109 年 國立臺灣大學財務金融研究所乙組《經濟學原理》

此題考驗廠商的生產決策與利潤最大化問題。甲作為中間商,其利潤來自於買賣價差。工匠的生產決策則取決於收購價格 $P$ 是否能使其利潤為非負。

首先分析工匠的生產決策。工匠 $i$ 生產 $q_i$ 個花瓶的總成本為 $C_i(q_i)$。若工匠 $i$ 生產 $q_i > 0$ 個花瓶,則其總收入為 $P \times q_i$。因此,工匠 $i$ 的利潤為 $\pi_i = P \times q_i - C_i(q_i)$。工匠 $i$ 願意生產的條件是 $\pi_i \ge 0$。
工匠 $i$ 生產一個花瓶的邊際成本為 $i$ 萬元,且最多生產 4 個。
若 $P < 1$,則即使生產 1 個花瓶,總成本 $20+i$ ($i \ge 1$) 也會大於總收入 $P$,利潤為負,所以工匠不會生產。
若 $P \ge 1$,工匠 $i$ 會考慮生產。
生產 1 個花瓶的利潤: $\pi_i(1) = P \times 1 - (20 + i \times 1) = P - 20 - i$。
生產 2 個花瓶的利潤: $\pi_i(2) = P \times 2 - (20 + i \times 2) = 2P - 20 - 2i$。
生產 3 個花瓶的利潤: $\pi_i(3) = P \times 3 - (20 + i \times 3) = 3P - 20 - 3i$。
生產 4 個花瓶的利潤: $\pi_i(4) = P \times 4 - (20 + i \times 4) = 4P - 20 - 4i$。

工匠 $i$ 願意生產的條件是其最大利潤 $\ge 0$。
對於工匠 $i$,只要 $P > i$,他生產第一個花瓶的邊際利潤就是 $P-i > 0$。
考慮生產 1 個花瓶的條件: $P \times 1 - (20 + i \times 1) \ge 0 \implies P - 20 - i \ge 0 \implies P \ge 20 + i$。
若 $P < 20+i$,則生產 1 個花瓶的利潤為負,工匠 $i$ 不會生產。
因此,工匠 $i$ 只有在 $P \ge 20+i$ 時才會考慮生產。

若 $P$ 確定,每個工匠 $i$ 會選擇使其利潤最大化的 $q_i \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$。
若 $P < i$,則生產任何數量的花瓶利潤都為負,所以 $q_i=0$。
若 $P \ge i$,工匠 $i$ 會考慮生產。
若 $P \ge 20+i$,則生產 1 個花瓶利潤為 $P-20-i \ge 0$。
對於 $q_i > 0$,其總成本為 $20+iq_i$。利潤為 $Pq_i - (20+iq_i) = (P-i)q_i - 20$。
若 $P-i > 0$,則利潤隨 $q_i$ 增加而增加。然而,工匠最多生產 4 個。
所以,若 $P-i > 0$,工匠 $i$ 會生產 4 個,前提是總利潤 $\ge 0$。
總利潤為 $4P - (20+4i) = 4(P-i) - 20$。
工匠 $i$ 願意生產 4 個的條件是 $4(P-i) - 20 \ge 0 \implies P-i \ge 5 \implies P \ge i+5$。

綜合以上分析:

1. 若 $P < i+5$,則工匠 $i$ 不會生產 4 個。
   • 若 $P < i$,則 $q_i=0$。
   • 若 $i \le P < i+5$,則 $P-i < 5$。
     • 若 $P < 20+i$,則生產 1 個花瓶利潤為 $P-20-i < 0$,所以 $q_i=0$。
     • 若 $P \ge 20+i$,則生產 1 個花瓶利潤為 $P-20-i \ge 0$。由於 $P-i < 5$,生產 2,3,4 個花瓶的總利潤 $2(P-i)-20$, $3(P-i)-20$, $4(P-i)-20$ 均為負。因此,工匠 $i$ 只會生產 1 個。
2. 若 $P \ge i+5$,則生產 4 個花瓶的利潤為 $4(P-i)-20 \ge 0$。由於 $P-i > 0$,生產越多利潤越高,所以工匠 $i$ 會生產 4 個。

