112 年 國立臺灣大學農業經濟學系碩士班《統計學（E）》

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第 1. 題40 分

A researcher is interested in the relationship between maternal smoking and infant health (measured by birth weight). To study this question, he collected a sample of 189 birth records that contain information on the birth weight of infants as well as health status and demographic characteristics of mothers. The table below presents the definitions and sample means of the selected variables for the full sample, the smoking mother subsample, and the non-smoking mother subsample, respectively. Using this table to answer the following questions.

VariableDefinitionFull sampleSmoking mothersNon-smoking mothers
bwtbirth weight (g)294427723055
smoke=1 if smoking during pregnancy, 0 otherwise0.39210
ageAge of mother23.23822.94623.426
white=1 if white race, 0 other0.5080.7030.383
black=1 if black race, 0 other0.1380.1350.139
other=1 if other race, 0 other0.3540.1620.478
ht=1 if having history of hypertension, 0 otherwise0.0630.0680.061
ftvNumber of prenatal visits0.7940.7570.817
Observations18974115

A. To begin with, the researcher specifies a simple linear regression model:
bwti=β0+β1smokei+ϵibwt_i = \beta_0 + \beta_1 smoke_i + \epsilon_i.
Write down the estimated regression equation. (6 points)

B. Interpret the estimated coefficients of β0\beta_0 and β1\beta_1. (6 points)

C. At the 5% significance level, what is your conclusion regarding the relationship between maternal smoking
and birth weight? The standard error of the coefficient estimate of β1\beta_1 is 107 and the critical value of the
test statistic at the 5% significance level is 1.96. Be sure to write down each step of the hypothesis testing
procedure. (8 points)

D. (i) Calculate the 95% confidence interval for the estimated coefficient of smokesmoke and (ii) interpret it. (6 points)

E. The researcher next extends the simple linear regression model to a multiple linear regression model:
bwti=β0+β1smokei+β2agei+β3whitei+β4blacki+β5hti+β6ftvi+ϵibwt_i = \beta_0 + \beta_1 smoke_i + \beta_2 age_i + \beta_3 white_i + \beta_4 black_i + \beta_5 ht_i + \beta_6 ftv_i + \epsilon_i.
What is the point of including additional explanatory variables in the model? (2 points)

F. Is it always good to include more and more explanatory variables in the model? Explain. (4 points)

G. Why does the researcher only include two variables of race (white and black) in the model, even though
there are three race variables in the table (white, black, and other)? (4 points)

H. Suppose the researcher additionally suspects that the effect of maternal smoking depends on the age of
mother. What model specification can you use to test such a relationship? Write down the regression model.
(4 points)

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這一題的完整詳解

本題主要在於檢定母體吸煙與嬰兒出生體重之間的關係，並進一步探討模型中加入其他解釋變數的效益與模型擴充。

A. 簡單線性迴歸模型的估計式。
給定簡單線性迴歸模型 bwti=β0+β1smokei+ϵibwt_i = \beta_0 + \beta_1 smoke_i + \epsilon_i。
我們需要計算 β^0\hat{\beta}_0 和 β^1\hat{\beta}_1。
根據迴歸分析的公式，β^1=Cov(bwt,smoke)Var(smoke)\hat{\beta}_1 = \frac{Cov(bwt, smoke)}{Var(smoke)} 且 β^0=bwtˉ−β^1smoke‾\hat{\beta}_0 = \bar{bwt} - \hat{\beta}_1 \overline{smoke}。
從表格中，我們有：
bwtˉfull=2944\bar{bwt}_{full} = 2944
smoke‾full=0.392\overline{smoke}_{full} = 0.392
bwtˉsmoking=2772\bar{bwt}_{smoking} = 2772
smoke‾smoking=1\overline{smoke}_{smoking} = 1
bwtˉnon−smoking=3055\bar{bwt}_{non-smoking} = 3055
smoke‾non−smoking=0\overline{smoke}_{non-smoking} = 0

