108 年 國立臺灣大學森林環境暨資源學系碩士班丙組《統計學（D）》

本題主要在檢驗考生對統計推論中兩個基本概念的理解：虛無假說（Null hypothesis）與 p-value。

虛無假說 (Null Hypothesis, $H_0$)
虛無假說是在統計檢定中，用來檢定某種主張或效應是否存在時，所設定的一個預設的、通常是「無效應」或「無差異」的陳述。它代表我們希望透過實驗或觀察來加以反駁的對象。例如，檢定一種新藥是否有效，虛無假說可能是「新藥與安慰劑沒有療效差異」。

p-value
p-value 是在統計檢定中，衡量在虛無假說為真（$H_0$ is true）的前提下，觀察到當前樣本結果或比當前樣本結果更極端的結果的機率。
p-value 的計算是基於樣本數據，並假設虛無假說成立。

本題旨在釐清相關分析與迴歸分析這兩種常用統計方法的異同。

相關分析 (Correlation Analysis)

• 目的： 主要用來衡量兩個變數之間線性關係的強度與方向。它關注的是兩個變數之間的「聯合變異性」(co-variation)。
• 結果： 通常用相關係數 (correlation coefficient)，如 Pearson's r，來表示。Pearson's r 的值介於 -1 到 +1 之間，+1 表示完全正相關，-1 表示完全負相關，0 表示沒有線性相關。
• 變數角色： 相關分析不區分自變數 (independent variable) 和依變數 (dependent variable)，它對稱地看待兩個變數。
• 因果關係： 相關分析本身無法證明因果關係。相關性不等於因果性 (correlation does not imply causation)。

迴歸分析 (Regression Analysis)

• 目的： 主要用來建立一個或多個自變數與一個依變數之間的數學模型，以預測依變數的值，並解釋自變數對依變數的影響。
• 結果： 產生一個迴歸方程式 (regression equation)，例如簡單線性迴歸 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，表示 X 每改變一個單位，Y 平均改變 $\beta_1$ 個單位。
• 變數角色： 明確區分自變數 (X) 和依變數 (Y)。
• 因果關係： 迴歸分析可以提供關於自變數影響依變數的證據，但仍然需要理論支持或實驗設計來確立因果關係。

異同比較：

| 特徵 | 相關分析 (Correlation Analysis) | 迴歸分析 (Regression Analysis) |

本題考查考生對常態分布（Normal Distribution）基本特徵的掌握。常態分布，又稱高斯分布（Gaussian Distribution），是機率統計中最重要、最常見的機率分布之一。

常態分布的四項特色：

1. 對稱性 (Symmetry)： 常態分布的機率密度函數（PDF）圖形是以其平均數（$\mu$）為中心，左右完全對稱。這意味著平均數、中位數和眾數都相等，且都位於分布的中心。
   $\mu = \text{Median} = \text{Mode}$

2. 單峰性 (Unimodal)： 分布的最高點（峰值）只出現在平均數的位置，即眾數。

3. 鐘形曲線 (Bell Shape)： 其機率密度函數圖形呈現出獨特的鐘形。曲線的兩端會隨著自變數值的增加或減少而無限趨近於橫軸（x 軸），但永不觸碰到 x 軸（即為漸近線）。

4. 68-95-99.7法則 (Empirical Rule)： 在一個常態分布中，數據落在平均數 $\mu$ 的特定標準差 ($\sigma$) 範圍內的比例是固定的：

   • 約 68.27% 的數據落在 $\mu \pm 1\sigma$ 的範圍內。
   • 約 95.45% 的數據落在 $\mu \pm 2\sigma$ 的範圍內。

本題考查對 Standard Deviation (標準差) 與 Standard Error (標準誤差) 這兩個重要統計概念的區別與聯繫的理解，並要求以二項式分布和常態分布為例進行說明。

Standard Deviation (標準差, SD)

• 定義： 標準差是衡量一組數據（樣本）或一個機率分布（母體）的離散程度，即數據點相對於其平均數的分散程度。
• 計算：
  • 對於樣本：$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$
  • 對於母體：$\sigma = \sqrt{E[(X - \mu)^2]}$
• 含義： 標準差越大，表示數據點越分散；標準差越小，表示數據點越集中在平均數附近。它是描述數據集變異性本身的指標。

Standard Error (標準誤差, SE)

• 定義： 標準誤差是指統計量（如樣本平均數、樣本比例等）的抽樣分布的標準差。它衡量的是從母體中抽取不同樣本時，統計量估計值變異的大小。
• 計算： SE 的計算方式取決於所討論的統計量。
  • 例如，樣本平均數的標準誤差 (Standard Error of the Mean, SEM) 為：$SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $s$ 是樣本標準差，$n$ 是樣本大小。
  • 樣本比例的標準誤差為：$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ (在簡單隨機抽樣下)。
• 含義： 標準誤差越小，表示該統計量對母體參數的估計越精確，抽樣變異性越小。它是衡量估計量精確度的指標。

兩者之間的差異與關係：

特徵	Standard Deviation (標準差)	Standard Error (標準誤差)
衡量對象	單一樣本數據點的離散程度，或母體參數的實際值（如 $\sigma$）	統計量（如樣本平均數）的抽樣分布的離散程度，即估計值的變異性
用途	描述數據集的變異性	衡量統計量估計母體參數的精確度，用於信賴區間和假設檢定
計算依賴	數據點本身與其平均數的差異	樣本標準差 (SD) 和樣本大小 (n)，或統計量本身的性質與樣本大小
值的大小	數值越大表示數據越分散	數值越小表示估計越精確（抽樣變異小）

