113 年 國立臺灣大學農藝系暨研究所作物乙組《生物統計學》

這題主要在考驗樣本統計量的計算與比較，包括中位數、四分位距、平均值、標準差，以及如何根據這些統計量來比較兩組數據的中心趨勢與變異程度。

核心觀念： 敘述統計量計算、中心趨勢衡量 (median, mean)、變異程度衡量 (IQR, standard deviation)。

(1) 計算兩組資料的樣品中位數 (sample median) 及樣品四分位距 (sample inter-quartile range, IQR)。

首先，將兩組數據由小到大排序：
養液配方 A：1.7, 1.9, 2.0, 2.0, 2.1, 2.1, 2.2, 2.2, 2.4, 2.7
養液配方 B：1.8, 2.0, 2.2, 2.2, 2.2, 2.4, 2.6, 2.7, 2.9, 3.1

• 中位數 (Median)：
  對於 A 組，有 10 個數據點。中位數是第 5 個和第 6 個數據的平均值。
  $Median_A = \frac{2.1 + 2.1}{2} = 2.1$
  對於 B 組，有 10 個數據點。中位數是第 5 個和第 6 個數據的平均值。
  $Median_B = \frac{2.2 + 2.4}{2} = 2.3$

• 四分位距 (IQR)：
  IQR = Q3 - Q1，其中 Q1 是第一四分位數（25 百分位數），Q3 是第三四分位數（75 百分位數）。
  對於 A 組 (n=10)：
  Q1 的位置是 $\frac{10+1}{4} = 2.75$，即第 2 個和第 3 個數據的平均值，權重為 0.75。
  $Q1_A = 2.0 + 0.75 \times (2.0 - 2.0) = 2.0$
  Q3 的位置是 $3 \times \frac{10+1}{4} = 8.25$，即第 8 個和第 9 個數據的平均值，權重為 0.25。
  $Q3_A = 2.2 + 0.25 \times (2.4 - 2.2) = 2.2 + 0.25 \times 0.2 = 2.2 + 0.05 = 2.25$
  $IQR_A = Q3_A - Q1_A = 2.25 - 2.0 = 0.25$

  對於 B 組 (n=10)：
  Q1 的位置是 $\frac{10+1}{4} = 2.75$。
  $Q1_B = 2.2 + 0.75 \times (2.2 - 2.2) = 2.2$
  Q3 的位置是 $3 \times \frac{10+1}{4} = 8.25$。
  $Q3_B = 2.7 + 0.25 \times (2.9 - 2.7) = 2.7 + 0.25 \times 0.2 = 2.7 + 0.05 = 2.75$
  $IQR_B = Q3_B - Q1_B = 2.75 - 2.2 = 0.55$

  【答案】
  養液配方 A：中位數 = 2.1，IQR = 0.25
  養液配方 B：中位數 = 2.3，IQR = 0.55

(2) 計算兩組資料的樣品平均值 (sample mean) 與樣品標準差 (sample standard deviation)。

• 平均值 (Mean)：
  $\bar{X}_A = \frac{1.7+1.9+2.0+2.0+2.1+2.1+2.2+2.2+2.4+2.7}{10} = \frac{21.3}{10} = 2.13$
  $\bar{X}_B = \frac{1.8+2.0+2.2+2.2+2.2+2.4+2.6+2.7+2.9+3.1}{10} = \frac{24.1}{10} = 2.41$

• 標準差 (Standard Deviation)：
  首先計算樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$。
  對於 A 組：

本題主要考驗對離散型數據的敘述統計量計算，以及二項分布的應用，特別是如何判斷二項分布的參數與計算機率。

核心觀念： 離散型數據的平均值與標準差計算，二項分布的參數設定與機率計算。

(1) 計算該品系 25 株抗病程度之樣品平均值與樣品標準差。

這是一組離散型數據，我們需要根據其頻率（或比例）來計算平均值和標準差。
設抗病程度為 $X$，其可能值為 $x_i \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$。
對應的比例（機率）為 $p_i \in \{0.12, 0.36, 0.28, 0.12, 0.12\}$。

