111 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《財務管理與財金數學》

📄 試題原卷　免費註冊後即可對照原始考卷 PDF免費註冊

第 1 題

Let y=exy = e^x, where xx is normally distributed with mean μ\mu and variance σ2\sigma^2.
What is the value of stdev(y~)E[y~]\frac{\text{stdev}(\tilde{y})}{E[\tilde{y}]}?
(A) eσ2−1\sqrt{e^{\sigma^2} - 1}
(B) eσ2−1\sqrt{e^{\sigma^2}} - 1
(C) eσ2−1e^{\sigma^2} - 1
(D) eσ2−2\sqrt{e^{\sigma^2} - 2}

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

本題考驗隨機變數轉換與常態分配的性質。

首先，我們需要計算 y=exy = e^x 的期望值 E[y]E[y] 和標準差 stdev(y)\text{stdev}(y)。
已知 x∼N(μ,σ2)x \sim N(\mu, \sigma^2)。
根據期望值的性質，對於函數 g(x)g(x)，我們有 E[g(x)]=∫−∞∞g(x)f(x)dxE[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx，其中 f(x)f(x) 是 xx 的機率密度函數。
然而，對於 g(x)=exg(x) = e^x，我們知道 E[ex]E[e^x] 是 xx 的動差產生函數 (Moment Generating Function, MGF) 在 t=1t=1 的值。
xx 的 MGF 為 Mx(t)=E[etx]=eμt+12σ2t2M_x(t) = E[e^{tx}] = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}。
令 t=1t=1，則 E[y]=E[ex]=Mx(1)=eμ(1)+12σ2(1)2=eμ+12σ2E[y] = E[e^x] = M_x(1) = e^{\mu(1) + \frac{1}{2}\sigma^2 (1)^2} = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}。

接下來計算 yy 的變異數 Var(y)\text{Var}(y)。
Var(y)=E[y2]−(E[y])2\text{Var}(y) = E[y^2] - (E[y])^2。
y2=(ex)2=e2xy^2 = (e^x)^2 = e^{2x}。
E[y2]=E[e2x]E[y^2] = E[e^{2x}]。這相當於計算 xx 的 MGF 在 t=2t=2 的值。
E[e2x]=Mx(2)=eμ(2)+12σ2(2)2=e2μ+2σ2E[e^{2x}] = M_x(2) = e^{\mu(2) + \frac{1}{2}\sigma^2 (2)^2} = e^{2\mu + 2\sigma^2}。
所以，Var(y)=e2μ+2σ2−(eμ+12σ2)2\text{Var}(y) = e^{2\mu + 2\sigma^2} - (e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2})^2
=e2μ+2σ2−e2(μ+12σ2)= e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2(\mu + \frac{1}{2}\sigma^2)}

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 2 題

[2, 3, 4] Suppose there are three possible states of the world which are equally likely, so Ω={ω1,ω2,ω3}\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\} with p({ω1})=p({ω2})=p({ω3})=1/3p(\{\omega_1\}) = p(\{\omega_2\}) = p(\{\omega_3\}) = 1/3. Let GG be the collection of all subsets of Ω\Omega:
G={∅,{ω1},{ω2},{ω3},{ω1,ω2},{ω1,ω3},{ω2,ω3},Ω}G = \{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2\}, \{\omega_1, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \Omega\}.
Let xx and yy be random variables, and set a1=x(ω1)a_1 = x(\omega_1), a2=x(ω2)a_2 = x(\omega_2), a3=x(ω3)a_3 = x(\omega_3) for i=1,2,3i=1, 2, 3. Assume no two of the aia_i are the same. Suppose y~(ω1)=b1\tilde{y}(\omega_1) = b_1 and y~(ω2)=y~(ω3)=b2≠b1\tilde{y}(\omega_2) = \tilde{y}(\omega_3) = b_2 \neq b_1.

