112 年 國立臺灣大學農業經濟學系碩士班《經濟學（E）》

核心觀念

本題為個體經濟學「生產理論」與「成本理論」的經典綜合題型，評量重點涵蓋以下觀念：

1. 短期成本結構（Short-Run Cost Structure）：資本固定（$K = \bar{K}$）時，利用短期生產函數反推要素需求函數 $L(Q)$，進而求出短期總成本 $STC$、平均成本 $SAC$ 與邊際成本 $SMC$。
2. 完全競爭廠商短期供給曲線（Short-Run Supply Curve）：追求利潤極大化的完全競爭廠商在 $P \ge \min SAVC$ 時，會依循「價格等於短期邊際成本」（$P = SMC$）決定產量。
3. 短期停業與退出決策（Shutdown vs. Exit）：在短期，固定成本屬於沉沒成本，廠商停業（停止生產）的門檻為價格低於平均變動成本最低點（$P < \min SAVC$）；若嚴格就長期而言，廠商退出市場的門檻為 $P < \min LAC$。
4. 長期成本極小化（Long-Run Cost Minimization）：要素均可自由調整下，透過成本極小化條件（邊際技術替代率等於要素價格比，$MRTS_{LK} = \frac{w}{r}$）導出擴張線與長期總成本函數 $LTC$。
5. 規模報酬（Returns to Scale, RTS）：依據生產函數的齊次程度（Cobb-Douglas 函數的指數和 $\alpha + \beta$），判定產出擴張與要素投入等比例增加的關係。

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解題方法與詳細推導

(1) 求廠商的短期平均成本（$SAC$）與邊際成本（$SMC$）

1. 短期要素需求推導：
   短期資本量固定為 $\bar{K} = 100$，代入生產函數：

   $$Q = A L^{1/2} (100)^{1/2} = 10A L^{1/2}$$

   解出短期勞動需求量 $L$ 為產量 $Q$ 的函數：

   $$L^{1/2} = \frac{Q}{10A} \implies L(Q) = \frac{Q^2}{100A^2}$$

2. 短期總成本函數（$STC$）：
   已知要素價格為 $w$ 與 $r$，且題目給定 $w = r$：

   $$STC(Q) = w \cdot L(Q) + r \cdot \bar{K} = w \left( \frac{Q^2}{100A^2} \right) + 100r = \frac{w Q^2}{100A^2} + 100w$$

3. 短期平均成本（$SAC$）：

   $$SAC(Q) = \frac{STC(Q)}{Q} = \frac{w Q}{100A^2} + \frac{100w}{Q}$$

   （若保留 $r$，亦可表為 $SAC(Q) = \frac{w Q}{100A^2} + \frac{100r}{Q}$）

4. 短期邊際成本（$SMC$）：
   對 $STC(Q)$ 關於產量 $Q$ 微分：

   $$SMC(Q) = \frac{d STC(Q)}{dQ} = \frac{2w Q}{100A^2} = \frac{w Q}{50A^2}$$

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(2) 求完全競爭市場下廠商的短期供給函數

1. 短期利潤極大化條件：
   完全競爭市場中，廠商為價格接受者（$P = MR$）。利潤極大化之一階條件為： $$P = SMC(Q) \implies P = \frac{w Q}{50A^2}$$
2. 解出產量供給量： $$Q = \frac{50A^2}{w} P$$
3. 考慮停業門檻：
   短期變動成本 $SVC(Q) = \frac{w Q^2}{100A^2}$，平均變動成本為： $$SAVC(Q) = \frac{SVC(Q)}{Q} = \frac{w Q}{100A^2}$$ 由於 $\min SAVC = \lim_{Q \to 0^+} SAVC(Q) = 0$，只要市場價格 $P \ge 0$，廠商皆會處於供給狀態。因此，廠商的短期供給函數為： $$Q^s(P) = \frac{50A^2}{w} P \quad (P \ge 0)$$

