113 年國立臺灣大學財務金融研究所乙組《統計學（I）》考古題與詳解

Question 1

Let $\{(ei, Xi)\}$ be a sequence of independent and $N(0, I{k+1})$-distributed random vectors for some $k := \dim(Xi) 1$, and $X{ij}$ be the $j$-th element of $Xi$ for $j=1, \dots, k$. Assume that $Yi$ is a random variable defined in the following way: $$ Yi = \sum{j=1}^k X{ij} + \left(\sum{j=1}^k X{ij}\right)^2 + ei $$ Let $g(Xi)$ be an arbitrary transformation of $Xi$ such that $E[(Yi - g(Xi))^2]$ is defined, and $g^(Xi)$ be the optimal choice of $g(Xi)$ which minimizes $E[(Yi - g(Xi))^2]$. Which of the following is right when $k=10$? (a) $E[g^(Xi)] = 60$ (b) $E[g^(Xi)] = 80$ (c) $E[g^(Xi)] = 160$ (d) $E[g^(Xi)] = 180$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 - 條件期望最小化均方誤差：在所有可測函數 $g(Xi)$ 中， $$g^{}(Xi)=\arg\min{g}E\big[(Yi-g(Xi))^{2}\big]$$ 的唯一解為條件期望 $$g^{}(Xi)=E\big[Yi\mid Xi\big].$$ - 多變量常態獨立性：若 $\displaystyle (ei,Xi)\sim N\big(0,I{k+1}\big)$，則 $ei\sim N(0,1)$ 與 $Xi=(X{i1},\dots ,X{ik})$ 各分量 $X{ij}\sim N(0,1)$，且互相獨立。 解題方法 1. 寫出 $Yi$ 的展開 $$ Yi=\underbrace{\sum{j=1}^{k}X{ij}}{Si}+\Big(\sum{j=1}^{k}X{ij}\Big)^{2}+ei =Si+Si^{2}+ei, $$ 其中 $Si:=\sum{j=1}^{k}X{ij}$。 2. 計算條件期望 因 $ei$ 與 $Xi$ 獨立且 $E[ei]=0$， $$ g^{}(Xi)=E\big[Yi\mid Xi\big] =E\big[Si+Si^{2}+ei\mid Xi\big] =Si+Si^{2}+E[ei]=Si+Si^{2}. $$ 3. 求 $E\big[g^{}(Xi)\big]$ $$ E\big[g^{}(Xi)\big]=E\big[Si+Si^{2}\big] =E[Si]+E[Si^{2}]. $$

Question 2

Let $\{(X{1i}, X{2i})\}$ be a sequence of IID random vectors with the distribution: $$ \begin{bmatrix} X{1i} \ X{2i} \end{bmatrix} \sim N \left( \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4 & 0.5 \ 0.5 & 4 \end{bmatrix} ight) $$ Denote $\bar{X}1 = n^{-1} \sum{i=1}^n X{1i}$ and $\bar{X}2 = n^{-1} \sum{i=1}^n X{2i}$. Which of the following is right when $n=100$? (a) $var[\bar{X}1 + \bar{X}2] = 0.160$ (b) $var[\bar{X}1 + \bar{X}2] = 0.155$ (c) $var[\bar{X}1 + \bar{X}2] = 0.150$ (d) $var[\bar{X}1 + \bar{X}2] = 0.070$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二元常態分配（Bivariate Normal Distribution）之獨立同分布（IID）隨機向量的樣本平均數性質與線性組合的變異數計算。核心觀念包含： 1. 二元常態分配參數定義： 隨機向量 $\begin{bmatrix} X{1i} \ X{2i} \end{bmatrix} \sim N \left( \begin{bmatrix} \mu1 \ \mu2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma1^2 & \sigma{12} \ \sigma{12} & \sigma2^2 \end{bmatrix} ight)$ 中： - 邊際變異數（Marginal Variances）：$Var(X{1i}) = \sigma1^2 = 4$，$Var(X{2i}) = \sigma2^2 = 4$。 - 共變異數（Covariance）：$Cov(X{1i}, X{2i}) = \sigma{12} = 0.5$。 2. 隨機變數和的變異數性質： 對於任意兩個隨機變數 $A$ 與 $B$： $$ Var(A + B) = Var(A) + Var(B) + 2Cov(A, B) $$ 3. IID 樣本平均數（Sample Mean）的變異數與共變異數縮放： 對於 $n$ 個獨立同分布的觀測值： - $Var(\bar{X}1) = \frac{Var(X{1i})}{n}$ - $Var(\bar{X}2) = \frac{Var(X{2i})}{n}$ - $Cov(\bar{X}1, \bar{X}2) = \frac{Cov(X{1i}, X{2i})}{n}$ --- 解題方法 本題可採用以下兩種切入點求解： 方法一：先合併單一觀測值之線性組合（推薦） 令新隨機變數 $Yi = X{1i} + X{2i}$。 因為 $\{(X{1i}, X{2i})\}$ 為 IID 隨機向量序列，故 $\{Yi\}{i=1}^n$ 亦為一組 IID 隨機變數序列。 1. 計算單一觀測值 $Yi$ 的變異數： $$ Var(Yi) = Var(X{1i} + X{2i}) = Var(X{1i}) + Var(X{2i}) + 2Cov(X{1i}, X{2i}) $$ 代入題目給定的共變異數矩陣數值： $$ Var(Yi) = 4 + 4 + 2(0.5) = 8 + 1 = 9 $$ 2. 計算樣本平均數的和之變異數： 因為 $\bar{X}1 + \bar{X}2 = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n X{1i} + \frac{1}{n}\sum{i=1}^n X{2i} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n (X{1i} + X{2i}) = \bar{Y}$…

Question 3

Let $\{Yi\}{i=1}^n$ be a sequence of independent and $t(4)$-distributed random variables. Consider a linear regression: $$ Yi = \alpha + ei $$ where $\alpha$ is a parameter, and $ei$ is the error term. Let $\hat{\alpha}$ be the least squares estimator of $\alpha$. Which of the following is right? (a) $E[\hat{\alpha}] = 0$ and $var[\hat{\alpha}] = \frac{1}{4n}$ (b) $E[\hat{\alpha}] = 0$ and $var[\hat{\alpha}] = \frac{1}{n}$ (c) $E[\hat{\alpha}] = 0$ and $var[\hat{\alpha}] = \frac{1}{2n}$ (d) $E[\hat{\alpha}] = 0$ and $var[\hat{\alpha}] = \frac{1}{n}$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

這題主要考驗對簡單線性迴歸中最小平方法估計量的性質，特別是其期望值和變異數，以及 $t$ 分布的特性。

核心觀念：

在簡單線性迴歸模型 $Y_i = \alpha + e_i$ 中，最小平方法 (OLS) 估計量 $\hat{\alpha}$ 的計算公式。
OLS 估計量的期望值 $E[\hat{\alpha}]$ 。
OLS 估計量的變異數 $Var(\hat{\alpha})$ 。
$t$ 分布的性質，特別是其期望值和變異數。

