108 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所作物乙組《生物統計學》

核心觀念

本題考查資料「每一筆都加上同一個常數」後，平均數、中位數、標準差與變異係數的變化。

設原本各種麵包售價為

$$x_1,x_2,\ldots,x_n$$

調漲後每種麵包都增加 $5$ 元，因此新售價為

$$y_i=x_i+5$$

需分別判斷各統計量的變化。

解題方法

1. 均值

原均值為

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

調漲後的均值為

$$\bar{y} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+5) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\frac{5n}{n} =\bar{x}+5$$

因此，均值增加 $5$ 元。

2. 中位數

每一個售價都增加相同的 $5$ 元，不會改變資料的排序順序。若原本排序後為

$$x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq\cdots\leq x_{(n)}$$

調漲後仍為

$$x_{(1)}+5\leq x_{(2)}+5\leq\cdots\leq x_{(n)}+5$$

所以中位數也會增加 $5$ 元。

3. 標準差

標準差衡量資料分散程度。調漲後：

$$y_i-\bar{y} =(x_i+5)-(\bar{x}+5) =x_i-\bar{x}$$

每筆資料與平均數的偏差完全不變，因此標準差不變。

以母體標準差為例：

$$\sigma_y =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2} =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} =\sigma_x$$

樣本標準差的結論亦相同。

4. 變異係數

變異係數通常定義為

此題在考驗對常態分布的理解，特別是均值附近區域的機率。

題目已知：

• 分布類型：常態分布 (Normal Distribution)
• 均值 ($\mu$) = 6.5 公斤
• 標準差 ($\sigma$) = 0.5 公斤

要求計算的機率是：單位收量介於6.5公斤和7.5公斤之間，即 $P(6.5 \le X \le 7.5)$。

我們需要將這個範圍轉換為標準常態分布的 Z 分數。
Z 分數的公式為 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。

1. 計算下限 (X = 6.5) 的 Z 分數:
   $Z_1 = \frac{6.5 - 6.5}{0.5} = \frac{0}{0.5} = 0$。

2. 計算上限 (X = 7.5) 的 Z 分數:
   $Z_2 = \frac{7.5 - 6.5}{0.5} = \frac{1.0}{0.5} = 2$。

因此，我們要求計算的機率相當於標準常態分布中 Z 分數介於 0 和 2 之間的機率，即 $P(0 \le Z \le 2)$。

常態分布的特性：

• 均值 $\mu$ 處的機率密度最高。
• 68-95-99.7法則：
  • 約 68% 的數據落在 $\mu \pm 1\sigma$ 之間。
  • 約 95% 的數據落在 $\mu \pm 2\sigma$ 之間。
  • 約 99.7% 的數據落在 $\mu \pm 3\sigma$ 之間。

從法則我們知道：

• $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0.68$。由於對稱性， $P(\mu \le X \le \mu + \sigma) \approx 0.68 / 2 = 0.34$。

此題考驗條件機率與全機率法則的應用。

首先，我們知道 F2 世代的基因型比例為 AA : Aa : aa = 1 : 2 : 1。
這意味著：

• P(AA) = 1/4
• P(Aa) = 2/4 = 1/2
• P(aa) = 1/4

接著，題目給定了在特定環境條件下，不同基因型植株開花的機率：

• P(開花 | AA) = 0.8
• P(開花 | Aa) = 0.5
• P(開花 | aa) = 0.2

我們需要計算的是，在一株「開花的植株」中，其基因型為 AA 的機率。這是一個條件機率問題，我們要求的是 P(AA | 開花)。

根據貝氏定理 (Bayes' Theorem) 或條件機率的定義：
$P(AA | 開花) = \frac{P(AA \cap 開花)}{P(開花)}$

我們需要先計算 $P(AA \cap 開花)$ 和 $P(開花)$。

1. 計算 $P(AA \cap 開花)$:
   這是基因型為 AA 且開花的機率。
   $P(AA \cap 開花) = P(開花 | AA) * P(AA)$
   $P(AA \cap 開花) = 0.8 * (1/4) = 0.8 * 0.25 = 0.20$

此題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 在醫學診斷中的應用，特別是計算偽陽性率 (False Positive Rate) 的條件機率。

我們首先定義幾個事件：

• D: 患有該疾病 (Disease)
• D': 沒有患該疾病 (No Disease)
• Pos: 診斷結果呈陽性 (Positive Result)
• Neg: 診斷結果呈陰性 (Negative Result)

根據題目給定的資訊：

• 患病率 (先驗機率): $P(D) = 0.01$
• 未患病率: $P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.01 = 0.99$
• 靈敏度 (Sensitivity, 真陽性率): $P(Pos | D) = 0.99$ (若有病, 診斷為陽性的機率)
• 偽陽性率 (False Positive Rate): $P(Pos | D') = 0.02$ (若沒病, 診斷為陽性的機率)

題目要求計算「若某人診斷結果為陽性, 求他是偽陽性(false positive)的機率」。
「偽陽性」是指一個人沒有疾病，但診斷結果卻是陽性。
所以，「求他是偽陽性的機率」實際上是在問：在所有診斷結果為陽性的人之中，沒有疾病的比例是多少。
這表示我們要求的是條件機率 $P(D' | Pos)$。

根據貝氏定理：
$P(D' | Pos) = \frac{P(Pos | D') * P(D')}{P(Pos)}$

此題考驗假設檢定與信賴區間之間的關係，特別是單尾檢定時的對應關係。

題目給定的資訊：

• 虛無假說 (Null Hypothesis, H₀): $\mu \ge 5$
• 對立假說 (Alternative Hypothesis, H₁): $\mu < 5$
• 檢定類型：左尾檢定 (Left-tailed test)
• 樣本大小 (n) = 30
• 樣本平均 ($\bar{X}$) = 4.6 小時
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05

我們需要判斷在這種情況下，哪種信賴區間的敘述與拒絕 H₀ 的條件一致。

假設檢定與信賴區間的關係：
對於一個雙尾檢定 H₀: $\mu = \mu_0$ vs H₁: $\mu \ne \mu_0$ 在顯著水準 $\alpha$ 下，如果 $\mu_0$ 不落在 $(1-\alpha)$ 的雙邊信賴區間內，則拒絕 H₀。

