111 年 國立臺灣大學財務金融研究所甲組《財務管理》

此題組為是非題，主要測試考生對效率市場假說、MM理論、以及Pecking Order Theory等資本結構相關理論的理解。

(1) 【X】在效率市場中，證券價格應反映所有公開資訊，但這不代表價格「等於」其基本價值。市場價格是資訊的隨機變動與投資人預期所共同決定的，可能短期內會偏離基本價值，但效率市場的假設是價格會快速且準確地反映新資訊，使其趨近於基本價值。
(2) 【T】在效率市場中，由於價格已充分反映資訊，試圖去預測市場時機（timing the market）來進行證券發行或交易，通常難以獲得超額報酬。因此，當市場效率高時，不需要特別擇時。
(3) 【X】效率市場假說並不要求所有市場參與者都是理性的。即使存在一些非理性投資者，只要有足夠的理性套利者存在，他們就能夠在價格偏離基本價值時進行套利，將價格拉回至反映基本價值的水平。
(4) 【T】隨機漫步理論（Random Walk Theory）認為股價的變動是隨機的，無法預測。這與半強式效率市場（semi-strong form efficient market）的觀念一致，即股價已反映所有公開資訊，因此僅能依賴未公開的資訊或隨機的市場衝擊來預測股價變動。
(5) 【X】價格漲跌幅限制（Price Limits）通常是為了抑制市場波動，但實際上可能阻礙價格快速反映新資訊，反而降低了市場效率。
(6) 【X】MM理論（Modigliani-Miller Theorem）在討論無稅、無交易成本、無代理問題的理想情況下，得出資本結構與公司價值無關的結論。然而，現實中代理問題（agency problems）是存在的，MM理論的無代理問題假設是為了簡化模型，並非認為現實中不存在。

此題組為是非題，主要測試考生對股利政策相關理論，包括MM理論、自由現金流假說、庫藏股以及成長機會與股利政策關係的理解。

(13) 【T】根據MM理論，在沒有稅負差異、交易成本、資訊不對稱等扭曲因素的理想情況下，公司的股利政策對公司價值沒有影響。投資者可以透過自行調整持股比例（賣出或買入股票）來「自製」他們想要的現金流，因此他們可以自製個人的股利政策，不受公司股利政策的影響。
(14) 【X】自由現金流假說（Free Cash Flow Hypothesis）認為，公司若有過多的自由現金流（即扣除所有正的NPV專案後剩餘的現金），可能會被管理者用於低效率的投資，從而產生代理問題。支付現金股利或進行庫藏股（share repurchase）都是將現金返還給股東的方式，可以減少可供管理者濫用的自由現金流，從而降低代理問題。然而，該假說通常認為「支付現金股利」是更直接且有效減少股權代理問題的方式，因為它直接將現金分配出去，而舉債（raising debts）則可能增加公司的財務風險，並非直接解決股權代理問題。

此題組為是非題，主要測試考生對營運資金管理（Working Capital Management）相關概念的理解，包括現金轉換週期、議價能力、庫存持有成本以及短期融資策略。

(17) 【X】現金轉換週期（Cash Conversion Cycle, CCC）衡量公司從支付原物料採購款項到收到客戶貨款之間的平均天數。其公式為：CCC = 存貨週轉天數 + 應收帳款週轉天數 - 應付帳款週轉天數。若CCC為負數，表示公司支付給供應商的款項時間，長於從客戶收到貨款的時間，這代表公司能夠利用供應商提供的信用（應付帳款）來為其營運提供資金，通常是一種有利的狀況，有助於提高資金效率，而非面臨流動性問題。流動性問題通常與CCC過長、應收帳款週轉緩慢、或現金不足有關。
(18) 【T】若公司對其客戶的議價能力較低（low bargaining power than its customers），表示客戶可能要求較長的付款期限（即較長的應收帳款週轉天數），或者客戶對價格有較大的影響力，導致公司較難以快速收回款項。

核心觀念
本題考查「市場投資組合（Market Portfolio）之再平衡」概念。當投資組合已滿額（全部資金 $100,000 都投入市場組合）且個別股票價格變動時，投資人必須 同時買入與賣出 其他股票，以使每支股票在投資組合中的 相對權重（即佔整體投資金額的比例）保持不變。