  1. Which of the following statement is not correct?
    (A) prob(x=a1∣y~=b1)=1\text{prob}(x = a_1|\tilde{y} = b_1) = 1
    (B) prob(x=a2∣y~=b1)=0\text{prob}(x = a_2|\tilde{y} = b_1) = 0
    (C) prob(x=a2∣y~=b2)=1\text{prob}(x = a_2|\tilde{y} = b_2) = 1
    (D) prob(x=a1∣y~=b2)=0\text{prob}(x = a_1|\tilde{y} = b_2) = 0

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考有限樣本空間下的條件機率。對事件 AA 與機率大於 00 的事件 BB，條件機率定義為

P(A∣B)=P(A∩B)P(B).P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

題目中三個狀態等可能，因此每個狀態的機率都是 1/31/3。又因為 a1,a2,a3a_1,a_2,a_3 彼此不同，事件 x=aix=a_i 恰好對應狀態 ωi\omega_i。

解題方法

先依 y~\tilde{y} 的取值找出條件事件：

{y~=b1}={ω1},{y~=b2}={ω2,ω3}.\{\tilde{y}=b_1\}=\{\omega_1\},\qquad \{\tilde{y}=b_2\}=\{\omega_2,\omega_3\}.

因此，已知 y~=b1\tilde{y}=b_1 時，狀態必為 ω1\omega_1；已知 y~=b2\tilde{y}=b_2 時，狀態則可能是 ω2\omega_2 或 ω3\omega_3，兩者條件機率各為 1/21/2。

選項分析

  • (A) 正確。 在 {y~=b1}={ω1}\{\tilde{y}=b_1\}=\{\omega_1\} 下，x=a1x=a_1 必然成立：

    P(x=a1∣y~=b1)=P({ω1})P({ω1})=1.P(x=a_1\mid \tilde{y}=b_1) =\frac{P(\{\omega_1\})}{P(\{\omega_1\})}=1.
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 3 題

[2, 3, 4] Suppose there are three possible states of the world which are equally likely, so Ω={ω1,ω2,ω3}\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\} with p({ω1})=p({ω2})=p({ω3})=1/3p(\{\omega_1\}) = p(\{\omega_2\}) = p(\{\omega_3\}) = 1/3. Let GG be the collection of all subsets of Ω\Omega:
G={∅,{ω1},{ω2},{ω3},{ω1,ω2},{ω1,ω3},{ω2,ω3},Ω}G = \{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2\}, \{\omega_1, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \Omega\}.
Let xx and yy be random variables, and set a1=x(ω1)a_1 = x(\omega_1), a2=x(ω2)a_2 = x(\omega_2), a3=x(ω3)a_3 = x(\omega_3) for i=1,2,3i=1, 2, 3. Assume no two of the aia_i are the same. Suppose y~(ω1)=b1\tilde{y}(\omega_1) = b_1 and y~(ω2)=y~(ω3)=b2≠b1\tilde{y}(\omega_2) = \tilde{y}(\omega_3) = b_2 \neq b_1.

  1. Which of the following statement is correct?
    (A) E[x∣y~=b1]=a1E[x|\tilde{y} = b_1] = a_1
    (B) E[x∣y~=b2]=a2E[x|\tilde{y} = b_2] = a_2
    (C) E[x∣y~=b1]=(a1+a2)/2E[x|\tilde{y} = b_1] = (a_1 + a_2)/2
    (D) E[x∣y~=b2]=(a1+a3)/2E[x|\tilde{y} = b_2] = (a_1 + a_3)/2

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

有限樣本空間中，給定事件 AA 的條件期望為

E[x∣A]=∑ω∈Ax(ω)p({ω})p(A),p(A)>0.E[x\mid A] = \frac{\sum_{\omega\in A}x(\omega)p(\{\omega\})}{p(A)}, \qquad p(A)>0.

本題要依照 y~\tilde y 的取值，找出各自對應的狀態，再計算 xx 在那些狀態上的條件平均。

解題方法

當 y~=b1\tilde y=b_1 時，只有狀態 ω1\omega_1 符合，因此

{y~=b1}={ω1}.\{\tilde y=b_1\}=\{\omega_1\}.

