109 年 國立臺灣大學園藝暨景觀學研究所園藝作物組《統計學（E）》

此題為機率論的基本證明題，主要在於釐清獨立事件與互斥事件的定義及其關係。

核心觀念：

• 互斥事件 (Mutually Exclusive Events): 兩個事件 A 和 B 不能同時發生，即 $P(A \cap B) = 0$。
• 獨立事件 (Independent Events): 一個事件的發生與否不影響另一個事件發生的機率，即 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
• 題目條件: $P(A) > 0$ 且 $P(B) > 0$。

證明過程：

A. 若 A 和 B 互斥，則它們不能獨立。

• 假設 A 和 B 互斥： 根據互斥事件的定義，我們知道 $P(A \cap B) = 0$。
• 假設 A 和 B 獨立： 根據獨立事件的定義，我們知道 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
• 矛盾證明：
  • 若 A 和 B 互斥，則 $P(A \cap B) = 0$。
  • 若 A 和 B 同時獨立，則 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
  • 因此，若 A 和 B 獨立且互斥，則必須滿足 $P(A)P(B) = 0$。
  • 然而，題目已知條件是 $P(A) > 0$ 且 $P(B) > 0$。
  • 這意味著 $P(A)P(B) > 0$。

此題為關於單一樣本平均值檢定的標準題型，包含計算檢定統計量、決定拒絕域、計算 p-value、下結論，以及計算檢定的 power。

核心觀念：

• 單一樣本 Z 檢定 (One-sample Z-test): 當母體標準差 $\sigma$ 已知時，用來檢定母體平均數 $\mu$ 的檢定。
• 檢定統計量: $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
• 拒絕域 (Rejection Region): 在給定的顯著水準 $\alpha$ 下，使得拒絕 $H_0$ 的統計量值的集合。
• p-value: 在 $H_0$ 為真的情況下，觀察到目前樣本結果或更極端結果的機率。
• 檢定 Power (Power of the Test): $1 - \beta$，其中 $\beta$ 是第二類錯誤的機率，即當 $H_1$ 為真時，未能拒絕 $H_0$ 的機率。

已知條件：

• 樣本數 $n = 9$
• 母體標準差 $\sigma = 2$
• 虛無假設 $H_0$: $\mu = 7$
• 對立假設 $H_1$: $\mu \neq 7$ (雙尾檢定)
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$
• 樣本平均數 $\bar{X} = 7.5$

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A. 計算檢定統計量與拒絕域

• 計算檢定統計量 (Z):
  $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{7.5 - 7}{2/\sqrt{9}} = \frac{0.5}{2/3} = \frac{0.5 \times 3}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75$
  檢定統計量為 $Z = 0.75$。

• 決定拒絕域:

  • 此為雙尾檢定，顯著水準 $\alpha = 0.05$。
  • 我們需要在標準常態分佈的兩側各分配 $\alpha/2 = 0.05/2 = 0.025$ 的機率。
  • 查標準常態分佈表 (Table 1)，找到累積機率為 $1 - 0.025 = 0.975$ 或 $0.025$ 處的 Z 值。
  • 累積機率為 $0.975$ 處的 Z 值約為 $1.96$ (或更精確地，從 Table 1 查到 $Pr(0 < Z < 1.96) \approx 0.4750$，故 $Pr(Z > 1.96) = 0.5 - 0.4750 = 0.025$；或者，Table 1 的 $z=1.96$ 欄位值為 $0.4750$ 意味著 $Pr(0 < Z < 1.96) = 0.4750$。若要找 $P(Z > z_{0.025})$，則 $P(Z > z_{0.025}) = 0.025$，則 $z_{0.025} = 1.96$。)。
  • 因此，拒絕域為 $Z < -1.96$ 或 $Z > 1.96$。

• 判斷是否拒絕 $H_0$:

  • 計算出的檢定統計量 $Z = 0.75$。
  • 因為 $0.75$ 不在拒絕域 $(- \infty, -1.96) \cup (1.96, \infty)$ 內，所以我們不拒絕虛無假設 $H_0$。