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(a) 為何必須同時買進與賣出？

1. 市場投資組合的定義：在均衡狀態下，投資者持有的每一支證券的比例等於該證券在整個市場總值中的比例。
2. 價格變動的影響：若其中一支股票價格下降（本例中 Weezing Corp. 價格跌至 $5.15），其市值在組合中佔的比例會低於原本的市場比例。若不調整，投資組合將失去「市場權重」的特性。
3. 再平衡的目標：保持組合的總投資額仍為 $100,000，且每支股票的 美元價值 與原先的市場權重相同。這意味著必須 買回 低估的股票（Weezing），同時 賣出 其他股票以提供資金。

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(b) 計算所需交易量的步驟（概念說明）

1. 先假設原始持有的市場權重
   假設投資組合原先已完全符合市場權重，故每支股票的美元持有額為
   $V_i = w_i \times 100,000$
   其中 $w_i$ 為該股票在市場中的佔比。

2. 計算 Weezing 價格變動後的市值

   • 先知道原先持有的 股數 $q_{\text{orig}}$（題目未直接給出），但我們只需要「為了恢復原來的市值」而 再購買 約 140 股。
   • 新股價 $P_{\text{new}} = 5.15$，因此所需購買的金額為
     $\Delta V_{\text{Weezing}} = 140 \times 5.15 \approx \$721$

3. 確保總投資額仍為 $100,000

   • 為取得這

核心觀念

1. 純粹業務法（Pure-Play Approach）：
   當公司評估一項與現有本業風險不同之新投資專案時，應尋找專營該業務的標竿公司（Pure-play firm），藉由該公司的資產貝他（Asset Beta，即無槓桿貝他 $\beta_U$ 或 $\beta_A$）來衡量專案所面臨之真實營運風險（Business Risk）。
2. 資產貝他公式（含負債貝他）：
   在未給定所得稅率（視為無稅環境或直接按市場價值組合拆解）且標竿公司之負債具有系統性風險（$\beta_D > 0$）時，資產貝他為股權貝他與負債貝他的市值加權平均：
   $\beta_A = \frac{E}{V}\beta_E + \frac{D}{V}\beta_D$
   其中 $E$ 為股權市值、$D$ 為負債市值、$V = E + D$ 為公司總市值。
3. 資本資產定價模型（CAPM）：
   專案採全權益融資（All-equity financed），其必要報酬率即為專案之資產資本成本（Cost of Capital, $r_A$）：
   $r_A = r_f + \beta_A \times [E(R_M) - r_f]$

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解題方法

步驟一：計算標竿公司（Hoothoot Inc.）之市場價值結構

• 股權市值（$E$）：
  $E = \text{每股股價} \times \text{流通在外股數} = \$20 \times 26\text{ 百萬股} = \$520\text{ 百萬}$
• 負債市值（$D$）：
  $D = \$300\text{ 百萬}$
• 公司總市值（$V = E + D$）：
  $V = \$520\text{ 百萬} + \$300\text{ 百萬} = \$820\text{ 百萬}$
• 股權與負債市值比重：
  $\frac{E}{V} = \frac{520}{820} = \frac{26}{41}, \quad \frac{D}{V} = \frac{300}{820} = \frac{15}{41}$

步驟二：計算標竿公司的資產貝他值（$\beta_A$）

已知標竿公司的股權貝他 $\beta_E = 1.23$、負債貝他 $\beta_D = 0.05$：
$\beta_A = \left(\frac{520}{820}\right) \times 1.23 + \left(\frac{300}{820}\right) \times 0.05$
$\beta_A = \frac{520 \times 1.23 + 300 \times 0.05}{820} = \frac{639.6 + 15}{820} = \frac{654.6}{820} \approx 0.798293$

核心觀念

• CAPM 公式：$\displaystyle E[R_i]=R_f+\beta\bigl(R_m-R_f\bigr)$，其中 $R_f$ 為無風險利率，$R_m$ 為市場報酬，$\beta$ 為資產對市場的敏感度。
• Beta 的估計：以歷史超額報酬作樣本，用最小平方法得到 $\displaystyle \beta=\frac{\operatorname{Cov}(R_i-R_f,\;R_m-R_f)}{\operatorname{Var}(R_m-R_f)}$。
• Alpha 的定義：$\displaystyle \alpha_i=R_i^{\text{實際}}-E[R_i]$，衡量資產實際報酬與 CAPM 預測之差。

