108 年 國立臺灣大學農業經濟學系碩士班《經濟學（E）》

核心觀念

本題考查「成本最小化」與「條件要素需求」。

給定要素價格向量 $w$ 與產量 $y$，成本函數定義為

$$c(w,y)=\min_{x\ge 0}\left\{w\cdot x:f(x)\ge y\right\}.$$

條件要素需求是使上述成本最小化問題達成的投入組合。由於各要素價格為正，最適解通常會使生產限制恰好成立。

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(a) 生產函數為兩個生產區段的最小值

$$f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\min\{2x_1+x_2,\ x_3+2x_4\}.$$

解題方法

要生產 $y$ 單位，必須同時滿足

$$2x_1+x_2\ge y,$$

以及

$$x_3+2x_4\ge y.$$

因此，前兩項要素與後兩項要素分別形成兩個獨立的成本最小化問題。

前兩項要素

考慮

$$\min_{x_1,x_2\ge 0} w_1x_1+w_2x_2$$

使得

$$2x_1+x_2\ge y.$$

要素 $1$ 每投入一單位可提供 $2$ 單位有效投入，因此每單位有效投入成本為

$$\frac{w_1}{2}.$$

要素 $2$ 每投入一單位可提供 $1$ 單位有效投入，因此每單位有效投入成本為

$$w_2.$$

故前兩項的單位成本為

$$\min\left\{\frac{w_1}{2},w_2\right\}.$$

後兩項要素

同理，對於

$$x_3+2x_4\ge y,$$

要素 $3$ 的單位有效投入成本為 $w_3$，要素 $4$ 的單位有效投入成本為 $\frac{w_4}{2}$，因此其單位成本為

$$\min\left\{w_3,\frac{w_4}{2}\right\}.$$

成本函數

總成本為兩個獨立部分的加總：

$$c(w,y) = y\min\left\{\frac{w_1}{2},w_2\right\} + y\min\left\{w_3,\frac{w_4}{2}\right\}.$$

也可寫成

$$c(w,y) = y\left[ \min\left\{\frac{w_1}{2},w_2\right\} + \min\left\{w_3,\frac{w_4}{2}\right\} \right].$$

因素 $1$ 與因素 $2$ 的條件需求

前兩項投入的條件需求為

$$(x_1^c,x_2^c)= \begin{cases} \left(\dfrac{y}{2},0\right), & \text{若 } \dfrac{w_1}{2}<w_2,\\[8pt] (0,y), & \text{若 } \dfrac{w_1}{2}>w_2,\\[8pt] \{(x_1,x_2):2x_1+x_2=y,\ x_1,x_2\ge 0\}, & \text{若 } \dfrac{w_1}{2}=w_2. \end{cases}$$

等價地：

• 若 $w_1<2w_2$，只使用因素 $1$；
• 若 $w_1>2w_2$，只使用因素 $2$；
• 若 $w_1=2w_2$，兩者成本效率相同，存在多組最適投入組合。

解題技巧

對於

$$\min\{a_1x_1+a_2x_2,\ b_1x_1+b_2x_2\},$$

要生產 $y$ 單位，必須讓兩個括號都至少達到 $y$。若兩組投入彼此不共用要素，成本函數可以直接拆成兩個子問題分別求解。

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(b) 兩種要素共同出現在兩個限制式中

$$f(x_1,x_2)=\min\{2x_1+x_2,\ x_1+2x_2\}.$$

解題方法

生產 $y$ 單位必須滿足

$$2x_1+x_2\ge y,$$

以及

$$x_1+2x_2\ge y.$$

成本最小化問題為

$$\min_{x_1,x_2\ge 0} w_1x_1+w_2x_2.$$

最適解位於可行生產邊界的角點。主要候選投入組合有三個：

1. 只使用因素 $1$：

$$(x_1,x_2)=(y,0),$$

成本為

$$w_1y.$$

2. 只使用因素 $2$：

$$(x_1,x_2)=(0,y),$$

成本為

$$w_2y.$$

3. 同時使兩個限制式恰好成立：

$$2x_1+x_2=y,$$ $$x_1+2x_2=y.$$

解得

$$x_1=x_2=\frac{y}{3}.$$

此時成本為

$$\frac{w_1+w_2}{3}y.$$

因此成本函數是三個候選成本的最小值：

$$c(w,y) = y\min\left\{ w_1,\ w_2,\ \frac{w_1+w_2}{3} \right\}.$$

分段表示

比較三種投入方式可得：

$$c(w,y)= \begin{cases} w_1y, & \text{若 } w_2>2w_1,\\[4pt] \dfrac{w_1+w_2}{3}y, & \text{若 } \dfrac{w_1}{2}<w_2<2w_1,\\[8pt] w_2y, & \text{若 } w_1>2w_2. \end{cases}$$

