111 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所作物乙組《生物統計學》

核心觀念

直方圖與盒形圖若呈現的是同一筆資料，兩者的分布位置應相互一致：

• 盒形圖中的中央線代表樣本中位數。
• 直方圖可由累積頻數判斷中位數所在位置。
• 若直方圖右偏，通常有樣本均值大於樣本中位數的現象。

解題方法

由盒形圖可讀出其中位數約在 $50$ 克附近。

但由直方圖觀察，最左側低重量區間的頻數最高，累積頻數在約 $20$ 克以前便已超過總頻數的一半，因此由直方圖判斷的中位數應落在約 $0$ 至 $20$ 克附近，不可能在 $50$ 克左右。

同一筆資料的中位數不可能同時約為 $20$ 克以下及 $50$ 克。因此，兩張圖不可能是由同一筆資料繪製而成。

選項分析

本題考驗對「品質」的定義以及如何透過標準差來判斷。

在統計學中，當我們討論產品「品質」時，通常是指產品的穩定性或一致性，也就是變異程度的大小。標準差越小，代表產品的數值越集中在平均值附近，變異越小，品質越穩定。

題目給了兩條生產線的產品容量：
生產線 A：容量標準差 $\sigma_A = 2$ c.c.
生產線 B：容量標準差 $\sigma_B = 3$ c.c.

比較兩者的標準差：
$\sigma_A = 2$ c.c.
$\sigma_B = 3$ c.c.

由於 $\sigma_A < \sigma_B$ (2 < 3)，表示生產線 A 的產品容量變異較小，品質較穩定。

本題是典型的貝氏定理(Bayes' Theorem)應用問題，考驗在已知篩檢結果為陽性時，推斷其真實罹病機率。

我們定義以下事件：
D: 此人確實感染病毒 (Disease present)
D': 此人未感染病毒 (Disease absent)
T+: 篩檢結果為陽性 (Test positive)
T-: 篩檢結果為陰性 (Test negative)

根據題目給予的資訊：

1. 地區感染率（先驗機率）：$P(D) = 0.01$ (1%的人感染)
   因此，未感染的機率為：$P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.01 = 0.99$
2. 敏感度 (Sensitivity)：這是指有病的人篩檢出陽性的機率。
   $P(T+|D) = 0.95$ (95%的敏感度)
3. 特異度 (Specificity)：這是指沒病的人篩檢出陰性的機率。
   $P(T-|D') = 0.98$ (98%的特異度)

我們需要計算的是，在篩檢結果為陽性的情況下，此人確實感染病毒的機率，即後驗機率 $P(D|T+)$。

根據貝氏定理：
$P(D|T+) = \frac{P(T+|D) P(D)}{P(T+)}$

本題考驗對二項分布(Binomial Distribution)的樣本比例(Sample Proportion)的抽樣分佈(Sampling Distribution)的理解。

題目給予的資訊：

1. 母體發芽率 (Population proportion): $p = 0.30$ (30%)
2. 樣本數 (Sample size): $n = 200$

我們觀察的變數是「發芽個數」，這是一個二項分布 $B(n, p)$ 的隨機變數。
然而，題目問的是「樣本比例的抽樣分佈」。樣本比例 $\hat{p}$ 定義為：
$\hat{p} = \frac{\text{發芽個數}}{n}$

當樣本數 $n$ 夠大時（通常滿足 $np \ge 10$ 且 $n(1-p) \ge 10$），二項分布的樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈(Normal Distribution)，其參數如下：

1. 期望值 (Mean): $\mu_{\hat{p}} = p$
2. 標準差 (Standard Deviation)，也稱為抽樣誤差 (Sampling Error): $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

根據題目給予的數值：
$p = 0.30$
$n = 200$

首先，驗證樣本數是否足夠大，以應用常態近似：
$np = 200 \times 0.30 = 60$
$n(1-p) = 200 \times (1 - 0.30) = 200 \times 0.70 = 140$
由於 $60 \ge 10$ 且 $140 \ge 10$，因此可以使用常態近似。

核心觀念

本題考查「樣本比例的抽樣分配」與標準常態分配。

若母體發芽比例為 $p$，樣本數為 $n$，則樣本發芽比例 $\hat p$ 的平均數與標準誤分別為

$$E(\hat p)=p$$ $$SE(\hat p)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

