109 年 國立臺灣大學森林環境暨資源學系碩士班丁組《統計學（D）》

此題主要在測試考生對於標準誤、標準差、中央極限定理等基本統計學概念的理解。

a. 標準誤的公式：
標準誤（Standard Error, SE）是指樣本統計量（例如樣本平均數、樣本比例）的標準差。最常見的標準誤是指樣本平均數的標準誤，其公式為：
$SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中 $\sigma$ 是母體標準差，$n$ 是樣本大小。
若母體標準差 $\sigma$ 未知，則使用樣本標準差 $s$ 來估計：
$SE(\bar{X}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$
對於樣本比例 $p̂$ 的標準誤，公式為：
$SE(p̂) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
其中 $p$ 是母體比例。若 $p$ 未知，則使用樣本比例 $p̂$ 來估計：
$SE(p̂) \approx \sqrt{\frac{p̂(1-p̂)}{n}}$

b. 標準差與標準誤的差異：

• 標準差 (Standard Deviation, SD)：衡量數據點相對於其平均值的離散程度。它描述的是「樣本內」或「母體內」數據的變異性。
  • 樣本標準差 ($s$)：計算公式為 $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$，衡量樣本數據的離散程度。
  • 母體標準差 ($\sigma$)：計算公式為 $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}{N}}$，衡量母體數據的離散程度。
• 標準誤 (Standard Error, SE)：衡量樣本統計量（如樣本平均數、樣本比例）抽樣變異性的程度。它描述的是「不同樣本統計量」之間的離散程度，即抽樣分佈的標準差。
  • 標準誤是「統計量」的標準差，而不是「數據點」的標準差。
  • 標準差描述的是單一樣本的內部變異，而標準誤描述的是多個樣本統計量之間的變異。
  • 標準誤會隨著樣本大小 $n$ 的增加而減小（標準誤與 $\sqrt{n}$ 成反比），表示樣本數越多，樣本統計量越接近母體參數，變異性越小。

c. 標準誤的重要性：
標準誤在統計推論中扮演關鍵角色，主要體現在以下幾點：

• 衡量估計量的精確度：標準誤是衡量樣本統計量（如樣本平均數）對母體參數（如母體平均數）估計精確度的指標。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸模型的最小平方法估計、模型假設、整體迴歸檢定、平方和分解，以及決定係數。

模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,2,\ldots,n$$

其中：

• $\beta_0$：母體截距
• $\beta_1$：母體斜率
• $\varepsilon_i$：隨機誤差
• $\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1$：由樣本估計所得的迴歸係數

題目 b 小題再次寫成「estimate $\beta_1$」，依迴歸模型的標準命題，應為估計 $\beta_0$，以下依此解答。

解題方法：最小平方法

以估計值

$$\hat{Y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1X_i$$

表示第 $i$ 筆觀測值的預測結果。最小平方法使殘差平方和最小：

$$S(\beta_0,\beta_1) = \sum_{i=1}^{n} \left[ Y_i-\beta_0-\beta_1X_i \right]^2$$

分別對 $\beta_0$ 與 $\beta_1$ 微分並令其為零，即可得到估計式。

（a）$\beta_1$ 的估計式

斜率估計量為

$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})} {\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$$

也可寫成

$$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$

其中

$$S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$$ $$S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$$

