112 年 國立臺灣大學財務金融研究所丙組《財務管理》

本題考驗投資組合建構與指數編製的關係。題目提到，欲建構一個投資組合，其中包含「等數量」的股票。接著詢問，若要建構一個指數來追蹤此投資組合的績效，哪種類型的指數最適合。

指數的編製方式有數種，其中價值加權指數 (value-weighted index) 根據公司市值加權，如 S&P 500；

本題考驗投資組合理論中，兩資產最小變異數投資組合的預期報酬率計算。

已知資訊：
資產 A：預期報酬率 $E(R_A) = 20\%$，標準差 $\sigma_A = 20\%$
資產 B：預期報酬率 $E(R_B) = 10\%$，標準差 $\sigma_B = 15\%$
相關係數 $\rho_{AB} = 0$

兩資產投資組合的預期報酬率為：
$E(R_p) = w_A E(R_A) + w_B E(R_B)$
其中 $w_A + w_B = 1$。

兩資產投資組合的變異數為：
$\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{AB}$

由於 $\rho_{AB} = 0$，投資組合的變異數公式簡化為：
$\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2$

為求最小變異數投資組合，我們對 $w_A$ (或 $w_B$) 微分變異數公式並令其等於零。
令 $w_B = 1 - w_A$，則
$\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + (1-w_A)^2 \sigma_B^2$

核心觀念

• CAPM（Capital Asset Pricing Model）：在均衡的簡單 CAPM 世界，所有投資人皆面臨同樣的市場投資組合（Market Portfolio），且僅以兩個變數描述投資行為：
  1. 市場投資組合 $M$（包含全世界所有風險資產，權重比例為各資產的市值比）。
  2. 無風險資產 $R_f$（其報酬固定，不受市場波動影響）。
• 投資人的完整投資組合（Complete Portfolio）為:
  $C_i = w_i M + (1-w_i) R_f$
  其中 $w_i \in [0,1]$ 為投資人根據風險厭惡度所選的市場投資組合比例。
• 效率前緣（Efficient Frontier）：所有可由風險資產組成的投資組合之集合；在 CAPM 中，唯一位於效率前緣且同時是**所有投資人共同的最適風險資產（Tangent Portfolio）**的，就是市場投資組合 $M$。
• 單位風險報酬（Sharpe Ratio）：對任一風險資產 $j$，CAPM 的基本假設給予
  $\frac{E(R_j)-R_f}{\sigma_j}= \frac{E(R_M)-R_f}{\sigma_M}$
  即每單位風險的期望報酬在所有資產間相等，等於市場投資組合的 Sharpe Ratio。

解題方法

1. 釐清每一敘述在 CAPM 框架下的含意。
2. 依據 CAPM 的核心結論（市場投資組合是唯一的有效邊界切點、投資人只在 $M$ 與 $R_f$ 之間調配），判斷敘述是否符合。
3. 逐一比較四個敘述與選項，排除不符之處，最後找出唯一符合全部正確敘述的選項。

選項分析

敘述	正確性判斷	理由
I. All investors will choose to hold the market portfolio, which includes all risky assets in the world.	正確	在 CAPM 的均衡假設下，所有投資人皆以同樣的市場投資組合作為唯一的風險資產，無論其風險厭惡度如何，都會持有 $M$（只會在 $M$ 與無風險資產之間調配）。

核心觀念

本題考查財務管理中股票評價的兩大經典核心模型：

1. 資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）：
   用於評估承擔系統性風險（$\beta$）後，投資人對該資產所要求的必要報酬率（Required Rate of Return, $k$）：

   $$k = R_f + \beta \times [E(R_m) - R_f]$$

   其中：

   • $R_f$：無風險利率（Risk-free rate）
   • $E(R_m)$：市場投資組合的預期報酬率（Expected return on the market portfolio）
   • $[E(R_m) - R_f]$：市場風險溢酬（Market risk premium）
   • $\beta$：系統性風險指標（Beta）

2. 常數成長股利折現模型（Constant-Growth Dividend Discount Model, DDM / Gordon Growth Model）：
   當公司預期股利以固定比率 $g$ 永續成長，且必要報酬率 $k > g$ 時，股票的當前內在價值（Intrinsic Value, $P_0$）為：

   $$P_0 = \frac{D_1}{k - g}$$

   其中：

   • $D_1$：下一期預計發放的股利（Expected dividend in the upcoming year）
   • $g$：股利固定成長率（Constant growth rate of dividends）