對於一個單尾檢定：

• 右尾檢定 H₀: $\mu \le \mu_0$ vs H₁: $\mu > \mu_0$ 在顯著水準 $\alpha$ 下。
  拒絕 H₀ 當樣本統計量大於某個臨界值。
  這相當於 $(1-\alpha)$ 的單邊信賴區間的下限大於 $\mu_0$。
  即，若 $\mu_{lower} > \mu_0$，則拒絕 H₀。

• 左尾檢定 H₀: $\mu \ge \mu_0$ vs H₁: $\mu < \mu_0$ 在顯著水準 $\alpha$ 下。
  拒絕 H₀ 當樣本統計量小於某個臨界值。
  這相當於 $(1-\alpha)$ 的單邊信賴區間的上限小於 $\mu_0$。
  即，若 $\mu_{upper} < \mu_0$，則拒絕 H₀。

在此題目中，我們進行的是左尾檢定，H₀: $\mu \ge 5$ (即 $\mu_0 = 5$)。
我們需要尋找一個敘述，其條件與「單邊信賴區間的上限小於 5」等價。

信賴區間的計算通常需要樣本標準差 (s) 或母體標準差 ($\sigma$)。由於題目未提供母體標準差，且樣本數 n=30，我們應該使用 t 分布。
單邊信賴區間的上限公式為： $\bar{X} + t_{\alpha, n-1} * \frac{s}{\sqrt{n}}$ (右尾) 或 $\bar{X} - t_{\alpha, n-1} * \frac{s}{\sqrt{n}}$ (左尾)。
但這裡我們討論的是信賴區間的「上限」與 $\mu_0$ 的關係，與檢定方向相反。

對於左尾檢定 H₀: $\mu \ge 5$ vs H₁: $\mu < 5$ 在 $\alpha = 0.05$ 下，
拒絕 H₀ 的條件是：樣本平均 $\bar{X}$ 小於某個臨界值 $t_{0.05, n-1} * \frac{s}{\sqrt{n}}$ (相對於 $\mu_0$)。
具體來說，拒絕域是 $\bar{X} < \mu_0 - t_{\alpha, n-1} * \frac{s}{\sqrt{n}}$。

此題考驗假設檢定與信賴區間之間的關係，特別是單尾檢定時的對應關係。

題目給定的資訊：

• 虛無假說 (Null Hypothesis, H₀): $\mu \ge 5$
• 對立假說 (Alternative Hypothesis, H₁): $\mu < 5$
• 檢定類型：左尾檢定 (Left-tailed test)
• 樣本大小 (n) = 30
• 樣本平均 ($\bar{X}$) = 4.6 小時
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05

我們需要判斷在這種情況下，哪種信賴區間的敘述與拒絕 H₀ 的條件一致。

假設檢定與信賴區間的關係：
對於一個雙尾檢定 H₀: $\mu = \mu_0$ vs H₁: $\mu \ne \mu_0$ 在顯著水準 $\alpha$ 下，如果 $\mu_0$ 不落在 $(1-\alpha)$ 的雙邊信賴區間內，則拒絕 H₀。

對於一個單尾檢定：

• 右尾檢定 H₀: $\mu \le \mu_0$ vs H₁: $\mu > \mu_0$ 在顯著水準 $\alpha$ 下。
  拒絕 H₀ 當樣本統計量大於某個臨界值。
  這相當於 $(1-\alpha)$ 的單邊信賴區間的下限大於 $\mu_0$。
  即，若 $\mu_{lower} > \mu_0$，則拒絕 H₀。

• 左尾檢定 H₀: $\mu \ge \mu_0$ vs H₁: $\mu < \mu_0$ 在顯著水準 $\alpha$ 下。
  拒絕 H₀ 當樣本統計量小於某個臨界值。
  這相當於 $(1-\alpha)$ 的單邊信賴區間的上限小於 $\mu_0$。
  即，若 $\mu_{upper} < \mu_0$，則拒絕 H₀。

在此題目中，我們進行的是左尾檢定，H₀: $\mu \ge 5$ (即 $\mu_0 = 5$)。
我們需要尋找一個敘述，其條件與「單邊信賴區間的上限小於 5」等價。

信賴區間的計算通常需要樣本標準差 (s) 或母體標準差 ($\sigma$)。由於題目未提供母體標準差，且樣本數 n=30，我們應該使用 t 分布。

核心觀念

$p$-value 是在虛無假設 $H_0$ 為真時，觀察到「與目前樣本結果同樣極端或更極端」結果的機率。

一般判斷原則為：

• $p$-value 越小，反對 $H_0$ 的證據越強。
• 當 $p\text{-value}<\alpha$ 時，拒絕 $H_0$。
• 當 $p\text{-value}\geq\alpha$ 時，不拒絕 $H_0$。

不同檢定統計量皆可依其抽樣分布計算 $p$-value，例如：

• 獨立性檢定使用 $\chi^2$ 分布。
• 單一常態母體變異數檢定使用 $\chi^2$ 分布。
• 平均值檢定在已知母體變異數時使用 $Z$ 分布。

解題方法

本題逐一檢查各選項對 $p$-value 定義及相關檢定分布的描述是否正確即可。

選項分析

(A) $p$-value 愈大，拒絕虛無假設之證據愈強

錯誤。

$p$-value 表示在 $H_0$ 為真時，取得目前觀察結果或更極端結果的機率。若 $p$-value 很小，表示目前資料在 $H_0$ 下不容易發生，因此反對 $H_0$ 的證據較強。

反之，$p$-value 越大，表示樣本結果與 $H_0$ 越相容，拒絕 $H_0$ 的證據越弱。

(B) 以 $\chi^2$ 分布作獨立性檢定時，無法計算 $p$-value

錯誤。

列聯表的獨立性檢定可利用統計量

$$\chi^2=\sum_i\sum_j \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},$$

其中 $O_{ij}$ 為觀察次數，$E_{ij}$ 為在獨立假設下的期望次數：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總合計}}.$$