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(3) 短期市場價格低於何種水準，廠商會退出市場？

1. 短期決策分析（停業點）：
   在短期，固定成本（$100r$）為不可避免之沉沒成本。若廠商營業所得總收益無法彌補變動成本（即 $P < SAVC$），則廠商將選擇「停業／停止生產（Shutdown）」，產量降為零。

   $$SAVC(Q) = \frac{w Q}{100A^2} \implies \min SAVC = 0 \quad (\text{當 } Q \to 0)$$

   因此，短期內只要價格 $P \le 0$（或低於 $0$），廠商即會停業不生產。

2. 觀念補充（短期停業 vs. 長期退出）：

   • 題目提及「退出市場」，在嚴格個體經濟學定義中：
     • 短期停業（Shutdown）：價格低於平均變動成本最低點，即 $P < \min SAVC = 0$。

核心觀念

本題考查：

• 獨占廠商的利潤極大化：$MR=MC$
• 由需求函數推導反需求函數、總收益與邊際收益
• 獨占與完全競爭的均衡比較
• 獨占造成的無謂損失（deadweight loss）
• 市場完全區隔時的價格歧視：各市場的邊際收益相等，且等於共同的邊際成本

已知總成本：

$$TC=50+10Q+0.5Q^2$$

因此：

$$MC=\frac{dTC}{dQ}=10+Q$$

固定成本 $50$ 不影響邊際成本，但會影響最後的利潤。

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（1）單一市場下的獨占均衡

需求、總收益與邊際收益

A 國市場需求為：

$$Q=50-0.5P$$

整理為反需求函數：

$$P=100-2Q$$

總收益為：

$$TR=P\cdot Q=(100-2Q)Q=100Q-2Q^2$$

因此邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ}=100-4Q$$

利潤極大化條件

獨占廠商在 $MR=MC$ 時利潤極大：

$$100-4Q=10+Q$$ $$90=5Q$$ $$Q=18$$

將數量代回需求函數：

$$P=100-2(18)=64$$

利潤

總收益：

$$TR=PQ=64(18)=1152$$

總成本：

$$TC=50+10(18)+0.5(18)^2$$ $$TC=50+180+162=392$$

因此利潤為：

$$\pi=TR-TC=1152-392=760$$

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（2）相較於完全競爭市場的社會福利損失

完全競爭均衡

完全競爭下，市場均衡條件為：

$$P=MC$$

因此：

$$100-2Q=10+Q$$ $$90=3Q$$ $$Q_C=30$$ $$P_C=100-2(30)=40$$

完全競爭均衡為：

$$(P_C,Q_C)=(40,30)$$

獨占均衡為：

$$(P_M,Q_M)=(64,18)$$

獨占造成價格較高、產量較低，$18$ 至 $30$ 之間原本可以創造的交易利益消失，形成無謂損失。

無謂損失計算

需求曲線與邊際成本曲線分別為：

$$P_D=100-2Q$$ $$MC=10+Q$$

在 $Q=18$ 時：

$$P_D=100-2(18)=64$$ $$MC=10+18=28$$

兩者垂直差距為：

$$64-28=36$$

在完全競爭數量 $Q=30$ 時：

$$P_D=MC=40$$

因此無謂損失是底為 $30-18=12$、高為 $36$ 的三角形：

$$DWL=\frac{1}{2}(30-18)(36)$$ $$DWL=216$$

圖形說明

圖形應繪出：

• 向下傾斜的需求曲線 $D$
• 向上傾斜的邊際成本曲線 $MC$
• 獨占數量 $Q_M=18$
• 完全競爭數量 $Q_C=30$
• 從 $Q=18$ 到 $Q=30$ 之間，由需求曲線與 $MC$ 所夾出的三角形，即為無謂損失

示意如下：

價格
  |
64|────● 獨占價格
  |     \
  |      \ D
40|───────● 完全競爭均衡
  |       /\
28|────●─/  \
  |   MC    \
  +----|-----|-------- 數量
      18    30
       ← 無謂損失 →