在邊界 $w_2=2w_1$ 或 $w_1=2w_2$ 時，會有多組最適投入組合。

條件要素需求

當 $w_2>2w_1$ 時，因素 $1$ 的成本效率較高：

$$(x_1^c,x_2^c)=(y,0).$$

核心觀念

本題考查兩個重要概念：

1. 有固定成本時的利潤極大化：成本函數在 $y=0$ 時為 $0$，但只要生產正產量，就必須支付固定成本 $1$。
2. 由生產技術推導成本函數：在給定要素價格下，找出以最低成本生產 $y$ 單位產出的投入組合。

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(a) 利潤極大化與利潤函數

解題方法

廠商的利潤為

$$\pi(y;p)=py-c(y).$$

當 $y=0$ 時，

$$\pi(0;p)=0.$$

當 $y>0$ 時，

$$\pi(y;p)=py-y^2-1.$$

因此，廠商必須比較：

• 停產：利潤為 $0$；
• 生產正產量時的最大利潤。

對 $y>0$，令

$$\pi(y;p)=py-y^2-1.$$

一階條件為

$$\frac{\partial \pi}{\partial y}=p-2y=0,$$

所以內部最適產量為

$$y^*=\frac{p}{2}.$$

二階導數為

$$\frac{\partial^2\pi}{\partial y^2}=-2<0,$$

故此產量確實使正產量區間內的利潤最大。代回可得

$$\pi\left(\frac p2;p\right) =p\left(\frac p2\right)-\left(\frac p2\right)^2-1 =\frac{p^2}{4}-1.$$

廠商只有在

$$\frac{p^2}{4}-1\ge 0$$

時，才願意生產正產量。對通常的非負價格 $p\ge 0$ 而言，這等價於

$$p\ge 2.$$

當 $p=2$

正產量下的最適產量為

$$y^*=\frac{2}{2}=1.$$

其利潤為

$$\pi(1;2)=2(1)-1^2-1=0.$$

停產時利潤也是

$$\pi(0;2)=0.$$

因此，$p=2$ 時廠商在停產與生產 $1$ 單位之間無差異，最適產量集合為

$$y^*(2)\in\{0,1\}.$$

當 $p=1$

正產量區間內的最適產量為

$$y^*=\frac{1}{2}.$$

但其利潤為

$$\pi\left(\frac12;1\right) =1\cdot\frac12-\left(\frac12\right)^2-1 =-\frac34<0.$$

停產時利潤為 $0$，因此廠商選擇停產：

$$y^*(1)=0.$$

利潤函數

對 $p\ge 0$，廠商可以選擇停產，因此利潤函數為

$$\pi(p)=\max\left\{0,\frac{p^2}{4}-1\right\}.$$

等價地寫成分段形式：

$$\pi(p)= \begin{cases} 0, & 0\le p\le 2,\\[4pt] \dfrac{p^2}{4}-1, & p>2. \end{cases}$$

相對應的供給對應為

$$y^*(p)= \begin{cases} 0, & 0\le p<2,\\ \{0,1\}, & p=2,\\ \dfrac p2, & p>2. \end{cases}$$

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(b) 技術所對應的成本函數

核心觀念

生產技術為

核心觀念

本題考查：

• Edgeworth box 與初始稟賦。
• 完全替代偏好 $U_A=x_1+x_2$ 的最適消費選擇。
• $U_B=\max(x_1,x_2)$ 所代表的偏好與最適需求。
• 競爭均衡的條件：在給定價格與所得下，兩人的需求必須使兩種財的市場同時出清。