所以

E[x∣y~=b1]=a1⋅1313=a1.E[x\mid \tilde y=b_1] = \frac{a_1\cdot \frac13}{\frac13} = a_1.

當 y~=b2\tilde y=b_2 時，符合的狀態為 ω2,ω3\omega_2,\omega_3，因此

{y~=b2}={ω2,ω3}.\{\tilde y=b_2\}=\{\omega_2,\omega_3\}.

兩個狀態的機率相同，故

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 4 題

[2, 3, 4] Suppose there are three possible states of the world which are equally likely, so Ω={ω1,ω2,ω3}\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\} with p({ω1})=p({ω2})=p({ω3})=1/3p(\{\omega_1\}) = p(\{\omega_2\}) = p(\{\omega_3\}) = 1/3. Let GG be the collection of all subsets of Ω\Omega:
G={∅,{ω1},{ω2},{ω3},{ω1,ω2},{ω1,ω3},{ω2,ω3},Ω}G = \{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2\}, \{\omega_1, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \Omega\}.
Let xx and yy be random variables, and set a1=x(ω1)a_1 = x(\omega_1), a2=x(ω2)a_2 = x(\omega_2), a3=x(ω3)a_3 = x(\omega_3) for i=1,2,3i=1, 2, 3. Assume no two of the aia_i are the same. Suppose y~(ω1)=b1\tilde{y}(\omega_1) = b_1 and y~(ω2)=y~(ω3)=b2≠b1\tilde{y}(\omega_2) = \tilde{y}(\omega_3) = b_2 \neq b_1.

  1. What is the σ\sigma-field generated by y~\tilde{y}?
    (A) {∅,{ω1},{ω2},{ω3},{ω1,ω2},{ω1,ω3},{ω2,ω3},Ω}\{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2\}, \{\omega_1, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \Omega\}
    (B) {∅,{ω1},{ω2},{ω3},Ω}\{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \Omega\}
    (C) {∅,{ω1},{ω2,ω3},Ω}\{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \Omega\}
    (D) {∅,{ω1},{ω2},{ω3},Ω}\{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \Omega\}

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

由隨機變數 y~\tilde y 所生成的 σ\sigma-field，記為 σ(y~)\sigma(\tilde y)，是能讓 y~\tilde y 成為可測函數的最小 σ\sigma-field。有限樣本空間下，可先依 y~\tilde y 的取值把樣本空間分組；每一組稱為一個原子，再由這些原子的聯集組成 σ(y~)\sigma(\tilde y)。

本題中，y~\tilde y 在 ω1\omega_1 取值 b1b_1，在 ω2,ω3\omega_2,\omega_3 都取值 b2b_2，且 b1≠b2b_1\ne b_2。因此分組為 {ω1}\{\omega_1\} 與 {ω2,ω3}\{\omega_2,\omega_3\}。

解題方法

y~\tilde y 的取值所對應的事件為：

{ω∈Ω:y~(ω)=b1}={ω1}\{\omega\in\Omega:\tilde y(\omega)=b_1\}=\{\omega_1\} {ω∈Ω:y~(ω)=b2}={ω2,ω3}\{\omega\in\Omega:\tilde y(\omega)=b_2\}=\{\omega_2,\omega_3\}

生成的 σ\sigma-field 必須包含這兩個事件，也必須包含它們的補集、彼此的聯集，以及空集合。因此：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 5 題

  1. Assume XX is an Itô process. Which of the following statement is not correct?
    (A) Define Yt=eXtY_t = e^{Xt}, then dYY=dX+12(dX)2\frac{dY}{Y} = dX + \frac{1}{2}(dX)^2
    (B) Assume XX is strictly positive. Define Yt=log⁡XtY_t = \log X_t, then dYt=1XtdXt−12(dXt)2Xt2dY_t = \frac{1}{X_t} dX_t - \frac{1}{2}\frac{(dX_t)^2}{X_t^2}
    (C) Assume XX is strictly positive. Define Yt=XtλY_t = X_t^\lambda for a constant λ\lambda, then dYtYt=λdXtXt+λ(λ−1)2(dXt)2Xt2\frac{dY_t}{Y_t} = \lambda \frac{dX_t}{X_t} + \frac{\lambda(\lambda-1)}{2} \frac{(dX_t)^2}{X_t^2}
    (D) Assume SS is a geometric Brownian motion: dStSt=μdt+σdBt\frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dB_t, for constants μ\mu and σ\sigma and a Brownian motion BB, then var(St+1St)=e2μ+σ2−1\text{var}(\frac{S_{t+1}}{S_t}) = e^{2\mu + \sigma^2} - 1