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解題方法

1. 計算每年的超額報酬

年度	$R_f$	$R_m$	$R_i$	$R_i-R_f$ (Jason)	$R_m-R_f$ (Market)
2001	2.00%	5.00%	6.50%	$6.50\%-2.00\%=4.50\%$	$5.00\%-2.00\%=3.00\%$
2002	1.30%	-23.33%	-28.88%	$-28.88\%-1.30\%=-30.18\%$	$-23.33\%-1.30\%=-24.63\%$
2003	1.10%	19.99%	20.66%	$20.66\%-1.10\%=19.56\%$	$19.99\%-1.10\%=18.89\%$

2. 求出超額報酬的樣本均值

$\bar{R}_i^{ex}= \frac{4.50\%-30.18\%+19.56\%}{3} = -2.04\%$

$\bar{R}_m^{ex}= \frac{3.00\%-24.63\%+18.89\%}{3}= -0.913\%$

3. 計算 $\beta$（樣本共變異與變異）

本題要求對四種不同債券的價格敏感度進行排序，從最低到最高。債券價格對利率變動的敏感度主要取決於以下兩個因素：

1. 到期年限 (Maturity)： 到期年限越長，債券價格對利率變動越敏感。
2. 票面利率 (Coupon Rate)： 票面利率越低，債券價格對利率變動越敏感（因為較大比例的現金流來自遠期的一次性本金償還）。零息債券（Coupon = 0%）對利率變動最敏感。

核心觀念： 債券的存續期間 (Duration) 是衡量債券價格對利率變動敏感度的一個重要指標。存續期間越長，債券價格的變動幅度越大。

計算步驟：

我們需要計算每種債券的價格對利率變動的敏感度。這通常通過計算債券的 Macaulay Duration 或 Modified Duration 來實現。然而，題目要求的是「rank the bonds based upon the sensitivity」。我們可以直接根據到期年限和票面利率的原則來判斷，或者計算一個近似的敏感度。

一般原則判斷：

• 債券 A： 到期 2 年，零息債券。到期年限短，但零息債券對利率變動非常敏感。
• 債券 B： 到期 6 年，票面利率 7.5%。到期年限中等，票面利率也中等。
• 債券 C： 到期 18 年，票面利率 15.00%。到期年限長，但票面利率很高。高票面利率會降低對利率變動的敏感度。
• 債券 D： 到期 20 年，票面利率 8.00%。到期年限最長，票面利率中等。

比較敏感度：

1. 到期年限長 vs. 票面利率高：

   • 債券 C (18年, 15%) vs. 債券 D (20年, 8%)：
     債券 D 的到期年限更長，但債券 C 的票面利率遠高於債券 D。高票面利率會大幅降低敏感度。通常，非常高的票面利率（如 15%）可以顯著抵銷長年限的影響。
   • 債券 A (2年, 0%) vs. 債券 B (6年, 7.5%)：
     債券 A 是零息債券，到期年限短。債券 B 是有息債券，到期年限稍長。零息債券的敏感度通常高於有息債券，即使有息債券的年限稍長。

2. 綜合比較：

   • 債券 A (2年, 0%)： 雖然年限短，但零息債券的敏感度非常高。
   • 債券 B (6年, 7.5%)： 年限和票面利率適中。
   • 債券 C (18年, 15%)： 年限長，但票面利率極高，這會大大降低敏感度。
   • 債券 D (20年, 8%)： 年限最長，票面利率適中，預計敏感度最高。

初步判斷敏感度順序（由低到高）：

• C (長年限但高票息)
• B (中等年限和票息)
• A (短年限但零息)
• D (最長年限且票息適中)

精確計算 Duration (Macaulay Duration) 或 Modified Duration：
Modified Duration 可以直接近似價格變動的百分比。
$Modified Duration \approx - \frac{\Delta P / P}{\Delta YTM}$

對於債券，Modified Duration 的計算公式為：
$MD = \frac{MacD}{1 + YTM/k}$
其中 $k$ 是每年付息次數（本題為 annual coupons, k=1）。
$MacD = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t \times C_t}{(1+YTM)^t} + \frac{n \times FV}{(1+YTM)^n}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+YTM)^t} + \frac{FV}{(1+YTM)^n}}$
其中 $C_t$ 是第 t 年的現金流，$FV$ 是面值（假設為 1000），$n$ 是年限，$YTM$ 是到期殖利率。