甲的目標是最大化利潤。甲的利潤為 $\Pi_{甲} = 43 \times Q - P \times Q$,其中 $Q$ 是所有工匠生產的總花瓶數量。這等價於最大化 $(43-P) \times Q$。因此,甲希望 $P$ 盡可能低,但又要確保有足夠的供應量 $Q$。

甲必須決定一個 $P$ 值,使得所有願意生產的工匠 (即 $P \ge i+5$ 或 $P \ge 20+i$) 生產的總量 $Q$ 能夠被甲收購。工匠 $i$ 在給定 $P$ 下的生產量 $q_i(P)$ 如下:

• 若 $P < i+5$,則 $q_i(P) = 0$ (假設 $P<i$ 的情況已經被包含)。
• 若 $P \ge i+5$,則 $q_i(P) = 4$。

甲決定 $P$ 後,所有工匠 $i$ 滿足 $P \ge i+5$ 的工匠會生產 4 個花瓶。
甲希望 $P$ 盡量低,但又要確保買家願意以 43 萬購買。
甲的利潤為 $\Pi_{甲} = (43-P)Q$。
甲收購花瓶的總成本為 $P \times Q$。
總供給量 $Q$ 是由所有工匠 $i$ 決定的。工匠 $i$ 願意生產的條件是 $P \times q_i - C_i(q_i) \ge 0$。
工匠 $i$ 的邊際成本是 $i$。工匠 $i$ 願意生產一個花瓶的條件是 $P \ge i$ (邊際收入大於邊際成本)。
然而,工匠 $i$ 還有一個固定成本 20 (當 $q_i>0$ 時)。
所以,工匠 $i$ 生產 $q_i>0$ 的條件是 $P q_i - (20+i q_i) \ge 0$。
若 $P > i$,則 $q_i=4$ 的利潤為 $4P - (20+4i) = 4(P-i) - 20$。
工匠 $i$ 願意生產 4 個花瓶,只要 $4(P-i) - 20 \ge 0 \implies P-i \ge 5 \implies P \ge i+5$。
若 $P < i+5$,則工匠 $i$ 不會生產 4 個。
如果 $P$ 介於 $i$ 和 $i+5$ 之間,工匠 $i$ 生產 1 個的利潤是 $P-20-i$。
工匠 $i$ 願意生產的最低 $P$ 值是使得其利潤為零的 $P$ 值。
如果 $P = i$,利潤為 $-20$,不生產。
如果 $P > i$,生產 1 個的利潤是 $P-20-i$。
生產 4 個的利潤是 $4P - (20+4i)$。
工匠 $i$ 願意生產的條件是存在一個 $q_i \in \{1,2,3,4\}$ 使得 $P q_i - (20+i q_i) \ge 0$。
對於工匠 $i$,其邊際成本是 $i$。若 $P > i$,則生產多一個花瓶會增加 $P-i$ 的利潤。
然而,有固定成本 20。
若 $P > i$,工匠 $i$ 會盡量生產。
若 $P > i$,則 $q_i(P)$ 是使得 $P q_i - (20+i q_i) \ge 0$ 的最大 $q_i \in \{1,2,3,4\}$。
若 $P \ge i+5$,則 $q_i(P)=4$。
若 $i \le P < i+5$,則 $4(P-i)-20 < 0$。
$3(P-i)-20$。
$2(P-i)-20$。
$1(P-i)-20 = P-i-20$。
工匠 $i$ 會生產 $q_i$ 個,只要 $q_i$ 使得 $(P-i)q_i - 20 \ge 0$ 且 $(P-i)(q_i+1)-20$ 必須是負的 (如果 $q_i<4$)。
這意味著 $q_i$ 是使得 $(P-i)q_i \ge 20$ 的最小整數。
即 $q_i = \lceil \frac{20}{P-i} \rceil$, 但是 $q_i \le 4$。
所以,若 $P > i$,工匠 $i$ 的生產量是 $q_i(P) = \min\{4, \lceil \frac{20}{P-i} \rceil \}$。
但是,必須滿足 $P q_i - (20+i q_i) \ge 0$。

