114 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所作物乙組《生物統計學》

本題考驗貝氏定理(Bayes' Theorem)在醫學診斷或疾病篩檢上的應用。我們需要計算在診斷結果為陽性的條件下，該稻株確實罹患稻熱病的機率，這是一個典型的後驗機率(Posterior Probability)計算問題。

設：
D：稻株罹患稻熱病 (Disease)
D'：稻株未罹患稻熱病 (No Disease)
P：診斷結果為陽性 (Positive)
N：診斷結果為陰性 (Negative)

根據題目給定的資訊：
稻熱病發生率 (先驗機率)：$P(D) = 0.10$
因此，未罹患稻熱病的機率：$P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.10 = 0.90$

診斷準確率 (真陽性率)：得病稻株診斷為陽性的機率，即 $P(P|D) = 0.95$
未得病稻株的診斷準確性 (真陰性率)：未得病稻株診斷為陰性的機率，即 $P(N|D') = 0.90$

由此可推導出：
偽陽性率 (False Positive Rate)：未得病稻株診斷為陽性的機率，即 $P(P|D') = 1 - P(N|D') = 1 - 0.90 = 0.10$

本題考驗孟德爾遺傳定律，特別是單基因遺傳的機率計算。假設等位基因 A (顯性) 和 a (隱性) 控制某性狀，並且 A 對 a 是顯性。

第一代父母基因型均為 Aa。他們產生的配子機率為：A (0.5) 和 a (0.5)。
根據 Punnett square，第二代子代的基因型及其機率如下：

• AA: 0.5 (A from parent 1) * 0.5 (A from parent 2) = 0.25
• Aa: 0.5 (A from parent 1) * 0.5 (a from parent 2) + 0.5 (a from parent 1) * 0.5 (A from parent 2) = 0.25 + 0.25 = 0.50
• aa: 0.5 (a from parent 1) * 0.5 (a from parent 2) = 0.25

因此，第二代子代的基因型機率分別為：$P(AA) = 0.25$, $P(Aa) = 0.50$, $P(aa) = 0.25$。
相對應的表現型：

• 顯性性狀 (表現出 A)：AA 和 Aa，總機率為 $0.25 + 0.50 = 0.75$
• 隱性性狀 (表現出 a)：aa，機率為 $0.25$

Part (1): 兩人均為顯性性狀的機率
假設第二代有兩個人，且他們的基因型是獨立決定的。
兩人都表現顯性性狀的機率 = (一人表現顯性性狀的機率) * (另一人表現顯性性狀的機率)
$P(\text{兩人都顯性}) = P(\text{顯性}) \times P(\text{顯性}) = 0.75 \times 0.75 = 0.5625$

【答案】0.5625

Part (2): 無人為顯性性狀的機率
「無人為顯性性狀」意味著兩人表現的都是隱性性狀。
兩人表現隱性性狀的機率 = (一人表現隱性性狀的機率) * (另一人表現隱性性狀的機率)
$P(\text{無人顯性}) = P(\text{隱性}) \times P(\text{隱性}) = 0.25 \times 0.25 = 0.0625$

【答案】0.0625

Part (3): 至少一人的基因型為 Aa 的機率
「至少一人基因型為 Aa」的對立事件是「兩人基因型都不是 Aa」。
如果兩人基因型都不是 Aa，則他們只能是 AA 或 aa。
一人基因型不是 Aa 的機率 = $P(AA) + P(aa) = 0.25 + 0.25 = 0.50$
兩人基因型都不是 Aa 的機率 = (一人非 Aa 的機率) * (另一人非 Aa 的機率) = $0.50 \times 0.50 = 0.25$
因此，至少一人基因型為 Aa 的機率 = $1 - P(\text{兩人基因型都不是 Aa})$
$P(\text{至少一人 Aa}) = 1 - 0.25 = 0.75$

另一種計算方法：
$P(\text{至少一人 Aa}) = P(\text{第一人 Aa, 第二人非 Aa}) + P(\text{第一人非 Aa, 第二人 Aa}) + P(\text{兩人都是 Aa})$
$P(\text{第一人 Aa, 第二人非 Aa}) = P(Aa) \times P(\text{非 Aa}) = 0.50 \times 0.50 = 0.25$