在虛無假設「兩個類別變數相互獨立」成立時，統計量近似服從自由度為

$$(r-1)(c-1)$$

的 $\chi^2$ 分布。因此可由右尾機率計算

$$p\text{-value}=P\left(\chi^2_{(r-1)(c-1)} \geq \chi^2_{\text{obs}}\right).$$

所以可以計算 $p$-value。

(C) 以 $\chi^2$ 分布作單一常態族群變異數檢定時，無法計算 $p$-value

錯誤。

核心觀念

本題考的是同一檢定中，顯著水準與拒絕虛無假設的關係。題目所稱的「虛擬假設」，即虛無假設 $H_0$。

顯著水準 $\alpha$ 是檢定所設定的第一類錯誤機率上限；第一類錯誤指的是「$H_0$ 為真，卻將它拒絕」。以 $p$ 值判斷時，拒絕規則為：

$$p\leq \alpha \quad \Longrightarrow \quad \text{拒絕 }H_0。$$

在資料、虛無假設與檢定方法均相同的前提下，$p$ 值固定不變。因此：

• $\alpha$ 越小，拒絕門檻越嚴格，越不容易拒絕 $H_0$。
• $\alpha$ 越大，拒絕門檻越寬鬆，越容易拒絕 $H_0$。

所以，在較嚴格的顯著水準下已能拒絕，在較寬鬆的顯著水準下必定也能拒絕。

解題方法

將題目給定的檢定結果轉換成 $p$ 值的範圍，再與各選項的顯著水準比較。

已知在 $\alpha=0.05$ 下拒絕 $H_0$，故：

$$p\leq 0.05。$$

比較 $\alpha=0.10$：

$$p\leq 0.05<0.10，$$

因此必定符合 $p\leq 0.10$，仍會拒絕 $H_0$。

比較 $\alpha=0.01$，則需判斷是否有 $p\leq 0.01$。題目僅提供 $p\leq 0.05$，不足以決定這件事。例如：

核心觀念

$p$-value 是在虛無假設 $H_0$ 成立時，觀察到目前統計量或更極端結果的機率：

$$p\text{-value}=P(\text{統計量至少和觀察值一樣極端}\mid H_0)$$

顯著水準 $\alpha$ 則是事先設定的判定標準，通常以：

$$p\text{-value}\leq \alpha$$

作為拒絕 $H_0$ 的依據。

因此，$\alpha$ 與 $p$-value 的角色不同：

• $\alpha$ 是研究者事先設定的門檻。
• $p$-value 是根據樣本資料與檢定統計量計算出的數值。

改變 $\alpha$ 不會改變同一組資料所計算出的 $p$-value。

解題方法

題目比較在 $\alpha=0.05$ 與 $\alpha=0.1$ 下的 $p$-value。由於題目並未改變樣本資料、檢定統計量或虛無假設，所計算的 $p$-value 都是同一個數值：

$$p\text{-value}_{\alpha=0.05} = p\text{-value}_{\alpha=0.1}$$

改變的是判斷標準：

• 若 $p\text{-value}\leq 0.05$，在兩種顯著水準下都拒絕 $H_0$。
• 若 $0.05<p\text{-value}\leq 0.1$，在 $\alpha=0.1$ 下拒絕 $H_0$，但在 $\alpha=0.05$ 下不拒絕 $H_0$。

此題考驗樣本數對統計檢定檢定力 (Power) 的影響。

檢定力 (Power) 的定義：在對立假說 (H₁) 為真時，正確拒絕虛無假說 (H₀) 的機率。
Power = $P(\text{Reject } H_0 | H_1 \text{ is true})$

檢定力受到多種因素影響，包括：

1. 顯著水準 ($\alpha$): $\alpha$ 越大，檢定力越大 (因為拒絕 H₀ 的區域變大)。
2. 樣本數 (n): n 越大，檢定力越大 (因為樣本統計量更接近母體參數，估計更精確，標準誤變小)。
3. 母體標準差 ($\sigma$): $\sigma$ 越小，檢定力越大。
4. 效應大小 (Effect size): 兩組參數（如 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，或 $\mu$ 和 $\mu_0$）之間的差異越大，檢定力越大。

題目中：

• 檢定類型：t 檢定，檢定常態族群的平均值。
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05 (固定)。
• 樣本數從 n=12 增加到 n=24。

當樣本數 n 增加時，樣本平均值 $\bar{X}$ 的標準誤 (Standard Error, SE) 會減小。
對於 t 檢定，標準誤的公式為 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$ (其中 s 是樣本標準差)。
當 n 增加時，$\sqrt{n}$ 增加，因此 SE 減小。

檢定力與標準誤呈反比關係。標準誤越小，樣本統計量相對於母體參數的變異就越小，越容易判斷出 H₁ 是否為真。

核心觀念

本題考查「獨立隨機變數總和的變異數」。

設第 $i$ 顆糖果重量為 $X_i$，已知：

$$E(X_i)=\mu=0.5\text{ 克}$$ $$\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2=(0.05)^2=0.0025\text{ 克}^2$$

一盒含有 $20$ 顆糖果，整盒淨重為：

$$Y=X_1+X_2+\cdots+X_{20}$$

若各顆糖果重量彼此獨立，則總和的變異數等於各變異數總和：

$$\operatorname{Var}(Y) =\sum_{i=1}^{20}\operatorname{Var}(X_i) =20\sigma^2$$

因此，本題的關鍵不是單顆糖果重量的平均數 $\mu$，而是單顆重量的變異數 $\sigma^2$。

解題方法

先將標準差平方，求出單顆糖果重量的變異數：

$$\sigma^2=(0.05)^2=0.0025$$

再利用獨立同分布隨機變數總和的變異數公式：

$$\operatorname{Var}(Y)=n\sigma^2$$

其中 $n=20$，所以：

$$\operatorname{Var}(Y) =20(0.0025) =0.05$$

故每盒糖果淨重的變異數為 $0.05\text{ 克}^2$。題目選項將單位簡寫為「克」，對應選項為 (C)。

補充而言，每盒淨重的平均數為：

$$E(Y)=20\mu=20(0.5)=10\text{ 克}$$

但本題詢問的是變異數，因此不使用 $20\mu$ 作為答案。

選項分析

此題考驗對決定係數 (R²) 的理解及其與迴歸模型參數的關係。

決定係數 (R²) 的定義：
R² 表示自變數 (X) 可以解釋依變數 (Y) 總變異的比例。
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中：

• SST (Total Sum of Squares): 依變數總變異。
• SSR (Regression Sum of Squares): 模型解釋的變異。
• SSE (Error Sum of Squares): 模型未解釋的變異 (殘差變異)。