【答案】
檢定統計量為 $Z = 0.75$。
拒絕域為 $Z < -1.96$ 或 $Z > 1.96$。

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B. 計算 p-value 與結論

• 計算 p-value:

  • p-value 是指在 $H_0$ 為真的情況下，觀察到樣本平均數 $\bar{X} = 7.5$ 或更極端結果的機率。
  • 對於雙尾檢定，p-value = $P(|Z| \ge |z_{observed}|)$。
  • 在此，$z_{observed} = 0.75$。
  • p-value = $P(|Z| \ge 0.75) = P(Z \le -0.75) + P(Z \ge 0.75)$。
  • 由於標準常態分佈是對稱的，p-value = $2 \times P(Z \ge 0.75)$。
  • 查標準常態分佈表 (Table 1)，找到 $Pr(0 < Z < 0.75)$。
  • Table 1 中，當 $z = 0.7$ 時，對應值為 $0.2580 + 0.2611 + 0.2642 + 0.2673 + 0.2704 = 0.2704$ (取 $z=0.75$)。
  • $P(Z \ge 0.75) = 0.5 - P(0 < Z < 0.75) = 0.5 - 0.2704 = 0.2296$。
  • p-value = $2 \times 0.2296 = 0.4592$。

• 結論:

  • 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
  • p-value ($0.4592$) > $\alpha$ ($0.05$)。
  • 因此，我們不拒絕虛無假設 $H_0$。
  • 結論是：在 5% 的顯著水準下，沒有足夠的證據顯示母體平均數 $\mu$ 與 7 有顯著差異。

【答案】
p-value 為 $0.4592$。
結論：不拒絕虛無假設 $H_0$。

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C. 計算檢定 Power

• Power 的定義: Power = $1 - \beta = P(\text{Reject } H_0 | H_1 \text{ is true})$。
• 條件:
  • $H_1$: $\mu = 7.2$ (此時 $\mu$ 的真值為 7.2)。
  • 顯著水準 $\alpha = 0.05$，拒絕域為 $Z > 1.96$ 或 $Z < -1.96$。
• 計算 $\beta$ (第二類錯誤機率): $\beta = P(\text{Fail to reject } H_0 | H_1 \text{ is true})$。

此題為簡單線性迴歸分析的綜合題，涵蓋了迴歸線的計算、參數解釋、假設檢定、信賴區間、變異數分析以及預測。

已知資料：
樣本數 $n = 5$
自變數 (Income, X): 23, 21, 18, 17, 21
應變數 (Happiness score, Y): 10, 9, 5, 4, 7

首先，計算迴歸分析所需的統計量：
$\sum X = 23 + 21 + 18 + 17 + 21 = 100$
$\sum Y = 10 + 9 + 5 + 4 + 7 = 35$
$\bar{X} = \frac{100}{5} = 20$
$\bar{Y} = \frac{35}{5} = 7$

$\sum X^2 = 23^2 + 21^2 + 18^2 + 17^2 + 21^2 = 529 + 441 + 324 + 289 + 441 = 2024$
$\sum Y^2 = 10^2 + 9^2 + 5^2 + 4^2 + 7^2 = 100 + 81 + 25 + 16 + 49 = 271$
$\sum XY = (23 \times 10) + (21 \times 9) + (18 \times 5) + (17 \times 4) + (21 \times 7) = 230 + 189 + 90 + 68 + 147 = 724$

計算斜方差和相關係數：
$S_{XY} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y} = 724 - 5 \times 20 \times 7 = 724 - 700 = 24$
$S_{XX} = \sum X^2 - n\bar{X}^2 = 2024 - 5 \times 20^2 = 2024 - 5 \times 400 = 2024 - 2000 = 24$
$S_{YY} = \sum Y^2 - n\bar{Y}^2 = 271 - 5 \times 7^2 = 271 - 5 \times 49 = 271 - 245 = 26$