甲的目標是找到一個 $P$,使得 $43 > P$,並且能滿足市場需求。
甲的利潤 $\Pi_甲 = (43-P)Q$。
甲希望 $P$ 盡量小,以增加 $43-P$ 的利潤空間,同時也要確保 $Q$ 夠大。
甲會設定一個 $P$,使得所有邊際成本低於 $P$ 的工匠都願意生產。
如果甲設定 $P$,那麼工匠 $i$ 的生產量 $q_i$ 滿足:

1. $P \ge i$ (邊際收入大於邊際成本)。
2. $P q_i - (20+i q_i) \ge 0$ (總利潤非負)。

甲向所有工匠宣布 $P$,工匠 $i$ 決定 $q_i$。
甲知道買家願意以 43 萬購買。
甲的利潤最大化目標是 $\max_P (43-P) Q(P)$,其中 $Q(P) = \sum_{i=1}^{100} q_i(P)$。
工匠 $i$ 生產 1 個花瓶的總成本是 $20+i$,利潤是 $P-20-i$。
工匠 $i$ 生產 4 個花瓶的總成本是 $20+4i$,利潤是 $4P-20-4i$。
工匠 $i$ 只要 $P > i$ 就會考慮生產。
工匠 $i$ 願意生產的最低 $P$ 是使得其利潤為 0 的 $P$。
若 $q_i=1$, $P = 20+i$。
若 $q_i=4$, $P = 5 + i$。

核心觀念

• 上下游雙層市場：上游廠商（丙）先決定批發價格 $P_1$，下游代理商在知道 $P_1$ 後以 Cournot 方式競爭。
• Cournot 競爭：兩家代理商同時決定產量 $q_1,q_2$，市場價格由需求函數 $P=293-12(q_1+q_2)$ 決定。
• 利潤最大化：上游廠商的利潤 $\pi^{\text{上}}=(P_1-c)Q$（$c=41$ 萬元／車），下游代理商的利潤 $\pi_i=(P-P_1)q_i$。
• 求解流程：先求下游 Cournot 均衡產量（以 $P_1$ 為參數），再將得到的總量 $Q$ 代入上游利潤式，最後對 $P_1$ 求導取得最適批發價格。

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解題方法

1. 下游 Cournot 均衡
   需求：$P=293-12(q_1+q_2)$。
   代理商 $i$ 的利潤

$\pi_i=(P-P_1)q_i=\bigl[293-12(q_1+q_2)-P_1\bigr]q_i .$

取 $\partial\pi_i/\partial q_i=0$（一階條件）得

$293-12(q_1+q_2)-P_1-12q_i=0 .$

由於兩家對稱，設 $q_1=q_2=q$，則

$$293-P_1-12(2q+q)=0\quad\Longrightarrow\quad q=\frac{293-P_1}{36}.$$

因此

$$Q=q_1+q_2=2q=\frac{2(293-P_1)}{36} =\frac{2(293-P_1)}{3\cdot12}.$$

2. 市場價格（下游）

$$P=293-12Q =293-12\!\left[\frac{2(293-P_1)}{36}\right] =\frac{293}{3}+\frac{2P_1}{3}.$$

