112 年 國立臺灣大學材料科學與工程學系國際應用材料工程碩士班《材料工程學》

此題為判斷題，考察材料科學基礎知識，涵蓋化學鍵、力學性質、晶體學、缺陷、相律、擴散以及合金設計等概念。

(1) False。金屬間化合物（Intermetallic compound）通常由金屬元素與金屬或非金屬元素形成，其鍵結方式主要是金屬鍵，也可能包含部分共價鍵或離子鍵的特性，但「離子鍵」並非其主要或唯一的形成機制。離子鍵主要存在於金屬與非金屬之間。

(2) True。楊氏模數（Young's modulus, $E$）是材料抵抗拉伸或壓縮變形能力的量度，它與原子間的鍵結強度密切相關。鍵結越強，原子間的距離越難被拉開或壓縮，因此需要更大的應力來產生相同的應變，導致較高的楊氏模數。

(3) False。晶系（Crystal system）的分類是基於晶格參數和軸角。六方晶系（Hexagonal crystal system）屬於六方晶族（Hexagonal crystal family）。而三斜晶系（Triclinic crystal system）則屬於三斜晶族（Triclinic crystal family），其軸長和軸角均不相等，且互成任意角度。六方晶系和三斜晶系是不同的晶系。

(4) False。對於刃位錯（edge dislocation），其線向量（line vector）沿著位錯線的方向，而柏氏向量（Burgers vector）代表了晶格的錯動量，其方向與位錯線垂直。滑動位錯（screw dislocation）的柏氏向量則平行於其線向量。

(5) False。異相晶界（hetero-phase boundary）是指不同相（phase）之間的界面。

核心觀念

本題考查本質半導體的電導率與本質載子濃度之關係。

半導體的電導率為

$$\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)$$

其中：

• $q$：基本電荷量，$q=1.602\times10^{-19}\ \text{C}$
• $n$：電子濃度
• $p$：電洞濃度
• $\mu_n$：電子遷移率
• $\mu_p$：電洞遷移率

對本質半導體而言，

$$n=p=n_i$$

因此電導率可改寫為

$$\sigma=q n_i(\mu_n+\mu_p)$$

又因為電阻率 $\rho$ 與電導率互為倒數，

$$\sigma=\frac{1}{\rho}$$

所以本質載子濃度為

$$n_i=\frac{1}{q\rho(\mu_n+\mu_p)}$$

解題方法

題目給定：

$$\rho=47\ \Omega\cdot\text{cm}$$ $$\mu_n=3900\ \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$ $$\mu_p=1900\ \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$

先計算電子與電洞遷移率總和：

$$\mu_n+\mu_p=3900+1900=5800\ \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$

Fick's second law 描述了物質的擴散隨時間變化的過程，它是一個偏微分方程，是擴散過程的基本定律之一。該定律是基於質量守恆原理推導出來的。

描述 (Description):
Fick's second law 指出，在一個給定的區域內，物質的濃度隨時間的變化率等於該區域內物質的淨擴散通量（flux）的散度（divergence）。換句話說，濃度增加的區域必然有淨的物質流入，而濃度減少的區域必然有淨的物質流出。

數學方程式 (Equation):
在一個維度（例如 $x$ 方向）的情況下，Fick's second law 的數學表達式為：
$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$
其中：
$C(x, t)$ 是在位置 $x$ 和時間 $t$ 的物質濃度。
$t$ 是時間。
$x$ 是位置。
$D$ 是擴散係數（diffusion coefficient），它是一個常數，表示物質擴散的速率。

在三維空間中，Fick's second law 的表達式為：
$\frac{\partial C}{\partial t} = D \left( \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 C}{\partial z^2} \right)$
這也可以用向量形式表示為：

此題考察延性材料（ductile materials）的強化機制。延性材料的強度和韌性是重要的機械性能，強化是通過阻礙位錯運動來實現的。

延性材料的強化機制主要包括以下幾種：

1. 固溶強化 (Solid Solution Strengthening):

   • 原理： 在基體材料中加入少量其他合金元素，這些溶質原子會進入基體晶格的間隙位置（interstitial sites）或取代位置（substitutional sites）。溶質原子通常與基體原子在尺寸、電負度等方面存在差異，這種差異會在晶格中產生局部應變場。這些應變場會與位錯運動時產生的應變場相互作用，阻礙位錯的滑移，從而提高材料的強度。
   • 影響： 尺寸效應越大，固溶強化效果越明顯。