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A. 計算最小平方迴歸直線

最小平方迴歸直線的方程式為 $\hat{Y} = b_0 + b_1 X$。
其中，$b_1$ 是斜率，$b_0$ 是截距。

• 計算斜率 $b_1$:
  $b_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{24}{24} = 1$

• 計算截距 $b_0$:
  $b_0 = \bar{Y} - b_1\bar{X} = 7 - 1 \times 20 = 7 - 20 = -13$

• 最小平方迴歸直線方程式：
  $\hat{Y} = -13 + 1X$
  即 $\hat{Y} = -13 + X$。

【答案】
迴歸直線方程式為 $\hat{Y} = -13 + X$。

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B. 解釋截距項與斜率估計值

• (i) 截距項 (Constant Term, $b_0 = -13$) 的解釋：
  截距項代表當自變數 X (Income) 為 0 時，應變數 Y (Happiness score) 的預測值。
  在這個情境下，截距項為 -13，表示當月收入為 0 時，預測的快樂分數為 -13。然而，月收入為 0 通常不是一個實際或合理的數據點，而且快樂分數也不太可能為負值。因此，這個截距項的解釋在實際應用上可能沒有太大意義，這暗示迴歸模型可能不適用於 X=0 的情況，或者自變數的範圍不包含 0。

• (ii) 估計的斜率係數 (Estimated Coefficient of Income, $b_1 = 1$) 的解釋：
  斜率係數 $b_1$ 代表當自變數 X (Income) 每增加一個單位時，應變數 Y (Happiness score) 的平均變化量。
  在這個情境下，估計的斜率為 1，表示當月收入每增加 1 元，預測的快樂分數平均會增加 1 分。這意味著收入與快樂分數之間存在正向關係。

【答案】
(i) 當月收入為 0 時，預測的快樂分數為 -13。此解釋在實際應用上可能不具意義。
(ii) 當月收入每增加 1 元，預測的快樂分數平均增加 1 分。

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C. 檢定估計係數的顯著性

• 檢定目標： 檢定收入 (X) 的係數 $b_1$ 是否在 5% 的顯著水準下顯著不為零。

• 虛無假設 $H_0$： $\beta_1 = 0$ (即收入對快樂分數沒有顯著影響)。

• 對立假設 $H_1$： $\beta_1 \neq 0$ (即收入對快樂分數有顯著影響)。

• 顯著水準： $\alpha = 0.05$。

• 檢定統計量： $t = \frac{b_1 - \beta_1}{SE(b_1)}$。

  • 已知 $b_1 = 1$ (從 A 計算得到)。
  • 已知 $SE(b_1) = 0.1667$ (題目提供)。
  • 已知 $\beta_1 = 0$ (根據 $H_0$)。
  • $t = \frac{1 - 0}{0.1667} = \frac{1}{0.1667} \approx 6.0018$。

• 決定拒絕域：

  • 這是關於迴歸係數的雙尾檢定。
  • 自由度 (df) = $n - k - 1$，其中 $n$ 是樣本數，$k$ 是自變數的個數。
  • 在此，$n = 5$，$k = 1$ (Income)。
  • 所以，自由度 df = $5 - 1 - 1 = 3$。
  • 在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，對於自由度為 3 的 t 分佈，雙尾拒絕域的臨界值為 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 3}$。

此題為機率計算題，涉及多個獨立事件的組合機率。

核心觀念：

• 獨立事件機率： 每個骰子擲出的結果是獨立的。
• 組合機率： 計算恰好有兩個骰子出現橙色的組合。

已知資訊：

• 骰子 A：2 面橙 (O)，4 面藍 (B)。總共 6 面。
  • $P(A=O) = 2/6 = 1/3$
  • $P(A=B) = 4/6 = 2/3$
• 骰子 B：3 面橙 (O)，3 面藍 (B)。總共 6 面。
  • $P(B=O) = 3/6 = 1/2$
  • $P(B=B) = 3/6 = 1/2$
• 骰子 C：4 面橙 (O)，2 面藍 (B)。總共 6 面。
  • $P(C=O) = 4/6 = 2/3$
  • $P(C=B) = 2/6 = 1/3$