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解題方法

本題為兩步驟標準計算題：

步驟一：由 CAPM 計算股權要求報酬率（$k$）

依據題幹給定資訊：

• 無風險利率 $R_f = 5\%$
• 市場預期報酬率 $E(R_m) = 17\%$
• 貝他值 $\beta = 0.75$

代入 CAPM 公式：

$$k = 5\% + 0.75 \times (17\% - 5\%)$$ $$k = 5\% + 0.75 \times 12\% = 5\% + 9\% = 14\% = 0.14$$

步驟二：利用常數成長 DDM 計算股票內在價值（$P_0$）

題幹敘述「expected to pay a dividend of $3 in the upcoming year」，明確指出該金額為下一期的預期股利，即 $D_1 =$$3。
已知股利成長率 $g = 8\% = 0.08$。

核心觀念

本題考查可轉換公司債的價值組成：

$$\text{可轉換公司債價值} = \text{普通公司債價值} + \text{轉換選擇權價值}$$

其中：

• 普通公司債價值：債券不具轉換權時的價值。
• 轉換價值：若立即轉換為普通股，所取得股票的市值。
• 轉換選擇權價值：投資人因擁有「可選擇轉換」權利而增加的價值。

由於兩債券除可轉換性外完全相同，債券 B 的價格可視為債券 A 的普通公司債價值。

解題方法

一、計算轉換選擇權價值

債券 B 不可轉換，因此其價格 $1,120 可視為相同債券的普通債價值。

債券 A 的價格為 $1,245，故轉換選擇權價值為：

$$\text{轉換選擇權價值} = 1,245-1,120 = 125$$

因此，敘述 I 正確。

二、判斷承諾到期殖利率的意義

債券 A 的承諾到期殖利率為 5.6%，低於債券 B 的 6.7%。

在其他條件相同下，債券 A 因附帶轉換選擇權，投資人願意接受較低的債券收益率，因此其價格會高於沒有轉換權的債券 B。

換言之：

• 債券 B 的價格 $1,120，主要反映普通債券價值。
• 債券 A 的價格 $1,245，包含普通債券價值與轉換選擇權價值。
• 債券 A 的較低殖利率，正是轉換權具有價值、推高債券價格的結果。

所以，敘述 II 所稱「債券 A 是按照普通債券價值而非轉換價值定價」並不正確。債券 A 的定價至少包含普通債券價值與轉換權價值，不能只視為普通債券。

因此，敘述 II 錯誤。

三、計算轉換價值與損益兩平

標準財務理論（如期望效用理論 Expected Utility Theory, EUT）假設投資者是理性的，其決策基於最大化期望效用。風險規避的投資者會呈現凹向原點的效用函數。

前景理論 (Prospect Theory) 由 Kahneman 和 Tversky 提出，挑戰了 EUT 的理性假設。前景理論認為，人們在面對風險時的決策並非基於絕對財富，而是基於「參照點」(reference point) 的得失。其核心特徵包括：

1. 價值函數 (Value Function)：

   • 參照依賴性 (Reference Dependence)：效用是根據相對於某個參照點的得失來判斷的，而非絕對財富水平。
   • 損失厭惡 (Loss Aversion)：人們對損失的痛苦程度大於對相同幅度收益的快樂程度。因此，價值函數在損失區域（負值）的斜率比在收益區域（正值）的斜率更大。函數在參照點 (0) 處是彎折的。
   • 邊際敏感度遞減 (Diminishing Sensitivity)：無論是收益還是損失，邊際效用都是遞減的。這意味著價值函數在參照點附近是陡峭的，離參照點越遠，斜率越平緩。