兩人的初始稟賦皆為

$$\omega^A=\omega^B=\left(\frac12,\frac12\right).$$

因此，經濟體的總資源為

$$\bar{x}=\omega^A+\omega^B=(1,1).$$

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（a）Edgeworth box 圖

Edgeworth box 的寬與高皆為 $1$：

• 水平軸表示財貨 $1$，垂直軸表示財貨 $2$。
• A 的原點在左下角。
• B 的原點在右上角。
• 初始稟賦點為

$$E=\left(\frac12,\frac12\right).$$

A 的效用函數為

$$U_A(x_1,x_2)=x_1+x_2.$$

因此 A 的無異曲線為

$$x_1+x_2=c,$$

其斜率為 $-1$，是向右下方傾斜的直線，表示 A 願意以一單位財貨 $2$ 替代一單位財貨 $1$。

B 的效用函數為

$$U_B(x_1,x_2)=\max(x_1,x_2).$$

在效用水準 $c$ 下，B 的無異集合為

$$\max(x_1,x_2)=c.$$

也就是由兩條線段組成：

$$x_1=c,\quad 0\leq x_2\leq c,$$

以及

$$x_2=c,\quad 0\leq x_1\leq c.$$

在初始稟賦點 $E$，B 的無異集合是 $x_1=\frac12$ 與 $x_2=\frac12$ 所形成的十字形。B 只重視兩種財貨中數量較多者，因此增加較少的那一種財貨，若未改變最大值，效用不會增加。

文字示意如下：

財貨 2
  1 ┌────────────────┐
    │                │
    │        B 原點  │
    │                │
 1/2│────── E ───────│
    │                │
    │                │
  0 └────────────────┘ 財貨 1
    0       1/2      1

A 的原點在左下角，B 的原點在右上角；E 點為兩人的共同初始稟賦。

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（b）均衡價格關係

設財貨價格為 $p_1$ 與 $p_2$，且兩者皆為正。每人的所得為初始稟賦的市場價值：

$$m_A=m_B=\frac12p_1+\frac12p_2 =\frac{p_1+p_2}{2}.$$

先考慮 $p_1<p_2$

A 具有完全替代偏好。由於財貨 $1$ 較便宜，A 將全部所得購買財貨 $1$：

$$x_1^A=\frac{m_A}{p_1} =\frac{p_1+p_2}{2p_1}, \qquad x_2^A=0.$$

B 也會選擇財貨 $1$。因為在預算限制

$$p_1x_1+p_2x_2\leq m_B$$

本題為一綜合題，結合了國際貿易、總體經濟學（IS-LM 模型、經濟恆等式）以及貿易政策的影響。

(a) IS-LM 模型說明為何貿易赤字加劇 (10%)

首先，我們需要分析題目中提到的兩個主要政策：

1. 關稅 (Tariffs): 對進口產品徵收 10%-25% 的關稅。
2. 減稅 (Tax Cuts): 大幅減稅以刺激經濟，並吸引美企回流。

關稅的影響：
關稅會增加進口商品的價格，從而減少進口需求。
在 IS-LM 模型中，關稅會影響淨出口 (Net Exports, NX)。
關稅會導致進口減少，進而增加淨出口。
NX = Exports - Imports。
關稅的直接效果是減少進口，增加 NX。
然而，關稅也可能引發貿易報復，導致出口減少。
此外，關稅會提高國內消費者的成本，可能減少總需求。
如果關稅只提高進口價格，而沒有其他影響，NX 會增加，IS 曲線會右移。

減稅的影響：
減稅會增加家庭的可支配收入，從而增加消費。
減稅也會增加企業的稅後利潤，可能增加投資。
這兩者都會增加總需求 (AD)。
在 IS-LM 模型中，減稅會使 IS 曲線右移。

IS-LM 模型分析：

• IS 曲線： 代表產品市場的均衡，即總產出 $Y$ 等於總需求 $AD = C + I + G + NX$。
• LM 曲線： 代表貨幣市場的均衡，即貨幣供給等於貨幣需求。

為何貿易赤字反而加劇？
題目提到「川普大幅減稅刺激經濟」，這意味著 IS 曲線大幅右移。
同時，「希望能吸引美企將生產從中國移回美國生產」。這意味著一部分原先由進口滿足的需求，現在由美國國內生產滿足。這也會增加國內產出和就業，但對於貿易赤字（NX）的影響可能比較複雜。