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查 Itô 引理，以及幾何布朗運動在一單位時間內的報酬分配。若 XtX_t 為 Itô 過程，且 Yt=f(Xt)Y_t=f(X_t)，則

dYt=f′(Xt)dXt+12f′′(Xt)(dXt)2dY_t=f'(X_t)dX_t+\frac{1}{2}f''(X_t)(dX_t)^2

其中 (dXt)2(dX_t)^2 保留布朗運動項的二次變差；若 dXt=atdt+btdBtdX_t=a_tdt+b_tdB_t，則 (dXt)2=bt2dt(dX_t)^2=b_t^2dt。

解題方法

(A) 至 (C) 可直接套用 Itô 引理檢查。對 (D)，由幾何布朗運動的解推導 St+1/StS_{t+1}/S_t 的期望與二階動差，再用「變異數＝二階動差減去期望平方」計算。

選項分析

(A) 正確。 依題目慣例將 eXte^{Xt} 解讀為 eXte^{X_t}。令 f(Xt)=eXtf(X_t)=e^{X_t}，則 f′=f′′=eXtf'=f''=e^{X_t}，所以

dYtYt=dXt+12(dXt)2\frac{dY_t}{Y_t}=dX_t+\frac{1}{2}(dX_t)^2

符合選項敘述。

(B) 正確。 令 f(Xt)=log⁡Xtf(X_t)=\log X_t，且 Xt>0X_t>0，則 f′(Xt)=1/Xtf'(X_t)=1/X_t、f′′(Xt)=−1/Xt2f''(X_t)=-1/X_t^2。由 Itô 引理，

dYt=1XtdXt−12(dXt)2Xt2dY_t=\frac{1}{X_t}dX_t-\frac{1}{2}\frac{(dX_t)^2}{X_t^2}

與選項相同。

(C) 正確。 令 f(Xt)=Xtλf(X_t)=X_t^\lambda，則 f′(Xt)=λXtλ−1f'(X_t)=\lambda X_t^{\lambda-1}、f′′(Xt)=λ(λ−1)Xtλ−2f''(X_t)=\lambda(\lambda-1)X_t^{\lambda-2}。因此

dYt=λXtλ−1dXt+12λ(λ−1)Xtλ−2(dXt)2dY_t=\lambda X_t^{\lambda-1}dX_t +\frac{1}{2}\lambda(\lambda-1)X_t^{\lambda-2}(dX_t)^2

兩邊除以 Yt=XtλY_t=X_t^\lambda，得到

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 6 題

  1. Which of the following statement is not correct?
    (A) Assume Xt=θ−e−κ(t−s)(0−Xs)+∫ste−κ(t−u)dBuX_t = \theta - e^{-\kappa(t-s)}(0-X_s) + \int_s^t e^{-\kappa(t-u)} dB_u for a Brownian motion BB and constants θ,κ\theta, \kappa, then dXt=κ(θ−Xt)dt+dBtdX_t = \kappa (\theta - X_t) dt + dB_t
    (B) Assume dXt=−κXtdt+σdBtdX_t = -\kappa X_t dt + \sigma dB_t for constants κ\kappa and σ\sigma. Set Yt=Xt2Y_t = X_t^2, then dYt=(−κYt+12σ2)dt+YtdBtdY_t = (-\kappa Y_t + \frac{1}{2}\sigma^2)dt + \sqrt{Y_t} dB_t, for constants κ\kappa and σ\sigma.
    (C) Let BB be a Brownian motion. Define Yt=Bt−tY_t = B_t - t, then YtY_t is a martingale.
    (D) Let dMt=σdBtdM_t = \sigma dB_t for a Brownian motion BB, then Mt2−(dMtdt)2M_t^2 - (\frac{dM_t}{dt})^2 is a local martingale.

