112 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《財務管理與財金數學》

核心觀念

本題考查零的三項基本性質：偶數、加法單位元素，以及自身的加法反元素。判斷時應依數學定義，不以「零代表沒有數量」的直覺作答。

• 偶數：整數 $n$ 若可寫成 $n=2k$，其中 $k$ 為整數，則 $n$ 是偶數。
• 加法單位元素：若一個數與任意數相加，都不改變該數，便是加法單位元素。
• 加法反元素：對數 $a$ 而言，若 $a+b=0$，則 $b$ 是 $a$ 的加法反元素，記為 $-a$。

解題方法

逐一將零代入上述定義，確認 A、B、C 的敘述是否成立。三項性質皆成立，因此本題以 D「以上皆正確」表達：前三項沒有不正確的敘述。

選項分析

A）偶數：正確。

因為

$$0=2\times 0,$$

且右側的 $0$ 是整數，所以零符合偶數的定義。偶數不必是正整數；零與負偶數也都屬於偶數。

核心觀念

本題考的是「整除」（divisibility）的定義。

對於整數 $a,b$，若存在某個整數 $k$，使得

$$b=ak$$

則稱「$a$ 整除 $b$」，記作

$$a\mid b$$

其中 $a$ 稱為除數，$b$ 稱為被除數，$k$ 為整數商。

整除的重點在於：商 $k$ 必須是整數，且整除關係主要用於研究整數的因數、倍數、質數與餘數等離散性質。因此在標準初等數論中，整除關係的定義域是整數集合 $\mathbb{Z}$。

解題方法

直接依照整除的標準定義判斷其所屬數集合：

$$a\mid b \iff \exists k\in\mathbb{Z},\quad b=ak$$

由於定義中明確要求 $a$、$b$ 與商 $k$ 都屬於整數，所以本題所指的 divisibility 是建立在整數集合 $\mathbb{Z}$ 上。

因此答案為 B) integers。

選項分析

A) natural numbers

自然數中確實也常使用「因數」與「倍數」的概念，例如 $3\mid 12$，因為 $12=3\times4$。不過在標準數論定義中，整除關係的正式討論對象是整數，且自然數通常被視為整數的子集合。

因此本題若問整除概念所屬的標準數集合，最佳答案不是自然數，而是整數。

B) integers

正確。整除的標準定義為：

$$a\mid b \iff b=ak,\quad a,b,k\in\mathbb{Z}$$

例如：

$$4\mid 20$$

因為存在整數 $5$，使得

$$20=4\times5$$

本題考查極限計算，特別是當極限定時出現 $0/0$ 不定型時，可以使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule) 或泰勒級數展開。

首先，當 $x \to 0$ 時，分子 $\sin(x) - x \to \sin(0) - 0 = 0 - 0 = 0$。
分母 $x^3 \to 0^3 = 0$。
因此，我們遇到 $0/0$ 的不定型。

方法一：使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)
由於是 $0/0$ 型，我們可以對分子和分母分別求導。
令 $f(x) = \sin(x) - x$ 且 $g(x) = x^3$。
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) - x) = \cos(x) - 1$
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
新的極限為 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{3x^2}$。
當 $x \to 0$ 時，分子 $\cos(x) - 1 \to \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0$。
分母 $3x^2 \to 3(0)^2 = 0$。
我們再次遇到 $0/0$ 的不定型。所以需要再次使用羅必達法則。

$f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x) - 1) = -\sin(x)$
$g''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$
新的極限為 $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{6x}$。
當 $x \to 0$ 時，分子 $-\sin(x) \to -\sin(0) = 0$。
分母 $6x \to 6(0) = 0$。
我們又一次遇到 $0/0$ 的不定型。所以需要再次使用羅必達法則。

本題考查金融市場中的「一價定律」(Law of One Price) 與「無套利」(No Arbitrage) 之間的關係。

一價定律 (Law of One Price, LOOP) 是指，在沒有交易成本、稅收、資訊不對稱等干擾因素的情況下，相同風險、相同現金流的資產，在不同市場上應該有相同的價格。如果不同市場對同一資產的定價不同，那麼就存在套利機會。

