111 年 國立臺灣大學農業經濟學系碩士班《經濟學（E）》

核心觀念

本題考查顯示偏好與弱顯示偏好公理（WARP）。

若時間 $0$ 選擇束為 $x^0$、價格為 $p^0$，且另一束 $x^1$ 在時間 $0$ 的預算集合內，則：

$$p^0\cdot x^1 \le p^0\cdot x^0$$

表示 $x^0$ 直接顯示偏好於 $x^1$。

若同時有：

$$p^1\cdot x^0 \le p^1\cdot x^1$$

則 $x^1$ 也直接顯示偏好於 $x^0$。當兩束商品不同時，這種雙向直接顯示偏好即違反 WARP。

判斷重點是：將另一個消費束代入當期預算線，觀察它是否位於線上或線下。位於預算線上或線下代表可負擔。

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解題方法

固定令第一個束為時間 $0$ 的觀察束，第二個束為時間 $1$ 的觀察束：

1. 檢查時間 $0$ 的價格線 $p^0$ 下，時間 $1$ 的束是否可負擔。
2. 檢查時間 $1$ 的價格線 $p^1$ 下，時間 $0$ 的束是否可負擔。
3. 兩方向皆可負擔，才違反 WARP。

由圖可知：

• $A$、$D$ 位於 $p^0$ 預算線上。
• $B$、$C$ 位於 $p^1$ 預算線上。
• $B$ 位於 $p^0$ 預算線內。
• $D$ 位於 $p^1$ 預算線內。
• $A$ 位於 $p^1$ 預算線外。
• $C$ 位於 $p^0$ 預算線外。

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選項分析

（1）$A$ 與 $B$

時間 $0$ 選擇 $A$，時間 $1$ 選擇 $B$。

在 $p^0$ 預算線下，$B$ 位於預算集合內，因此 $A$ 直接顯示偏好於 $B$：

此題考驗消費者剩餘 (Consumer Surplus, CS) 的概念，以及補償變異 (Compensating Variation, CV) 與等價變異 (Equivalent Variation, EV) 在衡量福利變動上的應用與關係。

核心觀念：

1. 消費者剩餘 (CS)： 消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額。
2. 補償變異 (CV)： 在價格變動後，需要給予消費者多少補償，才能使其維持在原來的無異曲線 (indifference curve) 上。
3. 等價變異 (EV)： 在價格變動前，消費者願意支付多少額外的金額，以避免該價格變動的發生。
4. 價格變動與福利： 當某財貨價格上升時，消費者的福利通常會下降。CV 和 EV 就是用來衡量這個福利下降的幅度。
5. CV 和 EV 作為福利變動的上下界： 對於正常財 (normal goods)，CV 和 EV 都是衡量福利變動的合理指標。然而，若要更廣泛地應用於所有財貨（包括劣等財），則 CV 和 EV 分別可以被視為福利變動的「上界」和「下界」。

題目要求：

1. 定義 CV 與 EV。
2. 考慮兩財貨世界，其中一種財貨（好 1）價格上升。
3. 繪圖說明 CV 和 EV 如何衡量福利變動，以及它們分別是 CV (補償需求下的消費者剩餘) 的上界和 EV (另一種需求下的消費者剩餘) 的下界。

定義：

• 補償變異 (Compensating Variation, CV)：
  假設消費者原本在價格 $p^0 = (p_1^0, p_2^0)$ 下，效用為 $U^0 = U(q_1^0, q_2^0)$。現在價格上升至 $p^1 = (p_1^1, p_2^1)$，其效用水準下降至 $U^1 < U^0$。CV 是指在新的價格 $p^1$ 下，需要給予消費者多少額外的收入 $\Delta M = M_1 - M_0$，使得其效用水準回到原來的 $U^0$。
  數學上，CV 是指：
  $U(q_1^{CV}, q_2^{CV}) = U^0$
  且 $p^1 \cdot (q_1^{CV}, q_2^{CV}) = M_1$
  其中 $M_1 = M_0 + CV$。
  CV 的絕對值 $|CV|$ 代表福利的損失。
  CV 是基於「補償需求」 (compensated demand)，即在新的價格下，讓消費者回到舊的效用水準。