R² 的值介於 0 到 1 之間。
$R^2 = 0.975$ 表示自變數可以解釋依變數 97.5% 的變異，這是一個非常高的解釋力。

題目要求判斷關於迴歸線斜率的敘述何者為真。
迴歸線的斜率 ($\beta$) 代表自變數 X 每增加一個單位時，依變數 Y 的預期平均變化量。
簡單線性迴歸模型為：$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $\beta_1$ 是斜率。

R² 與斜率 $\beta_1$ 的關係：
R² 本身 不直接等於 斜率。R² 是一個比例，而斜率是變數之間的關係的「斜度」。
所以選項 (A) 0.975 和 (B) 0.987 (這個數字似乎是隨機給的，但與 R² 無關) 都是不正確的。

R² 衡量的是 X 對 Y 的解釋能力。

• 如果 R² 很高 (如 0.975)，這表示 X 和 Y 之間存在很強的線性關係。
• 但是，這種強的線性關係可以是正相關 (斜率為正) 或負相關 (斜率為負)。
  • 例如，若 X 增加，Y 也顯著增加，則斜率為正，R² 會很高。
  • 若 X 增加，Y 顯著減少，則斜率為負，R² 也會很高。

此題考驗對二項分布的比例估計的抽樣分布的理解。

題目給定的資訊：

• 種子發芽率 (母體比例, $p$) = 0.20
• 樣本數 (n) = 100

我們要觀察的是「發芽個數」，這是一個二項分布。
設 Y 為樣本中發芽的種子數。則 $Y \sim Binomial(n=100, p=0.20)$。

• Y 的期望值 $E[Y] = n * p = 100 * 0.20 = 20$。
• Y 的變異數 $Var(Y) = n * p * (1-p) = 100 * 0.20 * (1-0.20) = 100 * 0.20 * 0.80 = 16$。
• Y 的標準差 $SD(Y) = \sqrt{16} = 4$。

題目問的是「樣本比例的抽樣分佈」。
樣本比例 ($\hat{p}$) 的定義是：$\hat{p} = \frac{Y}{n}$。

1. 樣本比例的期望值 (Mean of the sampling distribution of the proportion):
   $E[\hat{p}] = E[\frac{Y}{n}] = \frac{1}{n} E[Y] = \frac{1}{n} (np) = p$。
   所以，$\hat{p}$ 的期望值為 $p = 0.20$。

2. 樣本比例的變異數 (Variance of the sampling distribution of the proportion):
   $Var(\hat{p}) = Var(\frac{Y}{n}) = (\frac{1}{n})^2 Var(Y) = \frac{1}{n^2} (np(1-p)) = \frac{p(1-p)}{n}$。
   所以，$\hat{p}$ 的變異數為 $\frac{0.20 * (1-0.20)}{100} = \frac{0.20 * 0.80}{100} = \frac{0.16}{100} = 0.0016$。

此題是上一題的延續，要求計算樣本比例超過某值的機率，需要用到樣本比例的抽樣分布。

從上一題的結論，我們知道樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分布近似為常態分布，其參數為：

• 均值 $\mu_{\hat{p}} = p = 0.20$
• 標準差 $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 0.04$

我們要求計算的機率是 $\hat{p} > 0.24$。
為了計算這個機率，我們需要將 $\hat{p} = 0.24$ 轉換為 Z 分數。
$Z = \frac{\hat{p} - \mu_{\hat{p}}}{\sigma_{\hat{p}}}$

此題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解。

中央極限定理的核心內容是：
不論母體分布為何種形狀，只要從該母體中抽取足夠大的隨機樣本（通常認為 n ≥ 30 即可視為足夠大），則樣本平均值的抽樣分布將近似於常態分布。

讓我們逐一分析各選項：

(A) 假如樣本數大於30,則所有隨機變數近似常態分佈

• 中央極限定理講的是樣本平均值的抽樣分布近似常態，而不是「所有隨機變數」本身。
• 母體分布本身不一定是常態的，即使樣本數大於30，母體中的單一隨機變數也不一定近似常態。
• 例如，母體是均勻分布，但樣本平均值卻會趨近常態。
• 因此，此敘述是錯誤的。

(B) 當母群體很大時,母群體分佈近似常態分佈

• 母體分布的形狀與母體的大小無關。母體可以是常態分布，也可以是其他任何分布。
• 中央極限定理的重點在於，即使母體不是常態分布，只要樣本數足夠大，樣本平均值的分布就會近似常態。

這是一個結合敘述統計與假設檢定的題目。

第一部分：莖葉圖 (Stem-leaf plot)

莖葉圖是一種顯示數據分布的方法，它將每個數據點分成兩部分：莖 (stem) 和葉 (leaf)。
通常，莖是數據的前幾位數字，葉是最後一位數字。

數據如下 (單位: 公尺):
0.9, 1.5, 1.9, 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 3.0, 3.3

我們可以將數據的小數點前的數字作為「莖」，小數點後的數字作為「葉」。
為了處理小數，我們通常會將數據乘以10，然後再決定莖和葉。
或者，我們可以保留小數點，並在圖中註明單位。

讓我們將數據乘以10，得到整數：
9, 15, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 30, 33

現在，我們可以定義莖和葉。
例如，莖可以是一位數，葉是最後一位數。

• 莖 0: 葉 9 (代表 0.9)
• 莖 1: 葉 5, 9 (代表 1.5, 1.9)
• 莖 2: 葉 1, 2, 3, 6, 7 (代表 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7)
• 莖 3: 葉 0, 3 (代表 3.0, 3.3)

繪製莖葉圖：

Stem-leaf plot of root length (meters)

Stem | Leaves
-----|-----------------------
0    | 9
1    | 5 9
2    | 1 2 3 6 7
3    | 0 3

Key: 2 | 1 represents 2.1 meters.