分析核心： 貿易赤字是 NX < 0。
NX = Exports - Imports。
如果關稅導致進口減少，NX 應該增加（赤字減少）。
但是，如果國內經濟被減稅大幅刺激，導致總需求 $Y$ 大幅增加，那麼即使進口佔 GDP 的比例不變，絕對的進口額也可能增加。

詳細步驟：

1. 減稅的影響： 大幅減稅導致可支配收入增加，消費增加。同時，企業投資也可能增加。這使得 IS 曲線向右移動。
2. IS 曲線右移的效果： IS 曲線右移會導致均衡產出 $Y$ 和均衡利率 $r$ 上升。
3. 貿易赤字的影響：
   • 進口： 經濟體總產出 $Y$ 的增加，通常會伴隨著進口額的增加（因為國內需求增加，一部分會通過進口滿足）。
   • 出口： 關稅可能導致中國對美國的報復性關稅，或者使美國產品對中國來說更貴，從而減少美國的出口。
   • 匯率： 美國減稅可能導致美國利率上升，吸引外資流入，美元升值。美元升值會使美國出口更貴，進口更便宜，從而減少淨出口 NX。

綜合來看：
雖然關稅的意圖是減少進口，但如果減稅導致國內總需求（尤其是對進口商品的總需求）急劇增加，進口的絕對量可能不減反增。
同時，美元升值（由利率上升引起）會進一步惡化 NX。
貿易報復也可能損害出口。
因此，儘管有關稅，貿易赤字反而加劇。

用 IS-LM 語言描述：
減稅使 IS 曲線右移，提高 $Y$ 和 $r$。
LM 曲線不變。
新的均衡點在更高的 $Y$ 和 $r$。
更高的 $Y$ 意味著進口額增加。
更高的 $r$ 可能導致美元升值，NX 進一步惡化。
關稅的減少進口效果被國內需求擴張和可能的匯率升值所抵消。

(b) 貿易保護政策長期對本國消費和就業的影響 (10%)

長期影響：

對消費的影響：

1. 價格上漲： 貿易保護（如關稅）會提高進口商品的價格。由於國內生產的替代品可能產能不足或技術不如進口品，國內消費者將面臨更高的商品價格。這會降低消費者的購買力，減少消費。
2. 選擇減少： 關稅和配額限制了進口，減少了市場上的商品種類，消費者選擇減少。
3. 國內產業保護下的效率低下： 被保護的國內產業可能缺乏競爭壓力，導致效率低下，創新不足，長期來看可能生產質量不高或價格不具競爭力的產品，進一步損害消費者福利。
4. 報復性措施： 其他國家可能採取報復性措施，對本國出口商品徵收關稅，導致國內某些依賴出口的產業受損，間接影響相關消費。
5. 替代品的成本： 如果本國無法有效生產替代品，或者替代品的生產成本很高，那麼消費者將為此付出更高的代價。

總體而言，長期來看，貿易保護政策通常會降低本國消費者的福利，因為他們面臨更高的價格和更少的選擇。

對就業的影響：

1. 保護特定產業的就業： 貿易保護政策的直接目的是保護國內特定產業，使其免受國外競爭的衝擊，從而維持或增加這些產業的就業。
2. 損害其他產業的就業：
   • 出口產業： 貿易報復會損害出口產業，導致這些產業的就業機會減少。
   • 進口依賴型產業： 依賴進口原材料或中間產品的國內產業，由於關稅導致成本上升，可能被迫裁員或關閉。
   • 消費者產業： 消費者因商品價格上漲而減少消費，這會影響整個經濟的總需求，進而影響各行各業的就業。

本題要求使用 Solow 成長模型來解釋中國過去四十年的經濟成長奇蹟。

Solow 成長模型的要素：
Solow 模型是一個外生成長模型，它解釋了經濟體如何通過資本積累、勞動力增長和技術進步來實現長期經濟成長。
模型的關鍵變數包括：

• 人均產出 ($y$)
• 人均資本 ($k$)
• 勞動力增長率 ($n$)
• 儲蓄率 ($s$)
• 折舊率 ($\delta$)
• 技術進步率 ($g$)