目標： 計算擲出三個骰子，恰好有兩個骰子出現橙色的機率。

可能的組合 (恰好兩個橙色)：
有三種情況，分別是哪一個骰子出現藍色：

1. A 藍, B 橙, C 橙 ($B_A, O_B, O_C$)
2. A 橙, B 藍, C 橙 ($O_A, B_B, O_C$)
3. A 橙, B 橙, C 藍 ($O_A, O_B, B_C$)

此題為聯合機率分佈與條件機率的題目，涉及連續型隨機變數的聯合機率密度函數、邊際機率密度函數以及條件期望值。

已知條件：

• $X \sim \text{Uniform}(0, 1)$。其機率密度函數 (pdf) 為 $f_X(x) = 1$ for $0 < x < 1$，否則為 0。
• 給定 $X=x$，則 $Y \sim \text{Uniform}(0, e^x)$。其條件機率密度函數 (conditional pdf) 為 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{e^x - 0} = \frac{1}{e^x}$ for $0 < y < e^x$，否則為 0。

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a. 計算聯合機率密度函數 (joint pdf) $f_{X,Y}(x,y)$ 並繪製區域

• 聯合 pdf 的計算公式： $f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X}(y|x) f_X(x)$

• 計算：
  $f_{X,Y}(x,y) = \left(\frac{1}{e^x}\right) \times (1) = \frac{1}{e^x}$

• 定義域 (Domain)：

  • $X$ 的範圍是 $0 < x < 1$。
  • $Y$ 的範圍是 $0 < y < e^x$。
  • 因此，聯合 pdf 的定義域為 $D = \{(x,y) | 0 < x < 1, 0 < y < e^x \}$。

• 繪製區域 $f(x, y) > 0$：

  • 我們需要在 xy 平面上繪製滿足 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < e^x$ 的區域。
  • $x$ 的範圍是從 0 到 1 (不包含端點)。
  • $y$ 的上限是 $y = e^x$。當 $x=0$ 時，$y=e^0=1$。當 $x=1$ 時，$y=e^1=e \approx 2.718$。
  • $y$ 的下限是 $y=0$。
  • 這個區域是一個由 $x=0$, $x=1$, $y=0$ 和曲線 $y=e^x$ 所圍成的區域。

  區域描述：

  • 畫出 x 軸和 y 軸。
  • 畫出垂直線 $x=0$ (y 軸) 和 $x=1$。
  • 畫出水平線 $y=0$ (x 軸)。
  • 畫出曲線 $y=e^x$。當 $x=0$ 時，曲線通過點 $(0,1)$。當 $x=1$ 時，曲線通過點 $(1,e)$。
  • 所要求的區域是位於 $x=0$ 和 $x=1$ 之間，y 軸上方，且在曲線 $y=e^x$ 下方的區域。

【答案】
聯合 pdf 為 $f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{e^x}$，定義域為 $\{(x,y) | 0 < x < 1, 0 < y < e^x \}$。
區域為由 $x=0, x=1, y=0$ 和 $y=e^x$ 所圍成的區域。

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b. 計算條件期望值 $E(Y|x)$ 並繪製

• 條件期望值 $E(Y|x)$ 的計算公式：
  $E(Y|x) = \int_{-\infty}^{\infty} y f_{Y|X}(y|x) dy$

• 計算：

  • $f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{e^x}$，範圍是 $0 < y < e^x$。
    $E(Y|x) = \int_{0}^{e^x} y \left(\frac{1}{e^x}\right) dy$
    $E(Y|x) = \frac{1}{e^x} \int_{0}^{e^x} y dy$
    $E(Y|x) = \frac{1}{e^x} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{e^x}$
    $E(Y|x) = \frac{1}{e^x} \left( \frac{(e^x)^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
    $E(Y|x) = \frac{1}{e^x} \times \frac{e^{2x}}{2} = \frac{e^{2x-x}}{2} = \frac{e^x}{2}$