解題步驟：

定義模型與 OLS 估計量：
模型為 $Y_i = \alpha + e_i$ 。
我們可以將此視為一個迴歸模型，其中只有截距項，而沒有解釋變數。
如果我們硬要寫成 $Y_i = \alpha \cdot 1 + e_i$ ，則解釋變數是個常數 1。
令 $X_i = 1$ (一個 $n \times 1$ 的向量，所有元素都是 1)。
則模型為 $Y = X\alpha + e$ ，其中 $Y$ 是 $n \times 1$ 的向量， $X$ 是 $n \times 1$ 的向量， $\alpha$ 是 $1 \times 1$ 的參數， $e$ 是 $n \times 1$ 的誤差向量。
OLS 估計量為 $\hat{\alpha} = (X^T X)^{-1} X^T Y$ 。
$X^T X = \sum_{i=1}^n X_i^2 = \sum_{i=1}^n 1^2 = n$ 。
$(X^T X)^{-1} = \frac{1}{n}$ 。
$X^T Y = \sum_{i=1}^n X_i Y_i = \sum_{i=1}^n 1 \cdot Y_i = \sum_{i=1}^n Y_i$ 。
所以， $\hat{\alpha} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i = \bar{Y}$ 。
即，在只有截距項的模型中，OLS 估計量就是樣本均值。
計算 $\hat{\alpha}$ 的期望值：
$E[\hat{\alpha}] = E[\bar{Y}] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[Y_i]$ 。
題目說明 $Y_i$ 是獨立且服從 $t(4)$ 分布的。
$t(4)$ 分布的期望值是 0 (因為自由度大於 1)。
所以， $E[Y_i] = 0$ 對於所有 $i$ 。
$E[\hat{\alpha}] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 0 = 0$ 。

Question 4

Let $\{Xi\}{i=1}^n$ be a sequence of IID random variables with the probability density function: $$ f(x) = e^{-x}, \quad 	ext{for } x \in \mathbb{R} $$ Denote $\sigma^2 := Var[Xi]$, $\bar{X} := n^{-1} \sum{i=1}^n Xi$ and $S^2 := n^{-1} \sum{i=1}^n (Xi - \bar{X})^2$. Using a suitable large-sample method, we obtain that $\sqrt{n}(\frac{S^2}{\sigma^2} - 1)$ has the limiting distribution $N(0, \kappa)$, as $n 	o \infty$, for some $
u 0$. Which of the following is right? (a) $\kappa = 1$ (b) $\kappa = 2$ (c) $\kappa = 4$ (d) $\kappa = 8$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 1. 樣本變異數的表達式 $$S^{2}= \frac1n\sum{i=1}^{n}(X{i}-\bar X)^{2}= \underbrace{\frac1n\sum{i=1}^{n}X{i}^{2}}{V{n}}-\bar X^{2}.$$ 令 $$U{n}= \bar X= \frac1n\sum{i=1}^{n}X{i},\qquad V{n}= \frac1n\sum{i=1}^{n}X{i}^{2}.$$ 2. 大樣本正態近似（多變量中心極限定理） 若 $X{i}$ 為 i.i.d. 且具有有限二階動差，則 $$\sqrt{n}\bigl((U{n},V{n})-(\mu,E[X^{2}])\bigr)\xrightarrow{d}N\!\bigl(0,\Sigma\bigr),$$ 其中 $\Sigma$ 為 $(X,X^{2})$ 的協方差矩陣。 3. Delta Method（微分法） 若 $g:\mathbb R^{2}\to\mathbb R$ 可微，則 $$\sqrt{n}\bigl(g(U{n},V{n})-g(\mu,E[X^{2}])\bigr)\xrightarrow{d}N\!\bigl(0,\;\nabla g^{\top}\Sigma\nabla g\bigr).$$ --- 解題方法 1. 先求指數分佈的基本矩（$X\sim\text{Exp}(1)$） $$ \mu=E[X]=1,\qquad E[X^{2}]=2,\qquad E[X^{3}]=6,\qquad E[X^{4}]=24. $$ 2. 計算協方差矩陣 $\Sigma$ $$ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E[X^{2}]-\mu^{2}=2-1=1,\[2mm] \operatorname{Var}(X^{2}) &=E[X^{4}]-(E[X^{2}])^{2}=24-4=20,\[2mm] \operatorname{Cov}(X,X^{2}) &=E[X^{3}]-\mu\,E[X^{2}]=6-2=4. \end{aligned} $$ 因此 $$ \Sigma=\begin{pmatrix} 1 & 4\ 4 & 20 \end{pmatrix}. $$ 3. 設定映射函數 $$g(u,v)=v-u^{2}\quad\Longrightarrow\quad S^{2}=g(U{n},V{n}).$$ 在真值點 $(\mu,E[X^{2}])=(1,2)$ 處的梯度 $$ \nabla g(u,v)=\bigl(-2u,\;1\bigr),\qquad \nabla g(1,2)=(-2,\;1). $$ 4. 套用 Delta Method

Question 5

Assume that $\{Yi\}{i=1}^n$ and $\{Zi\}{i=1}^n$ are two independent sequences of IID random variables with finite fourth moments. Consider the following two regressions: $$ Yi = \alpha y + ei $$ and $$ Zi = \alphaz + ui $$ where $\alphay$ and $\alphaz$ are parameters, and $$ \begin{bmatrix} ei \ ui \end{bmatrix} \sim N \left( \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 0.5 \ 0.5 & 1 \end{bmatrix} ight) $$ Denote $\bar{Y} := \frac{1}{n} \sum{i=1}^n Yi$ and $\bar{Z} := \frac{1}{n} \sum{i=1}^n Zi$. Let $\Phi^{-1}(.)$ be the quantile function of $N(0,1)$, and set $\Phi^{-1}(0.9) = 1.282$, $\Phi^{-1}(0.95) = 1.645$, $\Phi^{-1}(0.975) = 1.96$ and $\Phi^{-1}(0.99) = 2.326$. Suppose that we estimate these two regressions using the least squares method. Which one of the following…