• 樣品平均值 (Sample Mean)：
  $\bar{X} = \sum_{i=0}^{4} x_i p_i = (0 \times 0.12) + (1 \times 0.36) + (2 \times 0.28) + (3 \times 0.12) + (4 \times 0.12)$
  $\bar{X} = 0 + 0.36 + 0.56 + 0.36 + 0.48 = 1.76$

• 樣品標準差 (Sample Standard Deviation)：
  首先計算樣本變異數 $s^2 = \sum_{i=0}^{4} (x_i - \bar{X})^2 p_i$。
  $s^2 = (0 - 1.76)^2 \times 0.12 + (1 - 1.76)^2 \times 0.36 + (2 - 1.76)^2 \times 0.28 + (3 - 1.76)^2 \times 0.12 + (4 - 1.76)^2 \times 0.12$
  $s^2 = (-1.76)^2 \times 0.12 + (-0.76)^2 \times 0.36 + (0.24)^2 \times 0.28 + (1.24)^2 \times 0.12 + (2.24)^2 \times 0.12$
  $s^2 = 3.0976 \times 0.12 + 0.5776 \times 0.36 + 0.0576 \times 0.28 + 1.5376 \times 0.12 + 5.0176 \times 0.12$
  $s^2 = 0.371712 + 0.207936 + 0.016128 + 0.184512 + 0.602112$
  $s^2 = 1.3824$
  樣品標準差 $s = \sqrt{1.3824} = 1.175755... \approx 1.176$

  【答案】
  樣品平均值 $\approx$ 1.76，樣品標準差 $\approx$ 1.176

(2) 計算 25 株植株中抗病程度小於或等於 1 者小於 22.5 株的機率。

第 3 題：是非題

核心觀念

本題涵蓋四類觀念：

1. 卡方獨立性檢定與適合度檢定。
2. 假設檢定的型一、型二錯誤與檢定力。
3. 單因子變異數分析。
4. 簡單線性迴歸中，最小平方法、變數尺度轉換、$R^2$ 與同質變異假設。

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(1)

卡方獨立性檢定的假設為

$$H_0:\text{兩變數獨立},\qquad H_1:\text{兩變數不獨立}.$$

題目將虛無假設與對立假設顛倒。

【答案：錯】

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(2)

若有 $k$ 組，且沒有估計任何母體參數，卡方適合度檢定的自由度為

$$df=k-1.$$

但檢定「是否服從常態分佈」時，通常需由樣本估計常態分佈的平均數與變異數，因此自由度為

$$df=k-1-2=10-1-2=7.$$

所以不是自由度 $9$。

【答案：錯】

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(3)

兩個檢定分別為

$$H_0:\mu=2\quad\text{vs.}\quad H_1:\mu=4,$$

以及

$$H_0:\mu=2\quad\text{vs.}\quad H_1:\mu=5.$$

雖然兩者的虛無假設相同，但對立假設不同。若採用最適檢定，例如概似比檢定，檢定統計量的拒絕域會依對立假設而改變。

因此，從理論上的假設檢定觀點，兩者的檢定方法可能不同。

【答案：對】

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(4)

單因子 ANOVA 的虛無假設為

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_{10}.$$

若兩個母體平均數的 $t$ 檢定已達顯著，表示至少有一組平均數不相同，因此整體 ANOVA 也會拒絕

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_{10}.$$

這是因為 ANOVA 檢定的是「所有平均數是否完全相同」，只要其中一對存在差異，整體虛無假設即不成立。

【答案：對】

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(5)

