115 年 國立臺灣大學農業經濟學系碩士班《經濟學（E）》

核心觀念

本題考核個體經濟學中消費者選擇理論（Consumer Choice Theory）的核心性質，包含：

1. Slutsky 方程式（Slutsky Equation）與 Slutsky 替代矩陣（Slutsky Substitution Matrix）：
   • Slutsky 矩陣元素 $S_{ij} = \frac{\partial h_i}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j} + x_j \frac{\partial x_i}{\partial m}$。
   • 由 Shephard's Lemma 可知 $h_i(p, u) = \frac{\partial e(p, u)}{\partial p_i}$。由於支出函數 $e(p, u)$ 對價格為凹函數（concave），其 Hessian 矩陣即為 Slutsky 替代矩陣 $S(p, u)$。
   • 由 Young's Theorem（微分順序可對調）可知 $S(p, u)$ 具有對稱性（Symmetry）；由凹函數性質可知 $S(p, u)$ 為負半定矩陣（Negative Semidefinite）。
2. 季芬財（Giffen Good）與劣等財（Inferior Good）：
   • 季芬財定義：未補償自價效果為正，即 $\frac{\partial x_i}{\partial p_i} > 0$。
   • 劣等財定義：所得效果為負，即 $\frac{\partial x_i}{\partial m} < 0$。
   • Slutsky 方程式對自價效果：$\frac{\partial x_i}{\partial p_i} = \frac{\partial h_i}{\partial p_i} - x_i \frac{\partial x_i}{\partial m}$。
   • 因為替代效果恆負（$\frac{\partial h_i}{\partial p_i} \le 0$），若要使 $\frac{\partial x_i}{\partial p_i} > 0$，必須滿足 $- x_i \frac{\partial x_i}{\partial m} > 0 \implies \frac{\partial x_i}{\partial m} < 0$。因此季芬財必定為劣等財，但劣等財若其負所得效果不足以抵消替代效果，則不一定會成為季芬財。
3. 正常財（Normal Good）的自價效果：
   • 正常財定義：$\frac{\partial x_i}{\partial m} > 0$。
   • 根據 Slutsky 方程式：$\frac{\partial x_i}{\partial p_i} = \underbrace{\frac{\partial h_i}{\partial p_i}}_{< 0} - \underbrace{x_i \frac{\partial x_i}{\partial m}}_{> 0} < 0$。
4. 準線性效用（Quasilinear Utility）：
   • 當 $u(x, w) = x + \phi(w)$ 且 $x$ 為內部解時，財貨 $w$ 的需求無所得效果（$\frac{\partial w}{\partial m} = 0$）。
   • 對於 $w$ 自身價格變動，其補償與未補償需求變動量相同；但對於其他財貨價格變動（例如 $p_x$ 改變時帶來的所得效果分佈），需仔細檢視 Slutsky 方程式與 Marshall 需求的定義。

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解題方法與選項分析

選項 (A) 正確

• 原理說明：
  希克斯需求（Hicksian Demand）滿足 $h_i(p, u) = \frac{\partial e(p, u)}{\partial p_i}$。
  Slutsky 替代矩陣 $S$ 的第 $(i, j)$ 個元素為 $S_{ij} = \frac{\partial h_i}{\partial p_j} = \frac{\partial^2 e(p, u)}{\partial p_j \partial p_i}$。
  根據 Young's Theorem（微分順序可對調），只要支出函數具連續二次可微性，$\frac{\partial^2 e}{\partial p_j \partial p_i} = \frac{\partial^2 e}{\partial p_i \partial p_j}$，故 $S_{ij} = S_{ji}$。Slutsky 替代矩陣必定對稱。

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選項 (B) 正確

• 原理說明：
  支出函數 $e(p, u) = \min_q \{ p \cdot q \mid u(q) \ge u \}$ 是關於價格向量 $p$ 的凹函數（Concave Function）。
  凹函數的 Hessian 矩陣必然是負半定矩陣（Negative Semidefinite Matrix）。
  因為 Slutsky 替代矩陣 $S(p, u)$ 即為支出函數 $e(p, u)$ 對價格 $p$ 的 Hessian 矩陣，所以 Slutsky 矩陣恆為負半定。