Accepted Answer

核心觀念 1. 常數項迴歸之最小平方法（OLS）估計量： 對於僅含截距項的迴歸模型 $Yi = \alphay + ei$ 與 $Zi = \alphaz + ui$，其 OLS 估計量即為樣本平均數： $$ \hat{\alpha}y = \bar{Y} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n Yi, \quad \hat{\alpha}z = \bar{Z} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n Zi $$ 2. 線性組合估計量之抽樣分配： 所求參數為 $	heta = \alphay + \alphaz$，其不偏點估計量為： $$ \hat{	heta} = \hat{\alpha}y + \hat{\alpha}z = \bar{Y} + \bar{Z} $$ 由於誤差項為二元常態分配（Bivariate Normal Distribution），單一觀測值和的變異數為： $$ \operatorname{Var}(Yi + Zi) = \operatorname{Var}(ei + ui) = \operatorname{Var}(ei) + \operatorname{Var}(ui) + 2\operatorname{Cov}(ei, ui) $$ 根據獨立同分配（IID）性質，估計量之變異數為： $$ \operatorname{Var}(\hat{	heta}) = \operatorname{Var}(\bar{Y} + \bar{Z}) = \frac{\operatorname{Var}(ei + ui)}{n} $$ 3. 大樣本 95% 信賴區間： 在大樣本下，由中央極限定理（CLT）可得標準化統計量漸近服從標準常態分配 $N(0,1)$。95% 信賴區間公式為： $$ \left[ \hat{	heta} - z{0.025} \cdot \operatorname{SE}(\hat{	heta}), \; \hat{	heta} + z{0.025} \cdot \operatorname{SE}(\hat{	heta}) ight] $$ 其中臨界值 $z{0.025} = \Phi^{-1}(0.975) = 1.96$。 --- 解題方法 1. 計算點估計量 $\hat{	heta}$： $$ \hat{	heta} = \bar{Y} + \bar{Z} = 0.4 + 0.6 = 1.0 $$ 2. 計算單一觀測值誤差和的變異數： 由題目給定之共變異數矩陣： $$ \begin{bmatrix} \operatorname{Var}(ei) & \operatorname{Cov}(ei, ui) \ \operatorname{Cov}(ei, ui) & \opera…

Question 6

Let $\{Xi\}{i=1}^n$ be a sequence of independent and $\chi^2(1)$-distributed random variables. Denote $\bar{X} := n^{-1} \sum{i=1}^n Xi$. By Chebyshev's inequality, we have the result: $$ P(\bar{X} \le 2) \ge \beta $$ for some $\beta \in (0,1)$. Which of the following is right when $n = 50$? (a) $\beta = 0.95$ (b) $\beta = 0.96$ (c) $\beta = 0.97$ (d) $\beta = 0.98$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

這題考驗對 Chebyshev 不等式及其應用，以及卡方分布 (Chi-squared distribution) 的性質。 核心觀念： 1. 卡方分布 ($ \chi^2 $) 的期望值和變異數。 2. Chebyshev 不等式：對於任意隨機變數 $X$ 及其期望值 $E[X]$ 和變異數 $Var(X)$，對於任意常數 $k 0$，有 $P(|X - E[X]| \ge k) \le \frac{Var(X)}{k^2}$。 3. 將 Chebyshev 不等式應用於樣本均值 $\bar{X}$。 解題步驟： 1. 確定 $Xi$ 的分布及其期望值和變異數： 題目說明 $Xi$ 服從自由度為 1 的卡方分布，即 $Xi \sim \chi^2(1)$。 對於自由度為 $
u$ 的卡方分布，其期望值為 $E[Xi] = 
u$，變異數為 $Var(Xi) = 2
u$。 在本題中， $
u = 1$。 所以，$E[Xi] = 1$。 $Var(Xi) = 2 	imes 1 = 2$。 2. 計算樣本均值 $\bar{X}$ 的期望值和變異數： $\bar{X} = n^{-1} \sum{i=1}^n Xi$。 由於 $Xi$ 是獨立同分布的， $E[\bar{X}] = E[Xi] = 1$。 $Var(\bar{X}) = \frac{Var(Xi)}{n} = \frac{2}{n}$。 3. 應用 Chebyshev 不等式： Chebyshev 不等式為 $P(|X - E[X]| \ge k) \le \frac{Var(X)}{k^2}$。 我們想計算 $P(\bar{X} \le 2)$。 Chebyshev 不等式通常用於計算 $P(|X - E[X]| \ge k)$ 或 $P(|X - E[X]| < k)$。 我們可以改寫不等式為 $P(|X - E[X]| < k) \ge 1 - \frac{Var(X)}{k^2}$。 我們需要將 $P(\bar{X} \le 2)$ 轉換成 $|X - E[X]|$ 的形式。 $E[\bar{X}] = 1$。 所以，我們關心的是 $|\bar{X} - 1|$。 $P(\bar{X} \le 2) = 1 - P(\bar{X} 2)$。 $P(\bar{X} 2)$ 是 $P(\bar{X} - 1 1)$ 的一部分。 讓我們嘗試直接應用 Chebyshev 不等式於 $\bar{X}$。 我們需要一個 $k$ 值，使得 $|\bar{X} - 1|$ 與 $\bar{X} - 2$ 相關。 令 $k = 1$。 $P(|\bar{X} - 1| \ge 1) \le \frac{Var(\bar{X})}{1^2} = Var(\bar{X}) = \frac{2}{n}…

Question 7

Let $\{(ei, Xi)\}$ be a sequence of IID random vectors with the distribution: $$ \begin{bmatrix} ei \ Xi \end{bmatrix} \sim N \left( \begin{bmatrix} \mu \ 0{k 	imes 1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma^2 & 0{1 	imes k} \ 0{k 	imes 1} & \Sigma \end{bmatrix} ight) $$ for some $k := \dim(Xi) 1$. Consider the following regression: $$ Yi = Xi^T \gamma + ei $$ where $\gamma$ is a vector of regression coefficients, and $ei$ is an error term. Let $R^2$ be the "uncentered $R^2$" of this regression, based on the least squares method, and $\bar{R}^2$ be the probability limit of $R^2$ as $n 	o \infty$. Which of the following is right? (a) $\bar{R}^2 = \frac{\gamma^T \Sigma \gamma}{\sigma^2 + \gamma^T \Sigma \gamma}$ (b) $\bar{R}^2 = \frac{\gamma^T \Sigma \gamma}{\sigma^2}$ (c) $\bar{R}^2…

Accepted Answer

核心觀念 - 未中心化 $R^2$（uncentered $R^2$）： $$R^2 = 1-\frac{\sum{i=1}^n (Yi-\hat Yi)^2}{\sum{i=1}^n Yi^2},\qquad \hat Yi = Xi^{\!T}\hat\gamma $$ 這裡不減去樣本均值，也不估計截距項。 - 大樣本極限（probability limit）：若 $\hat\gamma\overset{p}{	o}\gamma$，則樣本平均會收斂到相應的母體期望。 - 常用性質： 1. 隨機向量 $(ei,Xi)$ 為獨立同分布（i.i.d.）且正態；$Xi$ 與 $ei$ 獨立，且 $E[Xi]=0{k	imes1}$、$\operatorname{Var}(Xi)=\Sigma$。 2. $ei\sim N(\mu,\sigma^2)$，在本題的選項中隱含 $\mu=0$（若 $\mu
eq0$，$R^2$ 的極限式會多出 $\mu^2$），因此以下推導皆假設 $\mu=0$。 --- 解題方法 1. 寫出模型與 $Yi$ 的二階矩 $$Yi = Xi^{\!T}\gamma + ei$$ 因 $E[Xi]=0$、$E[ei]=0$，得 $$ \begin{aligned} E[Yi] &= 0,\ \operatorname{Var}(Yi) &= \operatorname{Var}(Xi^{\!T}\gamma)+\operatorname{Var}(ei) = \gamma^{\!T}\Sigma\gamma + \sigma^2 . \end{aligned} $$ 2. OLS 估計 $\gamma$ 的一致性 最小平方法在無截距的情形下的估計式 $$\hat\gamma = \bigg(\frac1n\sum{i=1}^n XiXi^{\!T}\bigg)^{-1}\!\frac1n\sum{i=1}^n XiYi .$$ 依大數法則， $$ \frac1n\sum{i=1}^n XiXi^{\!T}\xrightarrow{p}\Sigma,\qquad \frac1n\sum{i=1}^n XiYi =\frac1n\sum{i=1}^n XiXi^{\!T}\gamma+\frac1n\sum{i=1}^n Xiei\xrightarrow{p}\Sigma\gamma . $$ 因 $Xi$ 與 $ei$ 獨立，第二項的期望為 $0$。故 $\hat\gamma\overset{p}{	o}\gamma$。 3. 計算樣本平方和的極限 - 殘差平方和（SSR） $$ \frac1n\sum{i=1}^n (Yi-\hat Yi)^2 =\frac1n\sum{i=1}^n (Yi-Xi^{\!T}\hat\gamma…