這個圖清晰地展示了數據的分布，數據集中在 2.x 的範圍，並且有從 0.9 到 3.3 的範圍。

第二部分：學生氏 t 檢定 (Student's t-test)

這是單一樣本的右尾檢定。

• 虛無假說 (H₀): $\mu \le 2.0$ (母體平均根長小於或等於 2.0 公尺)
• 對立假說 (H₁): $\mu > 2.0$ (母體平均根長大於 2.0 公尺)
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05
• 樣本數 (n) = 10
• 數據 (公尺): 0.9, 1.5, 1.9, 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 3.0, 3.3

步驟 1: 計算樣本平均值 ($\bar{X}$) 和樣本標準差 (s)

樣本平均值:
$\bar{X} = \frac{0.9 + 1.5 + 1.9 + 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.6 + 2.7 + 3.0 + 3.3}{10}$
$\bar{X} = \frac{20.5}{10} = 2.05$ 公尺

樣本標準差 (s) 的計算：
首先計算樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$。
$X_i - \bar{X}$:
0.9 - 2.05 = -1.15
1.5 - 2.05 = -0.55
1.9 - 2.05 = -0.15
2.1 - 2.05 = 0.05
2.2 - 2.05 = 0.15
2.3 - 2.05 = 0.25
2.6 - 2.05 = 0.55

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸：

$$Y_i=a+\beta X_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $X$：氮肥量（mg/pot）
• $Y$：玉米果穗乾重（mg）
• $a$：截距
• $\beta$：迴歸斜率

最小平方法估計式為：

$$\hat{\beta}=r\frac{S_Y}{S_X}$$ $$\hat{a}=\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X}$$

而決定係數為：

$$R^2=r^2$$

由散布圖可知氮肥量與玉米乾重呈正向關係，因此取正相關係數：

$$r=\sqrt{0.934}=0.9664$$

---

解題方法

（A）估計簡單線性迴歸方程式

已知：

$$\bar{X}=50.00,\qquad S_X=34.891$$ $$\bar{Y}=348.25,\qquad S_Y=190.235$$

因此斜率估計值為：

$$\hat{\beta} =r\frac{S_Y}{S_X} =0.9664\left(\frac{190.235}{34.891}\right) \approx 5.269$$

截距估計值為：

$$\hat{a} =\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X}$$ $$\hat{a} =348.25-(5.269)(50) \approx 84.79$$

所以最小平方法估計的迴歸方程式為：

$$\boxed{\hat{Y}=84.79+5.269X}$$

其中，斜率 $5.269$ 的意義是：氮肥量每增加 $1$ mg/pot，預測玉米果穗乾重平均增加約 $5.269$ mg。

---

（B）檢定氮肥量是否為顯著因子

1. 檢定假說

要判斷氮肥量是否為玉米乾重的顯著預測因子，即檢定迴歸斜率是否為零：

$$H_0:\beta=0$$ $$H_1:\beta\ne 0$$

這是雙尾檢定，顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

此題考驗兩個獨立樣本比例的信賴區間計算與解釋。

第一部分：計算兩種黃豆發芽率差異的 95% 信賴區間

我們有兩個獨立的樣本比例：

1. 非基改黃豆 (Group 1):

   • 樣本數 $n_1 = 400$
   • 發芽數 $x_1 = 52$
   • 樣本比例 $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{52}{400} = 0.13$

2. 基改黃豆 (Group 2):

   • 樣本數 $n_2 = 400$
   • 發芽數 $x_2 = 40$
   • 樣本比例 $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{40}{400} = 0.10$

我們要計算的是發芽率差異 $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)$ 的 95% 信賴區間。
信賴區間的公式為：
$(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$

其中：

• $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)$ 是樣本比例的差異。
• $Z_{\alpha/2}$ 是對應於 $(1-\alpha)$ 信賴水準的標準常態分布臨界值。對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$，所以 $Z_{0.025} = 1.96$。
• $\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$ 是樣本比例差異的標準誤 (Standard Error, SE)。

計算步驟：

1. 計算樣本比例差異:
   $\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.13 - 0.10 = 0.03$

2. 計算標準誤:
   $\hat{p}_1(1-\hat{p}_1) = 0.13 * (1-0.13) = 0.13 * 0.87 = 0.1131$
   $\hat{p}_2(1-\hat{p}_2) = 0.10 * (1-0.10) = 0.10 * 0.90 = 0.0900$

此題是單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，用於比較五組獨立樣本的平均值是否有顯著差異。

第一部分：完成變方分析表 (ANOVA Table)

ANOVA 表的目的是分解總變異 (SST) 為組間變異 (SSB 或 SSR) 和組內變異 (SSE)。

• SST (Total Sum of Squares): 總平方和。
• SSB (Sum of Squares Between groups) 或 SSR (Sum of Squares Regression): 組間平方和，代表不同組平均值之間的變異。
• SSE (Sum of Squares Within groups or Error): 組內平方和，代表各組內部數據的變異。

基本關係式： $SST = SSB + SSE$

題目給定：

• 組數 (k) = 5 (五種不同飼料)
• 每組樣本數 (n) = 10 (每種飼料餵養10隻天竺鼠)
• 總樣本數 (N) = k * n = 5 * 10 = 50
• SST (總平方和) = 250
• MSE (誤差均方) = 3

計算步驟：

1. 計算 SSE (組內平方和):
   MSE 是 SSE 除以其自由度 (dfE)。
   $dfE = N - k = 50 - 5 = 45$。
   $MSE = \frac{SSE}{dfE}$
   $SSE = MSE * dfE = 3 * 45 = 135$

2. 計算 SSB (組間平方和):
   $SST = SSB + SSE$
   $SSB = SST - SSE = 250 - 135 = 115$

3. 計算組間均方 (MSB):
   MSB 是 SSB 除以其自由度 (dfB)。
   $dfB = k - 1 = 5 - 1 = 4$。
   $MSB = \frac{SSB}{dfB} = \frac{115}{4} = 28.75$

4. 計算 F 統計量:
   $F = \frac{MSB}{MSE} = \frac{28.75}{3} \approx 9.583$

填寫 ANOVA 表：

變異來源	自由度 (df)	平方和 (SS)	均方 (MS)	F 統計量	p-value
組間 (Between)	k - 1 = 4	SSB = 115	MSB = 28.75	F = 9.583
組內 (Within/Error)	N - k = 45	SSE = 135	MSE = 3
總計 (Total)	N - 1 = 49	SST = 250

(A) ANOVA 表:

變異來源	自由度 (df)	平方和 (SS)	均方 (MS)	F 統計量
組間	4	115	28.75	9.583
組內	45	135	3

此題考驗兩個類別變數之間的關聯性檢定，使用卡方檢定 (Chi-squared test)。

第一部分：檢定假說

我們想檢定「區域」與「是否患有過敏疾病」這兩個類別變數之間是否存在關聯。

• 虛無假說 (H₀): 區域與過敏疾病無關 (獨立)。
• 對立假說 (H₁): 區域與過敏疾病有關 (不獨立)。

第二部分：檢定統計量與方法

• 方法: 卡方獨立性檢定 (Chi-squared test for independence)。
• 檢定統計量: $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
  其中：
  • $O_{ij}$ 是觀察到的次數 (Observed frequency)，即表格中的數據。
  • $E_{ij}$ 是期望的次數 (Expected frequency)，若 H₀ 為真時，該格子的預期數量。
  • $i$ 代表列 (過敏疾病：是/否)，$j$ 代表欄 (區域：北/中/南)。

計算步驟：

1. 計算邊際總計:

   • 過敏是: $8 + 6 + 12 = 26$
   • 過敏否: $54 + 62 + 58 = 174$
   • 總計: $26 + 174 = 200$
   • 北區總計: $8 + 54 = 62$
   • 中區總計: $6 + 62 = 68$
   • 南區總計: $12 + 58 = 70$
   • 總計: $62 + 68 + 70 = 200$

2. 計算期望次數 ($E_{ij}$):
   期望次數的公式為：$E_{ij} = \frac{(\text{列總計}) \times (\text{欄總計})}{\text{總計}}$

   • $E_{11}$ (過敏是, 北區): $\frac{26 \times 62}{200} = \frac{1612}{200} = 8.06$
   • $E_{12}$ (過敏是, 中區): $\frac{26 \times 68}{200} = \frac{1768}{200} = 8.84$
   • $E_{13}$ (過敏是, 南區): $\frac{26 \times 70}{200} = \frac{1820}{200} = 9.10$
   • $E_{21}$ (過敏否, 北區): $\frac{174 \times 62}{200} = \frac{10788}{200} = 53.94$
   • $E_{22}$ (過敏否, 中區): $\frac{174 \times 68}{200} = \frac{11832}{200} = 59.16$
   • $E_{23}$ (過敏否, 南區): $\frac{174 \times 70}{200} = \frac{12180}{200} = 60.90$

   檢查期望次數總計是否等於總計：$8.06+8.84+9.10+53.94+59.16+60.90 = 200$。

3. 計算卡方統計量 ($\chi^2$):
   $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

   • 格 (1,1): $\frac{(8 - 8.06)^2}{8.06} = \frac{(-0.06)^2}{8.06} = \frac{0.0036}{8.06} \approx 0.0004$

此題提供兩張統計表，分別為卡方分布的百分位數對照表和標準常態分布的右尾機率對照表。這些表格是為了方便考生在進行假設檢定時查找臨界值或機率。

表格說明：

*表一：卡方分布第 (1-α)100 百分位數對照表

• 此表格列出了不同自由度 (df) 下，卡方分布的臨界值。
• 欄位標示的 $\alpha$ 通常指的是右尾機率。例如，當 $\alpha = 0.05$ 時，表格中對應的值是卡方分布右尾機率為 0.05 的臨界值。
• 表格中的值是 $x$，使得 $P(\chi^2 \ge x) = \alpha$ (對於單尾)。
• 或者，如果它表示百分位數，例如第 (1-α)*100 個百分位數，則意味著該值左邊有 (1-α)*100 的機率。
  • 例如，當 $\alpha=0.05$，則 $1-\alpha=0.95$。表格中的值是第 95 個百分位數。
  • 在獨立性檢定中，我們常用右尾檢定，所以表格中的值 $x$ 滿足 $P(\chi^2 \ge x) = \alpha$。
  • 根據表格標示：例如，df=2, $\alpha=0.05$ 時，值為 5.9915。這表示 $P(\chi^2 \ge 5.9915) = 0.05$ (當 df=2)。
  • 注意: 表格中的 $\alpha$ 欄位標示為 0.975, 0.95, 0.9, 0.1, 0.05, 0.025。這意味著它給出了左尾機率 (累積機率) 或右尾機率。
    • 例如，df=2, $\alpha=0.05$ 時，值為 5.9915。這通常是右尾臨界值，即 $P(\chi^2 \ge 5.9915) = 0.05$。
    • df=2, $\alpha=0.95$ 時，值為 0.1026。

核心觀念

本題考的是同一檢定中，顯著水準與拒絕虛無假設的關係。題目所稱的「虛擬假設」，即虛無假設 $H_0$。

顯著水準 $\alpha$ 是檢定所設定的第一類錯誤機率上限；第一類錯誤指的是「$H_0$ 為真，卻將它拒絕」。以 $p$ 值判斷時，拒絕規則為：

$$p\leq \alpha \quad \Longrightarrow \quad \text{拒絕 }H_0。$$

在資料、虛無假設與檢定方法均相同的前提下，$p$ 值固定不變。因此：

• $\alpha$ 越小，拒絕門檻越嚴格，越不容易拒絕 $H_0$。
• $\alpha$ 越大，拒絕門檻越寬鬆，越容易拒絕 $H_0$。

所以，在較嚴格的顯著水準下已能拒絕，在較寬鬆的顯著水準下必定也能拒絕。

解題方法

將題目給定的檢定結果轉換成 $p$ 值的範圍，再與各選項的顯著水準比較。

已知在 $\alpha=0.05$ 下拒絕 $H_0$，故：

$$p\leq 0.05。$$

比較 $\alpha=0.10$：

$$p\leq 0.05<0.10，$$

因此必定符合 $p\leq 0.10$，仍會拒絕 $H_0$。

比較 $\alpha=0.01$，則需判斷是否有 $p\leq 0.01$。題目僅提供 $p\leq 0.05$，不足以決定這件事。例如：

核心觀念

$p$-value 是在虛無假設 $H_0$ 成立時，觀察到目前統計量或更極端結果的機率：

$$p\text{-value}=P(\text{統計量至少和觀察值一樣極端}\mid H_0)$$

顯著水準 $\alpha$ 則是事先設定的判定標準，通常以：

$$p\text{-value}\leq \alpha$$

作為拒絕 $H_0$ 的依據。

因此，$\alpha$ 與 $p$-value 的角色不同：

• $\alpha$ 是研究者事先設定的門檻。
• $p$-value 是根據樣本資料與檢定統計量計算出的數值。

改變 $\alpha$ 不會改變同一組資料所計算出的 $p$-value。

解題方法

題目比較在 $\alpha=0.05$ 與 $\alpha=0.1$ 下的 $p$-value。由於題目並未改變樣本資料、檢定統計量或虛無假設，所計算的 $p$-value 都是同一個數值：

$$p\text{-value}_{\alpha=0.05} = p\text{-value}_{\alpha=0.1}$$

改變的是判斷標準：

• 若 $p\text{-value}\leq 0.05$，在兩種顯著水準下都拒絕 $H_0$。
• 若 $0.05<p\text{-value}\leq 0.1$，在 $\alpha=0.1$ 下拒絕 $H_0$，但在 $\alpha=0.05$ 下不拒絕 $H_0$。