此題涉及兩類消費者、兩種財貨的個體經濟學均衡分析，包含效用最大化和市場均衡。

首先分析兩類消費者的效用最大化問題。
設 $P_1$ 為財貨一的價格, $P_2$ 為財貨二的價格。

對於 A 類消費者,其效用函數為 $U_A(x_1, x_2) = 4 \ln x_1 + \ln x_2$。
預算限制為 $P_1 x_1 + P_2 x_2 = P_1 \omega_{A1} + P_2 \omega_{A2}$, 其中 $(\omega_{A1}, \omega_{A2}) = (60, 60)$ 是 A 類消費者的原賦。
為了最大化效用,必須滿足邊際替代率等於價格比:
$MRS_A = \frac{MU_{A1}}{MU_{A2}} = \frac{4/x_1}{1/x_2} = \frac{4x_2}{x_1}$。
$MRS_A = \frac{P_1}{P_2}$。
所以, $\frac{4x_2}{x_1} = \frac{P_1}{P_2} \implies 4P_2 x_2 = P_1 x_1 \implies x_2 = \frac{P_1}{4P_2} x_1$。

將此代入預算限制式: $P_1 x_1 + P_2 \left( \frac{P_1}{4P_2} x_1 \right) = P_1(60) + P_2(60)$。
$P_1 x_1 + \frac{P_1}{4} x_1 = 60P_1 + 60P_2$。
$\frac{5}{4} P_1 x_1 = 60P_1 + 60P_2$。
$x_1 = \frac{4}{5P_1} (60P_1 + 60P_2) = \frac{4}{5} (60 + 60 \frac{P_2}{P_1}) = 48 + 48 \frac{P_2}{P_1}$。
$x_2 = \frac{P_1}{4P_2} x_1 = \frac{P_1}{4P_2} \left( 48 + 48 \frac{P_2}{P_1} \right) = \frac{12P_1}{P_2} + 12$。

對於 B 類消費者,其效用函數為 $U_B(x_1, x_2) = \min\{x_1, 0.5x_2\}$。
這表示 B 類消費者是里昂惕夫 (Leontief) 型偏好,他們會以固定比例消費 $x_1$ 和 $0.5x_2$。
為了最大化效用, B 類消費者會使得 $x_1 = 0.5x_2$, 即 $x_2 = 2x_1$。
預算限制為 $P_1 x_1 + P_2 x_2 = P_1 \omega_{B1} + P_2 \omega_{B2}$, 其中 $(\omega_{B1}, \omega_{B2}) = (60, 60)$ 是 B 類消費者的原賦。
代入 $x_2 = 2x_1$: $P_1 x_1 + P_2 (2x_1) = 60P_1 + 60P_2$。
$(P_1 + 2P_2) x_1 = 60P_1 + 60P_2$。
$x_1 = \frac{60P_1 + 60P_2}{P_1 + 2P_2}$。
$x_2 = 2x_1 = \frac{120P_1 + 120P_2}{P_1 + 2P_2}$。

接下來考慮市場均衡。
A 類消費者人數是 B 類消費者的 3 倍。設 B 類消費者人數為 $N_B$,則 A 類消費者人數為 $N_A = 3N_B$。
總原賦:
財貨一總量: $\Omega_1 = N_A \omega_{A1} + N_B \omega_{B1} = 3N_B(60) + N_B(60) = 180N_B + 60N_B = 240N_B$。
財貨二總量: $\Omega_2 = N_A \omega_{A2} + N_B \omega_{B2} = 3N_B(60) + N_B(60) = 180N_B + 60N_B = 240N_B$。
總原賦是相同的。

均衡時,市場總需求等於總供給。
總需求 $X_1 = N_A x_{A1} + N_B x_{B1}$。
總需求 $X_2 = N_A x_{A2} + N_B x_{B2}$。
在均衡時, $X_1 = \Omega_1$ 且 $X_2 = \Omega_2$。