Question 8

Let $\{(Yi, Zi)\}$ be a sequence of IID random vector, in which $Yi$ is a Bernoulli random variable, and $Zi$ is a random vector with the distribution $U(\alpha, \beta)$ for some $0 < \alpha < \beta < 1$. Consider the following regression: $$ Yi = \gamma Zi + ei $$ for some $0 < \gamma < 1$, and $ei$ is an error term with the property $E[ei | Zi] = 0$. Also, let $S$ be the skewness coefficient of $Yi$. Which of the following is right? (a) $ S = \frac{1 - 3(\frac{\alpha+\beta}{2}) + 2(\frac{\alpha+\beta}{2})^2}{\left(1 - (\frac{\alpha+\beta}{2})\right)^{1/2} \left(1 - (\frac{\alpha+\beta}{2})^2\right)^{1/2}} $ (b) $ S = \frac{\gamma(\alpha+\beta)}{2} $ (c) $ S = \frac{\gamma(\alpha+\beta)}{2 \left(1 - (\frac{\alpha+\beta}{2})\right)^{1/2} \left(1 - (\frac{\alpha+\beta}{2})^2\right)^{1/2}} $…

Accepted Answer

核心觀念 1. Bernoulli 隨機變數的偏度 (skewness) 若 $Y\sim	ext{Bernoulli}(p)$，則 $$ \begin{aligned} \mu &=E[Y]=p,\ \sigma^2&=\operatorname{Var}(Y)=p(1-p),\ \mu3 &=E\big[(Y-\mu)^3\big]=(1-2p)p(1-p). \end{aligned} $$ 偏度係數定義為 $$ S=\frac{\mu3}{\sigma^{3}}=\frac{(1-2p)p(1-p)}{\big(p(1-p)\big)^{3/2}} =\frac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}} . $$ 2. 條件期望與迴歸模型 給定迴歸式 $Yi=\gamma Zi+ei$，且 $E[ei\mid Zi]=0$，則 $$E[Yi\mid Zi]=\gamma Zi .$$ 因 $Yi$ 為 Bernoulli，條件機率必為 $P(Yi=1\mid Zi)=\gamma Zi$（必在 $0<\gamma Zi<1$，題目已保證 $\gamma\in(0,1)$、$Zi\in(\alpha,\beta)\subset(0,1)$）。 故無條件期望 $$ p:=E[Yi]=E\big[E[Yi\mid Zi]\big]=\gamma\,E[Zi] =\gamma\,\frac{\alpha+\beta}{2}. $$ 解題方法 1. 先求 $p$，即 Bernoulli 成功機率。 2. 直接把 $p$ 代入 Bernoulli 偏度公式 $S=\dfrac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}$，得到 $$ S =\frac{1-2\gamma\frac{\alpha+\beta}{2}} {\sqrt{\gamma\frac{\alpha+\beta}{2}\Bigl(1-\gamma\frac{\alpha+\beta}{2}\Bigr)}}. $$ 若寫成更簡潔的形式： $$S=\frac{1-\gamma(\alpha+\beta)}{\sqrt{\gamma(\alpha+\beta)\bigl(2-\gamma(\alpha+\beta)\bigr)}}.$$ 選項分析 | 選項 | 內容 | 正確性說明 | |------|------|------------|

Question 9

Let $\{Xi\}{i=1}^n$ be a sequence of independent and $N(0, 1)$-distributed random variables. Denote $Yn = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n1} Xi - \frac{1}{n} \sum{i=n1+1}^n Xi$, for some $n1 \le n$. Let $Kn(t)$ be the cumulant generating function of the statistic $Yn$, with $t$ denoting a real number. Which of the following is right? (a) $\ln Kn(t) = \ln 4 + 2 \ln t + \ln \left(\frac{2n1(n-n1)}{n^2}\right)$ (b) $\ln Kn(t) = 2 \ln t + \ln \left(\frac{n1(n-n1)}{n^2}\right)$ (c) $\ln Kn(t) = \ln \frac{1}{n} + 2 \ln t + \ln \left(\frac{n-n1}{n}\right)$ (d) $\ln Kn(t) = \ln \frac{1}{n} + \ln t + \ln \left(\frac{2n1(n-n1)}{n^2}\right)$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 1. 常態分佈的線性組合：若 $Xi\sim N(0,1)$ 且獨立，則任意線性組合 $Z=\sum ai Xi$ 仍為常態，且 $$Z\sim N\!\Bigl(0,\;\sum ai^2\Bigr).$$ 2. 矩母函數（MGF）與累積母函數（CGF）： $$ MZ(t)=\mathbb E\!\big[e^{tZ}\big]=\exp\!\Bigl(\mu t+\tfrac12\sigma^2t^2\Bigr),\qquad KZ(t)=\ln MZ(t)=\mu t+\tfrac12\sigma^2t^2 . $$ 這裡 $\mu$ 為期望，$\sigma^2$ 為變異數。 解題方法 - 先寫出 $Yn$ 的係數： $$ Yn=\frac1n\sum{i=1}^{n1}Xi-\frac1n\sum{i=n1+1}^{n}Xi =\sum{i=1}^{n}aiXi, $$ 其中 $$ ai=\begin{cases} \frac1n,&i\le n1,\[2pt] -\frac1n,&in1 . \end{cases} $$ - 計算變異數（因為均值皆為 $0$）： $$ \operatorname{Var}(Yn)=\sum{i=1}^{n}ai^{2} =n1\Bigl(\frac1n\Bigr)^{2}+(n-n1)\Bigl(\frac1n\Bigr)^{2} =\frac{n}{n^{2}}=\frac1n . $$ - 因此 $Yn\sim N\!\bigl(0,\;1/n\bigr)$。 - 其矩母函數為 $$M{Yn}(t)=\exp\!\Bigl(\tfrac12\,\frac{t^{2}}{n}\Bigr).$$ - 累積母函數（即題目所稱的 cumulant generating function）為 $$Kn(t)=\ln M{Yn}(t)=\frac{t^{2}}{2n}.$$ - 題目要求的是 $\ln Kn(t)$，即 $$ \boxed{\ln Kn(t)=\ln\!\Bigl(\frac{t^{2}}{2n}\Bigr) =2\ln|t|-\ln(2n)} . $$

