111 年 國立臺灣大學地理環資系碩士班丙組《地圖與地理資訊科技》

本題主要在考察台灣地區地理資訊系統中，兩個重要二維座標系統 TWD67 與 TWD97 的基本概念、投影原理、幾何特性及其差異。

核心觀念： 座標系統、投影原理、幾何變形、大地基準。

詳解：

TWD67 (Taiwan Datum 1967) 和 TWD97 (Taiwan Datum 1997) 都是為了適應台灣地區地形特徵而建立的國家座標系統。它們都採用了相同的投影方法，但基於不同的大地基準，這導致了幾何特性上的差異。

1. 共同的投影原理與幾何特性：
   • 投影原理： 兩者都採用 高斯-克呂格 (Gauss-Conformal) 投影法。這是一種橫軸墨卡托投影 (Transverse Mercator Projection) 的變形，將地球橢球體投影到一個圓柱體上，再將圓柱體展開成平面。高斯-克呂格投影的優點是：
     • 保角性 (Conformal)： 在局部範圍內能保持角度不變，因此地圖上的角度與地面上的角度大致相同，有利於方向的判讀。
     • 等比例性 (Equidistant)： 在中央經線 (Central Meridian) 上，比例尺不變。
     • 等積性 (Equivalent)： 面積的變形較小，但不是嚴格等積。
     • 分帶投影 (Zone Projection)： 為了減小變形，將投影區域劃分為若干個投影帶 (Projection Zones)。台灣地區通常使用 3 度或 6 度帶。
   • 幾何特性：
     • 平面直角座標系統： 投影後轉換為平面直角座標系統 (x, y)。
     • 中央經線 (Central Meridian)： 每個投影帶都有一個中央經線，在此經線上地圖比例尺失真最小。
     • 偽基準點 (False Origin)： 為了避免出現負座標，通常會設定一個偽基準點，將中央經線的 x 座標設為一個固定值（例如 250,000 公尺），並將赤道的 y 座標向南移動一個固定值。

本題在考察數值地形資料 (Digital Terrain Data) 的兩種主要類型：DEM 和 DSM，要求說明其定義、差異，以及各自的應用。

核心觀念： 數值地形模型 (DTM)、數值高程模型 (DEM)、數值表面模型 (DSM)、遙感影像、雷射掃描。

詳解：

數值地形資料是利用各種測繪技術（如航空攝影、雷射掃描 LiDAR、雷達 SAR 等）獲取的地表高程資訊，並以規則網格 (raster) 或不規則三角網 (TIN) 的形式儲存。DEM 和 DSM 是其中最常見的兩種 raster 格式模型。

1. Digital Elevation Model (DEM) - 數值高程模型：

   • 內涵： DEM 代表的是 裸露地表 (bare earth) 的高程。它反映的是沒有任何地物（如建築物、樹木、植被等）覆蓋的真實地形表面。
   • 獲取方式： 通常透過 LiDAR 掃描時，移除植被和建築物的點位資訊後，再插值生成；或是透過傳統的三角測量、航空攝影測量，經過嚴格的地面點提取和地形模型建立過程。
   • 差別： DEM 不包含地表上物體的影響。

2. Digital Surface Model (DSM) - 數值表面模型：

   • 內涵： DSM 代表的是 地表上所有物體頂部 的高程。它反映的是從感測器（如飛機上的攝影機或 LiDAR）觀測到的「第一表面」的高度，包含了建築物、樹冠、橋樑等所有地物的高度。
   • 獲取方式： 直接由 LiDAR 掃描（不進行地面過濾）、雷達數據（如 SRTM）、航空攝影測量（立體像對）等直接生成。
   • 差別： DSM 包含了地表上物體的高度資訊，因此其表面高程通常會高於 DEM。

本題主要考察空間統計學中，特別是基於點模式分析時，為何以及如何進行邊緣校正 (Edge Correction)。

核心觀念： 空間點模式分析、邊緣效應、觀察範圍、期望值、邊緣校正方法。

詳解：

空間點模式分析（如計算點的密度、分析點與點之間的距離、計算 K 函數等）經常會遇到「邊緣效應」(Edge Effect) 的問題，這會導致對靠近研究區域邊界的點的觀察值產生偏差。邊緣校正的目的是修正這種偏差，使統計結果更準確。