本題考查資本資產定價模型 (CAPM) 的假設條件與無套利市場的關係。

資本資產定價模型 (CAPM) 的核心公式為：
$E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)$
其中：
$E(R_i)$ 是資產 $i$ 的預期報酬率。
$R_f$ 是無風險利率。
$\beta_i$ 是資產 $i$ 的貝他係數，衡量資產相對於市場的系統性風險。
$E(R_m)$ 是市場的預期報酬率。
$(E(R_m) - R_f)$ 是市場風險溢價 (market risk premium)。

CAPM 模型建立在一些關鍵假設之上，包括：

1. 投資者是理性的、風險厭惡的，並在單一時期內進行投資決策。
2. 投資者能夠借貸無風險利率的資金，且借貸額度不受限制。
3. 投資者對資產報酬的預期是同質的（即所有投資者對預期報酬、風險和資產之間的協方差有相同的看法）。
4. 投資者選擇投資組合是基於預期報酬和風險（標準差）來進行的，並追求馬可維茲的均值-變異數最適化。
5. 市場是完全的，沒有交易成本、稅收，資訊是公開且即時傳遞的。

核心觀念

本題考的是「隨機折現因子（SDF）的報酬空間投影」與「最大夏普比率」的關係。關鍵在於：通常的夏普比率保留正負號，SDF 投影對應的是負方向；其夏普比率的絕對值達最大，但本身並非最大夏普比率。

設無風險資產的總報酬率為 $R_f>0$。有效的 SDF $m$ 必須滿足所有交易資產的定價條件：

$$E[mR]=1.$$

因為無風險資產可以交易，所以：

$$E[m]R_f=1 \quad\Rightarrow\quad E[m]=\frac{1}{R_f}.$$

投資組合 $R$ 的夏普比率定義為：

$$S(R)=\frac{E[R]-R_f}{\sigma(R)}.$$

分母為正，因此夏普比率的正負號取決於預期超額報酬。

解題方法

採用「投影的定價性質＋共變異數關係」，可以直接判斷投影所對應的夏普比率方向。

一、投影仍能對交易資產正確定價

令 $m^*$ 為 $m$ 在交易資產報酬所張成空間中的正交投影。投影殘差與此空間內的任一報酬 $R$ 正交，因此：

$$E[(m-m^*)R]=0 \quad\Rightarrow\quad E[m^*R]=E[mR]=1.$$

由於無風險報酬也在此空間中：

$$E[m^*]=\frac{1}{R_f}.$$

將定價條件改寫為：

$$1=E[m^*]E[R]+\operatorname{Cov}(m^*,R),$$

可得：

$$E[R]-R_f = -R_f\operatorname{Cov}(m^*,R).$$

這個負號就是本題的核心：報酬與 SDF 同方向變動時，預期超額報酬為負；與 SDF 反方向變動時，預期超額報酬為正。

二、求出夏普比率的上界

由柯西–施瓦茨不等式：

$$\left|\operatorname{Cov}(m^*,R)\right| \leq \sigma(m^*)\sigma(R).$$

因此，對所有具有非零標準差的投資組合：

本題考查增量現金流量的內部報酬率 (IRR) 計算，屬於資本預算決策問題。為了計算升級到新烤爐的 IRR，我們需要確定因此產生的增量現金流量。

首先，我們需要計算現有烤爐的稅後淨營運現金流量 (Net Operating Cash Flow, NCF)。
現有烤爐的原始成本為 $40,000，折舊年限為 10 年，無殘值。 每年折舊 =$40,000 / 10 年 = $4,000/年。 現有烤爐的稅後 EBITDA =$23,000/年。
稅前營運利潤 (EBIT) = EBITDA - 折舊 = $23,000 -$4,000 = $19,000/年。 稅金 = EBIT × 稅率 =$19,000 × 33% = $6,270/年。 稅後淨營運利潤 = EBIT - 稅金 =$19,000 - $6,270 =$12,730/年。
稅後淨營運現金流量 (NCF) = 稅後淨營運利潤 + 折舊 = $12,730 +$4,000 = $16,730/年。
這個現金流量是現有烤爐在未來 8 年（因為新烤爐的評估期是 8 年）將持續產生的。