本題探討生物表徵（性狀）的數量性遺傳(Quantitative Genetics)與其分佈常態化的原因。

生物的表徵，特別是數量性狀（Quantitative Traits），如稻米的株高、穀粒重、產量等，通常受到多個基因（Polygenic Inheritance）的共同影響。每個影響該性狀的基因對最終的表徵值貢獻一個微小的、累加的效應。此外，環境因素（Environmental Factors）也會對這些性狀產生影響，這些影響也是隨機的、累加的。

根據中央極限定理 (Central Limit Theorem)，當一個變數是由許多獨立的、隨機的隨機變數的總和構成時，這個變數的機率分佈會趨近於常態分佈，即使原始的隨機變數本身並非常態分佈。

在生物性狀的例子中：

1. 多基因效應 (Polygenic Effect)：一個數量性狀通常由許多基因共同決定。每個基因的等位基因對性狀的貢獻是微小的，且這些基因的作用是累加的。

本題考驗對卡方檢定（Chi-squared test）的理解與應用，特別是獨立性檢定（Test of Independence）或適合度檢定（Goodness-of-Fit Test）在比較多組比例或機率時的適用性，以及如何解釋檢定結果。

分析方法是否合理：

教授的研究目的是比較三個品種 (A, B, C) 的種子發芽率是否一致。這是一個典型的分類資料（Categorical Data）比較問題，要檢定的是「品種」與「發芽結果（發芽/未發芽）」這兩個分類變數之間是否存在關聯，或者說，發芽率是否因品種而異。

教授使用了 chisq.test(d)，其中 d 是一個包含觀察頻率的列聯表（Contingency Table）。列聯表如下：

	A	B	C
Germinated	24	21	16
Non-germ.	26	29	34
Total	50	50	50

這個檢定是 Pearson's Chi-squared test，用於檢定列聯表中變數之間的獨立性。在此情境下，它檢定的是「品種」與「發芽結果」是否獨立。如果兩者獨立，則表示發芽率在各品種間沒有差異；如果兩者不獨立，則表示發芽率因品種而異。

檢定步驟與條件：

1. 資料類型：資料是分類資料（品種、發芽狀態），並且是頻率計數。
2. 檢定目的：比較三個群體（品種）的比例（發芽率）。
3. 卡方檢定的適用條件：
   • 樣本是隨機抽樣的。
   • 變數是分類的。
   • 每個觀察值都屬於一個類別（即每個種子只記錄一次）。
   • 期望頻率 (Expected Frequency)：在卡方檢定中，每一個格子的期望頻率不應太小。通常要求所有格子的期望頻率大於 1，且至少 80% 的格子的期望頻率大於 5。

讓我們計算一下期望頻率：
總樣本數 $N = 50 + 50 + 50 = 150$。
總發芽數 $= 24 + 21 + 16 = 61$。
總未發芽數 $= 26 + 29 + 34 = 89$。

期望發芽數 (品種 A) $= (\text{總發芽數} / \text{總樣本數}) \times (\text{品種 A 總數}) = (61 / 150) \times 50 = 61 / 3 \approx 20.33$
期望未發芽數 (品種 A) $= (89 / 150) \times 50 = 89 / 3 \approx 29.67$
同理，對品種 B 和 C：
期望發芽數 (品種 B) $\approx 20.33$

本題考驗單因子變異數分析 (One-way Analysis of Variance, ANOVA) 的計算與解釋。我們需要根據提供的實驗數據，填寫變方分析表 (ANOVA table)，並根據結果做出統計推論。

實驗設計：
此實驗比較三種不同肥料處理 (A, B, C) 對植物組織中磷含量的影響。每個處理有 5 個重複 (1, 2, 3, 4, 5)。這是一個典型的單因子 ANOVA 設計。

數據整理：

• 處理數 (k) = 3 (A, B, C)
• 每處理重複數 (n) = 5
• 總樣本數 (N) = k * n = 3 * 5 = 15

計算總體平均值 ($\bar{X}$)：
$\bar{X} = \frac{\text{所有數據的總和}}{\text{總樣本數}} = \frac{40.3 + 38.6 + 32.9}{15} = \frac{111.8}{15} \approx 7.4533$

計算各處理平均值：
$\bar{X}_A = 40.3 / 5 = 8.06$
$\bar{X}_B = 38.6 / 5 = 7.72$
$\bar{X}_C = 32.9 / 5 = 6.58$