1. (1) 在何種情況下，需進行該處理程序？ (5分)
   邊緣校正在以下情況下是必需的：

   • 當分析的空間範圍（研究區域）有限，且觀察到的點（事件）分布不均勻時。
   • 當點的密度或點與點之間的距離統計量，會受到研究區域邊界影響時。
   • 特別是當我們計算非均勻泊松過程 (Non-homogeneous Poisson Process) 或完全空間隔離 (Complete Spatial Randomness, CSR) 假設下的統計量時。
   • 舉例來說：
     • 計算點密度： 在研究區域邊界附近的點，其周圍的觀察範圍（半徑為 r 的圓）有一部分落在了研究區域之外。這意味著我們低估了該點的實際影響範圍，導致計算出的密度可能偏低。
     • 計算 K 函數 (K-function)： K 函數計算的是在距離 d 內的點數期望值。對於靠近邊界的點，其周圍半徑為 d 的圓，有部分落於研究區外，這會使得計算出的「距離 d 內的點數」比實際情況少，從而影響 K 函數的準確性。

   簡而言之，當我們對研究區域內的所有點進行統計分析，而這些點的「觀察窗口」（例如，計算密度時的圓、計算 K 函數時的圓）會因為研究區域邊界而「被切斷」時，就需要邊緣校正。

2. (2) 提出處理該程序的常見方法，至少舉出兩種方法。(10分)
   常見的邊緣校正方法主要有以下幾種：

   • 方法一：加權法 (Weighting Method) / 比例法 (Proportional Method)

     • 原理： 對於落在研究區域邊界附近的點，我們不直接計算其全部的觀察範圍，而是根據其觀察窗口（例如半徑為 r 的圓）落在研究區域內的比例來進行加權。
     • 步驟：
       1. 確定觀察窗口的大小（例如，對於 K 函數，是半徑為 r 的圓；對於密度估計，也是一個半徑為 r 的圓或核函數的影響範圍）。
       2. 對於每一個點，計算其觀察窗口與研究區域的交集面積 (Area_intersect)。
       3. 計算觀察窗口總面積 (Area_total)。
       4. 該點的權重 (Weight) 為 Area_intersect / Area_total。
       5. 在進行統計計算時，將該點的貢獻乘以其權重。例如，在計算 K 函數時，若某點計算出在半徑 r 內有 k 個點，則其貢獻為 k * Weight。
     • 優點： 直觀且相對容易實現。
     • 缺點： 在研究區域邊界處，權重會非常小，可能導致統計結果的變異性較大。

   • 方法二：模擬法 (Simulation Method) / 蒙地卡羅法 (Monte Carlo Method)

本題考察對空間點模式分析中，核密度估計 (Kernel Density Estimation, KDE) 和 K 函數 (K-function) 的理解，以及如何根據 KDE 的空間分布特徵來判斷對應的 K 函數圖。

核心觀念： 空間點模式分析、核密度估計 (KDE)、K 函數、空間聚集性、空間分散性、空間隔離性、完全空間隔離 (CSR)。

詳解：

空間點模式分析中的 K 函數是 Ripley's K-function，它描述了在距離 $d$ 範圍內，平均有多少個點存在。其定義為：
$K(d) = \lambda^{-1} E[\text{Number of points within distance } d \text{ of a randomly chosen point}]$
其中 $\lambda$ 是點的平均密度。
如果點模式是完全空間隔離 (CSR)，則 $K(d) = \pi d^2$。

• 如果 $K(d) > \pi d^2$，表示點模式有 聚集性 (clustering)。
• 如果 $K(d) < \pi d^2$，表示點模式有 分散性 (dispersion) 或 空間隔離性 (inhibition/regularity)。

核密度估計 (KDE) 則是用來視覺化點模式的空間密度分布。高密度區域表示該處的點比較聚集，低密度區域表示點比較分散。

我們需要根據圖 1 中三種物種 (A, B, C) 的 KDE 分布特徵，來判斷它們分別對應圖 2 中的哪一種 K 函數圖 (Type A, Type B, Type C)。

分析圖 1 (KDE 分布)：

• 物種 A： 顯示出非常明顯的 聚集性。在某些區域（如圖中深色區域）點非常密集，形成明顯的「熱點」。整體空間分布是不均勻的，呈現高度聚集的特徵。
• 物種 B： 顯示出相對 均勻 的分布。雖然有一些局部密度變化，但沒有形成非常強烈的聚集熱點。整體上，點的分布相對分散，但也不是完全規則的。可能接近 CSR，或者有輕微的聚集或分散。
• 物種 C： 顯示出明顯的 空間隔離性 (inhibition/regularity)。在圖中，沒有明顯的聚集區域，反而點與點之間似乎保持一定的距離。高密度區域非常少，低密度區域較多。這種分布模式暗示物種之間可能存在競爭或排斥，導致它們不會過於靠近。

