114 年 國立臺灣大學森林環境暨資源學系碩士班丁組《統計學（D）》

此題主要在測試對敘述性統計基本概念的理解，包括統計單元、變數類型，以及計算集中量數（平均數、中位數、眾數）與離散量數（全距、標準差）的能力。

核心觀念：

• 統計單元 (Statistical Unit)： 觀察或測量的基本對象。
• 變數 (Variable)： 統計單元所具有的、可變異的屬性或特徵。
• 全距 (Range)： 資料中的最大值與最小值之差。
• 平均數 (Mean)： 所有資料的總和除以資料個數。
• 中位數 (Median)： 將資料排序後，位於最中間的數值。
• 眾數 (Mode)： 資料中出現頻率最高的數值。
• 標準差 (Standard Deviation)： 衡量資料離散程度的指標，是變異數的平方根。

(1) 統計單元與變數

• 統計單元： 題目提到是從「隨機選取的、有兩個以上小孩的女性」的樣本中收集資料。因此，統計單元是「一位有兩個以上小孩的女性」。
• 變數： 收集的資料是這些女性的「壓力分數」(pressure scores)。壓力分數是一個數值，用來衡量壓力程度，屬於定量變數 (quantitative variable)。由於壓力分數是以區間表示（如 15-19, 10-14 等），嚴格來說，這是一個分組的定量資料。

【答案】
統計單元：一位有兩個以上小孩的女性。
變數：壓力分數 (定量變數)。

(2) 全距、平均數、中位數、眾數、標準差的計算

此資料為分組數據，且分數是以區間形式呈現，這會影響部分統計量的計算。

• 全距 (Range)：
  全距的計算需要知道資料的最大值和最小值。由於資料是以分數區間表示，我們無法得知確切的最大值和最小值。例如，「20 and over」區間只知道分數大於等於 20，但不知道具體上限；「0-4」區間只知道分數小於等於 4，但不知道具體下限。因此，無法精確計算全距。

• 平均數 (Mean)：
  對於分組數據，計算平均數通常需要使用各組的組中值 (midpoint) 來近似。
  首先，我們需要確定各組的組中值：

  • 0-4 區間：組中值 = $(0+4)/2 = 2$
  • 5-9 區間：組中值 = $(5+9)/2 = 7$
  • 10-14 區間：組中值 = $(10+14)/2 = 12$
  • 15-19 區間：組中值 = $(15+19)/2 = 17$
  • 20 and over 區間：此區間沒有上限，無法計算確切的組中值。若假設此區間的下限為 20，但缺乏上限，無法給出一個準確的組中值。然而，在實務上，有時會假設一個合理的上限（例如 24 或 25），或使用下限作為近似。在此，為了計算，我們假設此區間的組中值為 22（例如，假設上限為 24，(20+24)/2=22）。請注意，這是一個近似值，且「20 and over」區間的組中值估計會影響結果。
    總資料筆數 $n = 0 + 13 + 25 + 8 + 4 = 50$。

  平均數的近似計算公式為：
  $\bar{x} \approx \frac{\sum (m_i \times f_i)}{n}$
  其中 $m_i$ 是第 $i$ 組的組中值，$f_i$ 是第 $i$ 組的頻率。

  $\sum (m_i \times f_i) = (2 \times 4) + (7 \times 8) + (12 \times 25) + (17 \times 13) + (22 \times 0)$
  $\sum (m_i \times f_i) = 8 + 56 + 300 + 221 + 0 = 585$

  $\bar{x} \approx \frac{585}{50} = 11.7$

• 中位數 (Median)：
  資料總數 $n=50$。中位數是排序後第 $n/2 = 25$ 和第 $25+1 = 26$ 個數據的平均值。
  我們需要找到包含第 25 和 26 個數據的組。
  累積頻率：

  • 0-4: 4
  • 5-9: 4 + 8 = 12
  • 10-14: 12 + 25 = 37
    第 25 和 26 個數據都落在 10-14 這個組別。
    中位數的計算公式（對於分組數據）：
    $Median = L + \frac{\frac{n}{2} - CF}{f} \times w$
    其中：
  • $L$ 是中位數所在組的下組限 (lower class boundary)。10-14 的組，下組限為 9.5。
  • $n$ 是總樣本數 (50)。
  • $CF$ 是中位數所在組的累積頻率 (cumulative frequency) 之前一組的累積頻數。

此題旨在測試學生對資料整理、五數摘要 (five-number summary) 的計算，以及如何繪製盒狀圖 (boxplot) 並判斷異常值 (outliers) 的能力。