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選項 (C) 正確

• 原理說明：
  考慮財貨 $i$ 的 Slutsky 方程式：

核心觀念

本題為個體經濟學中「消費者選擇理論」（Consumer Choice Theory）的核心概念題，測試考生對預算集合性質、消費者最適化條件、偏好假設（局部非飽和與嚴格凸性）、需求函數性質（零階齊次性）以及需求法則（偏微分/比較靜態）的精確理解與觀念辨析。

關鍵定義與定理：

1. 預算集合（Budget Set）：在給定價格 $p_x > 0, p_w > 0$ 與所得 $m > 0$ 下，可負擔的消費組合集合。在 $\mathbb{R}^2_+$ 空間中為非空（nonempty）、閉集（closed）且有界（bounded）的緊緻集（compact set）。
2. 瓦爾拉斯法則（Walras' Law）：當偏好滿足局部非飽和（Local Nonsatiation, LNS）時，消費者必然會花光所有預算，即最適選擇落在預算線上：$p_x x + p_w w = m$。
3. 解的唯一性（Uniqueness of Optimum）：若偏好為嚴格凸（Strictly Convex），則無差異曲線呈現嚴格凸向原點，最適消費組合（若存在）必為唯一。
4. 邊際替代率相等法則（Equi-marginal Principle）：當效用函數可微且最適解為內部解（Interior Solution, $x > 0, w > 0$）時，邊際替代率必等於相對價格：
   $MRS_{xw} = \frac{MU_x}{MU_w} = \frac{p_x}{p_w}$
5. 馬歇爾需求函數的齊次性（Homogeneity of Degree 0）：若價格與所得同比例放大 $k$ 倍 ($k > 0$)，預算限制式保持不變，故馬歇爾需求函數為對 $(p_x, p_w, m)$ 的 0 階齊次函數。
6. 劣等財與吉芬財（Giffen Goods）：價格上升時，替代效用使需求減少，但若該商品為強烈劣等財（Giffen財），正向的所得效用會壓過負向的替代效用，導致總需求量增加。因此無其他條件約束時，價格上升需求量「不一定」會減少。

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解題方法

逐一針對 (A) 至 (F) 各項敘述進行嚴謹的經濟學邏輯與數學性質判定：

1. 檢視預算集合的拓樸性質（非空、閉、界）。
2. 利用 LNS 判定預算約束是否達到等式。
3. 利用偏好的嚴格凸性（Strict Convexity）推導最適解的唯一性。
4. 檢查可微與內部解條件下，一階條件（FOC）是否保證切點條件 $MRS_{xw} = \frac{p_x}{p_w}$ 成立。
5. 證明價格與所得同乘以常數 $k>0$ 時需求量不變（齊次性）。
6. 分析價格變動對需求量的總效用（替代效用 + 所得效用），並考慮吉芬財的可能性。

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選項分析

• (A) 正確
  預算集合 $B(p_x, p_w, m) = \{(x, w) \ge 0 : p_x x + p_w w \le m\}$：

  • 非空性：原點 $(0,0)$ 永遠滿足 $p_x(0) + p_w(0) = 0 \le m$，故非空。
  • 閉集性：由連續函數的弱不等式定義，包含其邊界，故為閉集。
  • 有界性：因為 $p_x > 0, p_w > 0, m > 0$，故 $0 \le x \le \frac{m}{p_x}$ 且 $0 \le w \le \frac{m}{p_w}$，集合受到上界約束。
    因此，預算集合必定為非空、閉集且有界（即緊緻集 Compact set），本項完全正確。

• (B) 錯誤
  若偏好滿足「局部非飽和（Local Nonsatiation, LNS）」，代表在任意消費組合附近總存在可帶來更高效用的組合。根據瓦爾拉斯法則（Walras' Law），最適選擇必定會把預算花光，即滿足 $p_x x + p_w w = m$（落在預算線上），而非嚴格小於 $m$ ($p_x x + p_w w < m$)。故本項敘述錯誤。