接下來，我們需要計算新烤爐的稅後淨營運現金流量。
新烤爐的購買成本為 $60,000。 新烤爐的折舊年限為 8 年，無殘值。 每年折舊 =$60,000 / 8 年 = $7,500/年。 新烤爐預計產生 EBITDA =$35,000/年。
稅前營運利潤 (EBIT) = EBITDA - 折舊 = $35,000 -$7,500 = $27,500/年。 稅金 = EBIT × 稅率 =$27,500 × 33% = $9,075/年。 稅後淨營運利潤 = EBIT - 稅金 =$27,500 - $9,075 =$18,425/年。
新烤爐的稅後淨營運現金流量 (NCF) = 稅後淨營運利潤 + 折舊 = $18,425 +$7,500 = $25,925/年。
這個現金流量是新烤爐在未來 8 年將持續產生的。

現在，我們計算升級到新烤爐的增量現金流量 (Incremental Cash Flows)。
增量現金流量 = (新烤爐的 NCF) - (現有烤爐的 NCF)
增量 NCF = $25,925/年 -$16,730/年 = $9,195/年。
這個增量現金流量將持續 8 年，從現在開始（T=0）到第 8 年結束。

在 T=0 時，我們還需要考慮初始投資的增量現金流量：

1. 購買新烤爐的成本：-$60,000。
2. 出售現有烤爐獲得的現金：+$20,000。 （注意：這裡的出售現有烤爐的現金流是立即發生的，且是增量的，因為不買新烤爐就不會賣掉舊烤爐。我們假設舊烤爐的出售價格$20,000$已經包含了其稅務影響，或者說其帳面價值為$40,000 - 4,000 \times 2 = 32,000$，出售價$20,000$低於帳面價值，會有損失$32,000 - 20,000 = 12,000$，產生稅盾$12,000 \times 33% = 3,960$。但題目沒有給出舊烤爐的帳面價值，且通常在這種題目中，直接將出售價視為現金流入。如果題目沒有特別說明，我們假設出售現有烤爐的$20,000$ 是淨現金流入。）

所以，初始增量現金流量 (T=0) = -$60,000 (購買新烤爐) +$20,000 (出售舊烤爐) = -$40,000。

總結增量現金流量：

• T=0: -$40,000
• T=1 到 T=8: +$9,195/年

我們需要計算 IRR，即 IRR 使得這些增量現金流量的淨現值 (NPV) 為零。
NPV = -40,000 + $\sum_{t=1}^{8} \frac{9,195}{(1+IRR)^t} = 0$
-40,000 + $9,195 \times \frac{1 - (1+IRR)^{-8}}{IRR} = 0$
$\frac{1 - (1+IRR)^{-8}}{IRR} = \frac{40,000}{9,195} \approx 4.3502$

我們需要找到 IRR，使得年金現值因子 (PVIFA) 在 8 年期時約為 4.3502。
我們可以嘗試一些 IRR 值：

本題考查零息債券利率 (spot rates) 與年金現值計算，以及 NPV 的概念。題目給出了一系列不同期限的遠期利率 (forward rates)，但實際上我們需要的是不同期限的零息債券利率（spot rates）來折現未來現金流。題目中給出的利率通常是指該期限的零息債券利率（或近似值）。

我們需要計算一個支付 $1000 且持續 4 年的年金的現值，然後根據給定的成本和 NPV 來反推第四年的無風險利率。

首先，我們需要確定不同期限的零息債券利率 (spot rates)。題目提供的利率結構通常是指該期限的零息利率。
1 年期利率 $r_1 = 7.00\%$
2 年期利率 $r_2 = 6.80\%$
3 年期利率 $r_3 = 6.50\%$
4 年期利率 $r_4 = ?$ (未知，這是我們要找的)
5 年期利率 $r_5 = 5.00\%$
...