固定成本不影響無謂損失，因為比較兩種市場結構時，固定成本在兩者中相同；無謂損失衡量的是產量低於有效率水準所損失的總剩餘。

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（3）兩市場完全區隔時的獨占定價

各市場的反需求函數與邊際收益

A 國：

$$Q_A=50-0.5P_A$$

所以：

本題是一個大型的總體經濟學模型分析題，涵蓋了 IS-LM-NX 模型、小開放經濟體系、匯率制度、財政與貨幣政策效果，以及風險溢價等概念。

(1) IS、LM、NX 曲線斜率在總體經濟變數影響上的作用：
此題要求分析政府支出、實質貨幣供給、貿易餘額對國民產出水平的影響，並結合凱因斯乘數、利率效果和貨幣數量論。

首先，我們需要建立 IS-LM-NX 模型。
IS 曲線代表產品市場的均衡，即 $Y = C + I + G + NX$。
將各函數代入：
$Y = (a_0 + a_1Y) + (Y_0 + Y_1Y - Y_2r) + G + (\eta_0 - \eta_1Y - \eta_2e)$
整理後，IS 曲線描述 $Y$ 和 $r$（或 $Y$ 和 $e$）之間的關係。
$Y(1 - a_1 - Y_1 + \eta_1) = a_0 + Y_0 + G + \eta_0 - \eta_2e - Y_2r$
$Y = \frac{1}{1 - a_1 - Y_1 + \eta_1} (a_0 + Y_0 + G + \eta_0 - \eta_2e - Y_2r)$
IS 曲線的斜率（若以 $r$ 為縱軸， $Y$ 為橫軸）取決於 $Y_2$ 和 $(1 - a_1 - Y_1 + \eta_1)$ 的組合。若 $Y_2 > 0$ 且 $(1 - a_1 - Y_1 + \eta_1) > 0$，則 IS 曲線向上傾斜。
$1 - a_1 - Y_1 + \eta_1$ 實際上是考慮了消費、投資、淨出口對所得的敏感度。若此項為正，表示總需求對所得的敏感度小於 1。
凱因斯乘數的概念體現在 $1/(1 - a_1 - Y_1 + \eta_1)$。政府支出增加 $\Delta G$ 時，產出會乘以這個乘數增加。

LM 曲線代表貨幣市場的均衡，即 $M/P = \Psi_0 + \Psi_1Y - \Psi_2r$。
若以 $r$ 為縱軸， $Y$ 為橫軸，LM 曲線向上傾斜（假設 $\Psi_1 > 0, \Psi_2 > 0$）。
LM 曲線的斜率取決於 $\Psi_1$ 和 $\Psi_2$。斜率為 $\Psi_1/\Psi_2$。
實質貨幣供給 $M/P$ 增加會使 LM 曲線右移。

NX 曲線（Net Export）描述淨出口與國民產出、利率、匯率的關係。
$NX = \eta_0 - \eta_1Y - \eta_2e$
在 IS-LM 模型中，通常是將 NX 曲線融入 IS 曲線。
如果我們考慮一個開放經濟體系，匯率 $e$ 會影響 NX。

1. IS 曲線斜率的角色：
IS 曲線的斜率反映了產品市場對利率變化的敏感度。

• 若 IS 曲線較平坦（$Y_2$ 較大，或 $(1 - a_1 - Y_1 + \eta_1)$ 較小）：表示投資和淨出口對利率和所得的變化較為敏感。財政政策（如 $\Delta G$）的效果較強，因為利率變化對總需求的影響較大，可以部分抵銷財政政策的擠出效應。
• 若 IS 曲線較陡峭（$Y_2$ 較小，或 $(1 - a_1 - Y_1 + \eta_1)$ 較大）：表示投資和淨出口對利率和所得的變化較不敏感。財政政策的效果相對較弱，利率變化的擠出效應較小。