2. 機率權重函數 (Probability Weighting Function)：

   • 人們對機率的判斷並非嚴謹的數學機率，而是存在系統性偏差。
   • 低機率事件傾向於被高估（例如，買彩券）。
   • 中高機率事件傾向於被低估。

與標準財務理論的比較及圖示：

• 標準財務理論 (EUT)：效用函數是平滑的、凹向原點的函數，代表風險規避。它基於絕對財富。

• 前景理論：價值函數是「S」形狀的，在參照點 (0) 處有尖角（或至少是斜率急劇變化），並且在損失區域的斜率大於收益區域。它基於相對得失。

圖示說明：

本題考驗對利率期限結構 (Term Structure of Interest Rates) 的觀察與理論解釋。

觀察圖表的重要事實 (九分)：

圖表顯示了 1970 年至今的 10 年期美國公債殖利率、90 天期美國國庫券殖利率，以及兩者之差（即殖利率曲線的斜率）。

1. 平均而言，長期利率高於短期利率：觀察圖中「10-Year Treasuries」和「90-Day bills」的曲線，大部分時間裡，10 年期公債殖利率都位於 90 天期國庫券殖利率之上。這表示殖利率曲線通常是向上傾斜的 (upward-sloping)。
2. 殖利率曲線的斜率波動劇烈：兩條曲線之間的「Difference」曲線顯示了殖利率曲線斜率的劇烈變動。
   • 正斜率 (向上傾斜)：當 Difference > 0 時，表示 10 年期利率高於 90 天期利率，殖利率曲線向上傾斜。這段時期經濟可能預期穩健增長或通膨上升。
   • 負斜率 (向下傾斜，即殖利率曲線倒掛)：在某些時期（例如 1970 年代末、2000 年初、2007-2008 年金融危機前），Difference 變為負值，表示 10 年期利率低於 90 天期利率。這通常是經濟衰退的預警信號，市場預期未來短期利率將下降（因央行可能降息來刺激經濟），或預期通膨將下降。
   • 平坦化 (Flattening)：在某些時期，兩條曲線之間的差距縮小，表示殖利率曲線變得平坦。
3. 短期利率變動幅度大於長期利率：觀察 90 天期國庫券殖利率的波動，其起伏似乎比 10 年期公債殖利率更為劇烈。這反映了短期利率更容易受到中央銀行貨幣政策（如聯準會升降息）的直接影響。
4. 長期利率對經濟預期反應更為敏感：長期利率反映了對未來通膨、經濟增長以及未來短期利率的預期。圖中的長期利率變化（例如在 1980 年代初的高利率時期，或 2000 年代初的低利率時期）也與當時的宏觀經濟環境和政策預期緊密相關。

最能解釋這些事實的理論及其原因 (六分)：

最能解釋上述事實的理論是預期理論 (Expectations Theory)，特別是結合了流動性偏好理論 (Liquidity Preference Theory) 或市場分割理論 (Market Segmentation Theory)。

本題考驗對利率期限結構的理解，以及如何利用 NPV 和不同期限的利率來反推特定期限的利率。

已知資訊：
投資成本 = $3,500 年金現金流 =$1,000 (每年年底，共四年)
NPV = $190
利率期限結構：
1 年期：4.00%
2 年期：3.50%
3 年期：3.20%
5 年期：3.00%
8 年期：2.95%
10 年期：2.90%
20 年期：2.80%

NPV 的計算公式為：
$NPV = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r_t)^t} - \text{Initial Investment}$
其中 $CF_t$ 是第 t 年的現金流，$r_t$ 是第 t 年的即期利率 (zero-coupon rate)，而 $n$ 是年期。

在本題中，現金流為 $1,000，投資成本為$3,500，NPV 為 $190。 NPV = (第 1 年現金流的現值 + 第 2 年現金流的現值 + 第 3 年現金流的現值 + 第 4 年現金流的現值) - 投資成本$190 = \frac{1000}{(1+r_1)^1} + \frac{1000}{(1+r_2)^2} + \frac{1000}{(1+r_3)^3} + \frac{1000}{(1+r_4)^4} - 3500$

我們知道 1 年期、2 年期、3 年期的即期利率，但不知道 4 年期的即期利率 ($r_4$)。
我們需要先從給定的利率期限結構（年金利率或稱為遠期利率的組合，但通常題目提供的 EAR% 指的是該年期的零息利率）中，推導出不同年期的即期利率 (zero-coupon rates)。
通常，題目提供的「Rate (EAR%)」就是該年期的即期利率。
所以：
$r_1 = 4.00\% = 0.04$
$r_2 = 3.50\% = 0.035$
$r_3 = 3.20\% = 0.032$
我們需要找到 $r_4$。