• 等價變異 (Equivalent Variation, EV)：
  EV 是指在原來的價格 $p^0$ 下，需要從消費者那裡拿走多少收入 $\Delta M = M_0 - M_1$，使得其效用水準下降到新的水準 $U^1$。
  數學上，EV 是指：
  $U(q_1^{EV}, q_2^{EV}) = U^1$
  且 $p^0 \cdot (q_1^{EV}, q_2^{EV}) = M_1$
  其中 $M_1 = M_0 - EV$。
  EV 的絕對值 $|EV|$ 代表福利的損失。
  EV 是基於「等價需求」 (equivalent demand)，即在舊的價格下，模擬新的效用水準。

圖示說明：

我們需要繪製一個兩財貨 (Good 1, Good 2) 的預算線與無異曲線圖。假設商品 1 的價格 $p_1$ 上升，而商品 2 的價格 $p_2$ 和所得 $M$ 不變。

1. 初始狀態：

   • 預算線 $B^0$：斜率為 $-p_1^0 / p_2$。
   • 無異曲線 $IC^0$：經過切點 $E^0 = (q_1^0, q_2^0)$，代表初始的效用水準 $U^0$。

2. 價格變動後：

   • 商品 1 價格 $p_1$ 上升至 $p_1^1$。
   • 新的預算線 $B^1$：比 $B^0$ 更陡峭，與 $q_2$ 軸的交點不變，但與 $q_1$ 軸的交點向左移動。
   • 新的消費點 $E^1 = (q_1^1, q_2^1)$：位於 $B^1$ 上，代表新的效用水準 $U^1 < U^0$。

3. 補償變異 (CV)：

   • 在新的價格 $p^1$ 下，我們需要找到一條預算線 $B^{CV}$，其斜率與 $B^1$ 相同（即價格為 $p^1$），但能讓消費者回到原來的效用水準 $U^0$。
   • 這條預算線 $B^{CV}$ 會與原來的無異曲線 $IC^0$ 相切於點 $E^{CV} = (q_1^{CV}, q_2^{CV})$。
   • 所得的增加量，即從 $B^1$ 的所得 $M$ 增加到 $B^{CV}$ 的所得 $M + CV$，是 $CV$。
   • 在圖上，CV 的大小可以表示為 $p_2 \times (q_2^{CV} - q_2^1)$ 或 $p_1^1 \times (q_1^{CV} - q_1^1)$。由於 $p_2$ 不變，最簡單的表示方式是所得的差額。
   • CV 的圖示： 預算線 $B^{CV}$ 與 $IC^0$ 相切。所得增加量 $CV = M_{CV} - M_1$。

此題分為兩部分，分別探討生產理論中的成本最小化與長期均衡。第一部分要求說明在固定資本投入下，若要達成不同產出水準，其成本通常會高於該產出水準的最小成本。第二部分則比較追求利潤極大化時，廠商對工資率變動的勞動雇用彈性。

第一部分：固定資本下的成本高於最小成本

• 核心觀念： 成本最小化原則要求廠商在給定產出水準下，選擇能夠以最低成本組合的要素投入。這通常發生在資本與勞動的邊際技術替代率 (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS) 等於要素價格比時。當資本被固定時，廠商的選擇就受限於一條垂直線（在勞動-資本的 isoquant 圖上）。