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念
本題主要測驗以下概念與工具：

  1. 伊藤引理 (Itô’s Lemma)：對於可微函數 f(t,Xt)f(t,X_t)，
df=∂f∂t dt+∂f∂x dXt+12∂2f∂x2 (dXt)2.df = \frac{\partial f}{\partial t}\,dt+\frac{\partial f}{\partial x}\,dX_t +\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,(dX_t)^2 .

在 Brownian 過程的情形，(dBt)2=dt(dB_t)^2=dt。

  1. Ornstein‑Uhlenbeck (OU) 過程：
dXt=κ(θ−Xt)dt+σdBt,Xt=θ+(Xs−θ)e−κ(t−s)+σ ⁣∫ste−κ(t−u)dBu.dX_t=\kappa(\theta-X_t)dt+\sigma dB_t , \qquad X_t=\theta+(X_s-\theta)e^{-\kappa(t-s)} +\sigma\!\int_s^t e^{-\kappa(t-u)}dB_u .

  1. 鞅 (Martingale) 與局部鞅 (Local Martingale)：

    • 若 MtM_t 為鞅，則對任意 s<ts<t 有 E[Mt∣Fs]=Ms\mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s]=M_s。
    • 若過程的漂移項恆為 0，則為局部鞅。

  2. 二次變異 (Quadratic Variation)：對於 Mt=σBtM_t=\sigma B_t，
    ⟨M⟩t=σ2t\langle M\rangle_t=\sigma^2 t。常見的鞅性結果是
    Mt2−⟨M⟩tM_t^2-\langle M\rangle_t 為鞅。

解題方法

對每一個選項直接驗證其敘述是否符合上述理論：

  1. 利用已知的 OU 解的形式與微分，檢查 (A) 是否正確。
  2. 對 Yt=Xt2Y_t=X_t^2 應用伊藤引理，得到正確的 SDE，再與 (B) 比較。
  3. 檢查 Yt=Bt−tY_t=B_t-t 的期望，判斷是否為鞅。
  4. 計算 Mt2−(dMt/dt)2M_t^2-(dM_t/dt)^2 的微分，或等價地使用二次變異的性質，驗證 (D) 是否為局部鞅。

選項逐一分析

(A)

已知

Xt=θ−e−κ(t−s)(0−Xs)+∫ste−κ(t−u)dBu.X_t=\theta-e^{-\kappa(t-s)}(0-X_s)+\int_s^t e^{-\kappa(t-u)}dB_u .

化簡得到

Xt=θ+e−κ(t−s)Xs+∫ste−κ(t−u)dBu.X_t=\theta+e^{-\kappa(t-s)}X_s+\int_s^t e^{-\kappa(t-u)}dB_u .

對時間 tt 求微分（使用 Leibniz 法則）：

dXt=−κe−κ(t−s)Xs dt+[−κ∫ste−κ(t−u)dBu dt+e−κ(t−t)dBt]=−κ(e−κ(t−s)Xs+∫ste−κ(t−u)dBu)dt+dBt.\begin{aligned} dX_t &= -\kappa e^{-\kappa(t-s)}X_s\,dt +\Big[-\kappa\int_s^t e^{-\kappa(t-u)}dB_u\,dt +e^{-\kappa(t-t)}dB_t\Big] \\[2mm] &= -\kappa\Big(e^{-\kappa(t-s)}X_s+ \int_s^t e^{-\kappa(t-u)}dB_u\Big)dt + dB_t . \end{aligned}

而括號內正好是 Xt−θX_t-\theta，因此

dXt=κ(θ−Xt)dt+dBt.dX_t=\kappa(\theta-X_t)dt+dB_t .