以二項式分布 (Binomial Distribution) 角度說明：

假設我們有一個二項式分布，參數為 $n$ (試驗次數) 和 $p$ (成功機率)。

• 標準差 (SD)：
  • 對於單次試驗的結果（0 或 1）：如果我們考慮單一試驗的結果，其平均值是 $p$，變異數是 $p(1-p)$，標準差是 $\sqrt{p(1-p)}$。
  • 對於觀察到的成功次數 $X \sim \text{Binomial}(n, p)$：
    • 平均數 (期望值)：$E(X) = np$

本題考查考生對信賴區間（Confidence Interval, CI）這一統計推論核心概念的理解。

信賴區間 (Confidence Interval, CI)
信賴區間是統計學中用來估計母體參數（如母體平均數 $\mu$ 或母體比例 $p$）的一個區間估計。它提供了一個範圍，我們有一定程度的信心認為母體參數落在此範圍內。

構成要素：
信賴區間通常由以下兩部分構成：

1. 點估計量 (Point Estimate)： 這是我們對母體參數最可能的單一值估計，通常是從樣本計算出來的統計量（如樣本平均數 $\bar{x}$ 用來估計母體平均數 $\mu$，或樣本比例 $\hat{p}$ 用來估計母體比例 $p$）。
2. 邊際誤差 (Margin of Error, MOE)： 這是點估計量前後的「緩衝」範圍，用來涵蓋真實母體參數可能存在的偏差。它通常由「信心水準」和「標準誤差」決定。
   • 信心水準 (Confidence Level)： 這是一個百分比（如 90%, 95%, 99%），表示如果我們重複抽樣並計算無數個信賴區間，其中有多少比例的區間會包含真實的母體參數。例如，95% 的信心水準表示，平均而言，有 95% 的信賴區間會包含母體參數。
   • 標準誤差 (Standard Error, SE)： 這是點估計量的抽樣分布的標準差，反映了估計的不確定性。

本題包含兩個小題，第一小題要求描述樣本特性，第二小題則要求計算樣本平均數的標準誤差，以推估母體平均數。

第一小題：描述此樣本

首先，我們需要整理這十筆數據，並計算一些基本的描述性統計量。
數據：16.5, 11.0, 13.5, 17.2, 10.2, 20.6, 12.1, 13.2, 12.0, 14.6 (單位：公尺, m)
樣本大小 $n = 10$。

1. 排序數據：
   10.2, 11.0, 12.0, 12.1, 13.2, 13.5, 14.6, 16.5, 17.2, 20.6

2. 計算樣本平均數 ($\bar{x}$)：
   $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{10.2+11.0+12.0+12.1+13.2+13.5+14.6+16.5+17.2+20.6}{10}$
   $\bar{x} = \frac{141.0}{10} = 14.1 \text{ m}$

3. 計算樣本標準差 ($s$)：
   首先計算變異數 ($s^2$)：
   $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
   計算各數據點與平均數的差的平方：
   (10.2-14.1)^2 = (-3.9)^2 = 15.21
   (11.0-14.1)^2 = (-3.1)^2 = 9.61
   (12.0-14.1)^2 = (-2.1)^2 = 4.41
   (12.1-14.1)^2 = (-2.0)^2 = 4.00
   (13.2-14.1)^2 = (-0.9)^2 = 0.81
   (13.5-14.1)^2 = (-0.6)^2 = 0.36
   (14.6-14.1)^2 = (0.5)^2 = 0.25
   (16.5-14.1)^2 = (2.4)^2 = 5.76
   (17.2-14.1)^2 = (3.1)^2 = 9.61
   (20.6-14.1)^2 = (6.5)^2 = 42.25

本題考查考生對卡方分布（Chi-square distribution, $\chi^2$ distribution）的理解。卡方分布是統計學中一個重要的機率分布，尤其在推論統計中，常被用於檢定獨立性、適合度以及變異數的檢定。

卡方分布 (Chi-square Distribution, $\chi^2$)

1. 定義： 卡方分布是基於標準常態分布（平均數為 0，標準差為 1 的常態分布）的平方和所構成的分布。
   具體來說，如果 $Z_1, Z_2, \dots, Z_k$ 是 $k$ 個獨立的標準常態隨機變數，那麼它們的平方和就服從一個自由度為 $k$ 的卡方分布：
   $\chi^2_k = Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_k^2 \sim \chi^2(k)$
   其中 $k$ 被稱為自由度 (degrees of freedom, df)。

2. 自由度 (Degrees of Freedom, df)： 自由度是卡方分布最重要的參數。它決定了卡方分布的形狀。在本例中，自由度 $k$ 就是由 $k$ 個獨立標準常態變數的平方和決定的。在實際應用中，自由度的計算方式會依據所解決的問題而有所不同。

3. 機率密度函數 (PDF)： 自由度為 $k$ 的卡方分布的機率密度函數為：
   $f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}, \quad \text{for } x > 0$
   其中 $\Gamma(\cdot)$ 是伽瑪函數。