β^1\hat{\beta}_1 代表 smokesmoke 變數每增加一個單位時，bwtbwt 的預期變化量。
β^1=bwtˉsmoking−bwtˉnon−smokingsmoke‾smoking−smoke‾non−smoking=2772−30551−0=−283\hat{\beta}_1 = \frac{\bar{bwt}_{smoking} - \bar{bwt}_{non-smoking}}{\overline{smoke}_{smoking} - \overline{smoke}_{non-smoking}} = \frac{2772 - 3055}{1 - 0} = -283

β^0\hat{\beta}_0 代表當 smoke=0smoke=0 時，bwtbwt 的預期值。
β^0=bwtˉnon−smoking=3055\hat{\beta}_0 = \bar{bwt}_{non-smoking} = 3055 (因為當 smoke=0smoke=0 時，我們考慮的是非吸煙母親的平均出生體重)。
或者，使用公式：
β^0=bwtˉfull−β^1smoke‾full=2944−(−283)(0.392)=2944+110.936=3054.936≈3055\hat{\beta}_0 = \bar{bwt}_{full} - \hat{\beta}_1 \overline{smoke}_{full} = 2944 - (-283)(0.392) = 2944 + 110.936 = 3054.936 \approx 3055

因此，估計的迴歸方程式為：
bwt^i=3055−283smokei\hat{bwt}_i = 3055 - 283 smoke_i

【答案】bwt^i=3055−283smokei\hat{bwt}_i = 3055 - 283 smoke_i

B. 估計係數的解釋。
β^0=3055\hat{\beta}_0 = 3055: 當母親不吸煙 (smokei=0smoke_i = 0) 時，嬰兒的平均出生體重估計為 3055 克。
β^1=−283\hat{\beta}_1 = -283: 與不吸煙的母親相比，吸煙的母親所生嬰兒的平均出生體重估計會減少 283 克。

【答案】β^0=3055\hat{\beta}_0 = 3055 代表不吸煙母親的平均出生體重；β^1=−283\hat{\beta}_1 = -283 代表吸煙母親的平均出生體重比不吸煙母親減少 283 克。

C. 在 5% 顯著水準下，關於母體吸煙與出生體重關係的結論。
這是進行假設檢定。

  1. 設定假設:
    虛無假設 H0:β1=0H_0: \beta_1 = 0 (母體吸煙與出生體重無關)
    對立假設 H1:β1≠0H_1: \beta_1 \neq 0 (母體吸煙與出生體重有關)

  2. 選擇檢定統計量:
    在此情況下，我們使用 t 檢定統計量：t=β^1−β1SE(β^1)t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_1}{SE(\hat{\beta}_1)}。
    在 H0H_0 下，β1=0\beta_1 = 0，所以 t=β^1SE(β^1)t = \frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)}。

  3. 計算檢定統計量:
    β^1=−283\hat{\beta}_1 = -283
    SE(β^1)=107SE(\hat{\beta}_1) = 107 (題目提供)
    t=−283107≈−2.645t = \frac{-283}{107} \approx -2.645

  4. 決定拒絕域:
    顯著水準 α=0.05\alpha = 0.05。
    由於是雙尾檢定 (H1:β1≠0H_1: \beta_1 \neq 0)，我們需要尋找臨界值 tα/2,n−k−1t_{\alpha/2, n-k-1}，其中 nn 是樣本數，kk 是解釋變數的數量。
    在本題的簡單迴歸中，n=189n=189，解釋變數數量 k=1k=1 (smoke)。
    自由度 df=n−k−1=189−1−1=187df = n - k - 1 = 189 - 1 - 1 = 187。
    題目直接提供了 5% 顯著水準下的臨界值為 1.96。這表示我們拒絕 H0H_0 如果 ∣t∣>1.96|t| > 1.96。

  5. 做出決策:
    計算出的檢定統計量 ∣t∣=∣−2.645∣=2.645|t| = |-2.645| = 2.645。
    因為 2.645>1.962.645 > 1.96，我們拒絕虛無假設 H0H_0。