2. 晶粒細化強化 (Grain Boundary Strengthening / Hall-Petch Effect):

   • 原理： 材料的強度與其晶粒尺寸成反比。晶粒邊界（grain boundaries）是位錯運動的障礙，因為位錯在跨越晶粒邊界時需要改變滑移方向，並且晶界本身結構複雜，能量較高。晶粒越細小，單位體積內的晶界總面積就越大，位錯運動受到的阻礙越多，材料的屈服強度就越高。
   • 數學關係 (Hall-Petch 方程): $\sigma_y = \sigma_0 + k_y d^{-1/2}$，其中 $\sigma_y$ 是屈服強度，$\sigma_0$ 是晶界對位錯的阻力，$k_y$ 是材料常數，$d$ 是平均晶粒直徑。

3. 沉澱強化 (Precipitation Strengthening):

   • 原理： 在過飽和固溶體中，通過熱處理（如時效處理）析出細小、彌散的第二相粒子（沉澱物）。

此題要求繪製五種常見聚合物的化學結構，並標示所有元素（C 和 H）。這考察了高分子材料化學結構的基礎知識。

繪製時需注意單鍵 (-), 雙鍵 (=), 碳的四價特性，以及氫的單價特性。

(1) PVC (Polyvinyl Chloride, 聚氯乙烯):
PVC 是由氯乙烯單體聚合而成。單體結構為 CH2=CHCl。
聚合後，雙鍵打開，形成長鏈結構。
化學結構式：

      Cl
      |
-[-CH2-CH-]-

其中，每個重複單元都包含碳、氫和氯原子。

(2) PP (Polypropylene, 聚丙烯):
PP 是由丙烯單體聚合而成。單體結構為 CH2=CH-CH3。
聚合後，雙鍵打開，形成長鏈結構，主鏈為 -CH2-CH(CH3)-。
化學結構式：

      CH3
      |
-[-CH2-CH-]-

其中，重複單元包含碳和氫原子。

(3) PTFE PMMA (Polytetrafluoroethylene / Polymethyl methacrylate):
題目中將 PTFE 和 PMMA 並列，這可能表示需要分別繪製，或者是指兩種不同的聚合物。PTFE (Teflon) 和 PMMA (Plexiglass) 是兩種結構差異很大的聚合物。假設需要分別繪製。

• PTFE (Polytetrafluoroethylene, 聚四氟乙烯):
  PTFE 是由四氟乙烯單體聚合而成。單體結構為 CF2=CF2。
  聚合後，雙鍵打開，形成長鏈結構，主鏈為 -CF2-CF2-。
  化學結構式：

        F   F
        |   |
  -[-C---C-]-
        |   |
        F   F
  

  其中，重複單元包含碳和氟原子。

• PMMA (Polymethyl methacrylate, 聚甲基丙烯酸甲酯):
  PMMA 是由甲基丙烯酸甲酯單體聚合而成。單體結構為 CH2=C(CH3)COOCH3。
  聚合後，雙鍵打開，形成長鏈結構。
  化學結構式：

核心觀念

本題考查二元合金相圖的判讀，包括：

1. 共晶反應（eutectic reaction）：
   $L\rightarrow \alpha+\beta$
   特徵是液相在固定溫度同時轉變成兩種固相，液相線呈現局部最低點。

2. 包晶反應（peritectic reaction）：
   $L+\alpha\rightarrow\beta$

3. 依合金成分畫冷卻路徑，判斷各溫度區間的相組成與顯微組織演變。

4. 使用槓桿定則估算兩相比例：

$$f_{\alpha}=\frac{C_{\beta}-C_0}{C_{\beta}-C_{\alpha}},\qquad f_{\beta}=\frac{C_0-C_{\alpha}}{C_{\beta}-C_{\alpha}}$$