該投資支付 $1000 於未來四年結束時。這意味著在第 1 年末、第 2 年末、第 3 年末、第 4 年末各支付$1000。

投資的現值 (PV) 可以計算為：
$PV = \frac{1000}{(1+r_1)^1} + \frac{1000}{(1+r_2)^2} + \frac{1000}{(1+r_3)^3} + \frac{1000}{(1+r_4)^4}$

題目給出：
投資成本 = $3,266 NPV =$166

NPV 的定義是：$NPV = PV - 投資成本$
所以，$166 = PV - 3,266$
由此可得，該投資的現值 $PV = 166 + 3,266 = 3,432$。

現在我們有：
$3,432 = \frac{1000}{(1+0.07)^1} + \frac{1000}{(1+0.068)^2} + \frac{1000}{(1+0.065)^3} + \frac{1000}{(1+r_4)^4}$

我們需要計算前三項的現值：
第一年年末的現值 = $\frac{1000}{1.07} \approx 934.579$
第二年年末的現值 = $\frac{1000}{(1.068)^2} \approx \frac{1000}{1.139824} \approx 877.320$
第三年年末的現值 = $\frac{1000}{(1.065)^3} \approx \frac{1000}{1.194052} \approx 837.484$

前三年現金流的總現值 = $934.579 + 877.320 + 837.484 \approx 2649.383$

現在將其代入 PV 的公式：
$3,432 = 2649.383 + \frac{1000}{(1+r_4)^4}

本題考查投資組合的報酬率計算，包含融券賣出（short sell）以及投資貨幣市場工具。

首先，我們需要釐清投資者的總投資金額和投資組合的構成。
投資者擁有現金 $22,000。 決定融券賣出$2,000 價值的 MIT 股票。
融券賣出 $2,000 的 MIT 股票，意味著投資者先向券商借入價值$2,000 的 MIT 股票並賣出，獲得 $2,000 的現金。 然後，將這筆融券賣出的現金 ($2,000) 與原有的現金 ($22,000) 合併，總計$22,000 + $2,000 =$24,000。
這 $24,000 被投資於為期一年的美國國庫券，年利率為 4%。

在年底（T=1），投資者需要：

1. 償還國庫券的本金和利息。
2. 回補融券賣出的 MIT 股票。

我們來計算年底的總資產和總負債。

資產端 (Assets):

1. 國庫券的價值：
   初始投資於國庫券的金額為 $24,000。 一年後的價值 =$24,000 \times (1 + 0.04) = $24,000 \times 1.04 =$24,960。
   這是投資者在年底持有的現金資產。

2. MIT 股票的價值：
   題目給出了 MIT 股票的價格信息：
   $P_0$ (期初價格) = $45.00$Div_1$(期末股息) =$4.50
   $P_1$ (期末價格) = $49.50 這表示在年底，MIT 股票的市場價格是$49.50。
   然而，投資者在期初融券賣出了價值 $2,000 的 MIT 股票。 期初賣出的股票數量 =$2,000 / P_0 = $2,000 /$45.00 \approx 44.44$股。 在年底，投資者需要回補這些股票。 回補成本 = (期初賣出的股票數量) ×$P_1$回補成本 =$44.44 \times $49.50$。
   或者，更直接地，我們計算回補 $2,000$ 價值的股票在期初賣出時的數量。
   假設融券賣出的是一個固定數量的股票，價值 $2,000$。
   股票數量 = $2000 / 45 = 44.444...$ 股。
   在年底，回補這些股票的成本是 $44.444... \times 49.50$。
   回補成本 = $(2000/45) \times 49.50 = 2000 \times (49.50/45) = 2000 \times 1.1 = 2200$。
   這意味著回補股票的成本是 $2,200。