我們有 $P_2 = 1$。
A 類消費者的需求:
$x_{A1} = 48 + 48 \frac{1}{P_1} = 48 (1 + \frac{1}{P_1})$。
$x_{A2} = 12 \frac{P_1}{1} + 12 = 12P_1 + 12 = 12(P_1+1)$。

B 類消費者的需求:
$x_{B1} = \frac{60P_1 + 60(1)}{P_1 + 2(1)} = \frac{60(P_1+1)}{P_1+2}$。
$x_{B2} = \frac{120P_1 + 120(1)}{P_1 + 2(1)} = \frac{120(P_1+1)}{P_1+2}$。

此題為動態賽局中的子賽局完美納什均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE) 問題。

第一部分：孩子先決定 $S$, 父親後決定 $B$

這是順序型賽局。我們使用逆向歸納法 (backward induction) 來求解。

第二階段：父親決定 $B$
父親觀察到孩子的儲蓄 $S$ 後,會選擇 $B$ 來最大化自己的效用 $U_F = \ln(84-B) + U_C$,其中 $U_C = \ln(120-S) + \ln(S+B)$。
父親的目標是最大化 $\ln(84-B) + \ln(120-S) + \ln(S+B)$。
由於 $S$ 和 $120-S$ 是給定的,父親實際上是最大化 $\ln(84-B) + \ln(S+B)$。
為了最大化這個函數,我們對 $B$ 微分並設為零:
$\frac{\partial U_F}{\partial B} = \frac{-1}{84-B} + \frac{1}{S+B} = 0$
$\frac{1}{S+B} = \frac{1}{84-B}$
$S+B = 84-B$
$2B = 84-S$
$B = 42 - \frac{S}{2}$

這是父親對任意給定 $S$ 的最適反應函數。

第一階段：孩子決定 $S$
孩子知道父親的反應函數 $B = 42 - S/2$,並將其代入自己的效用函數 $U_C = \ln(120-S) + \ln(S+B)$。
孩子要最大化 $\ln(120-S) + \ln(S + (42 - S/2))$。
孩子最大化 $\ln(120-S) + \ln(S/2 + 42)$。
為了最大化這個函數,我們對 $S$ 微分並設為零:
$\frac{\partial U_C}{\partial S} = \frac{-1}{120-S} + \frac{1/2}{S/2 + 42} = 0$
$\frac{1/2}{S/2 + 42} = \frac{1}{120-S}$
$\frac{1}{S+84} = \frac{1}{120-S}$
$S+84 = 120-S$
$2S = 120 - 84 = 36$
$S = 18$

所以,孩子的儲蓄 $S=18$。

現在計算父親的決定 $B$。
將 $S=18$ 代入父親的反應函數:
$B = 42 - \frac{18}{2} = 42 - 9 = 33$。

因此,在這種情況下的均衡是 $S=18$, $B=33$。

(9) 均衡的 $S$ 為 18。
(10) 均衡的 $B$ 為 33。

第二部分：父親先承諾 $B = a \times S$, 孩子後決定 $S$

這是另一種順序型賽局。父親首先決定參數 $a$,然後孩子根據 $a$ 決定 $S$,最後父親根據承諾決定 $B$。

此題考查新古典投資理論中資本的持有成本。資本的持有成本 (cost of capital) 主要由名目利率、資本折舊和稅率三個因素決定。

新古典模型中,企業在決定是否進行投資時,會將資本的預期未來收益與持有該資本的成本進行比較。持有資本的成本通常包含以下幾個部分:

1. 資本的機會成本: 這是指投資於資本所放棄的其他投資的預期報酬率,通常以實質利率 (r) 或名目利率 (i) 來衡量。
2. 資本的折舊: 資本在使用過程中會損耗,這部分成本需要被考慮。
3. 稅收: 企業的利潤和資本收益需要繳稅,而折舊可以抵稅。