分析圖 2 (K 函數圖)：

圖 2 顯示了三種物種的 K 函數圖，並繪製了信賴包絡區間 (confidence envelopes)，通常是以 CSR 為基準的。CSR 的理論 K 函數是 $\pi d^2$（在此圖中，這條理論線沒有直接畫出，但信賴區間是圍繞著 CSR 的）。

• Type A (K 函數圖)：
  • 在小距離 $r$ 時，K 函數值 遠高於 理論值（CSR）。這表示在近距離內，點與點之間的距離比隨機分布要近，即存在 聚集性。
  • 隨著距離 $r$ 增加，K 函數值雖然緩慢下降，但仍然顯著高於 CSR 的理論值。

核心觀念

本題考查以蒙地卡羅模擬檢定空間自相關 Moran’s I 是否顯著，核心是比較：

• 實際觀察到的空間配置，其 Moran’s I；
• 在「空間上沒有自相關」的虛無假設下，隨機打亂人口密度位置後可能得到的 Moran’s I 分布。

若實際 Moran’s I 位於隨機分布的極端區域，表示鄉鎮人口密度的空間聚集或離散程度，不太可能只是隨機造成，因而判定具有統計顯著性。

設台灣共有 $n$ 個鄉鎮，第 $i$ 個鄉鎮的人口密度為 $x_i$，平均人口密度為：

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

令空間權重矩陣為 $w_{ij}$：

• 若鄉鎮 $i$ 與鄉鎮 $j$ 相鄰，可令 $w_{ij}=1$；
• 不相鄰則令 $w_{ij}=0$；
• 也可依距離設定權重；
• 通常不考慮自身與自身的關係，因此 $w_{ii}=0$。

Moran’s I 的公式為：

$$I_{\text{obs}} = \frac{n}{W} \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} w_{ij}(x_i-\bar{x})(x_j-\bar{x})} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$

其中：

$$W=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{ij}$$

在隨機化假設下，Moran’s I 的期望值通常為：

$$E(I)=-\frac{1}{n-1}$$

因此，$I$ 大於其隨機期望值通常表示正空間自相關；$I$ 小於其隨機期望值通常表示負空間自相關。

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解題方法

一、建立空間資料與空間權重

首先取得台灣各鄉鎮的：

1. 鄉鎮空間單元；
2. 各鄉鎮人口數；
3. 各鄉鎮面積。

計算人口密度：

$$x_i=\frac{\text{鄉鎮 }i\text{ 的人口數}} {\text{鄉鎮 }i\text{ 的面積}}$$

接著建立空間權重矩陣 $W=[w_{ij}]$。例如採用鄰接權重：

$$w_{ij}= \begin{cases} 1, & \text{若鄉鎮 }i\text{ 與鄉鎮 }j\text{ 相鄰}\\ 0, & \text{其他情況} \end{cases}$$

實務上常將權重列標準化，使每一列的權重總和為 $1$：

$$w_{ij}^{*}=\frac{w_{ij}}{\sum_j w_{ij}}$$

但計算蒙地卡羅檢定時，實際觀察值與各次模擬必須使用相同的權重定義。

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二、計算實際觀察值 $I_{\text{obs}}$

先將人口密度中心化：

$$z_i=x_i-\bar{x}$$

再代入 Moran’s I：

$$I_{\text{obs}} = \frac{n}{W} \frac{\displaystyle\sum_i\sum_jw_{ij}z_iz_j} {\displaystyle\sum_i z_i^2}$$

其空間意義如下：

• 高人口密度鄉鎮與高人口密度鄉鎮相鄰，且低人口密度鄉鎮與低人口密度鄉鎮相鄰：$I$ 偏高，代表正空間自相關；
• 高人口密度鄉鎮鄰接低人口密度鄉鎮：$I$ 偏低，代表負空間自相關；
• 空間配置接近隨機：$I$ 接近隨機化假設下的期望值 $-1/(n-1)$。