填寫變方分析表 (ANOVA Table)：

1. 自由度 (df)：

   • 處理 (Treatment) 自由度 (1)：處理數減 1。
     $(1) = k - 1 = 3 - 1 = 2$
   • 機差 (Error) 自由度 (2)：總樣本數減處理數。
     $(2) = N - k = 15 - 3 = 12$
   • 總和 (Total) 自由度 (3)：總樣本數減 1。
     $(3) = N - 1 = 15 - 1 = 14$
     (驗證：$df_{\text{Treatment}} + df_{\text{Error}} = 2 + 12 = 14 = df_{\text{Total}}$)

2. 平方和 (Sum of Squares, SS)：

   • 處理 (Treatment) 平方和：計算各處理平均值與總平均值之間的差異，並加權。
     $SS_{\text{Treatment}} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2$
     $SS_{\text{Treatment}} = 5 \times [(8.06 - 7.4533)^2 + (7.72 - 7.4533)^2 + (6.58 - 7.4533)^2]$
     $SS_{\text{Treatment}} = 5 \times [(0.6067)^2 + (0.2667)^2 + (-0.8733)^2]$
     $SS_{\text{Treatment}} = 5 \times [0.3681 + 0.0711 + 0.7627]$
     $SS_{\text{Treatment}} = 5 \times 1.2019 \approx 6.0095$
     (注意：若使用精確值計算，會更接近 6.01)

   • 機差 (Error) 平方和 (2)：這是 ANOVA 表中需要填入的。我們已知 $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Treatment}} + SS_{\text{Error}}$。
     我們先計算 $SS_{\text{Total}}$。
     $SS_{\text{Total}} = \sum_{i=1}^{N} (X_i - \bar{X})^2$
     $SS_{\text{Total}} = (7.6-7.4533)^2 + (8.1-7.4533)^2 + ... + (7.0-7.4533)^2$
     更簡便的方法是計算各組內平方和：
     $SS_{\text{A}} = \sum_{j=1}^5 (X_{Aj} - \bar{X}_A)^2 = (7.6-8.06)^2 + (8.1-8.06)^2 + (7.3-8.06)^2 + (7.9-8.06)^2 + (9.4-8.06)^2$
     $SS_{\text{A}} = (-0.46)^2 + (0.04)^2 + (-0.76)^2 + (-0.16)^2 + (1.34)^2 = 0.2116 + 0.0016 + 0.5776 + 0.0256 + 1.7956 = 2.612$
     $SS_{\text{B}} = \sum_{j=1}^5 (X_{Bj} - \bar{X}_B)^2 = (7.3-7.72)^2 + (7.7-7.72)^2 + (7.7-7.72)^2 + (7.7-7.72)^2 + (8.2-7.72)^2$
     $SS_{\text{B}} = (-0.42)^2 + (-0.02)^2 + (-0.02)^2 + (-0.02)^2 + (0.48)^2 = 0.1764 + 0.0004 + 0.0004 + 0.0004 + 0.2304 = 0.408$
     $SS_{\text{C}} = \sum_{j=1}^5 (X_{Cj} - \bar{X}_C)^2 = (6.9-6.58)^2 + (6.0-6.58)^2 + (5.6-6.58)^2 + (7.4-6.58)^2 + (7.0-6.58)^2$
     $SS_{\text{C}} = (0.32)^2 + (-0.58)^2 + (-0.98)^2 + (0.82)^2 + (0.42)^2 = 0.1024 + 0.3364 + 0.9604 + 0.6724 + 0.1764 = 2.248$

     $SS_{\text{Error}} = SS_{\text{A}} + SS_{\text{B}} + SS_{\text{C}} = 2.612 + 0.408 + 2.248 = 5.268$
     (這個值很接近表格中給出的 $5.27$，很可能是因為原始數據有小數點，計算時四捨五入導致的微小差異。我們就使用 $5.27$ 這個值，因為它出現在表格中，並且是機差的平方和)
     $(2) = SS_{\text{Error}} = 5.27$

   • 總和 (Total) 平方和：
     $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Treatment}} + SS_{\text{Error}} = 6.0095 + 5.268 \approx 11.2775$
     (若使用 $SS_{\text{Error}}=5.27$，則 $SS_{\text{Total}} = 6.0095 + 5.27 = 11.2795$)
     我們也直接計算 $SS_{\text{Total}}$：
     $SS_{\text{Total}} = \sum_{i=1}^3 SS_i = 2.612 + 0.408 + 2.248 = 5.268$ (這是機差的平方和)
     $SS_{\text{Total}} = \sum_{i=1}^{15} (X_i - \bar{X})^2$
     計算所有 15 個數據點與總平均值 $7.4533$ 的平方差總和。