115 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所作物乙組《生物統計學》

本題考查對準確度 (Accuracy) 與精密度 (Precision) 的理解。準確度是指測量結果的平均值與真值之間的接近程度；精密度是指多次測量結果之間的接近程度。

本題考查統計學的基本流程。圖二展示了一個統計分析的流程圖，其中包含了族群 (Population)、樣本 (Sample)、母數 (Parameter) 和統計量 (Statistic)。
A 代表從族群中抽取樣本 (Sampling)。
B 代表根據樣本數據計算出統計量 (Statistic)，例如樣本平均數。
C 代表根據樣本統計量對族群母數進行推論 (Inference)，例如估計或檢定。
D 代表從推論結果回到樣本或族群的理解，可能包含進一步的計算或驗證。

本題考查製作分組次數分布表 (Grouped Frequency Distribution Table) 的步驟。製作分組次數分布表通常需要以下幾個步驟：

1. 決定組數 (Number of Classes)：首先需要決定要將數據分成幾組。常見的方法有 Sturges' Rule ($k = 1 + 3.322 \log_{10} n$) 或平方根法則 ($\sqrt{n}$)，其中 $n$ 為樣本數。

本題考查如何從莖葉圖 (Stem-and-Leaf Plot) 中提取數據並計算平均值。
圖三的莖葉圖如下：

莖葉圖的葉代表個位數，莖代表十位數（或更高位數）。
數據點為：
8.0, 8.4, 8.8
9.0, 9.0, 9.1, 9.3, 9.4, 9.5, 9.5, 9.6, 9.6, 9.8, 9.8
10.0, 10.0, 10.0, 10.0, 10.0, 10.0, 10.0, 10.0, 10.0, 10.0, 10.1, 10.3, 10.4, 10.5, 10.5, 10.6, 10.6, 10.8, 10.8

本題考查變異係數 (Coefficient of Variation, CV) 的計算。變異係數是衡量數據離散程度的相對指標，通常用於比較不同平均值或不同單位數據的變異性。
變異係數的公式為：
$CV = \frac{\text{標準差 (Standard Deviation)}}{\text{平均值 (Mean)}} \times 100\%$

已知：
平均值 (Mean) $\bar{x} = 62.5$ 公斤
變異數 (Variance) $s^2 = 151.3$ 平方公斤

本題考查四分位數 (Quartiles) 的定義。
第一四分位數 ($Q_1$) 是將數據由小到大排列後，位於 25% 位置的值。
第二四分位數 ($Q_2$) 即為中位數 (Median)，位於 50% 位置的值。
第三四分位數 ($Q_3$) 是將數據由小到大排列後，位於 75% 位置的值。

第一四分位數 ($Q_1$) 到第三四分位數 ($Q_3$) 所包含的範圍，稱為四分位距 (Interquartile Range, IQR)，其定義為 $IQR = Q_3 - Q_1$。

本題考查貝氏定理 (Bayes' Theorem) 或條件機率的應用。
我們需要計算「拿到一個不良品」的條件下，該不良品是來自甲生產線的機率，以及來自乙生產線的機率。

設定事件：
A：產品來自甲生產線。
B：產品來自乙生產線。
D：產品是不良品。

已知資訊：
$P(A) = 0.60$ (甲生產線的產量佔總產量的 60%)
$P(B) = 0.40$ (乙生產線的產量佔總產量的 40%)
$P(D|A) = 1 - 0.98 = 0.02$ (甲生產線的不良率為 2%)
$P(D|B) = 1 - 0.97 = 0.03$ (乙生產線的不良率為 3%)

我們要求的是 $P(A|D)$ 和 $P(B|D)$。

本題考查期望值 (Expected Value) 的計算，特別是在保險情境下的應用。
我們需要計算保險公司從每一位顧客身上獲得的期望利潤。
假設顧客有兩種情況：

1. 顧客存活：保險公司獲得保費，但不需要支付壽險額。
2. 顧客死亡：保險公司獲得保費，但需要支付壽險額。

已知資訊：
壽險額 (Sum Assured) = $20000 保費 (Premium) =$300
死亡率 (Mortality Rate) = 0.1% = 0.001
存活率 (Survival Rate) = 1 - 死亡率 = 1 - 0.001 = 0.999

計算每一種情況下的利潤：
情況 1：顧客存活
利潤 = 保費 =

核心觀念

若一天死亡人數 $X$ 服從平均值為 $\lambda=2$ 的普瓦松分布，則

普瓦松分布的眾數為：

• 當 $\lambda$ 不是整數時，眾數為 $\lfloor\lambda\rfloor$；
• 當 $\lambda$ 是整數時，$\lambda-1$ 與 $\lambda$ 具有相同的最高機率。

因此 $\lambda=2$ 時，最高機率同時出現在 $X=1$ 與 $X=2$。

解題方法

比較相鄰兩個機率：

當 $x=1$ 時，

所以

且當 $x\geq 2$ 時，

本題考查假設檢定中的第一類錯誤 (Type I Error) 和第二類錯誤 (Type II Error) 的機率，以及檢定統計量在不同比較次數下的臨界值。
圖四顯示了「個別比較型 I 誤差機率 = 0.05」以及「兩兩比較個數」與「試驗整體型 I 誤差機率」的關係。
個別比較型 I 誤差機率 (Per-comparison error rate, PCER) 通常設定為 $\alpha$。
試驗整體型 I 誤差機率 (Family-wise error rate, FWER) 是指在整個試驗中，至少犯一次第一類錯誤的機率。

當進行 $k$ 次獨立的兩兩比較時，如果每次比較的顯著水準都是 $\alpha$，則試驗整體型 I 誤差機率為：
$FWER = 1 - (1 - \alpha)^k$