將已知值代入 NPV 公式：

核心觀念

1. 一價法則（Law of One Price）與無套利定價（No-Arbitrage Pricing）：
   在效率且無摩擦的金融市場中，若兩個資產或投資組合在未來的現金流量完全相同，則兩者在市場上的價值（價格）必然相等；否則將存在無風險套利機會。
2. 價值加總法則（Value Additivity Principle）：
   若資產 $C$ 在各時點的現金流量恰好等於資產 $A$ 與資產 $B$ 的現金流量總和（即 $CF_t(C) = CF_t(A) + CF_t(B)$），則資產 $C$ 的現值必等於資產 $A$ 與資產 $B$ 的現值總和：
   $V(C) = V(A) + V(B)$
3. 即期現金流之現值（Present Value of Immediate Cash Flow）：
   於當期（$t = 0$）發生的現金流量無須經過時間折現，其當前價值即等於該筆現金流量之面額本身。

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解題方法

步驟一：分析各證券之現金流量結構並建構複製投資組合

根據題目所附表格，列出三檔證券在今天（$t = 0$）與一年後（$t = 1$）的現金流量：

證券名稱	今天現金流（$CF_0$）	一年後現金流（$CF_1$）
Snorlax	0	200
Piplup	200	0
Eevee	200	200

觀察現金流量關係可知，在所有時點 $t \in \{0, 1\}$ 下，證券 Eevee 的現金流量均滿足：
$CF_t(\text{Eevee}) = CF_t(\text{Piplup}) + CF_t(\text{Snorlax})$

• $t = 0$：$200 = 200 + 0$
• $t = 1$：$200 = 0 + 200$

本題考驗債券定價、有效年報酬率計算以及資金籌集問題。

首先，我們需要理解兩點：

1. 兩 bonds 提供相同的「effective yield」（有效年報酬率）。
2. Bond Gible 是 discount bond，Coupon Rate 較低 (5.50% semiannual)，Bond Gengar 是 par bond，Coupon Rate 較高 (10% semiannual)。

步驟 1：確定 Bond Gengar 的市場價格。
Bond Gengar 以 $1,000 的 par value 發行，並有 10Coupon Rate = 10Semiannual coupon payment = 0.05 *$1,000 = $50。 由於 Bond Gengar 是以 par value 發行，且沒有提到其他影響價格的因素，我們可以假設 Bond Gengar 的價格就是其面額$1,000。

步驟 2：確定 Bond Gengar 的 semiannual yield to maturity (YTM)。
如果 Bond Gengar 的價格是 $1,000，且 semiannual coupon 是$50，那麼其 semiannual YTM 就是 coupon rate。
Semiannual YTM = 5%。

步驟 3：計算 Bond Gengar 的 effective annual yield (EAR)。
EAR = $(1 + \frac{YTM}{m})^m - 1$
其中 YTM 是名目年報酬率，m 是每年付息次數。
對於 semiannual payment，m = 2。
EAR(Gengar) = $(1 + \frac{0.10}{2})^2 - 1 = (1 + 0.05)^2 - 1 = (1.05)^2 - 1 = 1.1025 - 1 = 0.1025$ 或 10.25%。

步驟 4：確定 Bond Gible 的 semiannual yield to maturity (YTM)。
題目說兩 bonds 提供相同的 effective yield。所以 Bond Gible 的 effective annual yield (EAR) 也必須是 10.25%。
EAR(Gible) = 10.25% = 0.1025。
我們需要計算 Bond Gible 的 semiannual YTM。
$(1 + \frac{YTM_{Gible, semi}}{2})^2 - 1 = 0.1025$
$(1 + \frac{YTM_{Gible, semi}}{2})^2 = 1.1025$
$1 + \frac{YTM_{Gible, semi}}{2} = \sqrt{1.1025} = 1.05$
$\frac{YTM_{Gible, semi}}{2} = 0.05$
$YTM_{Gible, semi} = 0.10$ 或 10%。

這意味著 Bond Gible 的 semiannual YTM 是 10%。

本題考驗多階段股利折現模型 (Multi-stage Dividend Discount Model) 的應用，特別是後續的恆定成長模型。

已知資訊：
股價 $P_0 =$$60
剛支付的股利 $D_0 =$$2.20
要求報酬率 $k_e = 10\%$
前 4 年股利成長率 $g_1 = 25\%$ (for t=1, 2, 3, 4)
第 4 年之後股利成長率為恆定成長率 $g_2 = Y\%$ (for t > 4)