  6. 下結論:
    在 5% 顯著水準下，有足夠的證據顯示母體吸煙與嬰兒出生體重之間存在顯著的關係。具體來說，吸煙與較低的出生體重相關。

【答案】在 5% 顯著水準下，拒絕虛無假設 H0:β1=0H_0: \beta_1 = 0。有足夠證據顯示母體吸煙與嬰兒出生體重之間存在顯著的負相關關係。

D. (i) 計算 β1\beta_1 的 95% 信賴區間，並 (ii) 解釋。
(i) 計算 95% 信賴區間：
信賴區間的公式為 β^1±tα/2,n−k−1×SE(β^1)\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \times SE(\hat{\beta}_1)。
在此，α=0.05\alpha = 0.05，所以 α/2=0.025\alpha/2 = 0.025。
自由度 df=187df = 187。
根據題目提供的 5% 顯著水準臨界值 1.96，這通常代表雙尾檢定的臨界值，因此 t0.025,187≈1.96t_{0.025, 187} \approx 1.96。
β^1=−283\hat{\beta}_1 = -283
SE(β^1)=107SE(\hat{\beta}_1) = 107
信賴區間 = −283±1.96×107-283 \pm 1.96 \times 107
信賴區間 = −283±209.72-283 \pm 209.72
信賴區間 = (−283−209.72,−283+209.72)(-283 - 209.72, -283 + 209.72)
信賴區間 = (−492.72,−73.28)(-492.72, -73.28)

(ii) 解釋：
我們有 95% 的信心，母體吸煙對嬰兒出生體重的真實影響（即 β1\beta_1）落在區間 (−492.72,−73.28)(-492.72, -73.28) 克之間。由於此信賴區間完全不包含 0，這與我們在 (C) 部分得出的結論一致，即母體吸煙與出生體重之間存在顯著的負相關。

【答案】(i) 95% 信賴區間為 (−492.72,−73.28)(-492.72, -73.28)。(ii) 我們有 95% 的信心，母體吸煙與嬰兒出生體重之間的真實關係（單位：克）介於 -492.72 和 -73.28 之間。

E. 加入額外解釋變數的目的。
在簡單線性迴歸模型中，我們只考慮了母體吸煙對出生體重的影響。然而，出生體重可能還受到其他因素的影響，例如母親的年齡、種族、是否有高血壓病史、產前檢查次數等。
加入額外的解釋變數（如 age, white, black, ht, ftv）到多重線性迴歸模型中，主要目的有：

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第 2. 題10 分

Suppose in a county 50%, 30%, and 20% of residents live in urban, suburban, and rural areas, respectively. Additionally, 60% of urban residents have a bachelor's degree, 50% of suburban residents have a bachelor's degree, and 40% of rural residents have a bachelor's degree.

A. What is the probability that a randomly selected resident has a bachelor's degree? (5 points)

B. For a randomly selected resident who has a bachelor's degree, what is the probability that the resident lives in an urban area? (5 points)

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本題考驗對總機率法則 (Law of Total Probability) 和貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。

A. 隨機選取的居民擁有學士學位的機率。
我們可以使用總機率法則來計算這個機率。假設 U 代表居民居住在都市地區，S 代表居住在郊區，R 代表居住在鄉村。B 代表擁有學士學位。
已知：
P(U) = 0.50
P(S) = 0.30
P(R) = 0.20
P(B|U) = 0.60 (都市居民有學士學位的機率)
P(B|S) = 0.50 (郊區居民有學士學位的機率)
P(B|R) = 0.40 (鄉村居民有學士學位的機率)

根據總機率法則：
P(B) = P(B|U)P(U) + P(B|S)P(S) + P(B|R)P(R)

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第 Part II A. 題

Let the bivariate normal random variables X and Y have the linear conditional means:
E(Y∣x)=1−xE(Y|x) = 1-x and E(X∣y)=5−y/9E(X|y) = 5 - y/9, as well as the unconditional variance of X, V(X)=4V(X) = 4.
Then, $E[X] + E[Y] = (1) \quad ; V[Y] = (2) \quad ; the correlation coefficient between X and Y is (3)

