\ln(1.01)\approx0.00995$。

此題考驗對迴歸係數信賴區間的計算，以及 t 分配近似於 z 分配的應用。

迴歸模型為：$\text{salary}_i = \beta_0 + \beta_1 \ln(\text{sales}_i) + \beta_2 \text{ROA}_i + u_i$。
我們關注 ROA 的係數 $\beta_2$ (在題目中為 $\hat{\beta}_2 = 3361$)。
給定的 t 統計量為 $t_{\hat{\beta}_2} = 6.39$。
樣本數 $N = 123$。
信賴水準為 95%。
由於 $N=123$ 較大，t 分配近似於標準常態 (z) 分配。

信賴區間 (Confidence Interval, CI) 的計算公式為：
$CI = \hat{\beta} \pm t_{\alpha/2, df} \times SE(\hat{\beta})$
或
$CI = \hat{\beta} \pm z_{\alpha/2} \times SE(\hat{\beta})$ (當使用 z 分配近似時)

其中，$\hat{\beta}$ 是係數的估計值，$SE(\hat{\beta})$ 是該估計量的標準誤。
t 統計量定義為：$t = \frac{\hat{\beta} - \beta}{\text{SE}(\hat{\beta})}$。
所以，$SE(\hat{\beta}) = \frac{\hat{\beta}}{t}$。

我們有 $\hat{\beta}_2 = 3361$ (根據題目係數估計值)。
$t_{\hat{\beta}_2} = 6.39$。
所以，$SE(\hat{\beta}_2) = \frac{|\hat{\beta}_2|}{t_{\hat{\beta}_2}} = \frac{3361}{6.39}$。
$SE(\hat{\beta}_2) \approx 526.0$。

此題考驗對 F 檢定 (F-test) 在多元迴歸中的應用，特別是聯合檢定 (joint test)。

在多元迴歸模型中，F 檢定用於檢定所有自變數的係數是否同時為零。
模型為：$\text{salary}_i = \beta_0 + \beta_1 \ln(\text{sales}_i) + \beta_2 \text{ROA}_i + u_i$。
虛無假設 $H_0$：$\beta_1 = 0$ 且 $\beta_2 = 0$。
對立假設 $H_1$：至少有一個係數不為零 ($\beta_1 \neq 0$ 或 $\beta_2 \neq 0$)。

F 統計量的計算公式為：
$F = \frac{(\text{SSR}_{\text{restricted}} - \text{SSR}_{\text{unrestricted}})/q}{\text{SSR}_{\text{unrestricted}}/(N-k-1)}$
其中：

• $\text{SSR}_{\text{restricted}}$ 是受限模型 (restricted model) 的殘差平方和。
• $\text{SSR}_{\text{unrestricted}}$ 是無限制模型 (unrestricted model) 的殘差平方和。
• $q$ 是被檢定的約束條件的數量 (在此為 2，因為我們檢定 $\beta_1=0$ 和 $\beta_2=0$)。
• $N$ 是樣本數 (123)。
• $k$ 是無限制模型中自變數的數量 (在此為 2，即 $\ln(\text{sales})$ 和 ROA)。

無限制模型是完整的迴歸模型：$\text{salary}_i = \beta_0 + \beta_1 \ln(\text{sales}_i) + \beta_2 \text{ROA}_i + u_i$。
其殘差平方和為 $\text{SSR}_{\text{unrestricted}} = \text{SSE}_{\text{unrestricted}}$。

此題考驗變數單位變換對迴歸係數、t 統計量、殘差平方和及均方根誤差的影響。

原模型：$\text{salary}_{\text{TWD}} = \beta_0 + \beta_1 \ln(\text{sales}) + \beta_2 \text{ROA} + u$。
$\hat{\beta}_2 = 3361$。

將 CEO 薪資的單位由新台幣改為美元。
令 $\text{salary}_{\text{USD}} = \frac{\text{salary}_{\text{TWD}}}{30}$。
則 $\text{salary}_{\text{TWD}} = 30 \times \text{salary}_{\text{USD}}$。

新的模型為：$30 \times \text{salary}_{\text{USD}} = \beta_0 + \beta_1 \ln(\text{sales}) + \beta_2 \text{ROA} + u$。
除以 30，得到：
$\text{salary}_{\text{USD}} = \frac{\beta_0}{30} + \frac{\beta_1}{30} \ln(\text{sales}) + \frac{\beta_2}{30} \text{ROA} + \frac{u}{30}$。

令新的係數為 $\beta_0', \beta_1', \beta_2'$，新的誤差項為 $u'$。
$\beta_0' = \beta_0/30$
$\beta_1' = \beta_1/30$
$\beta_2' = \beta_2/30$
$u' = u/30$

分析選項：

(a) ROA 的係數將縮小為原來的 1/30

• 原 ROA 係數為 $\beta_2 = 3361$。
• 新的 ROA 係數為 $\beta_2' = \beta_2/30 = 3361 / 30 \approx 112.03$。
• $112.03$ 約等於 $3361 / 30$。
• 所以，ROA 的係數縮小為原來的 1/30。
• 選項 (a) 是正確的。

(b) ROA 的 t 統計量 (t-statistic) 值將縮小為原來的 1/30

• t 統計量定義為：$t = \frac{\hat{\beta}}{SE(\hat{\beta})}$。