核心觀念：

• 五數摘要： 資料集中的最小值 (Minimum)、第一四分位數 (Q1)、中位數 (Median, Q2)、第三四分位數 (Q3) 和最大值 (Maximum)。
• 盒狀圖 (Boxplot)： 一種用於顯示數據分佈的圖形，由箱子、鬚線和潛在的異常值組成。
• 盒子的範圍： 由 Q1 到 Q3，代表中間 50% 的數據。
• 中位數線： 標示在箱子內，代表數據的中間值。
• 鬚線 (Whiskers)： 從箱子延伸出來，通常延伸到非異常值的最小值和最大值。
• IQR (Interquartile Range)： Q3 - Q1，代表中間 50% 數據的範圍。
• 異常值 (Outliers)： 落在 IQR 的上下界限之外的數據點。計算異常值的界限通常是：
  • 下界限：$Q1 - 1.5 \times IQR$
  • 上界限：$Q3 + 1.5 \times IQR$

步驟：

1. 整理數據並排序：
   題目已給出 20 個新生兒的體重，數據已按從小到大排序：
   3.1, 3.2, 3.2, 3.3, 3.4, 3.4, 3.5, 3.5, 3.6, 3.6,
   3.7, 3.7, 3.8, 3.9, 4.0, 4.0, 4.1, 4.3, 4.5, 5.0

   總樣本數 $n = 20$。

2. 計算五數摘要：

   • 最小值 (Minimum)： 數據集中最小的數值。
     $Minimum = 3.1$

   • 最大值 (Maximum)： 數據集中最大的數值。
     $Maximum = 5.0$

   • 中位數 (Median, Q2)：
     由於 $n=20$ (偶數)，中位數是排序後第 $n/2 = 10$ 和第 $n/2+1 = 11$ 個數據的平均值。
     第 10 個數據是 3.6。
     第 11 個數據是 3.7。
     $Q2 = Median = \frac{3.6 + 3.7}{2} = 3.65$

   • 第一四分位數 (Q1)：
     Q1 是數據集中介於最小值和中位數之間的中位數。我們考慮前 10 個數據：
     3.1, 3.2, 3.2, 3.3, 3.4, 3.4, 3.5, 3.5, 3.6, 3.6
     這 10 個數據的中位數（即第 5 和第 6 個數據的平均值）：
     第 5 個數據是 3.4。
     第 6 個數據是 3.4。
     $Q1 = \frac{3.4 + 3.4}{2} = 3.4$

   • 第三四分位數 (Q3)：
     Q3 是數據集中介於中位數和最大值之間的中位數。我們考慮後 10 個數據：
     3.7, 3.7, 3.8, 3.9, 4.0, 4.0, 4.1, 4.3, 4.5, 5.0

此題為典型的卡方獨立檢定 (Chi-square test of independence) 應用題，用於檢定兩個類別變數（在此為農場規模和農場淨收益）之間是否存在顯著關聯。

核心觀念：

• 卡方獨立檢定： 檢定兩個類別變數是否獨立，即一個變數的類別分佈是否不受另一個變數的類別影響。
• 虛無假說 ($H_0$)： 兩個變數是獨立的。
• 對立假說 ($H_1$)： 兩個變數不是獨立的（即存在關聯）。
• 期望次數 (Expected Frequency, $E_{ij}$) ： 在虛無假說成立的情況下，預期在某個儲存格中出現的次數。計算公式為：$E_{ij} = \frac{(Row\ Total)_i \times (Column\ Total)_j}{Grand\ Total}$。
• 卡方檢定統計量 ($\chi^2$) ： 衡量觀察次數 (Observed Frequency, $O_{ij}$) 與期望次數之間的差異。計算公式為：$\chi^2 = \sum_{i}\sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$。
• 自由度 (Degrees of Freedom, df)： 對於 $r \times c$ 的列聯表，自由度為 $(r-1)(c-1)$。
• 顯著水準 ($\alpha$)： 決定拒絕虛無假說的機率門檻。
• 臨界值 (Critical Value)： 在顯著水準 $\alpha$ 和自由度 df 下，卡方分佈表中的值。若計算出的 $\chi^2$ 統計量大於臨界值，則拒絕 $H_0$。
• P值 (P-value)： 在 $H_0$ 為真時，觀察到現有樣本結果或更極端結果的機率。若 P值 < $\alpha$，則拒絕 $H_0$。
• Type I 錯誤 (Type I Error)： 當虛無假說為真時，錯誤地拒絕它。機率為 $\alpha$。
• Type II 錯誤 (Type II Error)： 當虛無假說為偽時，錯誤地未能拒絕它。機率為 $\beta$。