Question 10

Let $\{Xi\}{i=1}^n$ be a sequence of independent and $N(0, 1)$-distributed random variables. Consider the following variable: $$ Yi := \begin{cases} Xi & i = 1 \ Xi + X{i-1} & i 1 \end{cases} $$ for some $\beta \in (0, 1)$, and denote the statistic $Wn := \frac{1}{n} \sum{i=1}^n Yi$. Which of the following is right? (a) $var[Wn] = \frac{1}{n}(1 + (1+\beta)(n-1))$ (b) $var[Wn] = \frac{1}{n}(1 + (1+\beta)^2(n-1))$ (c) $var[Wn] = \frac{1}{n}(1 + (1+\beta)^2(n-1) + 2\beta(n-1)^2)$ (d) $var[Wn] = \frac{1}{n}(1 + (1+\beta)(n-1) + (1+\beta)^2(n-1)^2)$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 - 隨機變數的線性組合：若 $X\sim N(0,1)$，則 $aX+bY$（$X,Y$ 獨立）之變異數為 $a^{2}\operatorname{Var}(X)+b^{2}\operatorname{Var}(Y)$。 - 協方差的性質：若 $X$、$Y$ 獨立則 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$；相同變數的協方差即為變異數。 - 樣本平均的變異數 $$ \operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}Z{i}ight) =\frac{1}{n^{2}}\Bigl(\sum{i=1}^{n}\operatorname{Var}(Z{i}) +2\sum{1\le i<j\le n}\operatorname{Cov}(Z{i},Z{j})\Bigr). $$ 本題的關鍵在於先求出每一個 $Y{i}$ 的變異數與相鄰兩項的協方差，然後代入上式。 --- 解題步驟 1. 寫出 $Y{i}$ 的顯式形式（題目略有印刷錯誤，實際應為 $Y{i}=X{i}+\beta X{i-1}$，$\beta\in(0,1)$）。 $$ Y{1}=X{1},\qquad Y{i}=X{i}+\beta X{i-1}\;(i\ge2). $$ 2. 計算單項變異數 - $i=1$ 時 $$\operatorname{Var}(Y{1})=\operatorname{Var}(X{1})=1.$$ - $i\ge2$ 時，$X{i}$ 與 $X{i-1}$ 獨立，故 $$ \operatorname{Var}(Y{i}) =\operatorname{Var}(X{i})+\beta^{2}\operatorname{Var}(X{i-1}) =1+\beta^{2}. $$ 因此 $$ \sum{i=1}^{n}\operatorname{Var}(Y{i}) =1+(n-1)(1+\beta^{2}). $$ 3. 計算相鄰項的協方差 只要 $|i-j|1$，$Y{i}$ 與 $Y{j}$ 所含的 $X$ 完全不共用，故協方差為 $0$。 若 $j=i+1$（相鄰），則 $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(Y{i},Y{i+1}) &=\operatorname{Cov}\bigl(X{i}+\beta X{i-1},\;X{i+1}+\beta X{i}\bigr)\ &=\beta\,\operatorname{Cov}(X{i},X{i}) \qquad(	ext{其他項皆獨立})\ &=\beta . \end{aligned} $$ 同理 $\operatorname{Cov}(Y{i},Y{i-1})=\beta$。 故所有非零協方差…

Question 11

Piske and Usagi made a big fortune by selling Line stickers. They are planning to invest the money in the stock market. They are now studying the property of a certain stock X. They have collected data of monthly returns of X in the past 8 months ( $r_x$ ) and the corresponding market returns ( $r_m$ ) as well as the risk-free rates ( $r_f$ ).

Month	$r_x$ (%)	$r_m$ (%)	$r_f$ (%)
1	3	5	2
2	5	5	2
3	3	5	2
4	0	-5	2
5	-2	-5	1
6	-6	-5	1
7	10	10	1
8	15	10	1

Piske is interested in the systematic risk of stock X and would like to estimate the following regression:
$r_{xt} - r_{ft} = b_0 + b_1 (r_{mt} - r_{ft}) + e_t \quad (1)$
Assume that $e_t \sim IID(0, \sigma^2)$ and that $E[e_t | r_{mt}, r_{ft}] = 0$ . Please help Piske estimate the ordinary least square (OLS) estimates $\hat{b}_{0}^{OLS}$ and $\hat{b}_{1}^{OLS}$ .
(a) $\hat{b}_{0}^{OLS} = 0.011$ , $\hat{b}_{1}^{OLS} = 0.927$
(b) $\hat{b}_{0}^{OLS} = 0.025$ , $\hat{b}_{1}^{OLS} = 0.927$
(c) $\hat{b}_{0}^{OLS} = 0.011$ , $\hat{b}_{1}^{OLS} = 0.955$
(d) $\hat{b}_{0}^{OLS} = 0.025$ , $\hat{b}_{1}^{OLS} = 0.955$
(e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 - 本題要求以普通最小平方法 (OLS) 估計 CAPM 形式迴歸式 $$r{xt}-r{ft}=b{0}+b{1}(r{mt}-r{ft})+e{t}$$ 其中因變數 $y{t}=r{xt}-r{ft}$ 為股票 X 的超額報酬，自變數 $x{t}=r{mt}-r{ft}$ 為市場的超額報酬。 - OLS 推估公式 $$ \hat b{1}= \frac{\displaystyle\sum{t=1}^{n}(xt-\bar x)(yt-\bar y)} {\displaystyle\sum{t=1}^{n}(xt-\bar x)^2}, \qquad \hat b{0}= \bar y-\hat b{1}\bar x . $$ 其中 $\bar x,\bar y$ 為樣本均值，$n$ 為觀測期數 (本題 $n=8$)。 解題方法與計算步驟 1. 計算超額報酬 | 月份 | $rx$ | $rm$ | $rf$ | $yt=rx-rf$ | $xt=rm-rf$ | |------|------|------|------|--------------|--------------| | 1 | 3 | 5 | 2 | 1 | 3 | | 2 | 5 | 5 | 2 | 3 | 3 | | 3 | 3 | 5 | 2 | 1 | 3 | | 4 | 0 | –5 | 2 | –2 | –7 | | 5 | –2 | –5 | 1 | –3 | –6 | | 6 | –6 | –5 | 1 | –7 | –6 | | 7 | 10 | 10 | 1 | 9 | 9 | | 8 | 15 | 10 | 1 | 14 | 9 | 2. 求樣本均值 $$ \bar x=\frac{\sum xt}{8}=\frac{8}{8}=1,\qquad \bar y=\frac{\sum yt}{8}=\frac{16}{8}=2 . $$ 3. 計算必要的總和

Question 12

Usagi learned from his investment class that there should be no intercept in a Capital Asset Pricing Model. Thus, he plans to perform the following regression using the Ordinary Least Square (OLS) method:
$r_{xt} - r_{ft} = \beta (r_{mt} - r_{ft}) + e_t \quad (2)$
Which of the following statement(s) is (are) correct?
I. $E[\hat{\beta}^{OLS}] = b_1$ .
II. $\sum_{t=1}^8 \hat{e}_t = 0$ .
III. $\sum_{t=1}^8 (r_{mt} - r_{ft}) \hat{e}_t = 0$ .
IV. Model (2) should yield a lower centered- $R^2$ than model (1).