• 圖示說明：

  1. 建立生產函數與等產量曲線 (Isoquants)： 假設存在一個生產函數 $Q = f(L, K)$，其等產量曲線圖 (isoquant map) 顯示了不同產出水準下的勞動 (L) 和資本 (K) 的組合。等產量曲線是向原點凹進的 (concave to the origin)，表示邊際報酬遞減。
  2. 固定資本 $K_3$： 在圖上畫一條垂直線，代表資本固定在 $K_3$ 的水準。
  3. 不同產出水準 $q_1, q_2, q_3$： 畫出代表這三個產出水準的等產量曲線 $IQ_1, IQ_2, IQ_3$。假設 $q_3$ 是最高產出， $q_1$ 是最低產出。
  4. 最小成本組合：
     • 對於產出 $q_1$，其最小成本組合 $(L_1^*, K_1^*)$ 發生在等產量曲線 $IQ_1$ 與預算線 (iso-cost line) $C_1$ 相切的點，且斜率 $MRTS_{LK} = w/r$ ($w$ 是工資率， $r$ 是資本租金率)。
     • 同理，最小成本組合 $(L_2^*, K_2^*)$ 發生在 $IQ_2$ 與 $C_2$ 相切的點。
     • 最小成本組合 $(L_3^*, K_3^*)$ 發生在 $IQ_3$ 與 $C_3$ 相切的點。
  5. 固定資本 $K_3$ 下的成本：
     • 當資本固定在 $K_3$ 時，廠商只能在垂直線 $K=K_3$ 上選擇勞動投入。
     • 為了生產 $q_1$，廠商必須在 $IQ_1$ 和 $K=K_3$ 的交點 $(L_{1,fixed}, K_3)$ 找到勞動投入。此時的總成本為 $C_{fixed}(q_1) = w L_{1,fixed} + r K_3$。
     • 由於 $K_3$ 通常不是 $q_1$ 的最小成本組合中的資本投入 $K_1^*$ (除非 $K_3 = K_1^*$ 且 $w/r$ 的比值正好使 $K_3$ 成為最佳資本投入)，因此 $L_{1,fixed}$ 通常也不是 $q_1$ 的最小成本組合中的勞動投入 $L_1^*$。
     • 因此，$C_{fixed}(q_1) = w L_{1,fixed} + r K_3 > C^*(q_1) = w L_1^* + r K_1^*$。
     • 同理，對於 $q_2$ 和 $q_3$，當資本固定在 $K_3$ 時，其成本 $C_{fixed}(q_2)$ 和 $C_{fixed}(q_3)$ 通常會高於其各自的最小成本 $C^*(q_2)$ 和 $C^*(q_3)$。
     • 圖示要點：
       • 畫出幾條等產量曲線 ($IQ_1, IQ_2, IQ_3$)。
       • 畫出幾條預算線 ($C_1, C_2, C_3$)，其中 $C_1, C_2, C_3$ 的斜率 $w/r$ 相同，且 $C_3 > C_2 > C_1$。
       • 標示出各產出水準的最小成本點 $(L_i^*, K_i^*)$，這些點是 $IQ_i$ 與 $C_i$ 的切點。
       • 畫一條垂直線 $K=K_3$。
       • 標示出在 $K=K_3$ 線上，與 $IQ_1, IQ_2, IQ_3$ 的交點，分別是 $(L_{1,fixed}, K_3), (L_{2,fixed}, K_3), (L_{3,fixed}, K_3)$。
       • 比較在 $K=K_3$ 線上找到的點的成本與最小成本點的成本。由於 $K_3$ 可能不在最佳資本投入點，且 $L_{i,fixed}$ 也不是最佳勞動投入，因此固定資本下的總成本會高於最小成本。

第二部分：利潤極大化與工資率變動的勞動雇用彈性

• 核心觀念：

  • 成本最小化 (Cost Minimization)： 在給定產出水準下，選擇要素組合以降低生產成本。
  • 利潤極大化 (Profit Maximization)： 廠商追求最大化利潤 $\pi = TR - TC$。在完全競爭市場下，利潤極大化條件為 $P = MC$ (價格等於邊際成本)。
  • 長期均衡： 在長期，廠商可以自由進出市場，並調整所有要素投入。
  • 勞動雇用彈性： 衡量工資率變動對廠商勞動雇用量的影響程度。

• 問題的關鍵： 題目比較的是「追求利潤極大化」的廠商，其勞動雇用對工資率變動的反應，與「成本最小化」的廠商對工資率變動的反應。這似乎有點混淆，因為成本最小化是利潤極大化的前提。
  更精確的說法可能是：

  1. 在「固定產出」的條件下，成本最小化決定的勞動需求。
  2. 在「追求利潤極大化」的條件下，決定的勞動需求（這意味著產出可以變動）。

  假設題目意指：

  • 情境 A： 廠商被要求生產某固定產出 $q_0$，在此條件下，廠商會進行成本最小化來決定勞動雇用 $L_{cost\_min}$。

此題為標準的 Solow-Swan 模型應用題，涵蓋了穩態資本、儲蓄、消費、黃金法則、資本深化以及跨國比較。

模型設定：

• 生產函數：$Y = zF(K, N) = (KN)^{0.5}$。由於題幹未提及技術水準 z，且生產函數形式為 $Y = (KN)^{0.5} = K^{0.5}N^{0.5}$，這是一個 Cobb-Douglas 型的生產函數，且 $z=1$。
• 勞動人口：$N = 100$ (固定，人口成長率 $n=0$)。
• 儲蓄率：$s = 0.3$。
• 折舊率：$\delta = 0.1$。
• 人口成長率：$n = 0$。
• 折舊率 $\delta$ 適用於資本，所以資本的變動為 $\Delta K = sY - \delta K$。