2. LM 曲線斜率的角色：
LM 曲線的斜率反映了貨幣市場對產出和利率變化的敏感度。

• 若 LM 曲線較平坦（$\Psi_2$ 較大，或 $\Psi_1$ 較小）：表示對貨幣需求的利率敏感度高，或對貨幣需求的所得敏感度低。貨幣政策（如 $\Delta M/P$）的效果較強。當貨幣供給增加時，利率會顯著下降，刺激投資和消費。
• 若 LM 曲線較陡峭（$\Psi_2$ 較小，或 $\Psi_1$ 較大）：表示對貨幣需求的利率敏感度低，或對貨幣需求的所得敏感度高。貨幣政策的效果較弱。當貨幣供給增加時，為了吸收額外的貨幣，利率需要大幅下降，但由於對利率不敏感，產出增加有限。此時可能陷入流動性陷阱（LM 曲線極度平坦）。

3. 貿易餘額 (NX) 的影響：
NX 函數 $NX = \eta_0 - \eta_1Y - \eta_2e$ 表明，淨出口與國民產出 $Y$ 和匯率 $e$ 負相關（假設 $\eta_1, \eta_2 > 0$）。

• 產出 $Y$ 增加，進口增加，NX 下降（貿易逆差擴大）。
• 匯率 $e$ 上升（本國貨幣貶值），NX 增加（貿易順差擴大）。
  NX 曲線的斜率（若以 $Y$ 為橫軸， $r$ 為縱軸）反映了 NX 對 $Y$ 的敏感度（$-\eta_1$）。
• 若 $-\eta_1$ 的絕對值較大（即 $\eta_1$ 較大），表示 NX 對 $Y$ 的反應較強。這會使 IS 曲線更陡峭，因為產出增加會導致 NX 大幅下降，進而抑制總需求。
• 若 $-\eta_1$ 的絕對值較小（即 $\eta_1$ 較小），表示 NX 對 $Y$ 的反應較弱。這會使 IS 曲線較平坦。

對總體經濟變數的影響：

• 政府支出 (G) 的影響：

  • $\Delta G > 0$ 會使 IS 曲線右移。
  • 產出 $Y$ 增加。
  • 利率 $r$ 增加（LM 曲線斜率決定擠出效應的大小）。
  • 淨出口 $NX$ 下降（由於 $Y$ 增加和 $r$ 增加可能導致 $e$ 升值，進而導致 NX 下降）。
  • IS 曲線斜率和 LM 曲線斜率共同決定了 $Y$ 的增長幅度以及 $r$ 的擠出程度。

• 實質貨幣供給 (M/P) 的影響：

  • $\Delta (M/P) > 0$ 會使 LM 曲線右移。
  • 產出 $Y$ 增加。
  • 利率 $r$ 下降。
  • 淨出口 $NX$ 增加（由於 $Y$ 增加和 $r$ 下降可能導致 $e$ 貶值，進而導致 NX 增加）。
  • LM 曲線斜率和 IS 曲線斜率共同決定了 $Y$ 的增長幅度以及 $r$ 的下降幅度。

• 貿易餘額 (NX) 的影響：

  • 貿易餘額本身不是一個獨立的政策變數，而是由 Y, r, e 等決定的。
  • 如果我們考慮一個外生衝擊導致 NX 變化（例如，外國需求增加，使 $\eta_0$ 增加），這會使 IS 曲線右移，進而影響 $Y$ 和 $r$。
  • 如果我們考慮 $\eta_1$ 的變化，這會影響 IS 曲線的斜率。$\eta_1$ 越大，IS 曲線越陡峭，產出對利率和匯率變化的反應越小。