Solow 模型的核心是人均資本的動態方程：
$\Delta k = s y(k) - (\delta + n + g) k$
其中，$y(k)$ 是人均產出函數，通常假設為 $y = f(k)$。

Solow 模型解釋中國經濟成長奇蹟的關鍵點：

1. 低基期與高儲蓄率：

   • 1979 年，中國的人均收入僅為 155 美元，處於極低的基期。這意味著中國擁有巨大的潛力來模仿發達國家的技術和生產方式。
   • 中國改革開放後，大幅提高了儲蓄率 ($s$)。高儲蓄率意味著有更多的資源用於投資（資本積累）。
   • 在 Solow 模型中，較高的儲蓄率會導致人均資本 $k$ 更快地達到穩態水平。

2. 資本積累與收斂：

   • Solow 模型預測，在其他條件相同的情況下，經濟體會向其穩態水平收斂。對於發展中國家，由於其人均資本水平較低，模型預測其將經歷較快的資本積累和產出增長，直到接近穩態。
   • 中國的高儲蓄率和對外開放引進的技術，使得其人均資本快速積累。大量的資本投入（如基礎設施建設、工廠設備等）直接推動了人均產出的快速增長。

3. 技術引進與模仿：

   • Solow 模型將技術進步視為外生變數。在改革開放初期，中國能夠引進和模仿發達國家的成熟技術，這是一種「後發優勢」。
   • 這種技術引進和模仿，相當於在模型中「外生」地提高了生產函數 $y=f(k)$ 的效率，或者說，相當於加速了技術進步率 $g$。
   • 通過引進技術，中國可以用較少的資本投入達到更高的產出水平，或者說，生產函數的效率得到了極大的提升。

4. 勞動力增長與人口紅利：

   • 在改革開放後的幾十年裡，中國經歷了勞動力人口比例較高的時期，這是一種「人口紅利」。
   • 在 Solow 模型中，如果勞動力增長率 $n$ 保持不變，那麼高儲蓄率下的資本積累會更快地推動人均產出增長。
   • 如果將勞動力增長率視為外生，那麼在其他條件相同的情況下，較高的 $n$ 會延緩人均資本的收斂速度，但如果 $s$ 足夠高，人均產出的絕對增長仍然會很顯著。
   • 更精確地說，如果我們考慮「有效勞動力」 $L \cdot E$（其中 $E$ 是技術水平），那麼技術進步是關鍵。

本題要求根據給定的 GDP 總量和成長率，計算中國何時能超越美國成為世界最大經濟體。這是一個簡單的指數增長問題。

模型設定：
假設美國的 GDP 總量為 $Y_{US}(t)$，中國的 GDP 總量為 $Y_{CN}(t)$。
時間 $t$ 以年為單位。
我們將當前時間設為 $t=0$。
已知：

• $Y_{US}(0) = 20$ 兆美元
• $Y_{CN}(0) = 12$ 兆美元
• 美國的 GDP 年成長率 $g_{US} = 2\% = 0.02$
• 中國的 GDP 年成長率 $g_{CN} = 6\% = 0.06$

GDP 的增長可以假設為指數增長：
$Y(t) = Y(0) \cdot (1 + g)^t$

問題：
我們需要找到一個時間 $t^*$，使得 $Y_{CN}(t^*) \ge Y_{US}(t^*)$。

計算過程：
根據指數增長公式：
$Y_{US}(t) = 20 \cdot (1 + 0.02)^t = 20 \cdot (1.02)^t$
$Y_{CN}(t) = 12 \cdot (1 + 0.06)^t = 12 \cdot (1.06)^t$

我們要找到 $t^*$ 使得：
$12 \cdot (1.06)^{t^*} \ge 20 \cdot (1.02)^{t^*}$

為了求解 $t^*$, 我們可以將不等式改寫為：
$\frac{(1.06)^{t^*}}{(1.02)^{t^*}} \ge \frac{20}{12}$
$(\frac{1.06}{1.02})^{t^*} \ge \frac{5}{3}$

計算比率：
$\frac{1.06}{1.02} \approx 1.039215686$
$\frac{5}{3} \approx 1.666666667$

所以，不等式變為：
$(1.039215686)^{t^*} \ge 1.666666667$