• 繪製 $y = E(Y|x) = \frac{e^x}{2}$ 這條線：

  • 這條線代表在給定 $x$ 值下，Y 的平均值。

此題是關於順序統計量 (Order Statistics) 的應用，包含點估計與信賴區間的計算，並利用常態近似來近似機率。

已知資料：
樣本數 $n = 27$。
順序統計量 (按升序排列的樣本值)：
$Y_1=261, Y_2=269, Y_3=271, Y_4=274, Y_5=279, Y_6=280, Y_7=283, Y_8=284, Y_9=286, Y_{10}=287, Y_{11}=292, Y_{12}=293, Y_{13}=296,$
$Y_{14}=300, Y_{15}=304, Y_{16}=305, Y_{17}=313, Y_{18}=321, Y_{19}=322, Y_{20}=329, Y_{21}=341, Y_{22}=343, Y_{23}=356, Y_{24}=364, Y_{25}=391, Y_{26}=417, Y_{27}=476$
(注意：資料中重複列出了 300 到 417 的部分，但總數應為 27 個。假設最後一個 476 是 $Y_{27}$，那麼前面的列表是完整的 27 個值。)

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a. 計算分位數的點估計

• 核心觀念： 順序統計量 $Y_k$ 可以用來估計母體的分位數。

  • 母體 $p$ 分位數 $\pi_p$ 的點估計值通常是 $Y_k$，其中 $k$ 約為 $np$。
  • 中位數 $\pi_{0.5}$ 的點估計是 $Y_{(n+1)/2}$ (當 n 為奇數)。

• 計算 $\pi_{0.25}$ 的點估計：

  • 我們需要尋找 $Y_k$ 使得 $k \approx n \times 0.25 = 27 \times 0.25 = 6.75$。
  • 最接近的整數索引是 7。
  • 因此，$\pi_{0.25}$ 的點估計值是 $Y_7$。
  • 從列表中，$Y_7 = 283$。

• 計算中位數 $\pi_{0.5}$ 的點估計：

  • $n = 27$ 是奇數。
  • 中位數的索引是 $(n+1)/2 = (27+1)/2 = 28/2 = 14$。
  • 因此，$\pi_{0.5}$ 的點估計值是 $Y_{14}$。
  • 從列表中，$Y_{14} = 300$。

• 計算 $\pi_{0.75}$ 的點估計：

  • 我們需要尋找 $Y_k$ 使得 $k \approx n \times 0.75 = 27 \times 0.75 = 20.25$。
  • 最接近的整數索引是 20。
  • 因此，$\pi_{0.75}$ 的點估計值是 $Y_{20}$。
  • 從列表中，$Y_{20} = 329$。

【答案】

• $\pi_{0.25}$ 的點估計值是 $Y_7 = 283$。
• $\pi_{0.5}$ (中位數) 的點估計值是 $Y_{14} = 300$。
• $\pi_{0.75}$ 的點估計值是 $Y_{20} = 329$。

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b. 計算信賴區間的信賴係數 $1-\alpha$

• 問題設定： 給定信賴區間 $(Y_4, Y_{10})$ 用於估計 $\pi_{0.25}$。

  • 這意味著我們關心的是，當我們從母體中抽取 27 個樣本，並觀察其順序統計量 $Y_4$ 和 $Y_{10}$ 時，母體 0.25 分位數 $\pi_{0.25}$ 落在這兩個順序統計量之間的機率。
  • 即 $1-\alpha = P(Y_4 < \pi_{0.25} < Y_{10})$。
  • 我們需要利用常態近似來計算這個機率。