凱因斯乘數、利率效果、貨幣數量論：

• 凱因斯乘數： 在封閉經濟體系中，政府支出乘數為 $1/(1-a_1-Y_1)$。在開放經濟體系中，由於進口（NX 的 $-\eta_1 Y$ 部分），乘數會變小：$1/(1-a_1-Y_1+\eta_1)$。IS 曲線的斜率受 $\eta_1$ 影響，進而影響最終的產出變化。
• 利率效果： 貨幣政策通過改變利率來影響投資和消費，進而影響總產出。LM 曲線的斜率決定了利率變化的幅度，進而影響利率效果的大小。
• 貨幣數量論： $M/P$ 直接影響 LM 曲線的位置。貨幣供給的變化會影響物價水平（通過 $P$）和利率，進而影響實質產出。傳統貨幣數量論（$MV=PY$）在凱因斯模型中被貨幣市場均衡所取代，但貨幣供給的變化依然是影響經濟的關鍵因素。

【答案】IS、LM、NX 曲線的斜率決定了產品市場和貨幣市場對利率、產出、匯率變化的敏感度，進而影響財政政策和貨幣政策的效果（乘數大小、擠出效應、利率效果），以及貿易餘額的變動如何影響總產出。

(2) 小開放經濟體系下，NX 與 Y 關係對財政與貨幣政策效果的影響：
本題要求分析在固定和浮動匯率下，小開放經濟體系中，NX 與 Y 的關係（$NX = \eta_0 - \eta_1Y - \eta_2e$）如何改變財政緊縮和貨幣擴張的影響。並與 NX 僅依賴 e 的情況，以及大開放經濟體系進行比較。

模型設定：

• 小開放經濟體系： 利率 $r$ 由國際市場決定，即 $r = r^*$。這意味著 LM 曲線實際上是水平的，或者說，利率由外部決定，IS 曲線與 LM 曲線的交點由國際利率決定。
• 固定匯率： 政府需要干預外匯市場以維持匯率 $e$ 不變。貨幣政策將受到限制。
• 浮動匯率： 匯率由市場供需決定，可以自由波動。
• NX 與 Y 的關係： $NX = \eta_0 - \eta_1Y - \eta_2e$。
• NX 僅依賴 e： $NX = \eta_0 - \eta_2e$。
• 大開放經濟體系： 該經濟體的產出變動會影響國際利率。

核心概念：

• IS 曲線： 在小開放經濟體系且利率外生確定的情況下，IS 曲線可以看作是 $Y = C(Y) + I(Y, r^*) + G + NX(Y, e)$。
• BP 曲線（Balance of Payments Curve）： 國際收支平衡曲線。在固定匯率下，BP 曲線是水平的，因為任何偏離國際利率的本國利率都會引起資本流動，迫使貨幣當局干預並調整貨幣供給，使本國利率回到 $r^*$。在浮動匯率下，BP 曲線的斜率取決於資本的移動性。
• Mundell-Fleming Model： 這是分析小開放經濟體系財政和貨幣政策的標準模型。

情況分析：

A. 浮動匯率 (Floating Exchange Rate)

1. NX 與 Y 的關係 ($NX = \eta_0 - \eta_1Y - \eta_2e$)

   • 財政緊縮 ($\Delta G < 0$)：
     • IS 曲線左移。
     • 初始階段，產出 $Y$ 下降，利率 $r=r^*$ 不變。
     • 由於 $Y$ 下降，NX 增加（貿易順差擴大）。
     • 由於 NX 增加，這會部分抵銷財政緊縮對 Y 的負面影響，減緩 Y 的下降幅度。
     • 同時，NX 增加可能導致本幣升值壓力，如果央行不干預，匯率 $e$ 會上升（本幣升值）。
     • 匯率 $e$ 上升會使 NX 下降（由於 $-\eta_2e$ 項），進一步抵銷了財政緊縮的效果。
     • 結果： 產出 $Y$ 下降，但下降幅度小於封閉經濟體系。匯率 $e$ 上升（本幣升值）。貿易餘額 $NX$ 增加（或逆差減少/順差增加）。淨資本流出 (NFI) 減少（因為本幣升值會減少資本流入）。
   • 貨幣擴張 ($\Delta M > 0$)：
     • LM 曲線右移，但由於利率外生，我們可以想像成 IS 曲線右移（由於利率下降，投資和消費增加）。
     • 初始階段，產出 $Y$ 增加，利率 $r=r^*$ 不變。
     • 由於 $Y$ 增加，NX 下降（貿易逆差擴大）。
     • NX 下降會對產出 $Y$ 產生擠出效應，減緩 Y 的增長幅度。
     • NX 下降會導致本幣貶值壓力，匯率 $e$ 下降（本幣貶值）。
     • 匯率 $e$ 下降會使 NX 增加（由於 $-\eta_2e$ 項），這會進一步擴大產出 $Y$ 的增長。
     • 結果： 產出 $Y$ 顯著增加。匯率 $e$ 下降（本幣貶值）。貿易餘額 $NX$ 下降（或順差減少/逆差增加）。淨資本流出 (NFI) 增加。