在一個簡化的模型中,資本的持有成本 (cost of capital, $c$) 可以表示為:
$c = i - \pi^e + \delta - \tau \delta$
其中:
$i$ 是名目利率 (nominal interest rate)
$\pi^e$ 是預期通貨膨脹率 (expected inflation rate)
$\delta$ 是資本折舊率 (depreciation rate)
$\tau$ 是企業所得稅率 (corporate tax rate)

我們也可以將其寫成實質利率 $r = i - \pi^e$ 的形式:
$c = r + \delta - \tau \delta = r + \delta(1-\tau)$

現在我們逐一分析選項:

(a) 名目利率上升 ($i$ 上升):
根據公式 $c = i - \pi^e + \delta(1-\tau)$, 如果名目利率 $i$ 上升,而其他因素不變,則持有資本的成本 $c$ 會上升。這是因為持有資本需要支付利息,利率越高,機會成本越高。

(b) 通貨緊縮 ($\pi^e < 0$):
通貨緊縮意味著預期通貨膨脹率為負。根據公式 $c = i - \pi^e + \delta(1-\tau)$, 如果 $\pi^e$ 變為負值 (例如從 0% 變為 -2%),則 $-\pi^e$ 會變為正值。這會使得持有資本的成本 $c$ 上升。

此題考查新古典投資理論中影響均衡投資的因素。新古典模型認為,投資決策取決於資本的邊際產出 (MPK) 和資本的持有成本 (cost of capital)。企業會投資直到 MPK 等於持有成本。

生產函數為 Cobb-Douglas,形式通常為 $Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$。
資本的邊際產出 $MPK = \frac{\partial Y}{\partial K} = \alpha AK^{\alpha-1} L^{1-\alpha} = \alpha \frac{Y}{K}$。
在其他條件不變下,投資會增加如果:

1. 資本的邊際產出 (MPK) 增加。
2. 資本的持有成本下降。

我們逐一分析選項:

(a) 政府採用更為寬鬆的貨幣政策:
寬鬆的貨幣政策通常意味著降低利率。根據新古典投資理論,較低的利率會降低資本的持有成本。當持有成本下降時,企業會傾向於增加投資,直到新的 MPK 等於新的較低持有成本。因此,寬鬆貨幣政策會增加投資。

(b) 森林大火導致許多資本被燒毀:
森林大火導致資本存量 (K) 減少。在其他條件不變下,如果資本存量減少,而勞動力 (L) 和技術 (A) 不變,則資本的邊際產出 (MPK) 會增加 (因為 MPK 與 $K^{\alpha-1}$ 成正比,而 $\alpha-1 < 0$)。

Tobin's q 是由經濟學家詹姆斯·托賓 (James Tobin) 提出的概念,用來衡量一家公司市場價值與其資產重置成本之間的關係。它被認為是預測公司投資行為的一個重要指標。

Tobin's q 的定義可以表示為:

$$q = \frac{\text{市場價值}}{\text{資產重置成本}}$$

更具體的解釋如下:

• 市場價值 (Market Value): 指的是公司股票的市場總值 (市值),也就是股價乘以總發行股數。這反映了市場對該公司未來盈利能力的評價。
• 資產重置成本 (Reproduction Cost or Replacement Cost): 指的是以當前市場價格重新購置公司所有資產 (包括實物資本、無形資產等) 所需的總成本。這可以被視為公司現有資產的重置成本。

股市指數之所以被視為景氣循環的領先指標,是因為股票市場的價格變動往往領先於實體經濟的變動。這主要有幾個原因:

1. 預期性: 股票市場的價格反映了投資者對公司未來盈利能力的預期。這些預期不僅包括短期內的盈利,更重要的是對長期經濟增長、技術進步和行業前景的判斷。當投資者預期經濟將會好轉時,他們會提前買入股票,推升股價。
2. 財富效應: 股市上漲會增加投資者的財富 (帳面財富的增加)。這種財富的增加會導致消費者增加消費支出 (財富效應)。
3. 投資效應 (Tobin's q): 股市上漲會提高公司的市值。根據 Tobin's q 的理論,當 q > 1 時,公司進行投資的誘因增加。
4. 資本成本: 股市融資的便利性和成本也會影響企業的投資決策。