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核心觀念

二元常態分配的條件期望為線性迴歸式：

E(Y∣X=x)=μY+Cov⁡(X,Y)V(X)(x−μX)E(Y\mid X=x)=\mu_Y+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{V(X)}(x-\mu_X) E(X∣Y=y)=μX+Cov⁡(X,Y)V(Y)(y−μY)E(X\mid Y=y)=\mu_X+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{V(Y)}(y-\mu_Y)

其中：

  • μX=E(X)\mu_X=E(X)
  • μY=E(Y)\mu_Y=E(Y)
  • Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X,Y) 為共變異數
  • V(X)=4V(X)=4

題目給定兩條條件平均線的斜率，便可分別求出平均數、共變異數與 V(Y)V(Y)。

解題方法

1. 求 E[X]+E[Y]E[X]+E[Y]

由全期望定理：

E[E(Y∣X)]=E(Y)E[E(Y\mid X)]=E(Y)

因此：

E(Y)=E(1−X)=1−E(X)E(Y)=E(1-X)=1-E(X)

所以：

E(X)+E(Y)=1E(X)+E(Y)=1

亦可利用另一條條件平均線驗算：

E(X)=E(5−Y9)=5−E(Y)9E(X)=E\left(5-\frac{Y}{9}\right) =5-\frac{E(Y)}{9}

令 μX=E(X)\mu_X=E(X)、μY=E(Y)\mu_Y=E(Y)，則

μY=1−μX\mu_Y=1-\mu_X

以及

μX=5−μY9\mu_X=5-\frac{\mu_Y}{9}

代入 μY=1−μX\mu_Y=1-\mu_X：

μX=5−1−μX9\mu_X=5-\frac{1-\mu_X}{9} 9μX=45−1+μX9\mu_X=45-1+\mu_X 8μX=448\mu_X=44 μX=112\mu_X=\frac{11}{2} μY=1−112=−92\mu_Y=1-\frac{11}{2}=-\frac{9}{2}

因此：

E(X)+E(Y)=1E(X)+E(Y)=1

2. 求 Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X,Y)

條件平均數 E(Y∣X=x)=1−xE(Y\mid X=x)=1-x 的斜率為 −1-1。

根據迴歸斜率公式：

Cov⁡(X,Y)V(X)=−1\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{V(X)}=-1

由 V(X)=4V(X)=4：

Cov⁡(X,Y)=−1×4=−4\operatorname{Cov}(X,Y)=-1\times 4=-4

3. 求 V(Y)V(Y)

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第 Part II B. 題

The length of life is a random variable Y with a density function given by: f(y∣α,m)=mym−1e−ym/ααf(y|\alpha,m) = \frac{m y^{m-1} e^{-y^m/\alpha}}{\alpha}, 0≤y<∞0 \le y < \infty, α>0,m>0\alpha > 0, m > 0 and 0, elsewhere is said to have a Weibull distribution.
Its distribution function F(y∣α,m)=(4)F(y|\alpha,m) = (4) ; When m=1m = 1, the moment generating function (MGF) of Y is (5) ; E[Y]∣α,m=1=(6)E[Y]|_{\alpha, m=1} = (6) ; E[Y2]∣α,m=1=(7)E[Y^2]|_{\alpha, m=1} = (7)

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本題考驗對 Weibull 分佈的理解，包括其累積分布函數 (CDF)、動差生成函數 (MGF) 以及在 m=1m=1 時的期望值和二階矩。

Weibull 分佈的機率密度函數 (PDF) 為：
f(y∣α,m)={mym−1e−ym/ααif y≥00otherwisef(y|\alpha,m) = \begin{cases} \frac{m y^{m-1} e^{-y^m/\alpha}}{\alpha} & \text{if } y \ge 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}
其中 α>0\alpha > 0 是尺度參數 (scale parameter)，m>0m > 0 是形狀參數 (shape parameter)。