因此，$\hat{\beta}_1$ 的意義是：當 $X$ 增加一個單位時，$Y$ 的估計平均變化量。

（b）$\beta_0$ 的估計式

由最小平方法的正常方程式可得

$$\hat{\beta}_0 = \bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}$$

因此估計出的迴歸直線為

$$\hat{Y} = \hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1X$$

此直線必定通過樣本平均點 $(\bar{X},\bar{Y})$。

（c）簡單線性迴歸模型的假設

1. 線性關係

$Y$ 的條件平均數與 $X$ 呈線性關係：

$$E(Y_i\mid X_i)=\beta_0+\beta_1X_i$$

這表示模型的平均趨勢可以用直線描述。

2. 誤差平均數為零

$$E(\varepsilon_i\mid X_i)=0$$

此假設表示在控制 $X_i$ 後，誤差沒有系統性偏高或偏低，迴歸線能正確代表條件平均數。

3. 誤差彼此獨立

$$\varepsilon_i \text{ 與 } \varepsilon_j \text{ 相互獨立},\qquad i\neq j$$

此假設常受到時間序列資料、空間資料或群聚抽樣的影響。若誤差具有自我相關，標準誤與檢定結果可能失真。

4. 誤差具有相同變異數

$$\operatorname{Var}(\varepsilon_i\mid X_i)=\sigma^2$$

其中 $\sigma^2$ 不隨 $X_i$ 改變。此性質稱為等變異性。若誤差變異數會隨 $X$ 增加而改變，則稱為異變異性。

5. 誤差呈常態分配

進行小樣本的 $t$ 檢定與 $F$ 檢定時，通常另加上

$$\varepsilon_i\mid X_i\sim N(0,\sigma^2)$$

常態性不是最小平方法計算估計量的必要條件，但對精確的有限樣本推論相當重要。

6. $X$ 的變異必須存在

$$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2>0$$

也就是樣本中的 $X$ 不可全部相同，否則 $\hat{\beta}_1$ 的分母為零，無法估計斜率。

（d）模型整體適合度的假設檢定

使用 $F$ 檢定（overall $F$ test） 檢定模型整體是否具有解釋力。

在簡單線性迴歸中，檢定假設為

$$H_0:\beta_1=0$$ $$H_a:\beta_1\neq 0$$

若拒絕 $H_0$，表示 $X$ 與 $Y$ 之間具有顯著線性關係，模型整體具有統計上的解釋力。

在只有一個自變數的情況下，整體 $F$ 檢定與斜率的 $t$ 檢定等價，且有

$$F=t^2$$

（e）三種平方和

令

本題是一道關於期望值的經典問題，屬於機率與統計的結合，常被稱為「錯排問題」或「 derangement problem」的一個變體，但此處只需計算期望值，相對簡單。

核心觀念：利用指示隨機變數 (indicator random variables) 的性質來計算總期望值。

解題過程：
我們定義 $n$ 個指示隨機變數 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，其中 $X_j$ 的定義如下：
$X_j = 1$ 如果第 $j$ 個人拿到自己的外套。
$X_j = 0$ 如果第 $j$ 個人拿到別人的外套。

總共有 $n$ 個人，那麼拿到自己外套的人數 $X$ 可以表示為這 $n$ 個指示隨機變數的總和：
$X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n = \sum_{j=1}^n X_j$

根據期望值的線性性質，總期望值 $E(X)$ 等於各個指示隨機變數期望值的總和：
$E(X) = E\left(\sum_{j=1}^n X_j\right) = \sum_{j=1}^n E(X_j)$

現在我們需要計算單一個指示隨機變數 $X_j$ 的期望值 $E(X_j)$。
對於任意第 $j$ 個人，他拿到自己外套的機率是多少？
在火災發生後，每個人隨機抓取一件外套。總共有 $n$ 件外套，其中只有 1 件是第 $j$ 個人的外套。

核心觀念

本題考查假設檢定中四種常見檢定統計量，以及第一類錯誤的定義：

• 單一樣本 Student’s $t$ 檢定
• 卡方適合度檢定
• 兩獨立樣本 Student’s $t$ 檢定
• 巢狀模型的 ANOVA $F$ 檢定
• Type I error 的意義

所有檢定統計量的共同概念，都是將「樣本資料與虛無假設的差異」除以其標準誤或理論變異程度，使其能與相應的理論分配比較。

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a. Student’s $t$-test 的檢定統計量

解題方法

若欲檢定母體平均數是否等於假設值 $\mu_0$：

$$H_0:\mu=\mu_0$$

從樣本得到樣本平均數 $\bar X$、樣本標準差 $s$，以及樣本數 $n$。由於母體標準差 $\sigma$ 未知，使用樣本標準差 $s$ 估計，因此檢定統計量服從 Student’s $t$ 分配：

$$t=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n}$$

其中：

• $\bar X-\mu_0$：樣本平均數與假設母體平均數的差異
• $s/\sqrt n$：樣本平均數的估計標準誤
• 自由度為 $n-1$

在虛無假設成立且母體近似常態時：

$$t\sim t_{n-1}$$

解題技巧

分母是「樣本標準差除以 $\sqrt n$」，不可誤寫成 $s/n$。若母體標準差 $\sigma$ 已知，才使用 $Z$ 檢定：

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

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b. Chi-square Test of Hypothesized Count 的檢定統計量

解題方法

此檢定用於比較觀察次數與虛無假設下理論期望次數是否一致。設第 $i$ 類的：

• 觀察次數為 $O_i$
• 假設期望次數為 $E_i$

則卡方檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

其中 $k$ 為類別數。

若虛無假設為各類別的期望比例已知，且總樣本數為 $n$，第 $i$ 類的期望次數通常為：

$$E_i=np_i$$

因此也可寫成：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-np_i)^2}{np_i}$$

在虛無假設成立時，統計量近似服從卡方分配。若沒有估計額外參數，自由度為：

$$df=k-1$$

若由樣本估計了 $r$ 個參數，則自由度為：

$$df=k-1-r$$

解題技巧

計算時先確認所有期望次數 $E_i$，再逐類計算：

$$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

觀察次數與期望次數的差異越大，$\chi^2$ 越大，越有理由拒絕虛無假設。期望次數不可放在分子或分母之外，分母必須是 $E_i$。

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c. Two-Samples Unpaired Data Student’s $t$-test 的檢定統計量

