115 年 國立臺灣大學農業經濟學系碩士班《統計學（E）》

此題考驗對幾何分布基本性質的理解，包含機率計算、條件機率、期望值、標準差、動差生成函數 (MGF) 及機率生成函數 (PGF)。

幾何分布定義：設隨機變數 Y 為成功所需的嘗試次數，成功機率為 p。則 Y 的機率質量函數 (PMF) 為 $P(Y=k) = (1-p)^{k-1}p$ ，其中 $k = 1, 2, 3, ...$。
在此題中，$p = 3/4$，因此 $1-p = 1/4$。

(1) 計算 $P(Y > 2)$
幾何分布有一個重要的性質：$P(Y > k) = (1-p)^k$。
所以，$P(Y > 2) = (1-p)^2 = (1/4)^2 = 1/16$。

(2) 計算 $P(Y > 8|Y > 5)$
根據條件機率的定義，$P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$。
在此，$A$ 為 $Y > 8$，$B$ 為 $Y > 5$。
$A \cap B$ 為 $Y > 8$ 且 $Y > 5$，這等價於 $Y > 8$。
所以，$P(Y > 8|Y > 5) = P(Y > 8) / P(Y > 5)$。
利用性質 $P(Y > k) = (1-p)^k$:
$P(Y > 8) = (1-p)^8 = (1/4)^8$
$P(Y > 5) = (1-p)^5 = (1/4)^5$
因此，$P(Y > 8|Y > 5) = (1/4)^8 / (1/4)^5 = (1/4)^{8-5} = (1/4)^3 = 1/64$。
此結果也符合幾何分布的無記憶性 (memoryless property)。

此題考驗對聯合機率密度函數的理解，包含邊際機率密度函數、期望值、變異數、線性組合的期望值與變異數，以及獨立性的判斷。

首先，我們需要找出邊際機率密度函數 $f_{Y_1}(y_1)$ 和 $f_{Y_2}(y_2)$。
$f_{Y_2}(y_2) = \int_{0}^{\infty} f(y_1, y_2) dy_1$
$f_{Y_2}(y_2) = \int_{0}^{\infty} [1 - \alpha\{(1 - 2 e^{-y_1})(1-2 e^{-y_2})\}] e^{-y_1 - y_2} dy_1$
$f_{Y_2}(y_2) = e^{-y_2} \int_{0}^{\infty} [1 - \alpha(1-2e^{-y_2}) + 2\alpha e^{-y_1}(1-2e^{-y_2})] e^{-y_1} dy_1$
$f_{Y_2}(y_2) = e^{-y_2} \int_{0}^{\infty} [1 - \alpha(1-2e^{-y_2})] e^{-y_1} dy_1 + e^{-y_2} \int_{0}^{\infty} 2\alpha e^{-y_1}(1-2e^{-y_2}) e^{-y_1} dy_1$
$f_{Y_2}(y_2) = e^{-y_2} [1 - \alpha(1-2e^{-y_2})] \int_{0}^{\infty} e^{-y_1} dy_1 + e^{-y_2} 2\alpha (1-2e^{-y_2}) \int_{0}^{\infty} e^{-2y_1} dy_1$

計算積分：
$\int_{0}^{\infty} e^{-y_1} dy_1 = [-e^{-y_1}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$
$\int_{0}^{\infty} e^{-2y_1} dy_1 = [-1/2 e^{-2y_1}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1/2) = 1/2$

代回 $f_{Y_2}(y_2)$:
$f_{Y_2}(y_2) = e^{-y_2} [1 - \alpha(1-2e^{-y_2})] (1) + e^{-y_2} 2\alpha (1-2e^{-y_2}) (1/2)$
$f_{Y_2}(y_2) = e^{-y_2} [1 - \alpha + 2\alpha e^{-y_2}] + e^{-y_2} \alpha (1-2e^{-y_2})$
$f_{Y_2}(y_2) = e^{-y_2} - \alpha e^{-y_2} + 2\alpha e^{-2y_2} + \alpha e^{-y_2} - 2\alpha e^{-2y_2}$
$f_{Y_2}(y_2) = e^{-y_2}$, for $0 \le y_2$.