步驟：

首先，我們需要計算列聯表的總計和期望次數。

原始數據 (觀察次數 $O_{ij}$):

Size of Farm	High	Medium	Low	Row Total
Small	0	2	58	60
Medium	6	4	20	30
Large	4	4	2	10
Column Total	10	10	80	Grand Total = 100

計算期望次數 ($E_{ij}$):
$Grand\ Total = 100$
$r = 3$ (Small, Medium, Large)
$c = 3$ (High, Medium, Low)

• $E_{Small, High} = \frac{60 \times 10}{100} = 6$

• $E_{Small, Medium} = \frac{60 \times 10}{100} = 6$

• $E_{Small, Low} = \frac{60 \times 80}{100} = 48$

• $E_{Medium, High} = \frac{30 \times 10}{100} = 3$

• $E_{Medium, Medium} = \frac{30 \times 10}{100} = 3$

• $E_{Medium, Low} = \frac{30 \times 80}{100} = 24$

• $E_{Large, High} = \frac{10 \times 10}{100} = 1$

• $E_{Large, Medium} = \frac{10 \times 10}{100} = 1$

• $E_{Large, Low} = \frac{10 \times 80}{100} = 8$

期望次數表：

Size of Farm	High	Medium	Low
Small	6	6	48
Medium	3	3	24
Large	1	1	8

(1) 虛無假說與對立假說

• 虛無假說 ($H_0$)： 農場的規模與農場的淨收益之間沒有統計學上的關聯（即兩者是獨立的）。
• 對立假說 ($H_1$)： 農場的規模與農場的淨收益之間存在統計學上的關聯（即兩者不是獨立的）。

【答案】
$H_0$：農場規模與淨收益是獨立的。
$H_1$：農場規模與淨收益不是獨立的。

(2) 公式與計算

核心觀念

本題比較「農村醫院」與「都市醫院」兩個獨立母體的平均住院天數，應使用兩獨立樣本平均數之 $t$ 檢定。

由於題目問的是「是否有差異」，不指定哪一組較大，因此採用雙尾檢定：

• 虛無假設：兩類醫院的母體平均住院天數相同。
• 對立假設：兩類醫院的母體平均住院天數不同。

兩組樣本數皆為 $10$，且樣本變異數相同，可採用合併變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定。

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解題方法與必要計算

（1）假設

虛無假設 $H_0$： 全國農村醫院與都市醫院的平均住院天數沒有差異。

對立假設 $H_1$： 全國農村醫院與都市醫院的平均住院天數有差異。

顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

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（2）計算兩組樣本平均數

農村醫院資料總和為：

$$4+6+5+4+4+9+6+9+8+5=60$$

因此農村醫院平均住院天數為：

$$\bar X_R=\frac{60}{10}=6$$

都市醫院資料總和為：

$$4+2+2+3+6+7+7+4+2+3=40$$

因此都市醫院平均住院天數為：

$$\bar X_U=\frac{40}{10}=4$$

觀察到樣本平均數差異為：

$$\bar X_R-\bar X_U=6-4=2$$

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（3）計算樣本變異數

農村醫院以平均數 $6$ 為基準：

$$\sum (X_R-\bar X_R)^2 =(-2)^2+0^2+(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2+3^2+0^2+3^2+2^2+(-1)^2 =36$$

所以：

$$s_R^2=\frac{36}{10-1}=4$$

都市醫院以平均數 $4$ 為基準：

$$\sum (X_U-\bar X_U)^2 =0^2+(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2+2^2+3^2+3^2+0^2+(-2)^2+(-1)^2 =36$$

所以：

$$s_U^2=\frac{36}{10-1}=4$$

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（4）計算合併樣本變異數

合併變異數為：

$$s_p^2= \frac{(n_R-1)s_R^2+(n_U-1)s_U^2} {n_R+n_U-2}$$

代入資料：

$$s_p^2= \frac{9(4)+9(4)}{10+10-2} = \frac{72}{18}=4$$

因此：

$$s_p=\sqrt{4}=2$$

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（5）計算檢定統計量

兩獨立樣本平均數差異的 $t$ 統計量為：

$$t= \frac{\bar X_R-\bar X_U} {s_p\sqrt{\frac{1}{n_R}+\frac{1}{n_U}}}$$

代入：

$$t= \frac{6-4} {2\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}$$ $$= \frac{2}{2\sqrt{0.2}} = \frac{2}{0.8944} \approx 2.236$$

因此，計算所得：

$$t_{\text{calculated}}\approx 2.236$$

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（3）自由度與臨界值

自由度為：

$$df=n_R+n_U-2=10+10-2=18$$