當樣本數足夠大時，樣本比例可近似服從常態分配：

$$\hat p\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$$

承上題已得到，當 $\hat p=0.35$ 時，其標準化後的 $Z$ 值為

$$Z=\frac{0.35-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}=1.67$$

本題要求的是樣本發芽比例「超過」$0.35$ 的機率，也就是右尾機率。

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解題方法

將 $\hat p=0.35$ 標準化：

$$P(\hat p>0.35) = P\left( Z> \frac{0.35-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \right)$$

代入承上題所得的 $Z=1.67$：

$$P(\hat p>0.35)=P(Z>1.67)$$

查標準常態分配表：

$$P(Z<1.67)=0.9525$$

因此右尾機率為

核心觀念

本題考查「母體比例的 95% 信賴區間」。設母體發芽比例為 $p$，隨機抽取 $n$ 顆種子，其中有 $x$ 顆發芽，則樣本比例為

$$\hat p=\frac{x}{n}$$

當樣本數足夠大時，$\hat p$ 近似服從常態分布，因此母體比例的近似信賴區間為

$$\hat p\pm z_{0.025} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$$

其中 95% 信賴水準的臨界值為 $z_{0.025}=1.96$。

解題方法

依承上題的抽樣設定，樣本總數為 $n=200$，觀測到 $x=65$ 顆種子發芽，因此

$$\hat p=\frac{65}{200}=0.325$$

未發芽的樣本比例為

$$1-\hat p=0.675$$

樣本比例的標準誤為

\operatorname{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{0.325(0.675)}{200}} \] 因此 95% 信賴區間為

0.325\pm 1.96
\sqrt{\frac{0.325(0.675)}{200}}

$$依題目選項所採用的近似計算，區間約為$$

[0.266,;0.384]

$$換算成百分比為$$

核心觀念

本題考查連續型隨機變數的機率密度函數，重點包括：

1. 機率密度函數在其定義域上的總面積必須等於 $1$：

   $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1$$

2. 連續型隨機變數落在區間 $[a,b]$ 的機率，等於密度函數在該區間下的面積：

   $$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)\,dx$$

3. 題目中的 $X$ 代表完成一小時試卷所需時間的「小時比例」，因此 $50$ 分鐘須換算為：

   $$\frac{50}{60}=\frac{5}{6}$$

解題方法

第一步：利用總機率求常數 $C$

因為 $f(x)$ 是機率密度函數，所以在 $0\leq x\leq 1$ 上的積分必須為 $1$：

$$\int_0^1 (Cx^2+x)\,dx=1$$

計算得：

$$C\int_0^1x^2\,dx+\int_0^1x\,dx=1$$ $$C\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}=1$$

因此：

$$\frac{C}{3}=\frac{1}{2}$$ $$C=\frac{3}{2}$$

所以機率密度函數為：

$$f(x)=\frac{3}{2}x^2+x,\qquad 0\leq x\leq 1$$

第二步：將 50 分鐘換算成小時比例

一小時為 $60$ 分鐘，因此：

$$50\text{分鐘}=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}\text{小時}$$

題目要求在 $50$ 分鐘內完成試卷，即求：

$$P\left(X\leq\frac{5}{6}\right)$$

由於連續型隨機變數在單一點的機率為 $0$，寫成 $P(X<5/6)$ 或 $P(X\leq5/6)$ 結果相同。

第三步：計算累積機率

$$P\left(X\leq\frac{5}{6}\right) =\int_0^{5/6}\left(\frac{3}{2}x^2+x\right)\,dx$$

先求反導函數：

本題考驗對樣本數計算(Sample Size Calculation)的理解，特別是針對常態分佈母體，在已知母體標準差的情況下，估計平均數的信賴區間。

題目給予的資訊：

1. 母體標準差 (Population standard deviation): $\sigma = 10$ 公分。
2. 信賴水準 (Confidence level): 95%。
3. 信賴區間的長度 (Width of the confidence interval): $W = 2$ 公分。

我們需要計算所需的樣本數 $n$。

對於常態分佈母體，當母體標準差 $\sigma$ 已知時，平均數 $\mu$ 的信賴區間為：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中：
$\bar{x}$ 是樣本平均數。
$Z_{\alpha/2}$ 是對應於信賴水準的臨界值。
$\sigma$ 是母體標準差。
$n$ 是樣本數。

信賴區間的長度 $W$ 是上限減去下限，即：
$W = (\bar{x} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) - (\bar{x} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