解題方法

此檢定用於比較兩個彼此獨立群體的平均數。欲檢定：

$$H_0:\mu_1-\mu_2=\Delta_0$$

最常見的兩獨立樣本 Student’s $t$ 檢定假設兩群體具有相同母體變異數：

$$\sigma_1^2=\sigma_2^2$$

先以兩組樣本變異數合併估計共同變異數：

$$s_p^2= \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2} {n_1+n_2-2}$$

因此檢定統計量為：

$$t= \frac{(\bar X_1-\bar X_2)-\Delta_0} {s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

在虛無假設成立時：

$$t\sim t_{n_1+n_2-2}$$

若檢定兩母體平均數相等，則 $\Delta_0=0$，公式簡化為：

$$t= \frac{\bar X_1-\bar X_2} {s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

不等變異數時

若不假設兩群體變異數相等，應使用 Welch’s $t$ 檢定：

$$t= \frac{(\bar X_1-\bar X_2)-\Delta_0} {\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$

其自由度通常以 Welch–Satterthwaite 公式近似：

$$df\approx \frac{ \left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2 }{ \frac{\left(s_1^2/n_1\right)^2}{n_1-1} + \frac{\left(s_2^2/n_2\right)^2}{n_2-1} }$$

題目明確寫出 Student’s $t$-test 時，標準答案通常採用等變異數的合併變異數公式。

解題技巧

• 「Unpaired」表示兩組樣本彼此獨立，不是配對資料。
• 配對資料應使用配對 $t$ 檢定，先對每一對資料計算差值。
• 分子是兩組樣本平均數之差，分母是該差值的標準誤。
• 若題目未特別說明兩組變異數不同，研究所考試通常以 pooled two-sample $t$ 檢定作答。

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d. Reduced Model 與 Full Model 間 ANOVA $F$-test 的檢定統計量

核心觀念

此檢定用於比較巢狀的兩個模型：

本題主要測試對廣義線性模型 (Generalized Linear Model, GLM) 的理解，特別是不同回應變數類型對連結函數 (link function) 的選擇，以及處理列聯表資料的模型。

廣義線性模型 (GLM) 包含三個主要部分：

1. 隨機成分 (Random Component)：指定應變數 $Y$ 的機率分佈，屬於指數分佈族 (exponential family)。
2. 系統成分 (Systematic Component)：由一個或多個預測變數 $X$ 組成的線性預測器，表示為 $\eta = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \ldots + \beta_p X_p$。
3. 連結函數 (Link Function)：連接隨機成分的期望值 $E(Y) = \mu$ 與系統成分 $\eta$ 的函數，表示為 $g(\mu) = \eta$。

a. 當回應變數 $y$ 是二元變數 (0 或 1) 時，應使用的連結函數：
當應變數 $y$ 是二元變數時，最常見的機率分佈是 伯努利分佈 (Bernoulli distribution) 或 二項分佈 (Binomial distribution)（當有多個獨立試驗且成功機率相同時）。
對於二元變數，我們感興趣的是成功機率 $P(Y=1) = p$。

• 標準連結函數 (Canonical Link Function)：對於二項分佈，標準連結函數是 Logit 函數。
  $g(p) = \log\left(\frac{p}{1-p}\right)$
  這個函數將機率 $p$（範圍在 0 到 1 之間）轉換為一個在 $(-\infty, \infty)$ 範圍內的對數勝算 (log-odds)。
• 其他可能的連結函數包括：
  • Probit 函數：$g(p) = \Phi^{-1}(p)$，其中 $\Phi^{-1}$ 是標準常態累積分佈函數的反函數。
  • Cloglog 函數：$g(p) = \log(-\log(1-p))$。

最常用且最經典的選擇是 Logit 連結函數，因此也是最標準的答案。
模型形式：Logit 迴歸 (Logistic Regression)。

b. 當回應變數 $y$ 是常態分佈時，應使用的連結函數：
當應變數 $y$ 服從常態分佈 (Normal distribution) 時，其期望值 $\mu = E(Y)$ 的範圍是 $(-\infty, \infty)$。

• 標準連結函數 (Canonical Link Function)：對於常態分佈，標準連結函數是 恆等函數 (Identity function)。
  $g(\mu) = \mu$
  此時，系統成分 $\eta$ 直接等於期望值 $\mu$。
  $\eta = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \ldots + \beta_p X_p = E(Y)$
  這種情況下，廣義線性模型就退化為我們熟悉的 普通線性迴歸模型 (Ordinary Linear Regression Model)。