112 年 國立臺灣大學地理環資系碩士班丙組《地圖與地理資訊科技》

本題主要在於理解地球的兩種基本幾何模型：大地水準面與橢球體，以及它們在地理學上的意義。

（1）大地水準面 (Geoid)：
大地水準面是指一個與平均海平面重合，且不受潮汐、洋流等影響的重力位勢面。它是一個不規則的、與地球形狀相似的表面，代表著地球的真實形狀。簡單來說，如果地球被平均海水淹沒，那麼海水自由表面的延伸，就是大地水準面。它在測量學中非常重要，因為高程（海拔）通常是相對於大地水準面來定義的。

繪圖示意：可以畫一個略微不規則的橢球體，然後在其外部或內部畫一個大致光滑但有起伏的曲線來代表大地水準面。

（2）橢球體 (Ellipsoid)：
橢球體是為了方便數學計算和建立地理座標系統而建立的地球簡化模型。它是一個以地球質心為中心，繞著短軸（赤道軸）旋轉而成的扁球體。

本題考查地圖投影中，用來衡量投影變形的重要工具——Tissot's Indicatrix（底線指示線，又稱蒂索指標）。

意義：
Tissot's Indicatrix 是在地圖投影上，於某一點上，假設繪製一個以該點為中心、半徑極小的圓。當這個圓被投影到平面地圖上時，它會變形為一個橢圓。這個橢圓的大小和形狀，就代表了該點的面積和角度變形程度。

繪圖說明：

1. 繪製圓： 在地球的球面上，於某一點 P，繪製一個非常小的圓。
2. 投影變形： 將這個圓投影到平面地圖上。
3. 橢圓形成： 投影後的圓會變形成一個橢圓。
4. 分析橢圓：
   • 橢圓的形狀： 如果橢圓是正圓，表示該點沒有角度變形，且面積變形程度一致（但面積仍可能變大或縮小）。如果橢圓是狹長的，表示該點的角度變形很大。

本題考查地理資訊系統中常用的空間分析方法——內插法。

意義：
內插 (Interpolation) 是一種根據已知地點的離散數據點，來估計未知地點數值的方法。它假設空間上相鄰的點其數值是相似的，因此可以透過已知點的數值來推算其周圍未知的點的數值。簡單來說，就是「填補」已知點之間的空白。

使用時機：
內插法主要用於以下情況：

1. 建立連續性表面： 當我們擁有一系列離散的點狀數據（如氣象站測得的溫度、海拔測量點、土壤鹽度測點等），但需要將這些數據轉換成連續性的空間表面（如等高線圖、等溫線圖、DEM - 數值高程模型）時，就需要使用內插法來估計網格點或等值線上的數值。

本題涉及地圖學中的「地圖簡化」概念，特別是「方根定律」(Radical Law)的應用。

意義：
方根定律 (Radical Law)，在 cartographic generalization (地圖簡化) 的脈絡下，通常指的是一種經驗法則，用來決定當地圖比例尺縮小後，地物（例如點、線、面）的尺寸或間距應如何調整。最常見的應用是關於 符號大小的縮放。

簡單來說，當地圖比例尺縮小 N 倍時，如果希望地物在圖上的 面積 保持相對比例，則其 線性的尺寸（如半徑或邊長）應該縮小 $\sqrt{N}$ 倍。反之，如果希望地物的 線性尺寸 保持不變（例如為了在小比例尺地圖上仍能清楚辨識），則其 面積 將會縮小 N 倍。

在地圖簡化工作上的應用：
在地圖簡化 (Cartographic Generalization) 的過程中，當縮小比例尺時，需要對地圖上的符號、線條、文字等進行調整，以避免圖面過於擁擠或符號過於龐大而失真。方根定律在此有幾個應用：

1. 符號大小的調整 (Symbol Size Adjustment)：
   • 情境： 假設一個城市在地圖上以一個半徑為 $r_1$ 的圓表示，代表人口數 $P_1$。當比例尺縮小 N 倍，而我們希望地圖上表示的人口數 $P_2$ (例如 $P_2 = N \times P_1$) 的符號面積與之相對應時，新的符號半徑 $r_2$ 應該如何計算？

本題考查分級符號圖 (Graduated Symbols Map) 的設計原則，特別是「比例面積法」(Proportional Area) 和「心理量度法」(Perceived Area / Magnitude)。