我們來逐一分析各個選項:

(a) 股市上漲使得 Tobin's q 上升,企業投資需求增加,進而使得總和需求增加、帶動 GDP 增加。
這個論點是正確的。股市上漲提高了公司的市值,從而提高了 Tobin's q。當 q > 1 時,企業會增加投資。投資增加是總和需求 (Aggregate Demand, AD) 的一個組成部分,因此會帶動 AD 增加,進而推升 GDP。由於投資決策是基於對未來的預期,這會領先於實際的 GDP 增長。

(b) 股市上漲使得外資加碼投資台股,進而使得總和需求增加、帶動 GDP 增加。
外資加碼投資台股會增加對台股的需求,推升股價。這本身並不直接增加總和需求。外資的資金流入可能會增加國內的貨幣供給或外匯儲備,但這並非直接的總和需求構成要素。

此題考查 GDP 變化對國內資本形成 (投資需求) 的影響。投資需求受到多種因素影響,GDP 作為衡量經濟總體活動水平的指標,與投資需求之間存在密切關聯。

我們分析各選項:

(a) GDP 提高時,存貨不足的成本下降:
GDP 提高通常意味著經濟處於擴張階段,總需求增加。當總需求增加時,廠商的產品銷售量會上升。如果廠商對未來需求預期樂觀,他們可能會選擇持有較低的存貨水平,以減少存貨持有成本 (如倉儲費、損耗、機會成本等)。然而,存貨不足的成本下降本身並不是直接驅動「資本形成」(即購買生產設備、廠房等) 的主要原因。一般而言,GDP 提高會增加對產品的需求,這反而可能促使廠商增加生產能力,即增加資本形成,以滿足未來需求。存貨管理的決策與長期資本形成是兩個不同的層面,此選項的關聯性較弱。

(b) GDP 提高時,廠商的利潤較佳,融資限制減少:
這個論點是正確的。當 GDP 提高時,經濟景氣通常較好,這意味著企業的銷售額和利潤水平都會提高。較高的利潤可以為企業提供更多的內部融資來源,從而減少對外部融資的依賴。內部融資通常比外部融資 (如貸款) 的成本更低,且限制更少。

核心觀念
本題屬於 IS‑LM 總體經濟模型的基本應用。

• IS 曲線：商品市場均衡 → 由 $Y=C+I+G$ 與消費、投資函數導出。
• LM 曲線：貨幣市場均衡 → 實質貨幣需求 $(M/P)^d$ 等於實質貨幣供給 $M/P$。
• 乘數效果：政府支出變動對產出 $Y$ 的影響，等於 $\frac{\partial Y}{\partial G}$。在 IS‑LM 中，只要投資不再受所得影響，乘數為 $\frac{1}{1-c}$；若投資同時受所得影響，乘數變為 $\frac{1}{1-c-\alpha}$。

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(1) IS 曲線的方程式

$$\begin{aligned} C &= 60+0.8\,(Y-T)=60+0.8(Y-150)=0.8Y-60,\\ I &= 200-10r,\\ Y &= C+I+G. \end{aligned}$$

代入：

$$\begin{aligned} Y &= (0.8Y-60)+(200-10r)+300 \\ &= 0.8Y+440-10r. \end{aligned}$$