為了方便計算，我們通常會使用每單位勞動的資本和產出。
由於 $N=100$ 是固定的，我們可以令 $k = K/N$ 為每單位勞動的資本， $y = Y/N$ 為每單位勞動的產出。
從生產函數 $Y = K^{0.5}N^{0.5}$，我們得到 $Y/N = (K/N)^{0.5} (N/N)^{0.5} = k^{0.5}$。
所以，每單位勞動的產出為 $y = k^{0.5}$。
資本的變動率（以每單位勞動計算）為：
$\Delta k = sy - (n+\delta)k$
由於 $n=0$，公式變為：
$\Delta k = sk - \delta k$
其中 $k$ 是每單位勞動的資本，$s$ 是儲蓄率，$y=k^{0.5}$ 是每單位勞動的產出，$\delta$ 是折舊率。

穩態 (Steady State, SS) 的條件： 資本深化停止，即 $\Delta k = 0$。
$sk - \delta k = 0$
$s y = (n+\delta) k$
$s k^{0.5} = (0+0.1) k$
$0.3 k^{0.5} = 0.1 k$

(a) 穩態時的 K，以及儲蓄和消費總額。

1. 求穩態資本 $k^{SS}$：
   $0.3 k^{0.5} = 0.1 k$
   $3 k^{0.5} = k$
   平方兩邊：
   $9 k = k^2$
   $k^2 - 9k = 0$
   $k(k-9) = 0$
   由於 $k=0$ 是無意義的穩態（產出為零），所以穩態資本為 $k^{SS} = 9$。
   這是每單位勞動的資本。

2. 求穩態總資本 K：
   題目給定 $N=100$。
   $K^{SS} = k^{SS} \times N = 9 \times 100 = 900$。

3. 求穩態總產出 Y：
   $Y^{SS} = F(K^{SS}, N) = (K^{SS} N)^{0.5} = (900 \times 100)^{0.5} = (90000)^{0.5} = 300$。
   或者用每單位勞動的產出：$y^{SS} = (k^{SS})^{0.5} = 9^{0.5} = 3$。
   總產出 $Y^{SS} = y^{SS} \times N = 3 \times 100 = 300$。

4. 求穩態儲蓄總額 S：
   儲蓄率 $s = 0.3$。
   $S^{SS} = s Y^{SS} = 0.3 \times 300 = 90$。

5. 求穩態消費總額 C：
   消費是總產出減去儲蓄。
   $C^{SS} = Y^{SS} - S^{SS} = 300 - 90 = 210$。
   或者，由於 $s=0.3$，消費率 $1-s = 0.7$。
   $C^{SS} = (1-s) Y^{SS} = 0.7 \times 300 = 210$。

   答案 (a)： 穩態時的總資本 $K^{SS} = 900$。穩態時的總儲蓄 $S^{SS} = 90$。穩態時的總消費 $C^{SS} = 210$。

(b) 目前的儲蓄率是否為 Golden Rule 的儲蓄率？若不是，請求 Golden Rule 的儲蓄率。

• Golden Rule 儲蓄率的定義： Golden Rule 穩態是使每單位勞動的消費 $c$ 極大化的穩態。
  每單位勞動的消費 $c = y - sk$。
  穩態時，$\Delta k = 0$，所以 $sk = (n+\delta)k$。
  因此，穩態時的消費為 $c = y - (n+\delta)k$。
  Golden Rule 穩態的條件是使 $c$ 極大化。
  $c = k^{0.5} - (0+0.1)k = k^{0.5} - 0.1k$。
  為了找到使 $c$ 極大化的 $k$，我們對 $k$ 微分並令其等於零：
  $dc/dk = 0.5 k^{-0.5} - 0.1 = 0$
  $0.5 k^{-0.5} = 0.1$
  $k^{-0.5} = 0.2$
  $k^{0.5} = 1 / 0.2 = 5$
  $k^{GR} = 5^2 = 25$。
  這是 Golden Rule 穩態時的每單位勞動的資本。