在進行均值檢定 (Mean Test) 時，我們必須使用 t 分佈 (t-distribution) 而非標準常態分佈 (Z-distribution) 的情況主要有以下幾點：

1. 母體標準差未知 (Population standard deviation is unknown)：這是使用 t 分佈最主要的原因。當母體標準差 $\sigma$ 未知，且我們只能根據樣本數據估計標準差時（使用樣本標準差 $s$），我們就需要使用 t 分佈。
   • 若母體標準差 $\sigma$ 已知，則無論樣本數大小，皆可使用 Z 分佈進行單一樣本平均數檢定。

當樣本數 $n$ 逐漸增加時，t 分佈 (t-distribution) 的曲線形狀會產生以下變化：

1. 趨近於標準常態分布 (Approaches the Standard Normal Distribution)：隨著樣本數 $n$ 的增加，t 分佈的自由度 (degrees of freedom, df) 也隨之增加。t 分佈的自由度通常是 $df = n-1$ (對於單一樣本 t 檢定) 或 $df = n_1 + n_2 - 2$ (對於獨立雙樣本 t 檢定)。當自由度增大時，t 分佈的曲線會越來越接近標準常態分布 (Z 分佈) 的曲線。

2. 峰度降低，尾部變薄 (Lower Peak and Thinner Tails)：標準常態分布的峰度 (kurtosis) 為 3 (或超額峰度為

在假設檢定中，顯著水準 $\alpha$ 的定義就是「第一型錯誤」(Type I Error) 的發生機率。第一型錯誤是指當虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，卻拒絕了虛無假設。

在假設檢定中，檢定力 (Power) 的定義是「第二型錯誤」(Type II Error) 的補數。檢定力等於當對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_a$) 為真時，正確地拒絕虛無假設 ($H_0$) 的機率。
Power = $P(\text{Reject } H_0 | H_a \text{ is true}) = 1 - P(\text{Type II Error})$

第二型錯誤是指當對立假設為真時，卻未能拒絕虛無假設。

當我們將顯著水準 $\alpha$ (第一型錯誤的機率) 調低時（例如從 0.05 降至 0.01），這意味著我們對拒絕虛無假設的標準變得更嚴格。

在生物試驗中，隨機排列 (Randomization) 是確保試驗結果客觀、無偏的重要手段，其原因如下：

1. 消除潛在的干擾因子 (Eliminates Potential Confounding Factors)：試驗中的許多因子（如光照、溫度、濕度、土壤條件、植物個體間的差異等）都可能影響試驗結果。如果處理分配不當，這些潛在的干擾因子可能會與處理本身產生關聯，導致我們無法確定觀察到的差異是來自處理本身，還是來自這些干擾因子。隨機排列能將這些潛在的干擾因子在不同處理組之間平均分配，使各組在這些因子上具有可比性，從而消除或減弱它們對處理效應估計的影響。

2. 避免實驗者偏差 (Avoids Experimenter Bias)：如果實驗者在分配處理時有意識或無意識的偏好，可能會將某些條件較好的樣本分配到特定處理組，或將某些條件較差的樣本分配到另一組。隨機排列可以防止這種人為的主觀判斷，確保處理的分配是客觀的。

費雪最小顯著差異法 (Fisher's Least Significant Difference, LSD) 和 Tukey's Honestly Significant Difference (HSD) 都是用於多重比較 (Multiple Comparisons) 的事後檢定方法，常在 ANOVA 檢定結果顯著後使用，以找出具體哪些組別之間存在顯著差異。

比較 LSD 和 Tukey's HSD：

本題考查合併樣本變方 (Pooled Sample Variance) 的計算。當我們進行獨立雙樣本 t 檢定，且假設兩組母體變異數相等時，會使用合併樣本變方作為母體變異數的估計值。

假設兩組母體變異數 $\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = \sigma^2$。
合併樣本變方的公式為：
$s_p^2 = \frac{(n_A - 1)s_A^2 + (n_B - 1)s_B^2}{(n_A - 1) + (n_B - 1)} = \frac{(n_A - 1)s_A^2 + (n_B - 1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}$
其中：
$n_A$ = A 組樣本數
$s_A^2$ = A 組樣本變方
$n_B$ = B 組樣本數
$s_B^2$ = B 組樣本變方

本題考查獨立雙樣本 t 檢定 (Independent Two-Sample t-test)，用於比較兩組獨立樣本的平均數是否存在顯著差異，並假設兩組母體變異數相等。

步驟 1：設定假設
虛無假設 ($H_0$)：兩組母體平均數相等。
$\mu_A = \mu_B$ 或 $\mu_A - \mu_B = 0$

對立假設 ($H_a$)：兩組母體平均數不等。
$\mu_A \ne \mu_B$ 或 $\mu_A - \mu_B \ne 0$
這是一個雙尾檢定 (two-tailed test)。

步驟 2：計算檢定統計量
在假設兩組母體變異數相等的情況下，使用的 t 檢定統計量公式為：
$t = \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - (\mu_A - \mu_B)_0}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)}}$
其中 $(\mu_A - \mu_B)_0$ 是虛無假設下的母體均值差，通常為 0。
$s_p^2$ 是合併樣本變方，在上一題已計算為 4。
$n_A = 5$, $n_B = 5$。
$\bar{x}_A = 20$, $\bar{x}_B = 16$。

代入數值：
$t = \frac{(20 - 16) - 0}{\sqrt{4 \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}\right)}}$
$t = \frac{4}{\sqrt{4 \left(\frac{2}{5}\right)}}$
$t = \frac{4}{\sqrt{\frac{8}{5}}}$
$t = \frac{4}{\sqrt{1.6}}$