故 (A) 為 正確 敘述。

(B)

給定 dXt=−κXtdt+σdBtdX_t=-\kappa X_tdt+\sigma dB_t，設 Yt=Xt2Y_t=X_t^2。
依伊藤引理：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 7 題

  1. Your firm is planning to invest in a new electrostatic power generation system that is all equity financed. Hoothoot Inc. is a firm that specializes in this business. Hoothoot has a stock price of 30persharewith15millionsharesoutstanding.Hoothoot′sequitybetais2.11.Italsohas30 per share with 15 million shares outstanding. Hoothoot's equity beta is 2.11. It also has 350 million in debt outstanding with a debt beta of 0.03. If the risk-free rate is 2.5%, and the market risk premium is 11%, then your estimate of your cost of capital for electrostatic power generators is close to: ANS:

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

本題考驗計算公司的資本成本 (Cost of Capital)，特別是股權資本成本 (Cost of Equity) 和加權平均資本成本 (WACC)。由於題目提到該系統是 "all equity financed"，我們只需要計算股權資本成本。

首先，我們需要計算股權資本成本 ReR_e。由於題目提供了股權 Beta 值，我們可以使用資本資產定價模型 (CAPM)。
CAPM 公式為：Re=Rf+βe×(Rm−Rf)R_e = R_f + \beta_e \times (R_m - R_f)
其中：
RfR_f 是無風險利率 (risk-free rate)。
βe\beta_e 是股權 Beta (equity beta)。
(Rm−Rf)(R_m - R_f) 是市場風險溢價 (market risk premium)。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 8 題

  1. You expect that MIT Enterprise will have earnings per share of $2.8 for the coming year. MIT plans to retain all of its earnings for the next three years. For the subsequent two years, the firm plans on retaining 25% of its earnings. It will then retain only 10% of its earnings from that point forward. Retained earnings will be invested in projects with an expected return of 12% per year. If MIT's equity cost of capital is 9%, then the price of a share of MIT's stock is close to: ANS:

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

  • 盈餘留存率 (Retention Ratio)：公司把盈餘再投資的比例。
  • 盈餘再投資報酬率 (Return on Retained Earnings, ROE)：留存盈餘投資的預期報酬率，此題為 12%12\%。
  • 股利成長率：gt=bt×ROEg_t = b_t \times \text{ROE}，其中 btb_t 為當期留存率。
  • 股利折現模型 (DDM)：
    P0=∑t=1∞Dt(1+r)tP_0=\sum_{t=1}^{\infty}\frac{D_t}{(1+r)^t}
    其中 rr 為股東要求報酬率 (cost of equity)。
  • 永續成長股利公式：在股利開始以固定成長率 gg 成長時，
    VT=DT+1r−gV_T=\frac{D_{T+1}}{r-g}
    為第 TT 期末的終值，之後折回現在值。

解題方法

  1. 計算每期盈餘 (E) 與股利 (D)

    • 第1 年 EPS = 2.82.8，留存率 b=1b=1 → 成長率 g1=1×12%=12%g_1=1\times12\%=12\%。
    • 第2、3 年同樣以 12%12\% 成長，股利皆為 00（全部留存）。
    • 第4、5 年留存率 b=0.25b=0.25 → 成長率 g4,5=0.25×12%=3%g_{4,5}=0.25\times12\%=3\%，股利比例 1−b=75%1-b=75\%。
    • 第6 年起留存率 b=0.10b=0.10 → 成長率 g∞=0.10×12%=1.2%g_{\infty}=0.10\times12\%=1.2\%，股利比例 90%90\%，之後采用永續成長模型。

  2. 列出每期 EPS（以 E1=2.8E_1=2.8 為起點）

E2=2.8(1+0.12)=3.136E3=2.8(1+0.12)2=3.51232E4=E3(1+0.03)=3.61769E5=E4(1+0.03)=3.72622E6=E5(1+0.012)=3.77157\begin{aligned} E_2 &= 2.8(1+0.12)=3.136\\ E_3 &= 2.8(1+0.12)^2=3.51232\\ E_4 &= E_3(1+0.03)=3.61769\\ E_5 &= E_4(1+0.03)=3.72622\\ E_6 &= E_5(1+0.012)=3.77157 \end{aligned}
  1. 計算每期股利
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 9 題