我們假設面值 FV = 1000。

債券 A (2年, 0%, YTM=6%)
這是零息債券，其 Macaulay Duration 等於到期年限，MacD = 2。
$MD_A = \frac{2}{1 + 0.06/1} = \frac{2}{1.06} \approx 1.887$

債券 B (6年, 7.5%, YTM=8%)
票息 $C = 0.075 \times 1000 = 75$
$PV = \frac{75}{(1.08)^1} + \frac{75}{(1.08)^2} + \dots + \frac{75}{(1.08)^6} + \frac{1000}{(1.08)^6}$
$PV = 75 \times \frac{1 - (1.08)^{-6}}{0.08} + \frac{1000}{(1.08)^6}$
$PV = 75 \times 5.20637 + \frac{1000}{1.58687} \approx 390.48 + 630.17 = 920.65$
MacD_B = $\frac{\sum_{t=1}^{6} \frac{t \times 75}{(1.08)^t} + \frac{6 \times 1000}{(1.08)^6}}{920.65}$
計算 $\sum_{t=1}^{6} \frac{t \times 75}{(1.08)^t}$：
t=1: 75/1.08 = 69.44
t=2: 275/(1.08)^2 = 150/1.1664 = 128.60
t=3: 375/(1.08)^3 = 225/1.2597 = 178.61
t=4: 475/(1.08)^4 = 300/1.3605 = 220.50
t=5: 575/(1.08)^5 = 375/1.4693 = 255.22
t=6: 6*75/(1.08)^6 = 450/1.5869 = 283.58
Sum of numerators for t=1 to 6 = 69.44 + 128.60 + 178.61 + 220.50 + 255.22 + 283.58 = 1135.95
Numerator for t=6 term of PV = 6 * 1000 / (1.08)^6 = 6000 / 1.58687 = 3781.06
MacD_B = (1135.95 + 3781.06) / 920.65 = 4917.01 / 920.65 ≈ 5.340

本題要求計算公司債的「髒價」（dirty price）或稱「現金價」（cash price）。髒價包含了應計利息（accrued interest），而淨價（clean price）則不包含。

核心觀念：
髒價 (Dirty Price) = 淨價 (Clean Price) + 應計利息 (Accrued Interest)

計算步驟：

1. 計算債券的淨價 (Clean Price)：
   債券的淨價是其未來所有現金流（票息和本金）的現值，使用到期殖利率（YTM）進行折現。

   • 面值 (Face Value, FV) = $1000
   • 年票息率 (Annual Coupon Rate) = 11%
   • 半年度票息率 (Semiannual Coupon Rate) = 11% / 2 = 5.5%
   • 每期票息 (Semiannual Coupon Payment, C) = 5.5% * $1000 =$55
   • 到期年限 (Years to Maturity) = 10 年
   • 半年度期數 (Number of Semiannual Periods, n) = 10 年 * 2 = 20 期
   • 年到期殖利率 (Annual YTM) = 8%
   • 半年度到期殖利率 (Semiannual YTM, y) = 8% / 2 = 4% = 0.04

   淨價 (Clean Price) 的計算公式：
   $P_{clean} = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{FV}{(1+y)^n}$
   $P_{clean} = C \times \left[ \frac{1 - (1+y)^{-n}}{y} \right] + \frac{FV}{(1+y)^n}$
   $P_{clean} = 55 \times \left[ \frac{1 - (1+0.04)^{-20}}{0.04} \right] + \frac{1000}{(1+0.04)^{20}}$
   $P_{clean} = 55 \times \left[ \frac{1 - (1.04)^{-20}}{0.04} \right] + \frac{1000}{(1.04)^{20}}

核心觀念

本題評量**多階段股利折現模型（Multistage Dividend Discount Model, DDM）與內部成長率（Internal Growth Rate）**之整合應用。核心觀念與公式如下：