多階段股利折現模型的基本思想是，股票的價值是未來所有股利現金流的現值。
$P_0 = \sum_{t=1}^{4} \frac{D_t}{(1+k_e)^t} + \frac{P_4}{(1+k_e)^4}$
其中 $P_4$ 是第 4 年年底的股票價格。

根據恆定成長模型，第 4 年年底的股票價格 $P_4$ 可以用第 5 年預期股利 $D_5$ 和成長率 $g_2$ 來計算：
$P_4 = \frac{D_5}{k_e - g_2}$

首先，我們需要計算未來幾年的股利：
$D_1 = D_0 (1+g_1) = 2.20 \times (1+0.25) = 2.20 \times 1.25 =$$2.75
$D_2 = D_1 (1+g_1) = 2.75 \times 1.25 =$$3.4375
$D_3 = D_2 (1+g_1) = 3.4375 \times 1.25 =$$4.296875
$D_4 = D_3 (1+g_1) = 4.296875 \times 1.25 =$$5.37109375

接下來，計算 $D_5$。$D_5$ 是基於 $D_4$ 加上恆定成長率 $g_2$：
$D_5 = D_4 (1+g_2) = 5.37109375 \times (1+Y\%)$

現在，將這些代入 $P_0$ 的公式：
$P_0 = \frac{D_1}{(1+k_e)^1} + \frac{D_2}{(1+k_e)^2} + \frac{D_3}{(1+k_e)^3} + \frac{D_4}{(1+k_e)^4} + \frac{P_4}{(1+k_e)^4}$
$P_0 = \frac{D_1}{(1.10)^1} + \frac{D_2}{(1.10)^2} + \frac{D_3}{(1.10)^3} + \frac{D_4}{(1.10)^4} + \frac{D_5 / (k_e - g_2)}{(1.10)^4}$

代入已知數值：$P_0 = 60$, $k_e = 0.10$, $D_1=2.75, D_2=3.4375, D_3=4.296875, D_4=5.37109375$。
$60 = \frac{2.75}{1.10} + \frac{3.4375}{1.10^2} + \frac{4.296875}{1.10^3} + \frac{5.37109375}{1.10^4} + \frac{D_5}{(0.10 - Y\%) \times (1.10)^4}$

計算前四年股利的現值 (PV of first 4 dividends)：
PV(D1) = $2.75 / 1.10 = 2.50$

核心觀念

本題評估企業併購案的投資效益，核心在於利用折現現金流量法（Discounted Cash Flow, DCF）評估目標公司之價值，進而計算併購的淨現值（Net Present Value, NPV）。主要涉及以下重要公式與定義：

1. 自由現金流量（Free Cash Flow to Firm, FCFF / Unlevered FCF）：

   $$\text{FCF}_t = \text{EBIT}_t \times (1 - T_c) + \text{Depreciation}_t - \text{Capital Spending}_t - \Delta\text{NWC}_t$$

   其中：

   • $\text{EBIT}_t \times (1 - T_c)$ 為稅後營業淨利（Net Operating Profit After Tax, NOPAT）
   • $\text{Depreciation}_t$ 為折舊費用（非現金支出，需加回）
   • $\text{Capital Spending}_t$ 為資本支出（現金流出，需扣除）
   • $\Delta\text{NWC}_t$ 為淨營運資金增加額（現金流出，需扣除）

2. 目標公司現值（Present Value of Target Firm, PV）：
   目標公司的總價值等於預測期各期現金流量的現值，加上預測期末的終端價值（Terminal Value, $\text{TV}_n$）現值：

   $$\text{PV} = \sum_{t=1}^{n} \frac{\text{FCF}_t}{(1 + r)^t} + \frac{\text{TV}_n}{(1 + r)^n}$$