整理：

$Y-0.8Y = 440-10r\;\Longrightarrow\;0.2Y = 440-10r.$

乘以 5 得到整數係數：

$\boxed{\,Y+50r = 2200\,}$

即 $a=1,\;b=50,\;c=2200$，符合題目要求的正整數形式。

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(2) LM 曲線的方程式

實質貨幣供給：

$\frac{M}{P}= \frac{5\,000}{5}=1\,000.$

貨幣需求：

$\left(\frac{M}{P}\right)^{d}=Y-50r.$

均衡條件 $(M/P)^{d}=M/P$：

$\boxed{\,Y-50r = 1000\,}$

即 $c=1,\;d=50,\;e=1000$（題目標示為 $cY-dr=e$）。

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(3) 市場均衡解

聯立 IS 與 LM：

$$\begin{cases} Y+50r = 2200\\ Y-50r = 1000 \end{cases}$$

相加得

短期總和供給曲線 (Short-Run Aggregate Supply, SRAS) 為正斜率,表示當物價水準 (P) 上升時,總產出 (Y) 也會增加。這意味著在短期內,企業願意在更高的價格水平下生產更多商品。其原因主要與成本和預期有關。

我們來分析各個選項:

(a) 雇主與勞工簽訂長期的工資契約 (Sticky Wages):
許多經濟學模型認為,名目工資在短期內是黏滯的 (sticky),即不易變動。這通常是因為勞雇雙方會簽訂長期工資契約。當物價水準 (P) 上升時,如果工資 (W) 保持不變,則實質工資 (W/P) 下降。這降低了企業的勞動成本,使得企業在更高的產品價格下更願意僱傭勞動力並增加產出。因此,工資黏滯性是 SRAS 為正斜率的一個重要原因。

(b) 生產者無法觀察到整體的物價水準 (Misperceptions Theory):
在一些模型中,生產者可能難以區分整體物價水準的變動和其產品相對價格的變動。如果生產者看到其產品價格上漲,但誤以為這是整體物價上漲 (即通貨膨脹),而沒有意識到這是其產品相對價格的提高,他們可能會增加產出。然而,這種理論通常解釋的是預期錯誤,而不是 SRAS 的斜率本身。更常見的解釋是,如果生產者認為是相對價格上漲,他們會增加產出。如果他們認為是整體物價上漲,但其他生產者的價格也同步上漲,那麼其相對價格並未改變,產出就不會增加。因此,這個選項的解釋不夠直接。

(c) 大眾使用理性預期的方式對未來的物價形成預期:
理性預期 (Rational Expectations) 假設人們會充分利用所有可用信息來形成對未來經濟變量的預期。

核心觀念

• 短期菲利浦曲線 (Short‑run Phillips curve) 的一般形式為
  $\pi = \pi^{e} - \beta\,(u-u_n) + v$
  其中 $\pi$ 為實際通貨膨脹率，$\pi^{e}$ 為預期通貨膨脹率，$u$ 為失業率，$u_n$ 為自然失業率 (自然率)，$\beta>0$ 為斜率係數，$v$ 為供給性衝擊。
• 當 $v=0$、$\pi^{e}$ 不變時，若要降低通膨 $\pi$，失業率 $u$ 必須上升；其變動關係為 $\Delta\pi = -\beta\,\Delta u$。
• 預期形成方式本身 不是 菲利浦曲線所規定的，而是需額外假設（適應性、理性等）。

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解題方法

1. 辨識自然失業率：比對曲線 $\pi = \pi^{e} - 2(u-0.06)+v$ 與一般式 $\pi = \pi^{e} - \beta(u-u_n)+v$，直接讀得
   $u_n = 0.06\;(＝6\%)$
2. 檢視期待假設：式中僅出現 $\pi^{e}$，未說明 $\pi^{e}$ 與過去通膨或其他變數的關係，故無法推斷為適應性預期。
3. 計算通膨下降的代價：若政府欲使 $\pi$ 下降 $0.02$，在 $\pi^{e}$、$v$ 不變的情況下，利用
   $\Delta\pi = -2\,\Delta u$
   得
   $\Delta u = -\frac{\Delta\pi}{2}= -\frac{-0.02}{2}=0.01$
   失業率上升 $0.01$ (1 個百分點)。