1. 盈餘與股利之動態關係：
   • 每期盈餘保留率為 $b_t$，股利發放率為 $(1 - b_t)$。
   • 每股股利：
     $Div_t = EPS_t \times (1 - b_t)$
2. 盈餘成長率公式：
   • 當保留盈餘全數再投資於預期報酬率為 $\text{ROE}$（或稱新投資報酬率 $\text{ROI}$）之專案時，下一期的盈餘成長率由當期的保留盈餘率決定：
     $g_t = b_t \times \text{ROE}$
   • 次期每股盈餘：
     $EPS_{t+1} = EPS_t \times (1 + g_t) = EPS_t \times (1 + b_t \times \text{ROE})$
3. 高登成長模型（Gordon Growth Model）計算終值（Terminal Value）：
   • 當公司進入長期穩定成長階段（固定保留率 $b_L$、固定成長率 $g_L = b_L \times \text{ROE}$），第 $n$ 期期末之股票價值為：
     $P_n = \frac{Div_{n+1}}{r_e - g_L}$
     其中 $r_e$ 為權益資金成本（Equity Cost of Capital）。
4. 現值加總評價：
   • 股票當期合理價格 $P_0$ 為未來各期股利與終值以 $r_e$ 折現後之總和：
     $P_0 = \sum_{t=1}^{n} \frac{Div_t}{(1 + r_e)^t} + \frac{P_n}{(1 + r_e)^n}$

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解題方法

步驟一：劃分成長階段與確認各階段參數

• 權益資金成本 $r_e = 16\%$
• 專案投資報酬率 $\text{ROE} = 15\%$
• 預期第 1 年每股盈餘 $EPS_1 =$ $5

將營運期間劃分為三個階段：

1. 第一階段（第 1～3 年，全額保留期）：
   • 保留率 $b_1 = b_2 = b_3 = 100\%$
   • 成長率 $g_1 = g_2 = g_3 = 100\% \times 15\% = 15\%$
   • 股利發放率 $= 1 - 100\% = 0\%$ $\implies Div_1 = Div_2 = Div_3 =$ $0
2. 第二階段（第 4～5 年，過渡期）：
   • 保留率 $b_4 = b_5 = 50\%$
   • 成長率 $g_4 = g_5 = 50\% \times 15\% = 7.5\%$
   • 股利發放率 $= 1 - 50\% = 50\%$ $\implies Div_t = EPS_t \times 50\%$
3. 第三階段（第 6 年起，長期穩定成長期）：
   • 保留率 $b_L = 15\%$
   • 長期固定成長率 $g_L = 15\% \times 15\% = 2.25\%$
   • 股利發放率 $= 1 - 15\% = 85\%$ $\implies Div_t = EPS_t \times 85\%$

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步驟二：逐年推算各期 $EPS_t$ 與 $Div_t$

• $t=1$：
  $EPS_1 = 5.0000$
  $Div_1 = 5.0000 \times 0\% = \$0$
• $t=2$：
  $EPS_2 = EPS_1 \times (1 + g_1) = 5.0000 \times (1 + 0.15) = 5.7500$
  $Div_2 = 5.7500 \times 0\% = \$0$
• $t=3$：
  $EPS_3 = EPS_2 \times (1 + g_2) = 5.7500 \times (1 + 0.15) = 6.6125$
  $Div_3 = 6.6125 \times 0\% = \$0$
• $t=4$：
  $EPS_4 = EPS_3 \times (1 + g_3) = 6.6125 \times (1 + 0.15) = 7.604375$

本題要求計算 Bob 和 Stephanie 在第 5、6、7 年需要每年存入多少錢，才能支付女兒 Eve 的大學學費。這是一個涉及未來現金流計算和時間價值概念的題目。

核心觀念：

1. 未來現金流的計算： 計算未來學費的現值，並確定為支付這些學費，在特定時間點需要累積的總金額。
2. 時間價值 of Money： 利用複利計算，確定在不同時間點的資金價值。
3. 年金計算： 處理定期定額的儲蓄和學費支付。

計算步驟：

1. 確定 Eve 的大學就學時間與學費：

   • Eve 於 t=0 年滿 10 歲。
   • Eve 將於 8 年後（t=8）進入大學。
   • 大學學費從 t=8 開始，持續 4 年（至 t=11）。
   • 學費目前（t=0）為 $15,500。
   • 學費每年以 3% 的速度成長。
   • 學費在學年初支付（due at the beginning of each school year）。

   計算每年的學費：

   • t=0 的學費是 $15,500。
   • t=8 的學費（第一次支付）= $15,500 \times (1 + 0.03)^8$
     $15,500 \times (1.03)^8 \approx 15,500 \times 1.26677 \approx 19,635.94$
   • t=9 的學費 = $19,635.94 \times 1.03 \approx 20,225.02$
   • t=10 的學費 = $20,225.02 \times 1.03 \approx 20,831.77$
   • t=11 的學費 = $20,831.77 \times 1.03 \approx 21,456.72$