圖中橫軸為 Ti 的原子百分比（at.%）。

---

(1) 共晶點

判斷共晶點的方法是尋找液相線的局部最低點，並確認冷卻時發生「液相同時生成兩種固相」。

共晶點一

由圖左側可讀得：

$L\rightarrow \gamma\text{-Fe}+\mathrm{Fe_2Ti}$

• 共晶溫度：約 $1289^\circ\mathrm{C}$
• 共晶成分：約 $20\sim 22$ at.% Ti

因此第一個共晶點約為：

$\boxed{1289^\circ\mathrm{C},\quad 20\sim22\ \mathrm{at.\%\,Ti}}$

共晶點二

由圖右側可讀得：

$L\rightarrow \mathrm{FeTi}+\beta\text{-Ti}$

• 共晶溫度：約 $1085^\circ\mathrm{C}$
• 共晶成分：約 $70$ at.% Ti

因此第二個共晶點約為：

$\boxed{1085^\circ\mathrm{C},\quad 70\ \mathrm{at.\%\,Ti}}$

容易混淆的反應

圖中 $1317^\circ\mathrm{C}$ 附近不是共晶點，而是包晶反應：

$L+\mathrm{Fe_2Ti}\rightarrow\mathrm{FeTi}$

$595^\circ\mathrm{C}$ 附近則屬於固態轉變，不涉及液相，因此不是共晶反應。

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(2) Ti-40 at.% Fe 合金的冷卻組織演變

題目成分為 Ti-40 at.% Fe，因此換算成圖上的橫軸：

$C_0=40\ \mathrm{at.\%\,Ti}$

冷卻路徑為固定成分 $40$ at.% Ti 的垂直線。

1600°C：單一液相

在 $1600^\circ\mathrm{C}$ 時，合金位於液相區：

$\boxed{L}$

顯微組織為均勻液態熔湯。

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降至液相線以下：約 $1380\sim1400^\circ\mathrm{C}$

垂直線首先穿過液相線，開始析出初晶 $\mathrm{Fe_2Ti}$：

$$L\rightarrow L+\mathrm{Fe_2Ti}$$

顯微組織為：

• 液相基底中出現初生 $\mathrm{Fe_2Ti}$ 晶粒；
• 初晶通常先在過熱液相中形成，並逐漸長大；
• 隨溫度下降，$\mathrm{Fe_2Ti}$ 數量增加，剩餘液相量減少。

示意如下：

液相中：
┌────────────────┐
│  L   ◆   L     │
│      ◆         │
│ L        ◆  L  │
└────────────────┘

◆：初生 Fe2Ti

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$1317^\circ\mathrm{C}$：包晶反應

冷卻至約 $1317^\circ\mathrm{C}$ 時，發生：

$L+\mathrm{Fe_2Ti}\rightarrow\mathrm{FeTi}$

此時的組織演變為：

1. 原先形成的初生 $\mathrm{Fe_2Ti}$ 保留一部分；
2. 剩餘液相與部分 $\mathrm{Fe_2Ti}$ 反應；
3. 在 $\mathrm{Fe_2Ti}$ 周圍形成 $\mathrm{FeTi}$。

因此包晶反應後，主要為：

$\boxed{\mathrm{Fe_2Ti}+\mathrm{FeTi}}$

示意如下：

包晶反應後：

┌────────────────┐
│  AAAAA  B      │
│  A  B   B  A   │
│  AAAAA  B      │
└────────────────┘

A：初生 Fe2Ti
B：包覆或伴生的 FeTi

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1317°C 以下至 300°C

在 $40$ at.% Ti 的成分位置，低於 $1317^\circ\mathrm{C}$ 後位於 $\mathrm{Fe_2Ti}+\mathrm{FeTi}$ 兩相區，持續冷卻不再經過液相共晶反應。

因此 $300^\circ\mathrm{C}$ 的最終平衡組織為：

$\boxed{\mathrm{Fe_2Ti}+\mathrm{FeTi}}$

整體組織可描述為：

• 初生 $\mathrm{Fe_2Ti}$ 顆粒或樹枝狀晶粒；
• $\mathrm{FeTi}$ 分布於初生 $\mathrm{Fe_2Ti}$ 周圍及晶界附近；
• 經充分平衡冷卻後，組織為 $\mathrm{Fe_2Ti}$ 與 $\mathrm{FeTi}$ 的兩相組織。

冷卻路徑總結

$$L \rightarrow L+\mathrm{Fe_2Ti} \rightarrow \mathrm{Fe_2Ti}+\mathrm{FeTi}$$

示意圖：

此題要求繪製兩種晶體結構：四方晶系（tetragonal）和鐵電 HfO$_2$（ ferroelectric HfO$_2$）。這考察了晶體學和鐵電材料的結構知識。