核心觀念：

• 比例面積法 (Proportional Area)： 符號的 面積 與其所代表的數值（如人口）成正比。
• 心理量度法 (Perceived Area / Magnitude)： 人們對符號大小的主觀感知，通常認為面積較大的符號，其線性尺寸（如半徑）的增加幅度，比實際數值增加的幅度更快。也就是說，人們對面積的感知並非完全線性的。

題目分析：
已知條件：

• 代表 5 萬人口的圓，半徑 $r_1 = 0.5$ cm。
• 需要表示 20 萬人口。
• 比例尺縮小 N 倍（此處未給定，但題目要求的是相對比例，故不需實際比例尺）。

解題步驟：

A. 比例面積法 (Proportional Area)：
在比例面積法中，符號的面積 $A$ 與數值 $P$ 成正比：$A \propto P$。
圓的面積公式為 $A = \pi r^2$。
所以，$\pi r^2 \propto P$，即 $r^2 \propto P$，或 $r \propto \sqrt{P}$。

1. 計算 5 萬人口的面積：
   $A_1 = \pi (0.5 \text{ cm})^2 = 0.25\pi \text{ cm}^2$。
   這代表 5 萬人口。

2. 計算 20 萬人口所需的面積：
   20 萬人口是 5 萬人口的 4 倍 ($20 / 5 = 4$)。
   根據比例面積法，$P_2 = 4 \times P_1$。
   則 $A_2$ 應為 $A_1$ 的 4 倍：$A_2 = 4 \times A_1 = 4 \times 0.25\pi \text{ cm}^2 = \pi \text{ cm}^2$。

3. 計算 20 萬人口對應的半徑 $r_2$：
   $A_2 = \pi r_2^2$
   $\pi \text{ cm}^2 = \pi r_2^2$
   $r_2^2 = 1 \text{ cm}^2$
   $r_2 = \sqrt{1} \text{ cm} = 1.0 \text{ cm}$。

   另一種計算方式 (利用比例關係)：
   $r \propto \sqrt{P}$
   $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$
   $\frac{r_2}{0.5 \text{ cm}} = \sqrt{\frac{20 \text{ 萬}}{5 \text{ 萬}}} = \sqrt{4} = 2$
   $r_2 = 2 \times 0.5 \text{ cm} = 1.0 \text{ cm}$。

本題考查空間統計學中的「中心趨勢」概念，並將其應用於實際的地理決策問題。

核心觀念：
在空間分析中，有幾種不同的中心趨勢測量方法，各自適用於不同的情境：

1. 幾何中點 (Centroid)： 計算所有點的平均 x 座標和平均 y 座標。最簡單，但對離群點敏感。
2. 中位數中心 (Centroid of Medians / Median Center)： 尋找一個點，使得該點到所有其他點的總距離最小。對離群點不敏感，是較穩健的中心點。
3. 平均中心 (Mean Center)： 計算所有點的平均 x 和平均 y 座標。類似幾何中點，但通常指加權平均中心。
4. 標準差橢圓 (Standard Deviation Ellipse)： 描述數據的分佈中心、離散程度和方向性。

題目情境分析：

• 目標： 尋找一個據點位置，使其對 所有高齡者 的「地理可近性」最方便。
• 「地理可近性最方便」的定義： 這通常意味著據點到所有高齡者居住點的 總距離 或 總移動成本 最小。
• 地勢平坦： 表示距離的計算可以近似為歐幾里得距離，無需考慮坡度等複雜地形因素。
• 高齡者： 這意味著我們需要考慮的是 所有 高齡者的位置，並且可能需要考慮到他們行動上的限制（儘管題目未明確要求加權，但「最方便」暗示了盡量減少總移動量）。

建議的中心趨勢觀念：
最適合此情境的中心趨勢觀念是 中位數中心 (Centroid of Medians / Median Center)，也稱為 最小總距離中心。

本題考查數值高程模型 (DEM) 的基本概念，特別是「空間解析度」(Spatial Resolution)。

核心觀念：
空間解析度是指地理空間數據的最小單元所代表的實際地理範圍。對於 raster（網格）數據，如 DEM，空間解析度通常指每個網格單元 (cell) 的邊長。