此題考驗樣本數對統計檢定檢定力 (Power) 的影響。

檢定力 (Power) 的定義：在對立假說 (H₁) 為真時，正確拒絕虛無假說 (H₀) 的機率。
Power = $P(\text{Reject } H_0 | H_1 \text{ is true})$

檢定力受到多種因素影響，包括：

1. 顯著水準 ($\alpha$): $\alpha$ 越大，檢定力越大 (因為拒絕 H₀ 的區域變大)。
2. 樣本數 (n): n 越大，檢定力越大 (因為樣本統計量更接近母體參數，估計更精確，標準誤變小)。
3. 母體標準差 ($\sigma$): $\sigma$ 越小，檢定力越大。
4. 效應大小 (Effect size): 兩組參數（如 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，或 $\mu$ 和 $\mu_0$）之間的差異越大，檢定力越大。

題目中：

• 檢定類型：t 檢定，檢定常態族群的平均值。
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05 (固定)。
• 樣本數從 n=12 增加到 n=24。

當樣本數 n 增加時，樣本平均值 $\bar{X}$ 的標準誤 (Standard Error, SE) 會減小。
對於 t 檢定，標準誤的公式為 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$ (其中 s 是樣本標準差)。
當 n 增加時，$\sqrt{n}$ 增加，因此 SE 減小。

檢定力與標準誤呈反比關係。標準誤越小，樣本統計量相對於母體參數的變異就越小，越容易判斷出 H₁ 是否為真。

核心觀念

本題考查「獨立隨機變數總和的變異數」。

設第 $i$ 顆糖果重量為 $X_i$，已知：

$$E(X_i)=\mu=0.5\text{ 克}$$ $$\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2=(0.05)^2=0.0025\text{ 克}^2$$

一盒含有 $20$ 顆糖果，整盒淨重為：

$$Y=X_1+X_2+\cdots+X_{20}$$

若各顆糖果重量彼此獨立，則總和的變異數等於各變異數總和：

$$\operatorname{Var}(Y) =\sum_{i=1}^{20}\operatorname{Var}(X_i) =20\sigma^2$$

因此，本題的關鍵不是單顆糖果重量的平均數 $\mu$，而是單顆重量的變異數 $\sigma^2$。

解題方法

先將標準差平方，求出單顆糖果重量的變異數：

$$\sigma^2=(0.05)^2=0.0025$$

再利用獨立同分布隨機變數總和的變異數公式：

$$\operatorname{Var}(Y)=n\sigma^2$$

其中 $n=20$，所以：

$$\operatorname{Var}(Y) =20(0.0025) =0.05$$

故每盒糖果淨重的變異數為 $0.05\text{ 克}^2$。題目選項將單位簡寫為「克」，對應選項為 (C)。

補充而言，每盒淨重的平均數為：

$$E(Y)=20\mu=20(0.5)=10\text{ 克}$$

但本題詢問的是變異數，因此不使用 $20\mu$ 作為答案。

選項分析

此題考驗對決定係數 (R²) 的理解及其與迴歸模型參數的關係。

決定係數 (R²) 的定義：
R² 表示自變數 (X) 可以解釋依變數 (Y) 總變異的比例。
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中：

• SST (Total Sum of Squares): 依變數總變異。
• SSR (Regression Sum of Squares): 模型解釋的變異。
• SSE (Error Sum of Squares): 模型未解釋的變異 (殘差變異)。

R² 的值介於 0 到 1 之間。
$R^2 = 0.975$ 表示自變數可以解釋依變數 97.5% 的變異，這是一個非常高的解釋力。

題目要求判斷關於迴歸線斜率的敘述何者為真。
迴歸線的斜率 ($\beta$) 代表自變數 X 每增加一個單位時，依變數 Y 的預期平均變化量。
簡單線性迴歸模型為：$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $\beta_1$ 是斜率。

R² 與斜率 $\beta_1$ 的關係：
R² 本身 不直接等於 斜率。R² 是一個比例，而斜率是變數之間的關係的「斜度」。
所以選項 (A) 0.975 和 (B) 0.987 (這個數字似乎是隨機給的，但與 R² 無關) 都是不正確的。

R² 衡量的是 X 對 Y 的解釋能力。

• 如果 R² 很高 (如 0.975)，這表示 X 和 Y 之間存在很強的線性關係。
• 但是，這種強的線性關係可以是正相關 (斜率為正) 或負相關 (斜率為負)。
  • 例如，若 X 增加，Y 也顯著增加，則斜率為正，R² 會很高。
  • 若 X 增加，Y 顯著減少，則斜率為負，R² 也會很高。

此題考驗對二項分布的比例估計的抽樣分布的理解。

題目給定的資訊：

• 種子發芽率 (母體比例, $p$) = 0.20
• 樣本數 (n) = 100

我們要觀察的是「發芽個數」，這是一個二項分布。
設 Y 為樣本中發芽的種子數。則 $Y \sim Binomial(n=100, p=0.20)$。

• Y 的期望值 $E[Y] = n * p = 100 * 0.20 = 20$。
• Y 的變異數 $Var(Y) = n * p * (1-p) = 100 * 0.20 * (1-0.20) = 100 * 0.20 * 0.80 = 16$。
• Y 的標準差 $SD(Y) = \sqrt{16} = 4$。

題目問的是「樣本比例的抽樣分佈」。
樣本比例 ($\hat{p}$) 的定義是：$\hat{p} = \frac{Y}{n}$。

1. 樣本比例的期望值 (Mean of the sampling distribution of the proportion):
   $E[\hat{p}] = E[\frac{Y}{n}] = \frac{1}{n} E[Y] = \frac{1}{n} (np) = p$。
   所以，$\hat{p}$ 的期望值為 $p = 0.20$。