最小平方法是透過最小化殘差平方和

$$S(\beta_0,\beta_1) = \sum_{i=1}^n \left(y_i-\beta_0-\beta_1x_i\right)^2$$

求得參數估計值。其推導不需要常態分佈或其他機率分佈假設。

分布假設主要用於：

• 推導估計量的抽樣分布；
• 建立 $t$ 檢定與信賴區間；
• 進行假設檢定與統計推論。

【答案：對】

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(6)

若原模型為

$$\hat{Y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1X_i,$$

將解釋變數由公斤改為公克，相當於令

$$X_i^*=1000X_i.$$

新的斜率為

$$\hat{\beta}_1^*=\frac{\hat{\beta}_1}{1000},$$

截距不變，因此

$$\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1^*X_i^* = \hat{\beta}_0+\frac{\hat{\beta}_1}{1000}(1000X_i) = \hat{Y}_i.$$

估計值不會改變。

【答案：錯】

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(7)

若反應變數由公尺改為公分，新的反應變數為

$$Y_i^*=100Y_i.$$

殘差平方和與總平方和都會同時乘上 $100^2$，因此

$$R^2 = 1-\frac{SS_{\mathrm{Res}}}{SS_{\mathrm{Tot}}}$$

不會改變。

【答案：錯】

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(8)

若將新的解釋變數設定為

$$X_i^*=e^{X_i},$$

則原本的線性模型

$$\hat{Y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1X_i$$

不再等同於以 $e^{X_i}$ 為解釋變數的線性模型。除非資料具有特殊結構，否則重新配適後的迴歸線與估計值會改變。

【答案：對】

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(9)

若令

$$X_i^*=X_i+10,$$

則

$$X_i=X_i^*-10.$$

原模型可改寫為

$$Y_i = \beta_0+\beta_1(X_i^*-10)+\epsilon_i = (\beta_0-10\beta_1)+\beta_1X_i^*+\epsilon_i.$$

新的截距改變，但斜率不變，且每一筆資料的 fitted value 不變。

【答案：錯】

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(10)

若殘差的散佈範圍會隨 $X$ 改變，例如呈現漏斗狀，表示

$$\operatorname{Var}(\epsilon_i\mid X_i)$$

不是固定常數，亦即存在異質變異。

同質變異的假設為

$$\operatorname{Var}(\epsilon_i\mid X_i)=\sigma^2.$$

因此題述模型假設確實不成立。

【答案：對】

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(11)

斜率估計值接近 $1$，不能直接表示線性關係強弱。斜率會受到測量單位影響，例如將 $X$ 改成公克後，斜率會縮小為原本的 $1/1000$，但線性關係強度不變。

線性關係強弱應觀察相關係數 $r$、$R^2$ 或檢定結果，而不是單看斜率是否接近 $1$。

【答案：錯】

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(12)

斜率大小也會受到 $X$ 與 $Y$ 的單位影響，因此 $\hat{\beta}_1$ 越小，不代表 $R^2$ 越低。

簡單線性迴歸中，

$$R^2=r_{XY}^2,$$

而斜率為

$$\hat{\beta}_1 = r_{XY}\frac{s_Y}{s_X}.$$

即使斜率很小，只要 $s_Y/s_X$ 很小，相關係數仍可能很大。

【答案：錯】

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(13)

在簡單線性迴歸中，

$$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = r_{XY}\frac{s_Y}{s_X}.$$

因為 $S_{XX}>0$ 且 $s_X,s_Y>0$，所以 $\hat{\beta}_1$ 與樣本相關係數 $r_{XY}$ 同號。

因此，若斜率估計值大於零，表示樣本中的 $X$ 與 $Y$ 具有正相關。

【答案：錯】

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第 14、15 題

核心觀念

統計量為

$$\bar X_{10}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i$$

與

$$\bar X_4=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_i.$$

在兩種檢定都以顯著水準 $\alpha=0.05$ 正確設定拒絕域的前提下，型一錯誤機率均為

$$P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})=0.05.$$

使用較多樣本時，統計量的變異較小：

$$\operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{\sigma^2}{n}.$$

因此在相同真實差異下，$n=10$ 的檢定通常具有較高檢定力，型二錯誤較低。

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(14)