2. NX 僅依賴 e ($NX = \eta_0 - \eta_2e$)

   • 財政緊縮 ($\Delta G < 0$)：
     • IS 曲線左移。
     • 產出 $Y$ 下降。
     • NX 不直接依賴 Y，但匯率會因 NX 變化而變動。

本題主要在測試考生對於知識經濟、內生經濟成長模型、穩態分析、黃金法則條件的理解與應用。題目設定了一個包含知識生產與傳遞的經濟模型，並要求分析不同政策對經濟成長的影響。

模型設定與基本概念：

• 總體經濟結構： 經濟由製造業 (M)、服務業 (S) 和研究機構 (R) 三個部門組成。
• 生產函數：
  • 製造業產出 $Y_M = F[K_M, (1 - u_R - u_S) L E_M]$：生產需要資本 $K_M$ 和勞動。勞動投入為總勞動 $L$ 乘以知識效率 $E$ 後，再減去分配給研究機構和服務業的勞動份額。這裡的 $(1 - u_R - u_S)$ 代表分配給製造業的勞動份額。
  • 服務業產出 $Y_S = F[K_S, (u_S) L E_S]$：生產需要資本 $K_S$ 和勞動。勞動投入為總勞動 $L$ 乘以知識效率 $E$ 後，再乘以分配給服務業的勞動份額 $(u_S)$。這裡的 $E_S$ 可能代表服務業專屬的知識效率，或者與總知識 $E$ 相關。
• 知識成長： 知識存量 $E$ 的成長率 $\Delta E / E = g(u_S, u_R)$。知識成長依賴於分配給研究機構的勞動份額 $u_R$ 和服務業的勞動份額 $u_S$。這裡的 $g$ 函數表示知識的內生積累。
• 勞動分配： $u_R$ 是分配給研究機構的勞動份額，$u_S$ 是分配給服務業的勞動份額。假設總勞動份額為 1，則分配給製造業的勞動份額為 $1 - u_R - u_S$。
• 資本： $K_M, K_S$ 分別是製造業和服務業的資本存量。
• 總產出 $Y$： 題目未明確定義總產出，但通常可以視為 $Y = Y_M + Y_S$ 或其他加權方式。為了後續分析，我們假設總產出是 $Y = Y_M + Y_S$。
• 穩態 (Steady State)： 在穩態下，人均（或人均有效勞動）的資本、產出、消費等變數保持不變。這意味著資本存量對有效勞動的比例不變。
• 黃金法則 (Golden Rule)： 在穩態下，使人均消費最大化的穩態條件。在標準的 Ramsey-Cass-Koopmans 模型中，黃金法則條件是穩態時的邊際產品等於折舊率加人口成長率（加知識成長率）。

推導穩態條件與最大化消費規則：

首先，我們需要一個明確的總產出函數和資本累積方程。題目中的生產函數 $F$ 未指定形式，且 $Y_S$ 的勞動投入 $E_S$ 關聯不明。我們假設 $F$ 為標準的 Cobb-Douglas 形式，且 $E_S = E$。