題目分析：

• DEM 檔案提供 X 座標、Y 座標和高程。
• 檔案截圖顯示的數據（例如：316360, 2768480, 350.52；316380, 2768480, 352.59）。
• 我們需要從這些座標數據中推斷出網格的大小。

解題步驟：

1. 觀察座標數據的規律性：

   • 第一行：X=316360, Y=2768480
   • 第二行：X=316380, Y=2768480
   • 第三行：X=316400, Y=2768480

   比較第一行和第二行：
   X 座標從 316360 變為 316380，增加了 20。
   Y 座標保持不變 (2768480)。
   這表示沿著 X 方向（東向）移動時，網格的間隔是 20。

   比較第二行和第三行：
   X 座標從 316380 變為 316400，增加了 20。
   Y 座標保持不變 (2768480)。
   這也顯示 X 方向的間隔是 20。

   現在觀察 Y 方向的變化：
   我們看到第一、二、三行 Y 座標都是 2768480。
   接著看第四行：X=316620, Y=2768500。
   第五行：X=316640, Y=2768500。
   第六行：X=316660, Y=2768500。

   這組數據是以 X 座標為主要排序，當 X 座標達到一定範圍後，Y 座標才開始變化。
   我們需要找到 Y 座標連續變化的兩個點。
   從數據看起來，每一列（X 座標相同）只有一個 Y 座標值。
   我們需要看 不同列 的 Y 座標變化，以及 不同列 的 X 座標變化。

   觀察數據結構：
   X 座標：316360, 316380, 316400, ... (間隔 20)
   Y 座標：2768480, 2768500, ...

本題考查地理資訊系統 (GIS) 中，如何計算 DEM (數值高程模型) 每個網格單元 (cell) 的坡度 (slope)。

核心觀念：
DEM 數據提供了每個網格點的高程值。坡度是地表傾斜的程度，通常以角度（度）或百分比 (%) 表示。GIS 軟體計算坡度，是基於每個網格點及其周圍鄰近網格點的高程差來進行的。

計算方法：
GIS 軟體通常採用以下步驟來計算 DEM 每個網格的坡度：

1. 鄰域分析 (Neighborhood Analysis)：
   對於 DEM 中的每一個網格單元，GIS 會考慮其周圍的一個鄰域。最常見的是使用一個 3x3 的網格窗口（即中心網格及其 8 個鄰近網格）。

2. 高程差計算 (Elevation Difference)：
   軟體會計算中心網格與其鄰近網格之間的高程差。有不同的方法來計算這個高程差，常見的有：

   • 最大傾斜法 (Maximum-slope method)： 考慮中心點與其 8 個鄰居之間可能形成的最大傾斜方向和坡度。
   • 有限差分法 (Finite Difference Method)： 利用中心點周圍網格的高程，透過數值微分的方法來估計坡度。這通常涉及到對中心點的 X 和 Y 方向上的高程變化率（梯度）進行計算。

3. 坡度計算 (Slope Calculation)：
   一旦計算出 X 和 Y 方向上的高程變化率 (dz/dx 和 dz/dy)，就可以使用以下公式計算坡度 (S) 和坡向 (Aspect)：

本題考查 TWD97-TM2 座標系統的原點位置。

核心觀念：
TWD97 (Taiwan Datum 1997) 是一個基於 GPS 的大地測量基準，並採用 UTM (Universal Transverse Mercator) 投影方法。TM2 代表的是 Transverse Mercator projection，第二帶 (Zone 2)。

TWD97-TM2 座標系統的特性：

• 投影方法： 橫麥卡托投影 (Transverse Mercator)。
• 分帶： 台灣地區分為三個 UTM 帶：TM1 (Zone 1), TM2 (Zone 2), TM3 (Zone 3)。
• 座標單位： 公尺 (meters)。
• 原點 (Origin)： 每個 UTM 帶都有一個定義好的投影原點，其目的是為了避免在投影後的平面座標中出現負值。

本題考查 TWD97-TM2 座標系統中 "TM2" 的含義。

核心觀念：
TWD97 (Taiwan Datum 1997) 是一個用於台灣地區的地理測量基準，它採用了 橫麥卡托投影 (Transverse Mercator projection, TM)。而 "TM2" 指的是這個投影系統的 第二個分帶 (Zone 2)。

TM (Transverse Mercator) 投影：
橫麥卡托投影是麥卡托投影的一種變體，它將圓柱體與地球表面相切，而不是與赤道相切。投影的中心是一條經線（稱為中央經線），該經線上的變形最小。