(a) I and IV.
(b) II and III.
(c) III and IV.
(d) II and IV.
(e) II, III, and IV.

Accepted Answer

這題的核心觀念在於探討「通過原點的迴歸模型（Regression through the Origin, RTO）」與一般含截距項迴歸模型在 OLS 估計性質上的差異。考生必須清楚區分兩者在殘差和（$\sum \hat{e}t$）、正交性條件（Orthogonality condition）以及 $R^2$ 定義上的不同，特別是無截距模型中殘差和不一定為零，且傳統的 $R^2$ 分解公式不再成立，導致 centered-$R^2$ 的比較邏輯與一般模型不同。 完整解題過程 首先，我們分析題目給定的模型 (2)： $$ r{xt} - r{ft} = \beta (r{mt} - r{ft}) + et $$ 令 $yt = r{xt} - r{ft}$ 為超額報酬，$xt = r{mt} - r{ft}$ 為市場超額報酬。則模型可簡寫為通過原點的迴歸模型： $$ yt = \beta xt + et $$ 此模型強制截距項為 0。我們利用 OLS 方法估計 $\beta$，目標是最小化殘差平方和 $S(\beta) = \sum{t=1}^n (yt - \beta xt)^2$。 分析敘述 I：$E[\hat{\beta}^{OLS}] = b1$ 這裡的 $b1$ 通常指代含截距項模型（Model 1: $yt = \alpha + \beta xt + ut$）中的斜率估計量。 在無截距模型中，OLS 估計量為： $$ \hat{\beta}^{OLS} = \frac{\sum xt yt}{\sum xt^2} $$ 若真實模型確實沒有截距項（即 $\alpha=0$），則 $\hat{\beta}^{OLS}$ 是不偏估計量，$E[\hat{\beta}^{OLS}] = \beta$。 然而，若真實模型含有截距項（$\alpha 
eq 0$），強行移除截距會導致 omitted variable bias（遺漏變數偏誤）。此時： $$ E[\hat{\beta}^{OLS}] = \beta + \alpha \frac{\sum xt}{\sum xt^2} $$ 這通常不等於含截距模型下的估計量期望值（後者在正確設定下為 $\beta$）。即便假設真實模型無截距，$b1$ 作為另一個隨機變數的實現值或估計量，其期望值等於 $\beta$，但敘述寫成 $E[\hat{\beta}^{OLS}] = b1$ 在符號定義上模糊且邏輯不通（期望值應等於參數真值，而非另一個估計量的符號）。更嚴格地說，若 $b1$ 指 Model 1 的估計值，兩者只有在樣本中 $\bar{x}=0$ 或 $\bar{y}=0$ 等特定條件下數值才可能相同，期望值層級並無此恆等關係。因此，敘述 I 錯誤。 分析敘述 II：$\sum{t=1}^8 \hat{e}t…

Question 13

Piske and Usagi are interested in assessing the goodness-of-fit of the Ordinary Least Squares (OLS) estimations for the two models above. Let $R_1^2$ represent the centered- $R^2$ for the first model, and $R_2^2$ represent the centered- $R^2$ for the second model. In addition, let $(r_{xt}-r_{ft})_1$ denote the predicted value of the first model, and $(r_{xt}-r_{ft})_2$ denote the predicted value of the second model. Lastly, let $\rho_1$ denote the sample correlation coefficient between $(r_{xt}-r_{ft})_1$ and $r_{xt}-r_{ft}$ , and $\rho_2$ denote the sample correlation coefficient between $(r_{xt}-r_{ft})_2$ and $r_{xt}-r_{ft}$ . Which of the following statements is correct?

(A) $\rho_1^2=\rho_2^2=R_1^2$
(B) $\rho_1^2=\rho_2^2=R_2^2$
(C) $\rho_1^2=R_1^2=R_2^2$
(D) $\rho_2^2=R_1^2=R_2^2$
(E) None of the above choices (A)–(D).

Accepted Answer

核心觀念 題目比較兩種迴歸模型的配適度： - 模型一含截距：$yt=b0+b1zt+et$。 - 模型二不含截距：$yt=\beta zt+et$。 其中 $yt=r{xt}-r{ft}$，$zt=r{mt}-r{ft}$。含截距的簡單線性迴歸有一個重要性質：樣本中「實際值與預測值的相關係數平方」等於 centered-$R^2$。不含截距的模型則沒有這項一般性質。 解題方法 依原卷第 6 頁表格，計算超額報酬後得到 $y=(1,3,1,-2,-3,-7,9,14)$、$z=(3,3,3,-7,-6,-6,9,9)$，單位皆為百分點。第 6 頁的模型一含截距；第 7 頁的模型二不含截距，且使用相同的 $y$ 與 $z$。 令 $\hat y1$、$\hat y2$ 分別為兩個模型的預測值。模型一含截距，因此 OLS 殘差與預測值正交，且 $\hat y1$ 與 $y$ 的相關係數平方等於模型一的 centered-$R^2$： $$ \rho1^2=R1^2. $$ 模型二的預測值為 $\hat y2=\hat\beta z$。乘上常數不改變相關係數的平方，因此 $$ \rho2^2=\operatorname{Corr}(\hat\beta z,y)^2 =\operatorname{Corr}(z,y)^2. $$ 模型一是以相同的 $z$ 預測 $y$ 的含截距簡單線性迴歸，其 centered-$R^2$ 正是 $\operatorname{Corr}(z,y)^2$。所以 $$ \rho2^2=R1^2. $$ 因此 $\rho1^2=\rho2^2=R1^2$。 為確認模型二的 centered-$R^2$ 不等於上述數值，使用表中資料可得 $\sum yt=16$、$\sum zt=8$、$\sum yt^2=350$、$\sum zt^2=310$、$\sum ztyt=296$。模型二的斜率為

Question 14

Let’s come back to model (1). Assume that $E[e_t\mid r_{mt},r_{ft}]=0$ , but the error term $e_t$ follows the distribution below:

e_t=\rho e_{t-1}+\varepsilon_t,\quad |\rho|<1

\varepsilon_t\sim IID(0,\sigma^2)

Which of the following statements is correct?

(A) $\widehat{\beta}_1^{OLS}$ is biased.
(B) $\operatorname{var}(e_t)=\frac{\sigma^2}{1-\rho^2}$ .
(C) $\operatorname{cov}(e_t,e_{t-1})=\operatorname{cov}(e_t,e_{t-2})=0$ .
(D) $\widehat{\beta}_0^{OLS}$ and $\widehat{\beta}_1^{OLS}$ will no longer be BUE but just BLUE.
(E) None of the above choices (A)–(D).