假設生產函數為 $Y = Y_M + Y_S$。
$Y_M = K_M^\alpha ((1-u_R-u_S)LE)^\beta$
$Y_S = K_S^\alpha (u_S L E)^\gamma$
為了簡化，假設 $\alpha = \beta = \gamma = 1/2$ 且 $L=1$ (人口不變)。
$Y_M = K_M^{1/2} (1-u_R-u_S)^{1/2} E^{1/2}$
$Y_S = K_S^{1/2} u_S^{1/2} E^{1/2}$
總產出 $Y = Y_M + Y_S$。

資本累積方程：假設總產出的一部分被儲蓄下來用於投資，其餘用於消費。
$\dot{K}_M = s_M Y_M - \delta K_M$
$\dot{K}_S = s_S Y_S - \delta K_S$
其中 $s_M, s_S$ 是儲蓄率（或投資率），$\delta$ 是資本折舊率。
總投資 $I = s_M Y_M + s_S Y_S$。
總消費 $C = (1-s_M)Y_M + (1-s_S)Y_S$。

知識累積：$\dot{E} = g(u_S, u_R) E$。

穩態條件：
在穩態下，人均（或人均有效勞動）資本和產出不變。
我們考慮以有效勞動 $LE$ 為單位來分析。
令 $\tilde{k}_M = K_M / (LE_M)$, $\tilde{k}_S = K_S / (LE_S)$。
然而，題目中 $Y_M$ 的勞動是 $(1-u_R-u_S)LE$，$Y_S$ 的勞動是 $u_S L E_S$。這表示 $E$ 的作用方式和 $E_S$ 的獨立性是關鍵。
如果 $E$ 是知識存量，它應當提高所有部門的生產效率。
假設 $Y_M = F(K_M, L_M) E$ 和 $Y_S = F(K_S, L_S) E$。
其中 $L_M = (1-u_R-u_S)L$ 和 $L_S = u_S L$。
更常見的模型是將 $E$ 作為一個外生或內生的生產要素。
例如，考慮 Solow-Swan 模型，但引入內生技術進步。
$\dot{k} = s f(k) - (\delta + n + g)k$
其中 $k$ 是人均資本，$f(k)$ 是人均產出，$s$ 是儲蓄率，$n$ 是人口成長率，$g$ 是技術進步率。

在本題中，技術進步率 $g(u_S, u_R)$ 是內生的。
我們需要定義總產出。假設總產出 $Y = Y_M + Y_S$。
假設 $Y_M = F(K_M, L_M E)$ 和 $Y_S = F(K_S, L_S E)$。
$L_M = (1-u_R-u_S)L$, $L_S = u_S L$。
假設 $F$ 是規模報酬不變的函數。
考慮以有效勞動 $LE$ 作為標準。
令 $k_M = K_M / (LE)$, $k_S = K_S / (LE)$。
$Y_M = F(k_M LE, (1-u_R-u_S)LE) = LE \cdot f(k_M, 1-u_R-u_S)$
$Y_S = F(k_S LE, u_S LE) = LE \cdot f(k_S, u_S)$
總產出 $Y = LE [ f(k_M, 1-u_R-u_S) + f(k_S, u_S) ]$。
知識成長率 $\dot{E}/E = g(u_S, u_R)$。

穩態是指人均（或人均有效勞動）資本不變。
$\dot{k}_M = s_M f(k_M, 1-u_R-u_S) - (\delta + \frac{\dot{L}}{L} + \frac{\dot{E}}{E}) k_M = 0$
$\dot{k}_S = s_S f(k_S, u_S) - (\delta + \frac{\dot{L}}{L} + \frac{\dot{E}}{E}) k_S = 0$
由於人口不變 $\dot{L}/L = 0$，且 $\dot{E}/E = g(u_S, u_R)$。
穩態條件為：
$s_M f(k_M, 1-u_R-u_S) = (\delta + g(u_S, u_R)) k_M$
$s_S f(k_S, u_S) = (\delta + g(u_S, u_R)) k_S$