  1. After graduation, you plan to work for Glalie Corp. for 12 years and then start your own business. You expect to save and deposit 5,000ayearforthefirst6yearsand5,000 a year for the first 6 years and 19,000 annually for the following 6 years. The first deposit will be made a year from today. In addition, your aunt just gave you a $60,000 graduation gift which you will deposit immediately. If the account earns 8.5% compounded annually, how much will you have when you start your business 12 years from now? ANS:

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

  • 年金未來值 (Future Value of an Ordinary Annuity)：每期在期末存入相同金額，於期末一次性取得的金額。公式

FV=P  (1+i)n−1iFV = P\;\frac{(1+i)^{n}-1}{i}

其中 PP 為每期存款、ii 為每期利率、nn 為期數。

  • 單筆金額的複利成長：一次性投入的金額在 tt 期後的未來值為

FV=PV  (1+i)tFV = PV\;(1+i)^{t}

  • 分段年金：若存款金額在不同時段改變，必須把每段分別算未來值，再相加。

解題方法

  1. 把所有現金流分為三類

    • (A) 立即存入的禮金 $60,000，存滿 12 年。
    • (B) 前 6 年每年年末存入 $5,000，存滿 12 年。
    • (C) 後 6 年（第 7~12 年）每年年末存入 $19,000，存滿 12 年。

  2. 計算每類的未來值

    設年利率 i=8.5%=0.085i = 8.5\% = 0.085，1+i=1.0851+i = 1.085。

    • (A) 禮金

FVA=60,000  (1.085)12FV_A = 60{,}000\;(1.085)^{12}

  • (B) 前 6 年年金
    第 1 年的存款要累積 11 年，第 6 年的存款要累積 6 年。
FVB=5,000∑k=16(1.085)12−k=5,000 (1.085)6 (1.085)6−10.085FV_B = 5{,}000\sum_{k=1}^{6}(1.085)^{12-k} = 5{,}000\,(1.085)^{6}\,\frac{(1.085)^{6}-1}{0.085}
  • (C) 後 6 年年金
    第 7 年的存款要累積 5 年，第 12 年的存款不需累積。
FVC=19,000∑k=712(1.085)12−k=19,000 (1.085)6−10.085FV_C = 19{,}000\sum_{k=7}^{12}(1.085)^{12-k} = 19{,}000\,\frac{(1.085)^{6}-1}{0.085}
  1. 代入數值（四捨五入到最接近的整數）
(1.085)6≈1.6315,(1.085)12≈2.6626,(1.085)6−10.085≈0.63150.085≈7.43.\begin{aligned} (1.085)^{6} &\approx 1.6315,\\ (1.085)^{12}&\approx 2.6626,\\ \frac{(1.085)^{6}-1}{0.085}&\approx \frac{0.6315}{0.085}\approx 7.43. \end{aligned}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 10 題

  1. Tesla Food Company is considering a new salsa whose data are shown below. The equipment to be used would be depreciated by the straight-line method over its 3-year life and would have a zero salvage value, and no change in net operating working capital would be required. Revenues and other operating costs are expected to be constant over the project's 3-year life. However, this project would compete with other Tesla products and would reduce their pre-tax cash flows. What is the project's NPV? ANS:
    | WACC | 11% |
    | :------------------------ | :----- |
    | Pre-tax cash flow reduction for other products (cannibalization) | 6,000∣∣Investmentcost(depreciablebasis)∣6,000 | | Investment cost (depreciable basis) | 99,000 |
    | Annual sales revenues | 70,000∣∣Annualoperatingcosts(excl.depreciation)∣70,000 | | Annual operating costs (excl. depreciation) | 20,000 |
    | Tax rate | 40% |