Accepted Answer

核心觀念 本題考察平穩 AR(1) 誤差項的變異數與自共變異數，以及誤差自我相關對 OLS 的影響。平穩 AR(1) 誤差項滿足： $$ et=ho e{t-1}+\varepsilont,\qquad |ho|<1 $$ 其中創新項 $\varepsilont$ 為獨立同分配，平均數為 $0$、變異數為 $\sigma^2$。在平穩解下， $$ \operatorname{var}(et)=\frac{\sigma^2}{1-ho^2}, \qquad \operatorname{cov}(et,e{t-k})=ho^k\operatorname{var}(et). $$ 解題方法 原卷第 8 頁第 14 題給定模型（1）的條件 $E[et\mid r{mt},r{ft}]=0$，並指定誤差項遵循上述 AR(1) 過程，且 $|ho|<1$、$\varepsilont\sim IID(0,\sigma^2)$。先由遞迴式求平穩變異數，再用自共變異數公式檢查選項中的零共變異數說法。 在平穩狀態下，$\operatorname{var}(et)=\operatorname{var}(e{t-1})$。又因 $\varepsilont$ 與過去的誤差項不相關， $$ \begin{aligned} \operatorname{var}(et) &=\operatorname{var}(ho e{t-1}+\varepsilont)\ &=ho^2\operatorname{var}(e{t-1})+\operatorname{var}(\varepsilont)\ &=ho^2\operatorname{var}(et)+\sigma^2. \end{aligned} $$ 移項可得： $$ \operatorname{var}(et)=\frac{\sigma^2}{1-ho^2}. $$

Question 15

$T$ is a random variable with the following probability density function:

f(t)=\beta e^{-\beta t},\quad \text{for }t>0

where $\beta>0$ . The expected value of $T$ is $E(T)=\frac{1}{\beta}$ .

A sample consisting of $n$ independent realizations of $T$ , $\{t_1,t_2,\ldots,t_n\}$ , was collected. Which of the following statements is correct?

(A) $\widehat{\beta}_{MLE}=\frac{\sum_{i=1}^{n}t_i}{n}$ .
(B) $\widehat{\beta}_{MLE}$ is an unbiased estimator.
(C) $\widehat{\beta}_{MLE}$ is a consistent estimator.
(D) $\widehat{\beta}_{MLE}$ is neither unbiased nor consistent.
(E) None of the above choices (A)–(D).

Accepted Answer

核心觀念 本題考指數分配的最大概似估計量（MLE），以及估計量的不偏性與一致性。不偏性看估計量的期望是否等於母數；一致性則看樣本數增加時，估計量是否依機率收斂到真實母數。 解題方法 依原卷圖，第 15 題給定機率密度函數 $f(t)=\beta e^{-\beta t}$、$t0$，且 $\beta0$；樣本為 $n$ 個獨立觀測值 $t1,\ldots,tn$。題目選項 a 的公式是 $\widehat{\beta}{MLE}=\sum{i=1}^n ti/n$。 由獨立樣本的聯合概似函數： $$ L(\beta)=\prod{i=1}^n \beta e^{-\beta ti} =\beta^n e^{-\beta\sum{i=1}^n ti} $$ 取對數概似函數並對 $\beta$ 微分： $$ \ell(\beta)=n\ln\beta-\beta\sum{i=1}^n ti $$ $$ \frac{\partial \ell(\beta)}{\partial\beta} =\frac{n}{\beta}-\sum{i=1}^n ti=0 $$ 因此： $$ \widehat{\beta}{MLE} =\frac{n}{\sum{i=1}^n ti} =\frac{1}{\overline{T}} $$ 再判斷它的不偏性與一致性。令 $S=\sum{i=1}^n Ti$，則 $S$ 服從形狀參數為 $n$、速率參數為 $\beta$ 的 Gamma 分配。當 $n1$ 時， $$ E\left(\widehat{\beta}{MLE}ight) =nE\left(\frac{1}{S}ight) =\frac{n\beta}{n-1} 
e \beta $$

Question 16

Lisa and Gaspard are interested in the NTU Master program in Finance and collect the salary information of their recent alumni. To investigate potential gender discrimination in the finance industry in Taiwan, they group the observations by gender and estimate the statistics of their annual salary (in thousand NTD). Denote the population mean salary of men as $\mu_{men}$ and women as $\mu_{women}$ . Assume that the samples of men and women are distributed independently. Please help Lisa and Gaspard conduct hypothesis testing using the sample information below.

Group	Sample average salary ( $\bar{Y}$ )	Sample standard deviation ( $S_Y$ )	$n$
Men	$1{,}080$	$270$	$30$
Women	$960$	$360$	$20$

Which of the following statements is correct?

(A) To examine potential gender discrimination, we may establish a null hypothesis of $H_A:\mu_{men}\ne\mu_{women}$ .
(B) The $t$ -statistic for $H_0:\mu_{men}=\mu_{women}$ is $1.271$ .
(C) The $t$ -statistic for $H_0:\mu_{men}=\$ 1{,}000 $is$ 2.623 $. (D) The$ t $-statistic for$ H_0:\mu_{women}=$1{,}000 $is$ -1.497$.
(E) We can reject the null hypothesis that there is no gender discrimination at the 5% significance level.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩獨立樣本平均數的假設檢定，以及單一母體平均數的 $t$ 檢定。 若要檢驗男性與女性的平均薪資是否不同，虛無假設應設定為兩組平均數相等；若要檢驗是否存在差異，則將「兩組平均數不相等」列為對立假設： $$ H0:\mu{men}=\mu{women}, \qquad HA:\mu{men}
e\mu{women}. $$ 題目只說兩組樣本彼此獨立，沒有假設兩組母體變異數相等，因此採用 Welch 兩獨立樣本 $t$ 檢定。其檢定統計量為： $$ t = \frac{\bar{Y}{men}-\bar{Y}{women}} {\sqrt{\dfrac{S{men}^2}{n{men}}+\dfrac{S{women}^2}{n{women}}}}. $$ 解題方法 先計算男性與女性樣本平均薪資的差，再除以該差值的標準誤： $$ \bar{Y}{men}-\bar{Y}{women} =1{,}080-960=120. $$ $$ SE = \sqrt{\frac{270^2}{30}+\frac{360^2}{20}} = \sqrt{2{,}430+6{,}480} = \sqrt{8{,}910} \approx94.393. $$ 因此： $$ t = \frac{120}{94.393} \approx1.271. $$ 這是選項（B）所列的統計量。Welch 檢定的自由度約為 $33.5$。以 5% 顯著水準進行雙尾檢定，臨界值約為 $2.03$；由於 $|1.271|<2.03$，不拒絕「男女平均薪資相同」的虛無假設。因此，不能在 5% 顯著水準下拒絕「沒有男女平均薪資差異」的虛無假設。 選項分析

Question 17

There are machines A, B, and C in a factory, all producing screws. Of their production, machines A, B, and C produce 1%, 2%, and 4% defective screws, respectively. Of the total production in the factory, machine A produces 50%, machine B produces 25%, and machine C produces 25%. If one screw is selected at random from the entire screws produced in a day, which of the following is true?