2. 樣本比例的變異數 (Variance of the sampling distribution of the proportion):
   $Var(\hat{p}) = Var(\frac{Y}{n}) = (\frac{1}{n})^2 Var(Y) = \frac{1}{n^2} (np(1-p)) = \frac{p(1-p)}{n}$。
   所以，$\hat{p}$ 的變異數為 $\frac{0.20 * (1-0.20)}{100} = \frac{0.20 * 0.80}{100} = \frac{0.16}{100} = 0.0016$。

此題是上一題的延續，要求計算樣本比例超過某值的機率，需要用到樣本比例的抽樣分布。

從上一題的結論，我們知道樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分布近似為常態分布，其參數為：

• 均值 $\mu_{\hat{p}} = p = 0.20$
• 標準差 $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 0.04$

我們要求計算的機率是 $\hat{p} > 0.24$。
為了計算這個機率，我們需要將 $\hat{p} = 0.24$ 轉換為 Z 分數。
$Z = \frac{\hat{p} - \mu_{\hat{p}}}{\sigma_{\hat{p}}}$

此題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解。

中央極限定理的核心內容是：
不論母體分布為何種形狀，只要從該母體中抽取足夠大的隨機樣本（通常認為 n ≥ 30 即可視為足夠大），則樣本平均值的抽樣分布將近似於常態分布。

讓我們逐一分析各選項：

(A) 假如樣本數大於30,則所有隨機變數近似常態分佈

• 中央極限定理講的是樣本平均值的抽樣分布近似常態，而不是「所有隨機變數」本身。
• 母體分布本身不一定是常態的，即使樣本數大於30，母體中的單一隨機變數也不一定近似常態。
• 例如，母體是均勻分布，但樣本平均值卻會趨近常態。
• 因此，此敘述是錯誤的。

(B) 當母群體很大時,母群體分佈近似常態分佈

• 母體分布的形狀與母體的大小無關。母體可以是常態分布，也可以是其他任何分布。
• 中央極限定理的重點在於，即使母體不是常態分布，只要樣本數足夠大，樣本平均值的分布就會近似常態。

這是一個結合敘述統計與假設檢定的題目。

第一部分：莖葉圖 (Stem-leaf plot)

莖葉圖是一種顯示數據分布的方法，它將每個數據點分成兩部分：莖 (stem) 和葉 (leaf)。
通常，莖是數據的前幾位數字，葉是最後一位數字。

數據如下 (單位: 公尺):
0.9, 1.5, 1.9, 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 3.0, 3.3

我們可以將數據的小數點前的數字作為「莖」，小數點後的數字作為「葉」。
為了處理小數，我們通常會將數據乘以10，然後再決定莖和葉。
或者，我們可以保留小數點，並在圖中註明單位。

讓我們將數據乘以10，得到整數：
9, 15, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 30, 33

現在，我們可以定義莖和葉。
例如，莖可以是一位數，葉是最後一位數。

• 莖 0: 葉 9 (代表 0.9)
• 莖 1: 葉 5, 9 (代表 1.5, 1.9)
• 莖 2: 葉 1, 2, 3, 6, 7 (代表 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7)
• 莖 3: 葉 0, 3 (代表 3.0, 3.3)

繪製莖葉圖：

Stem-leaf plot of root length (meters)

Stem | Leaves
-----|-----------------------
0    | 9
1    | 5 9
2    | 1 2 3 6 7
3    | 0 3

Key: 2 | 1 represents 2.1 meters.

這個圖清晰地展示了數據的分布，數據集中在 2.x 的範圍，並且有從 0.9 到 3.3 的範圍。

第二部分：學生氏 t 檢定 (Student's t-test)

這是單一樣本的右尾檢定。

• 虛無假說 (H₀): $\mu \le 2.0$ (母體平均根長小於或等於 2.0 公尺)
• 對立假說 (H₁): $\mu > 2.0$ (母體平均根長大於 2.0 公尺)
• 顯著水準 ($\alpha$) = 0.05
• 樣本數 (n) = 10
• 數據 (公尺): 0.9, 1.5, 1.9, 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 3.0, 3.3

步驟 1: 計算樣本平均值 ($\bar{X}$) 和樣本標準差 (s)

樣本平均值:
$\bar{X} = \frac{0.9 + 1.5 + 1.9 + 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.6 + 2.7 + 3.0 + 3.3}{10}$
$\bar{X} = \frac{20.5}{10} = 2.05$ 公尺

樣本標準差 (s) 的計算：
首先計算樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$。
$X_i - \bar{X}$:
0.9 - 2.05 = -1.15
1.5 - 2.05 = -0.55
1.9 - 2.05 = -0.15
2.1 - 2.05 = 0.05
2.2 - 2.05 = 0.15
2.3 - 2.05 = 0.25
2.6 - 2.05 = 0.55

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸：

$$Y_i=a+\beta X_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $X$：氮肥量（mg/pot）
• $Y$：玉米果穗乾重（mg）
• $a$：截距
• $\beta$：迴歸斜率

最小平方法估計式為：

$$\hat{\beta}=r\frac{S_Y}{S_X}$$ $$\hat{a}=\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X}$$

而決定係數為：

$$R^2=r^2$$

由散布圖可知氮肥量與玉米乾重呈正向關係，因此取正相關係數：

$$r=\sqrt{0.934}=0.9664$$

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解題方法

（A）估計簡單線性迴歸方程式

已知：

$$\bar{X}=50.00,\qquad S_X=34.891$$ $$\bar{Y}=348.25,\qquad S_Y=190.235$$

因此斜率估計值為：

$$\hat{\beta} =r\frac{S_Y}{S_X} =0.9664\left(\frac{190.235}{34.891}\right) \approx 5.269$$

截距估計值為：

$$\hat{a} =\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X}$$ $$\hat{a} =348.25-(5.269)(50) \approx 84.79$$

所以最小平方法估計的迴歸方程式為：

$$\boxed{\hat{Y}=84.79+5.269X}$$

其中，斜率 $5.269$ 的意義是：氮肥量每增加 $1$ mg/pot，預測玉米果穗乾重平均增加約 $5.269$ mg。

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（B）檢定氮肥量是否為顯著因子

1. 檢定假說

要判斷氮肥量是否為玉米乾重的顯著預測因子，即檢定迴歸斜率是否為零：

$$H_0:\beta=0$$ $$H_1:\beta\ne 0$$

這是雙尾檢定，顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$