   這些學費是在學年初支付的。

2. 計算在 Eve 開始上大學時（t=8）需要累積的總金額：
   在 t=8 時，Bob 和 Stephanie 需要能夠支付第一次的學費 $19,635.94。
   然後，他們需要繼續支付後續三年的學費。
   這筆在 t=8 時的支付，實際上是需要一個在 t=8 時點的「總儲蓄餘額」，這個餘額必須足夠支付 t=8, 9, 10, 11 這四年的學費。
   我們可以將 t=8, 9, 10, 11 的學費，折算成在 t=8 時的現值。

   計算 t=8 時點的學費總現值 (PV at t=8)：
   由於學費是在學年初支付，這形成了一個即期年金（annuity due）。
   現值 PV = $19,635.94 \times (1.03)^0 + 20,225.02 \times (1.03)^{-1} + 20,831.77 \times (1.03)^{-2} + 21,456.72 \times (1.03)^{-3}$
   或者，使用年金現值公式（先計算普通年金現值，再乘以 (1+i)）。
   普通年金現值 PV(ordinary) = $C \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$
   即期年金現值 PV(due) = $C \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i)$
   這裡的 C 是第一次支付的學費，也就是 t=8 時的學費 $19,635.94。$n=4$(四年學費)$i=3%$ (學費成長率，也是折現率)

   PV(at t=8) = $19,635.94 \times \frac{1 - (1.03)^{-4}}{0.03} \times (1.03)$
   $PV(at t=8) = 19,635.94 \times \frac{1 - 0.888487}{0.03} \times 1.03$
   $PV(at t=8) = 19,635.94 \times \frac{0.111513}{0.03} \times 1.03$
   $PV(at t=8) = 19,635.94 \times 3.7171 \times 1.03 \approx 73,051.54$

   所以在 t=8 時，他們需要有約 $73,051.54 元來支付接下來四年的學費。

3. 計算到 t=8 時，他們現有的儲蓄和預計的額外儲蓄所能累積的金額：

   • 初始存款 (t=0) = $10,000
   • 投資報酬率 = 8%
   • 儲蓄計畫：
     • t=1, 2, 3, 4：每年額外存入 $6,000。
     • t=5, 6, 7：每年存入一個未知金額 X。

   計算到 t=8 時，初始存款和前 4 年儲蓄所能累積的金額：

   • 初始存款 $10,000 在 t=8 時的價值 =$10,000 \times (1.08)^8$$10,000 \times (1.08)^8 \approx 10,000 \times 1.85093 \approx 18,509.30$

   • 每年 $6,000 的年金（在 t=1, 2, 3, 4 存入），在 t=8 時的價值： 這是普通年金，存入 4 年，但要計算到 8 年後的價值。 普通年金 FV =$C \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}

核心觀念

本題測驗「貨幣時間價值（Time Value of Money, TVM）」中多筆非均等現金流量與多階段年金的**複利終值（Future Value, FV）**計算。

主要運用的公式如下：

1. 單筆現金流量之複利終值（FV of a Single Cash Flow）：

$$FV_n = PV \times (1 + r)^n$$

2. 普通年金終值（Future Value of an Ordinary Annuity, FVOA）：

$$FVA_n = PMT \times \left[ \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right] = PMT \times FVIFA_{r, n}$$

其中 $FVIFA_{r, n}$ 為年金終值因子（Future Value Interest Factor for an Annuity）。

3. 多階段年金與不同時點現金流之終值合成：
   將各筆現金流量分別折算／複利至目標時點（$t = 12$）後進行加總。

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解題方法

由題意可知，年利率 $r = 7.5\%$，計算目標為第 12 年底（$t = 12$）創業時的帳戶總額。

現金流量可拆解為以下三大部分：

1. 部分一（畢業禮金）：$t = 0$ 立即存入 $$20,000$，複利累積 $12$ 年。
2. 部分二（前 6 年儲蓄）：$t = 1$ 至 $t = 6$ 每年底存入 $$6,000$（共 6 期普通年金），在 $t = 6$ 累積為年金終值後，再複利滾存 $6$ 年至 $t = 12$。
3. 部分三（後 6 年儲蓄）：$t = 7$ 至 $t = 12$ 每年底存入 $$23,000$（共 6 期普通年金），在 $t = 12$ 結算其年金終值。