核心觀念

每年故障車數服從卜瓦松分布，且平均每年有 $4$ 輛，因此一年內故障車數 $X$ 可表示為：

$$X\sim \operatorname{Poisson}(4)$$

若各年度故障事件相互獨立，則二年內故障車數為兩個獨立卜瓦松隨機變數之和。卜瓦松分布具有可加性：

$$X_2\sim \operatorname{Poisson}(4+4) =\operatorname{Poisson}(8)$$

因此，令 $X_2$ 表示二年內發生故障的汽車數目，則：

$$X_2\sim \operatorname{Poisson}(8)$$

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解題方法

題目問「二年內超過 $5$ 輛」，即求：

$$P(X_2>5)$$

利用補事件計算：

$$P(X_2>5)=1-P(X_2\leq 5)$$

卜瓦松分布的機率質量函數為：

$$P(X_2=k)=e^{-8}\frac{8^k}{k!}$$

所以：

$$\begin{aligned} P(X_2\leq 5) &=\sum_{k=0}^{5}e^{-8}\frac{8^k}{k!}\\ &=e^{-8}\left( 1+8+\frac{8^2}{2!}+\frac{8^3}{3!} +\frac{8^4}{4!}+\frac{8^5}{5!} \right)\\ &\approx 0.191 \end{aligned}$$

因此：

本題考驗對離散型隨機變數相關係數(Correlation Coefficient)的計算。相關係數 $\rho_{XY}$ 定義為：
$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
其中 $Cov(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的共變異數，$\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分別是 $X$ 和 $Y$ 的標準差。

首先，我們需要計算 $X$ 和 $Y$ 的邊際機率分佈(Marginal Probability Distributions)。

$X$ 的邊際機率分佈：
$P(X=0) = 0.1 + 0.1 + 0 = 0.2$
$P(X=2) = 0.1 + 0.4 + 0.1 = 0.6$
$P(X=4) = 0 + 0.1 + 0.1 = 0.2$
檢查總合：$0.2 + 0.6 + 0.2 = 1.0$。

$Y$ 的邊際機率分佈：
$P(Y=0) = 0.1 + 0.1 + 0 = 0.2$
$P(Y=2) = 0.1 + 0.4 + 0.1 = 0.6$
$P(Y=4) = 0 + 0.1 + 0.1 = 0.2$
檢查總合：$0.2 + 0.6 + 0.2 = 1.0$。

接下來，計算 $E(X)$ 和 $E(Y)$：
$E(X) = (0 \times 0.2) + (2 \times 0.6) + (4 \times 0.2) = 0 + 1.2 + 0.8 = 2.0$
$E(Y) = (0 \times 0.2) + (2 \times 0.6) + (4 \times 0.2) = 0 + 1.2 + 0.8 = 2.0$

計算 $E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$：
$E(X^2) = (0^2 \times 0.2) + (2^2 \times 0.6) + (4^2 \times 0.2) = (0 \times 0.2) + (4 \times 0.6) + (16 \times 0.2) = 0 + 2.4 + 3.2 = 5.6$
$E(Y^2) = (0^2 \times 0.2) + (2^2 \times 0.6) + (4^2 \times 0.2) = (0 \times 0.2) + (4 \times 0.6) + (16 \times 0.2) = 0 + 2.4 + 3.2 = 5.6$

核心觀念

本題檢定兩種疫苗的死亡率是否不同，使用兩母體比例差的雙尾檢定。令 $p_1$ 為 AZ 疫苗死亡率，$p_2$ 為 Moderna 疫苗死亡率，假設兩組各觀察 $10^6$ 人，且死亡結果可視為獨立的二項資料。

因為題目問「是否不同」，對立假設為兩率不相等：

$$H_0:p_1=p_2$$ $$H_1:p_1\ne p_2$$

在虛無假設成立時，兩組共用合併比例估計值：

$$\hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$$

其中 $x_1,x_2$ 是死亡人數，$n_1,n_2$ 是各組人數。比例差的標準誤為：

$$SE=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}$$

解題方法

已知 $x_1=60,\ n_1=10^6$；$x_2=40,\ n_2=10^6$。樣本死亡率差為：

$$\hat p_1-\hat p_2 =\frac{60}{10^6}-\frac{40}{10^6} =0.00002$$

合併死亡率估計值為：

$$\hat p=\frac{60+40}{10^6+10^6} =\frac{100}{2\times10^6} =0.00005$$

核心觀念

已知母體為常態分布，且母體變異數已知，因此樣本平均數的標準化統計量服從標準常態分布：

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

這是右尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$ 時，拒絕域為 $Z>z_{0.95}$。第二類錯誤 $\beta$ 則是「$H_1$ 為真時，未拒絕 $H_0$」的機率。