• Golden Rule 儲蓄率 $s^{GR}$：
  在 Golden Rule 穩態時，必須滿足：
  $s^{GR} y^{GR} = (n+\delta) k^{GR}$
  $s^{GR} (k^{GR})^{0.5} = (n+\delta) k^{GR}$
  $s^{GR} (25)^{0.5} = (0+0.1) \times 25$
  $s^{GR} \times 5 = 0.1 \times 25$
  $5 s^{GR} = 2.5$
  $s^{GR} = 2.5 / 5 = 0.5$。

• 目前的儲蓄率： 題目給定目前的儲蓄率 $s = 0.3$。

• 比較： $s = 0.3$ 而 $s^{GR} = 0.5$。
  因此，目前的儲蓄率 $0.3$ 並不是 Golden Rule 的儲蓄率。

  證明 (b)：
  Golden Rule 穩態的條件是使每單位勞動的消費 $c = y - (n+\delta)k$ 極大化。
  在給定的模型參數下，$n=0, \delta=0.1$, $y=k^{0.5}$。
  $c = k^{0.5} - 0.1k$。
  $dc/dk = 0.5k^{-0.5} - 0.1 = 0 \implies k^{GR} = 25$。
  在 Golden Rule 穩態下，$s^{GR} y^{GR} = (n+\delta) k^{GR}$。
  $s^{GR} (25)^{0.5} = (0.1) \times 25 \implies s^{GR} \times 5 = 2.5 \implies s^{GR} = 0.5$。
  由於目前的儲蓄率 $s=0.3 \ne 0.5$，所以目前的儲蓄率不是 Golden Rule 的儲蓄率。
  Golden Rule 的儲蓄率是 $0.5$。

  答案 (b)： 不是。Golden Rule 的儲蓄率是 $0.5$。

(c) 兩國的 K 在 t=2 時的變化。

• 模型參數： $s=0.3$, $\delta=0.1$, $n=0$, $N=100$, $y = k^{0.5}$。
  每單位勞動資本變動的微分方程：$\Delta k = sk - \delta k = 0.3 k^{0.5} - 0.1 k$。

• 兩國資訊：

  • 時間 $t=1$ 時，兩國的 K 值分別為 $K_A(1) = 400$ 和 $K_B(1) = 100$。
  • 由於 $N=100$ 始終不變，我們可以計算每單位勞動的資本：
    • 國 A 在 $t=1$ 時：$k_A(1) = K_A(1)/N = 400 / 100 = 4$。
    • 國 B 在 $t=1$ 時：$k_B(1) = K_B(1)/N = 100 / 100 = 1$。

• 計算 t=2 時的 K：
  我們需要計算 $k(2)$，然後乘以 $N$ 得到 $K(2)$。
  $\Delta k = 0.3 k^{0.5} - 0.1 k$。

  • 國 A (從 $k=4$ 開始)：
    $k(1) = 4$。
    $\Delta k = 0.3 (4)^{0.5} - 0.1 (4) = 0.3 \times 2 - 0.4 = 0.6 - 0.4 = 0.2$。
    $k_A(2) = k_A(1) + \Delta k = 4 + 0.2 = 4.2$。
    $K_A(2) = k_A(2) \times N = 4.2 \times 100 = 420$。

  • 國 B (從 $k=1$ 開始)：
    $k(1) = 1$。
    $\Delta k = 0.3 (1)^{0.5} - 0.1 (1) = 0.3 \times 1 - 0.1 = 0.3 - 0.1 = 0.2$。
    $k_B(2) = k_B(1) + \Delta k = 1 + 0.2 = 1.2$。
    $K_B(2) = k_B(2) \times N = 1.2 \times 100 = 120$。

  答案 (c)： $t=2$ 時，國 A 的 $K$ 為 $420$，國 B 的 $K$ 為 $120$。

(d) 畫出兩國 K/N 與下一期 K/N 的關係圖 (k 與 k')。

• 函數關係： 我們需要繪製 $k' = k + \Delta k = k + (sk - \delta k)$ 的圖形。
  $k' = k + 0.3 k^{0.5} - 0.1 k = 0.9 k + 0.3 k^{0.5}$。
  其中 $k'$ 代表下一期的每單位勞動資本。
  這個函數 $f(k) = 0.9 k + 0.3 k^{0.5}$ 描述了從當期資本 $k$ 到下一期資本 $k'$ 的關係。