兩種檢定都以 $\alpha=0.05$ 設定拒絕域，因此型一錯誤機率相同，並非統計量 (A) 較低。

【答案：錯】

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(15)

統計量 (A) 使用較多觀察值，變異較小，通常具有較高檢定力。因此其型二錯誤機率較低，而不是較高。

【答案：錯】

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第 16、17 題

(16)

本題為填空題，共 10 個空，每空 1 分，總分 10 分。題目要求根據提供的迴歸分析和變異數分析結果，填寫表格中的缺失數據。這是對簡單線性迴歸和標準化後迴歸結果的理解與計算能力的考驗。

核心觀念： 簡單線性迴歸係數、標準誤、t 值、p 值、殘差標準誤、自由度、平方和 (Sum Sq)、F 值、p 值。標準化對迴歸結果的影響。

學生甲的分析結果：

• 迴歸係數：截距 Estimate = 9.94, 斜率 X Estimate = 1.65
• 標準誤：截距 Std. Error = 0.19, 斜率 X Std. Error = 0.34
• t 值：截距 t value = 51.58, 斜率 X t value = 4.90
• p 值：截距 Pr(>|t|) <2 * 10^-16, 斜率 X Pr(>|t|) = 6.1 * 10^-6
• 殘差標準誤 (Residual standard error) = 0.96
• 殘差自由度 (degrees of freedom for residuals) = 23

學生甲的 ANOVA 表：

• $Df_X = (1)$
• $SS_X = 21.96$
• $F$ value = $(4)$
• $Pr(>F) = (5)$
• $Df_{Res} = (2)$
• $SS_{Res} = (3)$

學生乙的分析結果 (標準化後)：

• 迴歸係數：截距 Estimate = $2.28 \times 10^{-16}$ (接近 0), 斜率 X Estimate = 0.714
• 標準誤：截距 Std. Error = 0.143, 斜率 X Std. Error = 0.146
• t 值：截距 t value = 0.000, 斜率 X t value = $(6)$
• p 值：截距 Pr(>|t|) = 1, 斜率 X Pr(>|t|) = $(7)$

學生乙的 ANOVA 表：

• $Df_X = 1$
• $SS_X = 12.346$
• $F$ value = $(9)$
• $Pr(>F) = (10)$
• $Df_{Res} = 23$
• $SS_{Res} = (8)$

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填寫學生的 ANOVA 表 (學生甲)：

(1) Df for X:
在簡單線性迴歸中，解釋變數 $X$ 的自由度 (Df) 永遠是 1。
【答案】(1) 1

(2) Df for Residuals:
題目直接給出「Residual standard error: 0.96 on 23 degrees of freedom」。這表示殘差的自由度是 23。
【答案】(2) 23

(3) Sum Sq for Residuals ($SS_{Res}$):
殘差平方和 ($SS_{Res}$) 與殘差標準誤 ($s_{Res}$) 和殘差自由度 ($df_{Res}$) 的關係是：$s_{Res}^2 = \frac{SS_{Res}}{df_{Res}}$。
因此，$SS_{Res} = s_{Res}^2 \times df_{Res}$。
已知 $s_{Res} = 0.96$ 且 $df_{Res} = 23$。
$SS_{Res} = (0.96)^2 \times 23 = 0.9216 \times 23 = 21.1968$。
【答案】(3) 21.1968

(4) F value for X:
ANOVA 表中的 F 值計算公式為 $F = \frac{MS_X}{MS_{Res}}$。
$MS_X = \frac{SS_X}{Df_X} = \frac{21.96}{1} = 21.96$。
$MS_{Res} = \frac{SS_{Res}}{Df_{Res}} = \frac{21.1968}{23} \approx 0.9216$。