這表示 $Y_2$ 服從指數分布，參數 $\lambda=1$。
同理，對稱性可知 $f_{Y_1}(y_1) = e^{-y_1}$， for $0 \le y_1$。

(6) 計算 $E(Y_2)$
因為 $Y_2$ 服從參數為 $\lambda=1$ 的指數分布，其期望值為 $1/\lambda = 1/1 = 1$。
$E(Y_2) = 1$。

(7) 計算 $E(4Y_1 - 3Y_2)$
利用期望值的線性性質：$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。
$E(4Y_1 - 3Y_2) = 4E(Y_1) - 3E(Y_2)$。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的最小平方法、決定係數與斜率的顯著性檢定。模型為

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,n.$$

其中，$\beta_0$ 為截距，$\beta_1$ 為單位售價增加一單位時，每日供應量條件平均數的變動量。

定義中心化平方和與交叉乘積和：

$$S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n},\qquad S_{yy}=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n},$$ $$S_{xy}=\sum x_iy_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}.$$

含截距的簡單線性迴歸具有下列公式：

$$\hat\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x,\qquad R^2=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}.$$

解題方法

a. 最小平方法估計迴歸線

最小平方法選取截距與斜率，使殘差平方和

$$\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1x_i)^2$$

達到最小。由其常態方程可得上述斜率與截距公式。

本題 $n=8$，先計算平均數：

$$\bar x=\frac{64}{8}=8,\qquad \bar y=\frac{176}{8}=22.$$

再計算：

$$S_{xx}=560-\frac{64^2}{8}=560-512=48,$$ $$S_{xy}=1504-\frac{64\times176}{8}=1504-1408=96.$$

因此，

$$\hat\beta_1=\frac{96}{48}=2,\qquad \hat\beta_0=22-2(8)=6.$$

估計迴歸線為

$$\boxed{\hat y=6+2x}.$$

斜率表示：單位售價增加一單位，預測的每日供應量增加 $2$ 單位。截距 $6$ 表示售價為零時的預測供應量；若零售價不在觀測範圍內，截距主要是模型定位的參數，不宜直接賦予實際經濟意義。

b. 計算並解釋決定係數 $R^2$

供應量的總平方和為

$$SST=S_{yy} =4208-\frac{176^2}{8} =4208-3872 =336.$$

迴歸解釋平方和為

$$SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} =\frac{96^2}{48} =192.$$