3. 併購淨現值（NPV of Acquisition）：

   $$\text{NPV} = \text{目標公司現值 (PV)} - \text{併購成本 (Acquisition Cost)}$$

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解題方法與計算步驟

步驟一：計算第 1 年至第 3 年的自由現金流量（FCF）

適用稅率 $T_c = 32\%$，故稅後保留比例為 $1 - T_c = 1 - 0.32 = 0.68$。

• Year 1：

  $$\text{NOPAT}_1 = 415,000 \times 0.68 = 282,200$$ $$\text{FCF}_1 = 282,200 + 50,000 - 59,000 - 9,000 = 264,200$$

• Year 2：

  $$\text{NOPAT}_2 = 425,000 \times 0.68 = 289,000$$ $$\text{FCF}_2 = 289,000 + 42,000 - 49,000 - 7,000 = 275,000$$

• Year 3：

  $$\text{NOPAT}_3 = 435,000 \times 0.68 = 295,800$$ $$\text{FCF}_3 = 295,800 + 39,200 - 39,000 - 5,000 = 291,000$$

核心觀念

本題主要測驗**放空機制（Short Sale）與投資組合報酬率（Portfolio Return on Equity）**的計算：

1. 放空的現金流與義務：
   • 放空者於期初借入股票賣出獲得現金，期末必須於市場買回股票歸還出借人（平倉）。
   • 代墊股利義務：在放空期間若股票發放股利，放空者必須自掏腰包支付等額現金股利補償給出借人。因此期末回補每股總成本為 $P_1 + \text{Div}_1$。
2. 自有資金報酬率（Return on Equity, ROE）：
   投資組合報酬率是以投資人期初投入的**自有資金（Equity Capital）**為計算基準： $$R_p = \frac{\text{期末投資組合淨值} - \text{期初自有資金}}{\text{期初自有資金}}$$
3. 投資組合權重關係：
   若以權重法求解，以自有資金為分母，總權重和必為 $1$。放空資產權重為負值（$w < 0$），而將放空所得連同自有資金投資於無風險資產時，無風險資產權重將大於 $1$（$w > 1$）。

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解題方法

本題可採用「現金流與期末淨值法」或「投資組合權重法」求解，兩者推導如下：

方法一：現金流與期末淨值法（推薦，最直觀不易出錯）

1. 期初配置（$t=0$）：

   • 自有現金：$16,000
   • 放空 OMG 股票所得：$6,000
   • 放空股數： $$\text{放空股數} = \frac{\$6,000}{\$30.00} = 200 \text{ 股}$$
   • 國庫券（T-bills）投資總額： $$\$16,000 + \$6,000 = \$22,000$$

2. 期末清算（$t=1$）：

   • 國庫券到期本利和： $$\$22,000 \times (1 + 5\%) = \$22,000 \times 1.05 = \$23,100$$
   • 放空部位回補總成本（買回股票成本＋代墊股利）： $$200 \times (P_1 + \text{Div}_1) = 200 \times (\$38.00 + \$1.50) = 200 \times \$39.50 = \$7,900$$
   • 投資組合期末淨值（Ending Equity）： $$\text{期末淨值} = \$23,100 - \$7,900 = \$15,200$$

3. 計算投資組合報酬率：

   $$R_p = \frac{\$15,200 - \$16,000}{\$16,000} = \frac{-\$800}{\$16,000} = -0.05 = -5.00\%$$

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方法二：投資組合權重法（資產定價法）

1. 計算各項資產的報酬率：
   • 國庫券報酬率：$r_f = 5\%$
   • OMG 股票持有期報酬率（多頭視角）：

核心觀念

• 流動比率 (Current Ratio)：$\displaystyle CR=\frac{\text{流動資產}}{\text{流動負債}}$。
• 股東權益報酬率 (ROE)：$\displaystyle ROE=\frac{\text{淨利}}{\text{普通股權益}}$。
• 庫存減少的資金用途：庫存出售產生現金，若全部用於回購普通股（按帳面價值），普通股權益會減少，同時流動資產總額也會因庫存減少而下降。

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解題方法

1. 計算原始流動比率

$$CR_{0}= \frac{14,000+70,000+250,000}{42,000+28,000} =\frac{334,000}{70,000}=4.7714$$

2. 設定目標流動比率
   目標 $CR^{*}=2.25$。設庫存減少金額為 $\Delta$。
   庫存減少後，現金先增加 $\Delta$（庫存出售），再全部用於回購普通股，使現金回到原始 14,000。
   因此 流動資產 只會因庫存本身的減少而減少 $\Delta$：