• 常態近似：

  • 對於一個從連續分佈中抽取的大小為 $n$ 的樣本，順序統計量 $Y_k$ 的分佈可以用常態分佈來近似。
  • $Y_k$ 的平均值近似為母體 $p_k$ 分位數，其中 $p_k = k/(n+1)$。
  • $Y_k$ 的變異數近似為 $\frac{p_k(1-p_k)}{(n+1)^2 f^2(F^{-1}(p_k))}$，其中 $f$ 是 pdf，$F^{-1}(p_k)$ 是母體 $p_k$ 分位數。
  • 然而，這裡我們關心的是機率 $P(Y_a < \pi_p < Y_b)$。
  • 對於一個從母體中抽取，且母體分佈未知（但為連續型）的樣本，我們可以利用二項分佈的常態近似來處理順序統計量。
  • 考慮事件 $E_i$: $Y_i < \pi_p$。如果母體分佈是連續的，則 $P(Y_i < \pi_p) = p$。
  • 我們感興趣的事件是：$Y_4 < \pi_{0.25}$ 且 $\pi_{0.25} < Y_{10}$。
  • 這相當於：在 27 個樣本中，有 4 個樣本小於 $\pi_{0.25}$ (也就是 $Y_4 < \pi_{0.25}$)，並且有 $27-10+1 = 18$ 個樣本大於 $\pi_{0.25}$ (也就是 $Y_{10} > \pi_{0.25}$)。
  • 換句話說，我們關心的是有 $k$ 個樣本小於 $\pi_p$ 的機率。

此題為關於 Poisson 分佈的估計量問題，涵蓋了最大概似估計 (MLE)、動差法估計 (Method of Moments) 以及證明估計量的無偏性。

已知條件：

• 樣本 $X_1, X_2, ..., X_n$ 來自 Poisson 分佈，平均值為 $\lambda$。
• Poisson 分佈的機率質量函數 (pmf) 為 $f(x;\lambda) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$，對於 $x = 0, 1, 2, ...$。
• 母體平均數 $E(X) = \lambda$。
• 母體變異數 $Var(X) = \lambda$。

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a. 證明最大概似估計量 (MLE) 為 $\bar{X}$

• 最大概似函數 (Likelihood Function)：
  對於一個樣本 $X_1, ..., X_n$，聯合機率質量函數為：
  $L(\lambda | x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!} = \frac{\lambda^{\sum x_i} e^{-n\lambda}}{\prod x_i!}$

• 對數概似函數 (Log-Likelihood Function)：
  為了便於微分，我們取對數：
  $l(\lambda) = \ln L(\lambda) = \ln \left( \frac{\lambda^{\sum x_i} e^{-n\lambda}}{\prod x_i!} \right)$
  $l(\lambda) = (\sum x_i) \ln(\lambda) - n\lambda - \ln(\prod x_i!)$

• 求導並令導數為零：
  對 $l(\lambda)$ 對 $\lambda$ 微分，並令其等於 0 以找到極值點。
  $\frac{dl(\lambda)}{d\lambda} = \frac{d}{d\lambda} \left[ (\sum x_i) \ln(\lambda) - n\lambda - \ln(\prod x_i!) \right]$
  $\frac{dl(\lambda)}{d\lambda} = (\sum x_i) \frac{1}{\lambda} - n$
  令 $\frac{dl(\lambda)}{d\lambda} = 0$：
  $\frac{\sum x_i}{\lambda} - n = 0$
  $\frac{\sum x_i}{\lambda} = n$
  $\lambda = \frac{\sum x_i}{n}$
  $\lambda = \bar{X}$

• 驗證二階導數：
  $\frac{d^2l(\lambda)}{d\lambda^2} = \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{\sum x_i}{\lambda} - n \right) = -\frac{\sum x_i}{\lambda^2}$
  由於 $x_i \ge 0$ 且 $\lambda > 0$，所以 $\sum x_i \ge 0$ 且 $\lambda^2 > 0$。
  因此，$\frac{d^2l(\lambda)}{d\lambda^2} \le 0$ (當 $\sum x_i > 0$ 時為負，當 $\sum x_i = 0$ 時為零)。這表明我們找到的是一個最大值。

【答案】
最大概似估計量 (MLE) 為 $\hat{\lambda}_{MLE} = \bar{X}$。

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b. 證明動差法估計量 (Method of Moments Estimator, MoM) 為 $\bar{X}$