因此，

$$R^2=\frac{SSR}{SST} =\frac{192}{336} =\boxed{\frac47\approx0.5714}.$$

**解釋：**在這 $8$ 天的樣本中，每日供應量相對於其平均數的總變異，約有 $57.1\%$ 可由單位售價與供應量之間的線性迴歸關係解釋；其餘約 $42.9\%$ 為模型未解釋的變異。

這個比例衡量模型對樣本變異的解釋程度，並不表示售價造成了 $57.1\%$ 的供應量變動，也不等同於預測正確率。

c. 在 $5\%$ 顯著水準下檢定斜率

核心觀念

本題考查「解釋變數的測量單位改變」對迴歸方程式與決定係數 $R^2$ 的影響。

原迴歸式為

$$Y=0.5+0.006X$$

其中 $X$ 以 PPM 為單位。依題目給定，新的測量單位滿足

$$1\text{ 新單位}=10^{-3}$$

而

$$1\text{ PPM}=10^{-6}$$

因此，數值上的單位轉換會改變斜率係數，但不會改變實際的 $X$ 值或模型的配適程度。

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解題方法

設原本以 PPM 表示的數值為 $X$，改用新單位後的數值為 $X^*$。

同一個二氧化硫濃度必須滿足

$$X^*\times 10^{-3}=X\times 10^{-6}$$

所以

$$X^*=10^{-3}X$$

亦即

$$X=1000X^*$$

將其代回原迴歸式：

$$Y=0.5+0.006(1000X^*)$$

因此

$$Y=0.5+6X^*$$

截距不變，因為單純改變 $X$ 的測量單位；斜率則由原本的 $0.006$ 變為 $6$。

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(a) 新的迴歸方程式

令 $X^*$ 表示以新單位表示的 SO$_2$ 濃度，則新的迴歸方程式為

$$\boxed{Y=0.5+6X^*}$$

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(b) $R^2$ 是否改變？

$R^2$ 不會改變。

理由是，單位轉換後：

$$0.006X=6X^*$$

此題要求計算簡單線性迴歸的 F 統計量，用於檢定迴歸的整體顯著性。

F 統計量的計算公式為：$F = \frac{MSR}{MSE}$
其中 MSR 是迴歸均方 (Mean Square Regression)，MSE 是誤差均方 (Mean Square Error)。

從 ANOVA (Analysis of Variance) 表格中，我們已知：
SSR (Sum of Squares Regression) = 210.000
SSE (Sum of Squares Error) = 120.000
SST (Sum of Squares Total) = 330.000
(驗證：SSR + SSE = 210.000 + 120.000 = 330.000 = SST，符合。)

樣本數 $n = 9$。
在這個簡單線性迴歸模型中，有 1 個解釋變數 (x)。
迴歸的自由度 $df_{Regression} = 1$。
誤差的自由度 $df_{Error} = n - 2 = 9 - 2 = 7$。
總自由度 $df_{Total} = n - 1 = 9 - 1 = 8$。

計算均方：
MSR = $SSR / df_{Regression} = 210.000 / 1 = 210.000$
MSE = $SSE / df_{Error} = 120.000 / 7 \approx 17.142857$

此題考驗對多元迴歸模型性質的理解，包含變數篩選、多重共線性、以及虛擬變數的應用。

a. 判斷敘述「在多元迴歸模型中，若一個解釋變數的係數統計上不顯著，則移除該變數不會改變其他變數的估計係數。」的真偽。

此敘述為 錯誤。
原因：在多元迴歸中，OLS (Ordinary Least Squares) 估計式的係數是同時考慮所有解釋變數的。即使某個變數的係數不顯著，它仍然可能與模型中的其他解釋變數存在相關性（即存在多重共線性）。當我們移除一個解釋變數時，模型中的其他解釋變數的「淨效應」（即在控制了其他變數後，該變數對應變數的影響）可能會改變。這是因為被移除的變數可能在原本的迴歸中與其他變數共同解釋了應變數的一部分變異，或者它與其他變數存在共線性，其係數的估計值包含了其他變數的影響。移除一個變數會重新分配模型中變數的影響力，從而改變其他變數的估計係數，即使這些係數在統計上可能仍然不顯著。
一個特例是，如果被移除的變數與所有剩餘解釋變數之間完全不相關（即共變異數為零），那麼移除它不會影響其他變數的係數。但在一般情況下，這種情況很少發生。

b. 判斷敘述「在多元迴歸模型中，嚴重的多重共線性會導致 OLS 估計量產生偏差，並且迴歸的 R² 值較低。」的真偽。

此敘述為 錯誤。
原因：

1. 偏差 (Bias)：嚴重的多重共線性並不會導致 OLS 估計量產生偏差。OLS 估計量在多重共線性存在時，仍然是無偏差且一致的估計量。然而，多重共線性會導致估計量的變異數 (variance) 顯著增大，使得係數的估計值非常不穩定，容易受到樣本變異的影響，標準誤 (standard error) 也會很大，進而導致個別係數的顯著性檢定結果（如 t 檢定）變得不顯著。
2. R² 值較低：嚴重的多重共線性與較低的 R² 值之間沒有必然的因果關係。事實上，即使存在嚴重的多重共線性，模型的整體擬合優度（由 R² 衡量）仍然可以很高。R² 衡量的是模型對應變數總變異的解釋程度，而多重共線性主要影響的是對個別解釋變數係數的精確估計。