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

本題考驗計算專案的淨現值 (Net Present Value, NPV)。NPV 的計算需要先確定專案的稅後現金流量，然後將其折現到現在。

步驟 1：計算專案的稅前現金流量 (Pre-tax Cash Flow)。
題目提到 "this project would compete with other Tesla products and would reduce their pre-tax cash flows." 這意味著這個新產品的收入是以犧牲其他產品的收入為代價的。因此，我們應該考慮這個「現金流減少」作為一個成本。

稅前現金流量 = (年收入 - 年營運成本 - 每年稅前現金流減少額)
稅前現金流量 = (70,000−70,000 - 20,000 - 6,000)=6,000) = 44,000。
這 $44,000 是指在考慮了收入、營運成本和產品互相競爭的影響後的稅前利潤（未扣除折舊）。

步驟 2：計算折舊 (Depreciation)。
設備成本 (depreciable basis) = 99,000使用年限=3年殘值=99,000 使用年限 = 3 年 殘值 = 0 (zero salvage value)
折舊方法 = 直線法 (straight-line method)
每年折舊額 = (成本 - 殘值) / 年限
每年折舊額 = (99,000−99,000 - 0) / 3 = $33,000。

步驟 3：計算稅後現金流量 (After-tax Cash Flow)。
稅後現金流量通常是：
稅後利潤 (Net Income) + 折舊 (Depreciation)
或者
稅前現金流量 (Pre-tax Cash Flow) * (1 - 稅率) + 折舊 * 稅率 (Depreciation Tax Shield)

讓我們用後者來計算，因為題目給的是稅前現金流減少額，這更接近於 EBITDA 的概念。
稅前營業利潤 (EBITDA, before cannibalization impact) = 年收入 - 年營運成本 = 70,000−70,000 - 20,000 = 50,000。考慮現金流減少：稅前營業利潤(EBIT)=50,000。 考慮現金流減少：稅前營業利潤 (EBIT) = 50,000 - 6,000=6,000 = 44,000。
這個 $44,000 是已經扣除了現金流減少的影響，但未扣除折舊。

稅前利潤 (EBT) = 稅前營業利潤 (EBIT) - 折舊
EBT = 44,000−44,000 - 33,000 = $11,000。

稅金 (Tax) = EBT * 稅率 = 11,000∗4011,000 * 40% = 4,400。

稅後淨利潤 (Net Income) = EBT - 稅金 = 11,000−11,000 - 4,400 = $6,600。

專案的稅後現金流量 (After-tax Cash Flow) = 稅後淨利潤 + 折舊
Cash Flow = 6,600+6,600 + 33,000 = $39,600。

這個現金流量是每年（第 1 年、第 2 年、第 3 年）的現金流量。

另一種計算方式：
稅前現金流量 (EBITDA before cannibalization) = 70,000−70,000 - 20,000 = 50,000。考慮現金流減少：稅前現金流量(EBITDA,adjusted)=50,000。 考慮現金流減少：稅前現金流量 (EBITDA, adjusted) = 50,000 - 6,000=6,000 = 44,000。
這個 44,000是指在扣除折舊前的經營利潤。折舊=44,000 是指在扣除折舊前的經營利潤。 折舊 = 33,000。
稅率 = 40%。

稅前利潤 (EBT) = 44,000−44,000 - 33,000 = 11,000。稅金=11,000。 稅金 = 11,000 * 40% = 4,400。稅後淨利潤=4,400。 稅後淨利潤 = 11,000 - 4,400=4,400 = 6,600。

現金流量 = 稅後淨利潤 + 折舊 = 6,600+6,600 + 33,000 = $39,600。
這個計算是正確的。

步驟 4：計算專案的 NPV。
初始投資成本 = $99,000 (發生在第 0 年)。
年現金流量 (CF) =

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

臺灣大學《財務管理與財金數學》其他年度

115 年114 年113 年112 年109 年108 年

其他學校的財金會計考古題

清華大學33成功大學62政治大學68中央大學5中正大學32中山大學8臺北大學48暨南國際大學13高雄大學6嘉義大學6臺北商業大學3