• (C) 正確
  偏好具備「嚴格凸性（Strict Convexity）」意謂著無差異曲線嚴格凸向原點。

核心觀念

本題考查非線性預算限制（Non-linear budget constraint / Block tariff）下的消費者選擇與福利分析。
核心觀念包含：

1. 分段預算限制式（Piecewise Budget Constraint）：當商品採累進費率（Increasing Block Tariff）計價時，邊際價格（Marginal Price）呈階梯狀上升，使預算線形成一凸向原點的折線（Kinked budget line）。
2. 擬線性效用函數（Quasilinear Utility Function）：$u(x, w) = x + f(w)$ 具有無所得效果（No income effect）的特性。當所得足夠時，水（$w$）的需求量僅取決於水的邊際價格，而食物（$x$）則承擔剩餘的所得變動。
3. 邊際條件與角落/折點解（Margin vs. Kink Solution）：求解分段預算線時，須分別檢視各區段的邊際條件 $MRS = \frac{p_w}{p_x}$ 是否落在該價格適用區域內，或是最佳解正好落在折點（Kink Point $w = L$）上。
4. 補償變異（Compensating Variation, CV）：政策變更（$L$ 由 $10$ 降至 $6$）導致消費者實質所得下降（負負擔增加）。CV 代表在新價格／新體制下，為使消費者維持在舊體制下的效用水準 $u_1$，必須額外補償給消費者的金額（即滿足 $u(x_2 + \text{CV}, w_2) = u_1$）。由於效用函數對食物 $x$ 呈線性，CV 即為新舊效用值之差：$\text{CV} = u_1 - u_2$。

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解題方法與詳細推導

(a) 建立預算限制式與一元效用函數

食物為計價物（Numeraire），價格 $p_x = 1$，總所得 $m = 60$。
消費者的預算限制式為：
$x + B_L(w) = m = 60$

將水費函數 $B_L(w)$ 代入，得到分段預算限制式：

1. 當 $0 < w \le L$ 時：$x + w = 60 \implies x = 60 - w$
2. 當 $w > L$ 時：$x + L + 3(w - L) = 60 \implies x = 60 - L - 3(w - L) = 60 + 2L - 3w$

將 $x$ 整理為 $w$ 的表達式：
$x(w) = \begin{cases} 60 - w, & \text{if } 0 < w \le L \\ 60 + 2L - 3w, & \text{if } w > L \end{cases}$

將 $x(w)$ 代入效用函數 $u(x, w) = x + 40 \ln(w)$，可將效用表達為僅關於 $w$ 的分段函數 $V(w)$：

$V(w) = \begin{cases} 60 - w + 40 \ln(w), & \text{if } 0 < w \le L \\ 60 + 2L - 3w + 40 \ln(w), & \text{if } w > L \end{cases}$

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(b) 當 $L = 10$ 時，求解最佳消費組合 $(x_1, w_1)$

將 $L = 10$ 代入分段效用函數 $V(w)$：

$V(w) = \begin{cases} 60 - w + 40 \ln(w), & \text{if } 0 < w \le 10 \\ 80 - 3w + 40 \ln(w), & \text{if } w > 10 \end{cases}$

採用區段邊際檢視法（Unconstrained Optimization by Segment）：

1. 假設最佳解落在第一區段（$0 < w \le 10$，邊際價格 $p_w = 1$）：
   一階條件（一階導數等於 0）：
   $\frac{dV}{dw} = -1 + \frac{40}{w} = 0 \implies w = 40$
   區域驗證：計算出 $w = 40$，但第一區段的限制條件為 $w \le 10$。因此 $w = 40$ 落在第一區段之外，不成立。

2. 假設最佳解落在第二區段（$w > 10$，邊際價格 $p_w = 3$）：
   一階條件：
   $\frac{dV}{dw} = -3 + \frac{40}{w} = 0 \implies w = \frac{40}{3} \approx 13.33$
   區域驗證：$w = \frac{40}{3} = 13.33 > 10$，完全符合第二區段的定義範圍！