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三、設定虛無假設與對立假設

虛無假設 $H_0$

人口密度值在各鄉鎮間的空間配置是隨機的，鄉鎮之間不存在空間自相關。

在此假設下，人口密度數值可以在固定的鄉鎮位置間任意排列，而空間權重矩陣與鄉鎮位置保持不變。

對立假設 $H_1$

人口密度的空間配置並非隨機，鄉鎮間存在空間自相關。

若採雙尾檢定，對立假設表示：

$$I\text{ 顯著高於或顯著低於隨機化期望值}$$

若研究問題特別關心人口密度的聚集，可採右尾檢定：

$$H_1:I\text{ 顯著偏高}$$

若關心高、低人口密度交錯的空間離散，則可採左尾檢定：

$$H_1:I\text{ 顯著偏低}$$

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四、進行蒙地卡羅置換模擬

固定：

• 鄉鎮的空間位置；
• 空間權重矩陣 $W$；
• 人口密度觀測值本身。

只隨機打亂人口密度與鄉鎮位置的配對關係。

具體程序如下：

1. 使用原始人口密度資料計算 $I_{\text{obs}}$。

2. 將 $n$ 個鄉鎮的人口密度值隨機排列，得到第一組隨機資料：

   $$x_1^{(1)},x_2^{(1)},\ldots,x_n^{(1)}$$

3. 在相同的空間權重矩陣下，計算此次置換的 Moran’s I：

   $$I^{(1)} = \frac{n}{W} \frac{\displaystyle\sum_i\sum_jw_{ij} \left(x_i^{(1)}-\bar{x}\right) \left(x_j^{(1)}-\bar{x}\right)} {\displaystyle\sum_i \left(x_i^{(1)}-\bar{x}\right)^2}$$

4. 重複隨機排列與計算 $B$ 次，例如 $B=999$ 或 $B=9,999$，取得：

本題考察對主題地圖 (Thematic Maps) 中三種基本圖形符號的理解與應用，包括點子圖 (Dot Map)、面量圖 (Choropleth Map) 和分級符號圖 (Graduated Symbol Map)，要求說明其特色、適用時機，並舉例。

核心觀念： 主題地圖、圖形符號、點子圖、面量圖、分級符號圖、資料類型、空間分布。

詳解：

主題地圖是為了呈現特定主題的地理資訊而繪製的地圖。點子圖、面量圖和分級符號圖是三種最基礎且常見的圖形符號類型，用於表示空間分布的數據。

1. 點子圖 (Dot Map)

   • 特色：
     • 使用代表特定數量的「點」來表示空間分布的現象。
     • 每個點代表一個固定數量的實體（例如，每 100 人為一個點，或每 10 頭牛為一個點）。
     • 點的放置可以基於實體的實際位置（真實點子圖），或者根據行政區劃單元（例如，在鄉鎮區域內隨機或按密度放置點）。
     • 適合展示 數量分布 和 空間聚集性。
     • 可以直觀地看出哪些區域的數量較多，哪些區域較少。
   • 適用時機與範例：
     • 適用時機： 當需要展示一個離散、可計數的實體在空間上的分布狀況，特別是當實體數量龐大，難以逐一標示時。適合展示人口、動植物數量、農作物種植面積、疾病病例等。
     • 範例：
       • 主題： 台灣地區 2022 年的鄉鎮層級人口密度。
       • 說明： 假設我們有各鄉鎮的人口數。我們可以設定一個「點代表 1000 人」。然後，在每個鄉鎮的地理範圍內，根據其人口數，隨機或按密度分布點。這樣，人口多的鄉鎮會出現密集的點群，人口少的鄉鎮則點數稀少。這能直觀地顯示人口的空間聚集區域。
       • 另一範例： 台灣地區的癌症病例分布。每個點代表一個病例，可以顯示病例集中的區域（潛在的熱點）。

2. 面量圖 (Choropleth Map)

   • 特色：
     • 使用 顏色深淺 或 圖案填充 來表示 分級數據 在預定義的空間單元（通常是行政區劃，如鄉鎮、縣市）內的數值。
     • 每個空間單元被賦予一個顏色或圖案，代表該單元內該屬性的數值範圍。
     • 數據必須是 比例性 的（例如，人口密度、人均 GDP、犯罪率），或者可以被標準化為比例性（例如，將總人口數轉換為人口密度）。
     • 適合展示 區域性差異 和 空間趨勢。
     • 缺點： 容易產生「聚合錯誤」(aggregation error)，即在單一行政區內，數據可能非常不均勻，但地圖上卻顯示為單一顏色。同時，面積較大的區域會顯得更突出，即使其數值不高。
   • 適用時機與範例：
     • 適用時機： 當需要展示某個數值屬性在不同區域（通常是行政區）之間的比較時。適合展示人口密度、平均收入、選舉投票比例、土地利用類型比例等。
     • 範例：
       • 主題： 台灣各縣市的平均每戶所得。