分帶 (Zoning)：
由於地球的經度範圍很大，為了在局部區域內盡可能地減少變形，UTM (Universal Transverse Mercator) 投影將全球劃分為 60 個帶，每個帶的寬度為 6° 經度。

核心觀念

Getis-Ord $G_i^*$ 用來判斷某一空間單元周圍是否形成高值或低值群聚。其標準化統計量為：

$$G_i^* = \frac{ \sum_{j=1}^{N} w_{ij}x_j-\bar{x}\sum_{j=1}^{N}w_{ij} }{ S\sqrt{ \frac{ N\sum_{j=1}^{N}w_{ij}^{2} -\left(\sum_{j=1}^{N}w_{ij}\right)^2 }{ N-1 } } }$$

其中：

• $x_j$：第 $j$ 個區塊的交通事故數；
• $\bar{x}=3.75$：全區平均數；
• $S=1.56$：母體標準差；
• $w_{ij}$：空間鄰近權重；
• $N=16$：共有 $4\times4=16$ 個區塊。

本題採用 Queen 鄰近定義，因此黑色區塊的上下、左右及對角線方向區塊皆視為鄰居，但不包含本身，故 $w_{ii}=0$。

解題方法

黑色區塊位於第 2 列第 3 欄，其事故數為 $3$。

依 Queen 鄰近定義，黑色區塊的 8 個鄰居及事故數為：

$$\begin{matrix} 4 & 6 & 1\\ 6 & \boxed{3} & 5\\ 5 & 4 & 2 \end{matrix}$$

因此：

$$\sum_j w_{ij}x_j = 4+6+1+6+5+5+4+2 = 33$$

因為採用二元鄰近矩陣，8 個鄰居的權重均為 $1$：

$$\sum_j w_{ij}=8$$

且：

$$\sum_j w_{ij}^{2} = 8(1^2)=8$$

核心觀念

本題考查以 Local Moran’s I 偵測某一空間單元是否與鄰近單元形成局部群聚。計算時須掌握三項定義：

1. Rook 鄰近定義：只有共用邊界的空間單元互為鄰居；僅共用頂點者不算鄰居。
2. 列標準化矩陣：第 $i$ 列所有鄰居權重總和為 $1$。若單元 $i$ 有 $k_i$ 個 Rook 鄰居，則每個鄰居的權重為 $1/k_i$。
3. Local Moran’s I：

$$I_i=\frac{x_i-\bar{x}}{m_2} \sum_{j=1}^{N}w_{ij}(x_j-\bar{x})$$

其中：

$$m_2=\frac{1}{N-1}\sum_{j=1}^{N}(x_j-\bar{x})^2$$

$x_i$ 為目標單元的數值，$\bar{x}$ 為所有空間單元平均值，$w_{ij}$ 為空間權重。

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解題方法

題目附圖未包含於文字資料中，因此缺少各區塊的數值、黑色區塊位置及完整鄰接關係。以下依題意，以黑色區塊記為第 $b$ 個單元，寫出完整定案公式；代入原圖數值即可得到數值答案。

第一步：計算全體平均值

若共有 $N$ 個區塊，各區塊數值為 $x_1,x_2,\ldots,x_N$，則：

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}$$

黑色區塊的離均差為：

$$d_b=x_b-\bar{x}$$

各鄰居 $j$ 的離均差為：

$$d_j=x_j-\bar{x}$$

第二步：依 Rook 定義判定黑色區塊的鄰居

只保留與黑色區塊共用上、下、左、右邊界的區塊。若黑色區塊有 $k_b$ 個鄰居，則列標準化後：

$$w_{bj}= \begin{cases} \frac{1}{k_b}, & j\text{ 為黑色區塊的 Rook 鄰居}\\ 0, & \text{其他單元} \end{cases}$$

因此：

$$\sum_{j=1}^{N}w_{bj}(x_j-\bar{x}) = \frac{1}{k_b} \sum_{j\in N_b}(x_j-\bar{x})$$

其中 $N_b$ 表示黑色區塊的 Rook 鄰居集合。

第三步：計算 $m_2$

將所有區塊與平均值的差平方後加總：

$$m_2= \frac{ (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_N-\bar{x})^2 }{N-1}$$