3. 計算對應的食物需求量 $x_1$：
   將 $L = 10$ 與 $w_1 = \frac{40}{3}$ 代入第二區段的預算式：
   $x_1 = 60 + 2(10) - 3\left(\frac{40}{3}\right) = 80 - 40 = 40$

4. 最佳效用值 $u_1$：
   $u_1 = 40 + 40 \ln\left(\frac{40}{3}\right)$

結論：相關的價格區段為高價區段（第二區段，邊際價格 $p_w = 3$），最佳消費組合為：
$(x_1, w_1) = \left(40, \frac{40}{3}\right)$

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(c) 當低價額度降至 $L = 6$ 時，求解新最佳消費組合 $(x_2, w_2)$

將 $L = 6$ 代入分段效用函數 $V(w)$：

核心觀念

本題考查獨占廠商的價格歧視（Price Discrimination）與搭售／選單設計（Bundling & Menu Pricing / Self-Selection Mechanism）。關鍵觀念包含：

1. 邊際願意支付金額（Marginal WTP）與總願意支付金額（Total WTP / Reservation Price）：
   • 消費者對 $q$ 個單位的總願意支付額為前 $q$ 個單位的邊際 WTP 之和。
   • 消費者 1：第 1 單位 10、第 2 單位 9。故購買 1 單位的 Total WTP = 10；購買 2 單位的 Total WTP = $10 + 9 = 19$。
   • 消費者 2：第 1 單位 11、第 2 單位 5。故購買 1 單位的 Total WTP = 11；購買 2 單位的 Total WTP = $11 + 5 = 16$。
2. 單一均一價格（Linear Pricing）：廠商對所有消費者與單位設定統一單價 $P$，消費者根據需求函數選擇購買數量。
3. 三級價格歧視（Third-degree Price Discrimination）：廠商能完美區隔不同消費者市場，分別設定不同的單一單價 $P_1, P_2$。
4. 純粹搭售（Pure Bundling）：廠商僅銷售包含 2 單位的整體包裹（Bundle），不單獨銷售單一單位。
5. 二級價格歧視／選單設計（Second-degree Price Discrimination / Self-Selection Mechanism）：廠商透過設計合約選單（二段式定價或數量-總價組合），利用個人理性限制（Participation Constraint, IR）與誘因相容限制（Incentive Compatibility Constraint, IC），使消費者自我選擇廠商所規劃的方案。

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解題方法與詳細推導

(a) 單一均一價格（Linear Pricing）

• 分析：
  廠商設定統一單價 $P$。由於商品不可分割，兩位消費者依據其邊際 WTP 決定購買數量：

  • 當 $P > 11$ 時，兩人購買量均為 0，總銷售量 $Q = 0$，利潤 $\pi = 0$。
  • 當 $10 < P \le 11$ 時，消費者 2 買 1 單位，消費者 1 買 0 單位，總銷售量 $Q = 1$。
    廠商最大化利潤設 $P = 11$，利潤 $\pi = 11 \times 1 = 11$。
  • 當 $9 < P \le 10$ 時，消費者 1 買 1 單位，消費者 2 買 1 單位，總銷售量 $Q = 2$。
    廠商最大化利潤設 $P = 10$，利潤 $\pi = 10 \times 2 = 20$。
  • 當 $5 < P \le 9$ 時，消費者 1 買 2 單位，消費者 2 買 1 單位，總銷售量 $Q = 3$。
    廠商最大化利潤設 $P = 9$，利潤 $\pi = 9 \times 3 = 27$。
  • 當 $P \le 5$ 時，消費者 1 買 2 單位，消費者 2 買 2 單位，總銷售量 $Q = 4$。
    廠商最大化利潤設 $P = 5$，利潤 $\pi = 5 \times 4 = 20$。

• 結論：
  比較各區間最大利潤：$\max\{0, 11, 20, 27, 20\} = 27$。
  最佳均一單價為 $P^* = 9$，總利潤為 $27。