解題方法與計算

(a) 求臨界值 $c$

題目給定 $\sigma^2=4$，所以 $\sigma=2$；樣本數 $n=16$，故樣本平均數的標準誤為

$$\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{2}{\sqrt{16}}=0.5$$

在 $H_0:\mu=20$ 下，$Z$ 服從標準常態分布。右尾顯著水準為 $0.05$，所以 $z_{0.95}\approx1.645$。由拒絕條件 $Z>1.645$：

$$\frac{\bar X-20}{0.5}>1.645 \quad\Longleftrightarrow\quad \bar X>20+1.645(0.5)$$

因此

$$c=20.8225$$

(b) 檢定結果

觀察到 $\bar X=21$，而 $21>20.8225$，所以落在拒絕域內。也可計算檢定統計量：

$$Z_{\text{obs}}=\frac{21-20}{0.5}=2$$

由於 $2>1.645$，在顯著水準 $0.05$ 下拒絕 $H_0$。此結果表示有足夠證據支持學生平均年齡大於 $20$ 歲。單尾 $p$ 值約為 $0.0228$，也小於 $0.05$。

(c) 第二類錯誤率

當 $H_1:\mu=\mu_1$ 為真時，若未拒絕 $H_0$，便是樣本平均數沒有超過臨界值 $c$，即 $\bar X\le c$。此時 $\bar X$ 的平均數為 $\mu_1$，標準誤為 $\sigma/\sqrt n$，因此

$$\beta =P_{\mu_1}(\bar X\le c) =\Phi\left(\frac{c-\mu_1}{\sigma/\sqrt n}\right)$$

其中 $\Phi$ 為標準常態分布的累積分布函數。若檢定採顯著水準 $\alpha$，則

$$c=\mu_0+z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

代入可得第二類錯誤率的一般公式：

本題核心概念
本題測驗的是簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression) 的 ANOVA 表 之各項計算、殘差標準誤 與 殘差的正交性（∑eᵢ=0、∑Xᵢeᵢ=0）。必須能把 R 產出的資訊（RSS、自由度、RSE、t 值、F 值等）轉換成 ANOVA 表的格子，同時說明為何會得到這些結果。

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(a)–(h) ANOVA 表的填寫

	DF	SS	MS	F	p‑value
Regression	(a)	2992.39	(e)	(g)	(h)
Error	(b)	425.36	(f)
Total	(c)	(d)

計算步驟說明

1. 自由度 (DF)

   • 迴歸變項只有一個 → $\text{DF}_{\text{Reg}}=1$。
   • 餘差自由度 $= n-2$，題目給出 Residual standard error on 18 degrees of freedom，因此 $\text{DF}_{\text{Err}}=18$。
   • 總自由度 $\text{DF}_{\text{Tot}}=\text{DF}_{\text{Reg}}+\text{DF}_{\text{Err}}=1+18=19$。

   $(a)=1,\;(b)=18,\;(c)=19$

2. 誤差均方 (MS) 與殘差變異 (SS)

   • 題目已給 Residual standard error = 4.861，此即 $\sqrt{\text{MSE}}$。
   • $\text{MSE}= \text{MS}_{\text{Err}} = (4.861)^2 = 23.629\;(≈23.63)$。
   • 由 $\text{MS}_{\text{Err}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{Err}}}{\text{DF}_{\text{Err}}}$ 可得
     $\text{SS}_{\text{Err}} = \text{MS}_{\text{Err}}\times\text{DF}_{\text{Err}} = 23.629\times18 = 425.36$
     （與題目提供的 425.36 完全吻合）

   $(f)=23.629\;(≈23.63)$

3. 迴歸變異 (SS)

   • 已直接給出 Regression SS = 2992.39，故
     $(e)=\frac{\text{SS}_{\text{Reg}}}{\text{DF}_{\text{Reg}}}= \frac{2992.39}{1}=2992.39$

4. 總變異 (SS)

   • 總變異是迴歸變異與誤差變異之和：