$\text{流動資產}_{\text{new}} = 334,000-\Delta$

目標條件：

$\frac{334,000-\Delta}{70,000}=2.25$

解得

$$334,000-\Delta = 157,500\quad\Longrightarrow\quad \Delta = 334,000-157,500 = 176,500$$

3. 更新資產負債表

   • 庫存：$250,000-\Delta = 73,500$
   • 現金：仍為 14,000（先增後減抵消）

本題考驗資本預算決策中的增量現金流分析、內部報酬率 (IRR) 計算以及決策判斷。

核心是分析「升級到新烤盤」所帶來的「增量現金流」(Incremental Cash Flows)。
增量現金流 = 新烤盤帶來的現金流 - 現有烤盤帶來的現金流。

步驟 1：計算新烤盤的現金流。
購買新烤盤的成本：-$100,000 (在第 0 年，即現在)。 新烤盤的年折舊：$100,000 / 8 年 = $12,500$。
新烤盤的年 EBITDA：$55,000$。
新烤盤的年 EBIT：EBIT = EBITDA - Depreciation = $55,000 - 12,500 =$$42,500。
新烤盤的年稅後 EBIT (NOPAT)：NOPAT = EBIT * (1 - Tax Rate) = $42,500 \times (1 - 0.35) = 42,500 \times 0.65 =$$27,625。
新烤盤的年自由現金流 (FCF)：FCF = NOPAT + Depreciation = $27,625 + 12,500 =$$40,125。
這筆 FCF 持續 8 年 (從第 1 年到第 8 年)。

步驟 2：計算現有烤盤的現金流。
現有烤盤的殘值：$30,000$ (在第 0 年，即現在，出售現有烤盤的現金)。
現有烤盤的年 EBITDA：$33,000$。
現有烤盤的年折舊：這個需要計算。現有烤盤兩年前購買，總使用年限 10 年，無殘值。
兩年前購買時的成本 = $60,000$。
已使用年限 = 2 年。
每年折舊 = $60,000 / 10 年 =$6,000$。 已提列折舊 =$6,000 \times 2 年 = $12,000$。
現有烤盤的帳面價值 (Book Value) = $60,000 - 12,000 =$$48,000。

出售現有烤盤的現金流分析：
出售價格 = $30,000$。
帳面價值 = $48,000$。
出售損失 = $30,000 - 48,000 = -$$18,000。
因為有損失，所以可以節省稅款 (Tax Shield on Loss)。
稅盾 = 損失 × 稅率 = $18,000 \times 0.35 =$$6,300。
出售現有烤盤的淨現金流 (在第 0 年) = 出售價格 + 稅盾 = $30,000 + 6,300 =$$36,300。

現有烤盤的年 EBIT：$33,000$。
現有烤盤的年折舊：$6,000$。
現有烤盤的年 EBIT：$33,000$。
現有烤盤的年稅後 EBIT (NOPAT)：NOPAT = EBIT * (1 - Tax Rate) = $33,000 \times (1 - 0.35) = 33,000 \times 0.65 =$$21,450。
現有烤盤的年自由現金流 (FCF)：FCF = NOPAT + Depreciation = $21,450 + 6,000 =$$27,450。
這筆 FCF 持續 8 年 (從第 1 年到第 8 年)，因為新的烤盤使用年限是 8 年，我們比較的是這 8 年的增量。

步驟 3：計算增量現金流 (Incremental Cash Flows)。
增量現金流 = 新烤盤 FCF - 現有烤盤 FCF。

• 第 0 年 (現在)：
  增量現金流 = (新烤盤購買成本) + (出售現有烤盤的淨現金流)
  增量現金流 = $-$$$100,000 +$$$36,300 = -$$63,700。

• 第 1 年至第 8 年 (每年)：
  增量現金流 = 新烤盤 FCF - 現有烤盤 FCF
  增量現金流 = $$40,125 -$$$27,450 =$$12,675。

步驟 4：計算 IRR。
我們有一個初始的現金流出 -$63,700，然後是 8 年每年$12,675 的現金流入。
IRR 是使這些增量現金流的 NPV 等於零的折現率。
$NPV = -63,700 + \sum_{t=1}^{8} \frac{12,675}{(1+IRR)^t} = 0$