(A) The probability that it is defective is 3%.
(B) If the selected product is defective, the conditional probability that it was produced by machine A is $\frac{1}{4}$ .
(C) If the selected product is defective, the conditional probability that it was produced by machine B is $\frac{2}{4}$ .
(D) If the selected product is defective, the conditional probability that it was produced by machine C is $\frac{3}{4}$ .
(E) None of the above choices (A)–(D).

Accepted Answer

核心觀念 本題考查全機率公式與貝氏定理。先用各機器的產量占比和瑕疵率，求整體抽到瑕疵品的機率；再以「某機器產出的瑕疵品機率 ÷ 整體瑕疵品機率」求瑕疵品來自該機器的條件機率。 解題方法 依原卷圖，機器 A、B、C 的瑕疵率分別為 $1\%$、$2\%$、$4\%$，產量占比分別為 $50\%$、$25\%$、$25\%$。令 $D$ 表示抽到瑕疵品，則全機率公式給出： $$ P(D)=0.50(0.01)+0.25(0.02)+0.25(0.04) =0.005+0.005+0.010 =0.020 $$ 整體瑕疵率為 $2\%$。依貝氏定理： $$ P(A\mid D)=\frac{0.50(0.01)}{0.020}=\frac14 $$ $$ P(B\mid D)=\frac{0.25(0.02)}{0.020}=\frac14 $$

Question 18

Chen, Huang, Lin, and Shen (2022, MS) are interested in the causal relationship between credit supply and growth stability of small enterprises in China. They use the data from Alibaba and provide the following figures. The horizontal axis shows the credit scores of the entrepreneurs. The vertical axes are, from left to right, the probability that the entrepreneurs are granted credit, the sales growth volatility one year before the event year, and the sales growth volatility one year after the event year.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Which of the following statements is incorrect?

(A) There is a sudden jump in credit access when one’s credit score surpasses 480.
(B) There is a sudden drop in the sales growth volatility one year before the borrowing when one’s credit score surpasses 480.
(C) There is a sudden drop in the sales growth volatility one year after the borrowing when one’s credit score surpasses 480.
(D) The findings suggest that the relationship between credit access and future growth stability may be causal.
(E) If there is a discontinuity in the sales growth volatility one year before the credit access, we cannot make a causal inference between credit access and future growth stability.

Accepted Answer

核心觀念 本題考察迴歸不連續設計（regression discontinuity design, RDD）。當處置資格由某個門檻決定時，若結果變數在門檻處也出現明顯跳躍，便可比較門檻兩側非常接近的個體，估計取得處置的因果效果。此推論仰賴門檻附近其他影響結果的因素平滑連續，且個體不能精確操縱門檻分數。 解題方法 圖中橫軸是企業主的信用分數，門檻在 480；三張圖由左至右分別呈現取得信用的機率、借款前一年（$T-1$）的銷售成長波動，以及借款後一年（$T+1$）的銷售成長波動。左圖在 480 處有向上的跳躍；中圖雖然整體隨信用分數增加而下降，但在 480 處沒有明顯跳躍；右圖則在 480 處出現向下跳躍。 判斷各選項時，關鍵是分清楚「整體趨勢」與「門檻處的不連續」：RDD 看的是門檻兩側是否突然改變，而不是變數是否隨分數上升或下降。 選項分析

Question 19

Suppose that a data generating process is as follows:

Y_i=a+bX_i^*+\varepsilon_i

However, $X_i^*$ cannot be directly observed. There are two observable proxies for $X_i^*$ :

X_{i1}=X_i^*+u_{i1}

X_{i2}=X_i^*+u_{i2}

We know that $\varepsilon_i\sim N(0,\sigma_\varepsilon^2)$ , $X_i^*\sim N(\mu_X,6)$ , $u_{i1}\sim N(0,1)$ , and $u_{i2}\sim N(0,3)$ . $u_{i1}$ and $u_{i2}$ are also uncorrelated to $X_i^*$ , $Y_i$ , $\varepsilon_i$ , and each other.

We now construct two additional regressors:

X_{i3}=\frac{2}{3}X_{i1}+\frac{1}{3}X_{i2}

X_{i4}=\frac{1}{5}X_{i1}+\frac{4}{5}X_{i2}

For $n=1,2,3,$ or $4$ , denote $\widehat{\beta}_n$ as the OLS coefficient when we regress $Y$ on $X_{in}$ . For a positive $b$ , which of the following has the largest value?

(A) $\frac{1}{2}b$
(B) $\widehat{\beta}_1$
(C) $\widehat{\beta}_2$
(D) $\widehat{\beta}_3$
(E) $\widehat{\beta}_4$

Accepted Answer

核心觀念 這題考古典測量誤差造成的「衰減偏誤」。若真實模型為 $Yi=a+bXi^+\varepsiloni$，而觀察到的解釋變數是 $Xi^$ 加上與真實變數及誤差項不相關的測量誤差，則以觀察值進行迴歸時，母體斜率為 $$ \beta=\frac{\operatorname{Cov}(Y,X)}{\operatorname{Var}(X)}. $$ 在 $\operatorname{Cov}(X^,\varepsilon)=0$ 的標準外生性假設下，若 $X=X^+u$ 且 $u$ 與 $X^$ 不相關，則 $$ \beta=b\frac{\operatorname{Var}(X^)} {\operatorname{Var}(X^)+\operatorname{Var}(u)}. $$ 測量誤差的變異數愈小，估計斜率愈接近真實斜率 $b$。 解題方法 嚴格而言，題目未提供樣本資料，有限樣本的 $\widehat{\beta}n$ 是隨機值；以下依標準外生性假設，將選項中的係數解讀為母體斜率（亦即樣本數增加時的收斂值）。 真實變數的變異數為 $6$。各代理變數都可寫成 $Xi^$ 加上某個測量誤差，因此先計算各自測量誤差的變異數，再代入衰減公式。 對 $X{i1}=Xi^+u{i1}$，測量誤差變異數為 $1$，所以 $$ \beta1 =b\frac{6}{6+1} =\frac{6}{7}b. $$ 對 $X{i2}=Xi^+u{i2}$，測量誤差變異數為 $3$，所以 $$ \beta2 =b\frac{6}{6+3} =\frac{2}{3}b. $$ 對 $X{i3}$，代入兩個代理變數的定義： $$ X{i3} =\frac{2}{3}(Xi^+u{i1})+\frac{1}{3}(Xi^+u{i2}) =Xi^+\frac{2}{3}u{i1}+\frac{1}{3}u{i2}. $$ 由於 $u{i1}$ 與 $u{i2}$ 不相關，$X{i3}$ 的測量誤差變異數為

113 年國立臺灣大學財務金融研究所乙組《統計學（I）》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

方法一：先合併單一觀測值之線性組合（推薦）

第 3 題

第 4 題

第 5 題

核心觀念

解題方法

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

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第 12 題

完整解題過程

第 13 題

第 14 題

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第 16 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 17 題

第 18 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 19 題

第 20 題

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