最大化消費規則（黃金法則）：
最大化消費意味著在穩態時，人均消費最大化。
總消費 $C = Y - I = Y - (s_M Y_M + s_S Y_S)$。
以有效勞動為標準：
人均有效勞動消費 $\tilde{c} = C/(LE) = Y/(LE) - (s_M Y_M + s_S Y_S)/(LE)$。
$\tilde{c} = [f(k_M, 1-u_R-u_S) + f(k_S, u_S)] - [s_M f(k_M, 1-u_R-u_S) + s_S f(k_S, u_S)]$
$\tilde{c} = (1-s_M)f(k_M, 1-u_R-u_S) + (1-s_S)f(k_S, u_S)$。

在穩態下，為了最大化消費，我們需要選擇 $u_R, u_S, s_M, s_S$ 以及相應的 $k_M, k_S$。
黃金法則條件一般要求邊際產品等於折舊率加成長率。
對於 $k_M$ 的穩態，其邊際產品應等於 $\delta + g(u_S, u_R)$。
$\frac{\partial Y_M}{\partial K_M} = s_M \frac{\partial Y_M}{\partial K_M} + \delta + g$ （這裡的 $s_M$ 應該是 1）
更準確地說，對於人均有效勞動資本 $k_M$，其邊際產品應該等於 $\delta + g(u_S, u_R)$。
$\frac{\partial [LE \cdot f(k_M, 1-u_R-u_S)]}{\partial (K_M)} = \frac{\partial [ k_M LE \cdot f(k_M, 1-u_R-u_S) / k_M ]}{\partial K_M}$
$\frac{\partial Y_M}{\partial K_M} = \frac{\partial (k_M LE \cdot f_M)}{\partial (k_M LE)} \frac{\partial (k_M LE)}{\partial K_M} = f_M \cdot E \cdot \frac{\partial k_M}{\partial K_M}$ (假設 $f_M$ 是對 $k_M$ 的偏導)
這部分推導比較複雜，通常的 Ramsey 模型中，穩態消費最大化條件是：
$f'(k^*) = \delta + n + g$
在這裡，我們有兩個資本存量 $k_M, k_S$ 和兩個勞動分配 $u_R, u_S$。

簡化假設：
假設 $Y_M = K_M^\alpha ((1-u_R-u_S)LE)^{1-\alpha}$
$Y_S = K_S^\alpha (u_S LE)^{1-\alpha}$
$\dot{E}/E = g(u_S, u_R)$
$\dot{K}_M = s_M Y_M - (\delta + n + g) K_M$
$\dot{K}_S = s_S Y_S - (\delta + n + g) K_S$
$n=0$ (人口不變)。
穩態條件（人均有效勞動資本不變）：
$s_M F(k_M, 1-u_R-u_S) = (\delta + g) k_M$
$s_S F(k_S, u_S) = (\delta + g) k_S$
其中 $k_M = K_M/(LE)$ 和 $k_S = K_S/(LE)$。

黃金法則穩態：最大化消費 $c = y - (s_M y_M + s_S y_S)$。
在穩態下，最大化消費意味著：
MPK (製造業資本的邊際產量) $= \delta + g$
MPK (服務業資本的邊際產量) $= \delta + g$
MPL (製造業勞動的邊際產量) $= 0$ (由於勞動是內生分配，且 $u_R, u_S$ 選擇會影響 $g$)
MPL (服務業勞動的邊際產量) $= 0$

更常見的內生成長模型中，勞動的分配 $u_R, u_S$ 是內生的，且受到激勵的影響。
如果我們假設 $u_R$ 和 $u_S$ 是外生給定的，那麼問題就簡化為選擇 $s_M, s_S$ 來最大化消費。
如果 $u_R, u_S$ 是內生的，那麼需要考慮勞動市場的均衡。

假設：

• $F(K, L) = K^\alpha L^{1-\alpha}$。
• $Y_M = K_M^\alpha [(1-u_R-u_S)LE]^{1-\alpha}$
• $Y_S = K_S^\alpha [u_S LE]^{1-\alpha}$