(1) 四方晶系 (Tetragonal Crystal Structure):

四方晶系是七大晶系之一，其特徵是：

• 三個晶軸互相垂直 ($a \perp b \perp c$, $a=b \neq c$)。
• 晶軸 $a$ 和 $b$ 的長度相等，而晶軸 $c$ 的長度不同。
• 三個晶軸之間的夾角為 90 度。

在繪製四方晶系的結構時，通常以一個簡單的四方棱柱為基礎。最簡單的四方晶體結構是簡單四方晶格（Primitive tetragonal, P），其原子只位於晶胞的頂點。但更常見的是體心四方（Body-centered tetragonal, I）或面心四方（Face-centered tetragonal, F）結構。

我們繪製一個簡單的四方晶胞 (Primitive tetragonal, P)：

• 繪製一個棱柱，其底面為正方形，側面為矩形。
• 標示晶軸 $a, b, c$，其中 $a=b \neq c$。
• 在八個頂點處放置原子（通常用球體表示）。
• 標示晶系為「四方晶系 (Tetragonal)」。

繪製示意圖：
想像一個長方體，其中底面是正方形，高度高於或低於邊長。
在每個角點放置一個原子。

       c
      /|
     / |
    +--+  (頂點原子)
   /| /|
  / |/ |
 +--+--+  (底面原子)
 |  |  |
 |  +--+
 | /| /
 |/ |/
 +--+
 a=b

• 原子標示： 這裡我們畫的是簡化的晶胞，原子在頂點。如果原子是不同的元素，需要用不同的顏色或符號。
• 晶體家族 (Crystal Family): 四方晶系屬於四方晶族 (Tetragonal crystal family)。

(2) 鐵電 HfO$_2$ (Ferroelectric Hafnium Oxide):

HfO$_2$（二氧化铪）本身是一種高介電常數材料，在特定條件下可以表現出鐵電性。HfO$_2$ 的鐵電相通常是斜方晶系（orthorhombic）或單斜晶系（monoclinic），但最常見且研究較多的鐵電相是其亞穩態的斜方晶相（space group $Pca2_1$）或單斜相（space group $P2_1/c$）。在這些相中，Hf 和 O 原子會發生微小的位移，導致產生淨的電偶極矩，從而表現出鐵電性。

題目要求繪製「鐵電 HfO$_2$」的晶體結構，這通常指的是其鐵電相，例如斜方晶相。在這種結構中，Hf 原子和 O 原子會偏離對稱位置，形成極化。

此題要求解釋三個在材料科學與技術領域中常見的縮寫。

(1) MOF (Metal-Organic Framework):

• 定義： MOF，金屬-有機骨架，是一種由金屬離子或金屬簇（metal clusters）與有機配體（organic ligands）通過配位鍵自組裝形成的，具有高度規則、週期性孔隙結構的晶體材料。
• 結構特點：
  • 由金屬節點（metal nodes）和有機連接體（organic linkers）構成。
  • 形成三維網絡結構，具有極高的比表面積（通常高達數千 $\text{m}^2/\text{g}$）。
  • 孔隙大小和形狀可以通過選擇不同的金屬離子和有機配體來調控。
• 應用：
  • 氣體儲存與分離（如儲氫、儲甲烷、二氧化碳捕獲）。
  • 催化（作為催化劑載體或本身具有催化活性）。
  • 傳感器。
  • 藥物遞送。
  • 離子交換。

(2) APT (Atom Probe Tomography):

• 定義： APT，原子探針斷層掃描，是一種先進的材料分析技術，能夠以原子級別的分辨率對材料進行三維成像和成分分析。
• 工作原理：
  • 樣品製備成尖銳的針尖狀。
  • 在強電場作用下，樣品表面原子被逐個離子化（場蒸發，field evaporation）。
  • 離子化後的原子以離子束的形式飛向一個位置敏感的探測器（position-sensitive detector, PSD）。
  • 通過測量離子的飛行時間（time-of-flight, TOF）來確定離子的質量-電荷比（進而識別元素），並通過探測器記錄離子到達的位置。
  • 通過逐層蒸發和記錄，重建出材料的三維原子分布圖。
• 特點：
  • 具有極高的空間分辨率（接近原子級別）。
  • 能夠進行三維成分分析，識別同位素。