(4) 計算累積分布函數 (CDF) F(y∣α,m)F(y|\alpha,m)。
CDF 是 PDF 的積分，從 0 到 y：
F(y∣α,m)=∫0yf(t∣α,m)dt=∫0ymtm−1e−tm/ααdtF(y|\alpha,m) = \int_0^y f(t|\alpha,m) dt = \int_0^y \frac{m t^{m-1} e^{-t^m/\alpha}}{\alpha} dt
令 u=tm/αu = t^m/\alpha，則 du=mtm−1αdtdu = \frac{m t^{m-1}}{\alpha} dt。
當 t=0t=0 時，u=0u=0。當 t=yt=y 時，u=ym/αu=y^m/\alpha。
F(y∣α,m)=∫0ym/αe−udu=[−e−u]0ym/α=−e−ym/α−(−e0)=1−e−ym/αF(y|\alpha,m) = \int_0^{y^m/\alpha} e^{-u} du = [-e^{-u}]_0^{y^m/\alpha} = -e^{-y^m/\alpha} - (-e^0) = 1 - e^{-y^m/\alpha}。

所以，(4) F(y∣α,m)=1−e−ym/αF(y|\alpha,m) = 1 - e^{-y^m/\alpha}。

(5) 當 m=1m = 1 時，計算動差生成函數 (MGF)。
當 m=1m=1 時，PDF 變為：
f(y∣α,1)=1⋅y1−1e−y1/αα=e−y/ααf(y|\alpha,1) = \frac{1 \cdot y^{1-1} e^{-y^1/\alpha}}{\alpha} = \frac{e^{-y/\alpha}}{\alpha}， for y≥0y \ge 0。
這是一個指數分佈 (Exponential distribution) 的 PDF，其參數為 λ=1/α\lambda = 1/\alpha。
指數分佈的 MGF 為 MX(t)=λλ−tM_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}，對於 t<λt < \lambda。
在此，λ=1/α\lambda = 1/\alpha。

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第 Part II C. 題

The duration X of long-distance telephone calls (in minutes) monitored by a station is a random
variable with the properties that P[X=3]=1/3P[X = 3] = 1/3 and P[X=6]=1/6P[X = 6] = 1/6; otherwise, X has a
chi-squared distribution with 4 degrees of freedom. E[X]=(8)E[X] = (8); E[X2]=(9)E[X^2] = (9);
V[X]=(10)V[X] = (10) .

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核心觀念

本題考查：

  • 離散與連續混合型隨機變數的期望值
  • 卡方分配的期望值與變異數
  • 二階動差與變異數的關係式

已知：

P(X=3)=13,P(X=6)=16P(X=3)=\frac13,\qquad P(X=6)=\frac16

因此，其他情況的總機率為

1−13−16=121-\frac13-\frac16=\frac12

可將 XX 視為混合分配：

  • 以機率 13\frac13 取值 33
  • 以機率 16\frac16 取值 66
  • 以機率 12\frac12 服從自由度為 44 的卡方分配

設連續部分為 Y∼χ2(4)Y\sim\chi^2(4)。

對於自由度為 kk 的卡方分配：

E(Y)=k,V(Y)=2kE(Y)=k,\qquad V(Y)=2k

因此：

E(Y)=4,V(Y)=8E(Y)=4,\qquad V(Y)=8

由

V(Y)=E(Y2)−[E(Y)]2V(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2

可得

E(Y2)=8+42=24E(Y^2)=8+4^2=24

解題方法

求 E[X]E[X]

混合型隨機變數的期望值為各部分期望值按照其機率加權：

E[X]=13(3)+16(6)+12E[Y]E[X] = \frac13(3)+\frac16(6)+\frac12E[Y]

代入 E[Y]=4E[Y]=4：

E[X]=13(3)+16(6)+12(4)E[X] = \frac13(3)+\frac16(6)+\frac12(4) =1+1+2=4=1+1+2=4

所以：

E[X]=4\boxed{E[X]=4}

求 E[X2]E[X^2]

同理，先計算各部分的平方期望：

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