• 圖形繪製：

  • 繪製一個 45 度線 ($k' = k$)。
  • 繪製函數 $k' = 0.9 k + 0.3 k^{0.5}$。
    • 當 $k=0$ 時，$k'=0$。
    • 我們知道穩態 $k^{SS} = 9$。在此點，$k'=9$。
    • Golden Rule 穩態 $k^{GR} = 25$。在此點，$k'=25$。

核心觀念

本題考「三期消費—儲蓄模型」與「跨期效用極大化」。重點包括：

• 生命週期預算限制式；
• 對數效用函數 $u(c)=\ln c$；
• 貼現因子 $\beta$ 對未來效用的權重；
• 利率 $r$ 對儲蓄跨期移轉的影響；
• Euler 方程式所描述的跨期消費配置。

此人只有年輕時取得一次樂透獎金 $m_0$，之後沒有勞動所得，因此一生資源完全來自 $m_0$。

假設：

• $m_0>0$；
• $\beta>0$；
• $1+r>0$；
• 消費必須為正，即 $c_t>0$；
• 老年結束時不留下遺產，因此最後一期的資產全數用於消費。

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效用極大化問題

令 $m_1$ 為年輕期結束後的儲蓄，$m_2$ 為中年期結束後的儲蓄。

各期預算限制式為：

$$c_1+m_1=m_0$$ $$c_2+m_2=(1+r)m_1$$ $$c_3=(1+r)m_2$$

其中，年輕期的儲蓄 $m_1$ 會在中年期變成 $(1+r)m_1$；中年期的儲蓄 $m_2$ 會在老年期變成 $(1+r)m_2$。

因此，原始效用極大化問題為：

$$\max_{c_1,c_2,c_3,m_1,m_2} \quad \ln c_1+\beta\ln c_2+\beta^2\ln c_3$$

subject to

$$c_1+m_1=m_0$$ $$c_2+m_2=(1+r)m_1$$ $$c_3=(1+r)m_2$$

且

$$c_1,c_2,c_3,m_1,m_2>0.$$

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合併成跨期現值預算限制式

由第三期預算限制式：

$$m_2=\frac{c_3}{1+r}$$

代入第二期預算限制式：

$$c_2+\frac{c_3}{1+r}=(1+r)m_1$$

因此：

$$m_1=\frac{c_2}{1+r}+\frac{c_3}{(1+r)^2}$$

再代入第一期預算限制式 $c_1+m_1=m_0$，得到：

$$c_1+\frac{c_2}{1+r}+\frac{c_3}{(1+r)^2}=m_0$$

所以問題可改寫為：

$$\max_{c_1,c_2,c_3} \quad \ln c_1+\beta\ln c_2+\beta^2\ln c_3$$

subject to

$$c_1+\frac{c_2}{1+r}+\frac{c_3}{(1+r)^2}=m_0.$$

這種寫法直接表示：三期消費的現值不能超過年輕時所擁有的初始財富。

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一階條件與跨期消費關係

建立 Lagrangian：

$$\mathcal{L} = \ln c_1+\beta\ln c_2+\beta^2\ln c_3 + \lambda \left( m_0-c_1-\frac{c_2}{1+r}-\frac{c_3}{(1+r)^2} \right)$$

分別對三期消費量微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_1} = \frac{1}{c_1}-\lambda=0$$

因此：

$$\lambda=\frac{1}{c_1}$$

對 $c_2$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_2} = \frac{\beta}{c_2}-\frac{\lambda}{1+r}=0$$

因此：

$$\frac{\beta}{c_2} = \frac{\lambda}{1+r}$$

代入 $\lambda=1/c_1$：

$$\frac{\beta}{c_2} = \frac{1}{(1+r)c_1}$$

整理得：

$$c_2=\beta(1+r)c_1$$

對 $c_3$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_3} = \frac{\beta^2}{c_3} - \frac{\lambda}{(1+r)^2} =0$$

因此：

$$\frac{\beta^2}{c_3} = \frac{\lambda}{(1+r)^2}$$

代入 $\lambda=1/c_1$：

$$\frac{\beta^2}{c_3} = \frac{1}{(1+r)^2c_1}$$

整理得：

$$c_3=\beta^2(1+r)^2c_1$$

故最適消費的跨期比例為：

$$\frac{c_2}{c_1}=\beta(1+r)$$ $$\frac{c_3}{c_1}=\beta^2(1+r)^2$$

這也可寫成 Euler 方程式：