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(b) 三級價格歧視（Third-degree Price Discrimination）

• 分析：
  廠商可完美區隔兩位消費者，分別對消費者 1 設定單價 $P_1$，對消費者 2 設定單價 $P_2$。

  • 對消費者 1（邊際 WTP 為 10, 9）：
    • 若 $P_1 = 10$，消費者 1 買 1 單位，廠商收益 $= 10 \times 1 = 10$。
    • 若 $P_1 = 9$，消費者 1 買 2 單位，廠商收益 $= 9 \times 2 = 18$。
      故對消費者 1 最佳定價為 $P_1^* = 9$，收益為 $18。
  • 對消費者 2（邊際 WTP 為 11, 5）：
    • 若 $P_2 = 11$，消費者 2 買 1 單位，廠商收益 $= 11 \times 1 = 11$。
    • 若 $P_2 = 5$，消費者 2 買 2 單位，廠商收益 $= 5 \times 2 = 10$。
      故對消費者 2 最佳定價為 $P_2^* = 11$，收益為 $11。

• 結論：
  最佳價格分別為 $P_1^* = 9$、$P_2^* = 11$，總利潤為 $18 + 11 = 29$（$29）。

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(c) 純粹搭售（Pure Bundling）

• 分析：
  廠商僅出售包含 2 單位的包裹，設定包裹總價 $P_B$。兩位消費者對 2 單位包裹的總願意支付額（Total WTP）分別為：

  • 消費者 1：$\text{WTP}_1(2) = 10 + 9 = 19$
  • 消費者 2：$\text{WTP}_2(2) = 11 + 5 = 16$

  廠商定價策略選擇：

  1. 若設 $P_B = 19$，僅消費者 1 購買，銷售 1 個包裹，利潤 $\pi = 19 \times 1 = 19$。
  2. 若設 $P_B = 16$，消費者 1 與消費者 2 均會購買，銷售 2 個包裹，利潤 $\pi = 16 \times 2 = 32$。

核心觀念

本題為非合作賽局與寡占市場理論的經典綜合考題，主要考查以下四大核心觀念：

1. 非對稱成本之 Cournot 模型 (Cournot Competition with Asymmetric Costs)：
   在多廠商 Simultaneous-move 產量競爭下，各廠商透過極大化自身利潤導出反應函數（Reaction Function），並聯立求得 Cournot-Nash 均衡。當邊際成本不同時，成本較低的廠商（高效率廠商）將佔有較高的市場佔有率與利潤。

2. 卡特爾聯合利潤極大化 (Cartel Joint Profit Maximization)：
   當廠商聯合形成卡特爾時，整體行為如同單一獨占廠商。為了達到「總成本極小化」，生產配額必須優先分配給邊際成本最低的廠商。

3. 三階段動態賽局與後向歸納法 (Sequential Game & Backward Induction)：
   在 Sequential-move（Stackelberg 延伸）賽局中，求解子賽局完美均衡（Subgame Perfect Equilibrium, SPE）必須採用後向歸納法：由最後階段（Stage 3）廠商 3 的最適決策出發，逆推至 Stage 2 廠商 2，最後導出首動者（Stage 1 廠商 1）的最適產量。

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解題方法與詳細推導

已知市場逆需求函數為：
$P(Q) = 120 - Q$
其中 $Q = q_1 + q_2 + q_3$。
廠商成本結構：

• 廠商 1（高效）：$TC_1(q_1) = 0 \implies MC_1 = 0$
• 廠商 2、3（低效）：$TC_i(q_i) = 30q_i \implies MC_2 = MC_3 = 30$

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(a) 求 Cournot-Nash 均衡產量與各廠商利潤

各廠商同時決定產量，分別極大化自身利潤：

1. 廠商 1 的最適化問題：
   $\max_{q_1} \pi_1 = (120 - q_1 - q_2 - q_3) q_1 - 0$
   對 $q_1$ 一階條件（FOC）：
   $\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 120 - 2q_1 - q_2 - q_3 = 0 \implies 2q_1 + q_2 + q_3 = 120 \quad \text{--- (1)}$