步驟一：計算年金終值因子與複利因子

• 6 年期複利因子：

$$(1 + 0.075)^6 = (1.075)^6 \approx 1.543302$$

• 12 年期複利因子：

$$(1 + 0.075)^{12} = (1.075)^{12} = (1.543302)^2 \approx 2.381780$$

• 6 年期普通年金終值因子（$FVIFA_{7.5\%, 6}$）：

$$FVIFA_{7.5\%, 6} = \frac{(1.075)^6 - 1}{0.075} = \frac{0.543302}{0.075} \approx 7.244020$$

步驟二：分別計算各項現金流在第 12 年底的終值

1. 畢業禮金之終值（$FV_1$）：

$$FV_1 = 20{,}000 \times (1.075)^{12} = 20{,}000 \times 2.381780 \approx 47{,}635.59$$

2. 前 6 年儲蓄在第 12 年底之終值（$FV_2$）：
   先計算至 $t = 6$ 的年金終值，再複利滾存 6 年（至 $t = 12

核心觀念

• 淨現值（NPV）：把所有未來現金流以資本成本（折現率）折算回現在價值，正值表示投資有正的經濟價值。
• 機會成本：因為撰寫圖書而失去的其他收入，必須以現金流的形式列入負的現金流。
• 等比遞減永續年金：若每期現金流以固定比例$g$遞減，則其現值公式

$$PV=\frac{C_{1}}{1+r}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{g}{1+r}}, \qquad |g|<1+r$$

其中$C_{1}$為第一期現金流，$r$為折現率。

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解題方法

1. 列示每期現金流
   • 時點$t=0$：取得預付金 $+16$ 百萬美元（立即收到）。
   • 時點$t=1$：失去的講座與電視評論收入 $-5$ 百萬美元（年終支付）。
   • 時點$t=1$起的版稅：

$$C_{1}=10\text{ 百萬},\quad C_{t}=C_{1}\,g^{\,t-1},\; g=0.55,\; t=1,2,\dots$$

2. 計算版稅的現值（等比遞減永續）

$$PV_{\text{roy}}=\sum_{t=1}^{\infty}\frac{C_{1}g^{\,t-1}}{(1+r)^{t}} =\frac{C_{1}}{1+r}\sum_{t=0}^{\infty}\left(\frac{g}{1+r}\right)^{t} =\frac{C_{1}}{1+r}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{g}{1+r}}$$

代入$C_{1}=10,\; g=0.55,\; r=0.11$：

$\frac{C_{1}}{1+r}= \frac{10}{1.11}=9.009009\;(\text{百萬})$

$$\frac{g}{1+r}= \frac{0.55}{1.11}=0.495495\;, \qquad 1-\frac{g}{1+r}=0.504505$$

$PV_{\text{roy}}= \frac{9.009009}{0.504505}\approx 17.86\ \text{百萬}$

3. 折現機會成本

$PV_{\text{opp}}= \frac{-5}{1+r}= \frac{-5}{1.11}= -4.5045\ \text{百萬}$

核心觀念

• 資本預算：使用折現現金流（Discounted Cash Flow）法，計算投資案的淨現值（NPV）。
• 折舊稅盾：直線折舊產生的稅盾 = 折舊額 × 稅率。
• 機會成本（cannibalization）：新產品會減少既有產品的稅前現金流，須視為額外成本列入稅前盈餘。
• 加權平均資本成本（WACC）：作為折現率 $r$，本題 $r=9\%$。

解題方法

1. 求每年折舊

$\text{Depreciation}= \frac{\text{Investment}}{\text{Life}}=\frac{90{,}000}{3}=30{,}000$

2. 計算稅前營業利益（EBIT）

$\text{EBIT}= \text{Revenue} - \text{Operating Cost} - \text{Cannibalization} - \text{Depreciation}$

$=75{,}000 - 30{,}000 - 5{,}000 - 30{,}000 = 10{,}000$

3. 計算所得稅

$\text{Tax}= \text{EBIT}\times \text{Tax Rate}=10{,}000 \times 0.34 = 3{,}400$

4. 稅後營業現金流（含折舊稅盾）

$\text{After‑tax Cash Flow}= (\text{EBIT}-\text{Tax}) + \text{Depreciation}$

$= (10{,}000-3{,}400) + 30{,}000 = 6{,}600 + 30{,}000 = 36{,}600$