   更精確的理解： 投資者賣空 $2,000 的股票，這$2,000 是現金。在年底，他需要買回價值 $2,000 的股票（按照期初價格計算），但實際市場價格是$49.50。
   期初賣空股票的數量 $n = 2000 / 45$ 股。
   年底回補股票的成本 = $n \times P_1 = (2000/45) \times 49.50 = 2000 \times (49.50/45) = 2000 \times 1.1 = 2200$。
   所以，回補股票的成本是 $2,200。

   投資組合的總資產（年底）
   投資者在年底擁有的總現金資產是國庫券的價值。
   總資產 = $24,960。

負債端 (Liabilities):

1. 回補融券股票的成本：
   如上計算，回補股票的成本為 $2,200。

淨資產 (Net Worth):
投資組合在年底的淨資產 = 總資產 - 總負債
淨資產 = $24,960 -$2,200 = $22,760。

投資組合的總報酬率：
報酬率 = (年底淨資產 - 期初總投資) / 期初總投資
期初總投資是指投資者實際投入的現金，即 $22,000。融券賣出並未動用自己的現金。 所以，期初總投資 =$22,000。

報酬率 = ($22,760 -$22,000) / $22,000 報酬率 =$760 / $22,000 報酬率$\approx 0.034545...$

轉換為百分比：$0.034545 \times 100% \approx 3.45%

本題考查股利折現模型 (Dividend Discount Model, DDM)，特別是多階段成長模型，以計算永續成長率。

題目給出了以下信息：

• 股票要求報酬率 $r = 17\%$
• 目前股價 $P_0 =$77$
• 最近剛支付的股利 $D_0 =$7.70$(注意：題目說 "just paid a dividend of$7.70$，這通常是指$D_0$)
• 前 4 年的股利成長率 $g_1 = 15\%$ (從 $t=1$ 到 $t=4$)
• 第 4 年之後的股利成長率為常數 $Z\%$ (從 $t=5$ 開始)

我們需要找到 $Z$。

根據股利折現模型，股票的現值等於未來所有預期股利的現值總和。
由於股利成長分兩個階段：前 4 年是 15%，之後是常數成長 $Z\%$。這是一個兩階段成長模型。
股票的價格 $P_0$ 可以表示為：
$P_0 = \sum_{t=1}^{4} \frac{D_t}{(1+r)^t} + \frac{D_5 / (r-Z)}{ (1+r)^4 }$

首先，計算未來幾年的股利：
$D_0 = 7.70$
$D_1 = D_0 \times (1+g_1) = 7.70 \times (1+0.15) = 7.70 \times 1.15 = 8.855$
$D_2 = D_1 \times (1+g_1) = 8.855 \times 1.15 = 10.18325$
$D_3 = D_2 \times (1+g_1) = 10.18325 \times 1.15 = 11.7107375$
$D_4 = D_3 \times (1+g_1) = 11.7107375 \times 1.15 = 13.467348125$

接下來，計算前 4 年股利的現值 (PV of first 4 dividends)：
$PV_{1-4} = \frac{D_1}{(1+r)^1} + \frac{D_2}{(1+r)^2} + \frac{D_3}{(1+r)^3} + \frac{D_4}{(1+r)^4}$
$PV_{1-4} = \frac{8.855}{(1.17)^1} + \frac{10.18325}{(1.17)^2} + \frac{11.7107375}{(1.17)^3} + \frac{13.467348125}{(1.17)^4}$

計算各項現值：
$\frac{8.855}{1.17} \approx 7.568376$
$\frac{10.18325}{1.17^2} \approx \frac{10.18325}{1.3689} \approx 7.439126$
$\frac{11.7107375}{1.17^3} \approx \frac{11.7107375}{1.601613} \approx 7.309472$
$\frac{13.467348125}{1.17^4} \approx \frac{13.467348125}{1.873887} \approx 7.187770$

$PV_{1-4} \approx 7.568376 + 7.439126 + 7.309472 + 7.187770 \approx 29.504744$

現在，我們需要計算第 5 年及之後所有股利的現值，這部分是一個永續成長的部分。
根據永續成長模型，在 $t=4$ 時點的股票價值（即 $P_4$），假設從 $t=5$ 開始股利以常數 $Z$ 成長：