2. 廠商 2 的最適化問題：
   $\max_{q_2} \pi_2 = (120 - q_1 - q_2 - q_3 - 30) q_2 = (90 - q_1 - q_2 - q_3) q_2$
   對 $q_2$ 一階條件（FOC）：
   $\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 90 - q_1 - 2q_2 - q_3 = 0 \implies q_1 + 2q_2 + q_3 = 90 \quad \text{--- (2)}$

3. 廠商 3 的最適化問題：
   由於廠商 3 與廠商 2 成本結構相同，其一階條件對稱：
   $\frac{\partial \pi_3}{\partial q_3} = 90 - q_1 - q_2 - 2q_3 = 0 \implies q_1 + q_2 + 2q_3 = 90 \quad \text{--- (3)}$

聯立求解 (1), (2), (3)：
將 (2) 與 (3) 相減可得 $q_2^* = q_3^*$。代入 (1) 與 (2)：

• 由 (1)：$2q_1 + 2q_2 = 120 \implies q_1 + q_2 = 60 \implies q_2 = 60 - q_1$
• 代入 (2)：$q_1 + 3(60 - q_1) = 90 \implies 180 - 2q_1 = 90 \implies 2q_1 = 90 \implies q_1^* = 45$

進而求得：
$q_2^* = q_3^* = \frac{60 - 45}{1} = 15$

計算市場總產量、價格與利潤：

• 市場總產量：$Q^* = 45 + 15 + 15 = 75$
• 市場價格：$P^* = 120 - 75 = 45$
• 各廠商利潤：
  $\pi_1^* = (45 - 0) \times 45 = 2025$
  $\pi_2^* = (45 - 30) \times 15 = 225$
  $\pi_3^* = (45 - 30) \times 15 = 225$

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(b) 卡特爾（Cartel）聯合利潤極大化

卡特爾的目標是極大化產業總利潤：
$\max_{q_1, q_2, q_3} \Pi = P(Q) \cdot Q - TC_1(q_1) - TC_2(q_2) - TC_3(q_3)$

1. 最適生產配額 $(q_1^C, q_2^C, q_3^C)$：
由於廠商 1 的邊際成本為 $MC_1 = 0$，而廠商 2 與 3 的邊際成本為 $MC_2 = MC_3 = 30 > 0$，為了極小化產業生產總成本，卡特爾會將所有生產配額完全分配給成本最低的廠商 1 生產，低效廠商不生產。
因此：
$q_1^C = 60, \quad q_2^C = 0, \quad q_3^C = 0$

（驗算：廠商 1 作為唯一生產者，卡特爾等同於邊際成本為 0 的獨占廠商。總收益 $TR = (120 - Q)Q = 120Q - Q^2$，極大化條件 $MR = MC \implies 120 - 2Q = 0 \implies Q^C = 60$。）

2. 產業總利潤：

• 市場價格：$P^C = 120 - 60 = 60$
• 產業總利潤：
  $\Pi^C = P^C \cdot Q^C - TC = 60 \times 60 - 0 = 3600$

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(c) 三階段動態賽局與子賽局完美均衡（SPE）

採用**後向歸納法（Backward Induction）**由最後階段逆推：

Stage 3：廠商 3 在觀察到 $q_1, q_2$ 後決定 $q_3$
廠商 3 極大化自身利潤：
$\max_{q_3} \pi_3 = (120 - q_1 - q_2 - q_3 - 30) q_3 = (90 - q_1 - q_2 - q_3) q_3$
FOC：
$90 - q_1 - q_2 - 2q_3 = 0 \implies q_3(q_1, q_2) = \frac{90 - q_1 - q_2}{2} \quad \text{--- (4)}$

Stage 2：廠商 2 在觀察到 $q_1$ 後，預期廠商 3 的反應函數 (4)，決定 $q_2$
將 (4) 代入廠商 2 的價格與利潤函數：