111 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班丁組《熱力學》

本題考查熱力學第一定律在封閉系統中的應用，以及內能、熱量與功之間的關係。

熱力學第一定律對於一個封閉系統可表示為：
$\Delta E = Q - W$
其中，$\Delta E$ 是系統內能的變化量，$Q$ 是系統吸收的熱量，$W$ 是系統對外做的功。
內能 $E$ 是狀態函數，因此 $\Delta E = E_2 - E_1$。
將此代入熱力學第一定律，可得：
$E_2 - E_1 = Q - W$

我們將逐一計算表格中各個字母的值：

Process A:
已知 $Q_A = +50$, $W_A = -20$, $E_{1A} = +20$。
$\Delta E_A = Q_A - W_A = 50 - (-20) = 70$。
$\Delta E_A = E_{2A} - E_{1A}$
$70 = \alpha - 20$
$\alpha = 70 + 20 = 90$。
$\Delta E_A = \beta$
$\beta = 70$。

Process B:
已知 $W_B = +20$, $E_{2B} = +50$, $\Delta E_B = +30$。
$\Delta E_B = E_{2B} - E_{1B}$
$30 = 50 - E_{1B}$
$E_{1B} = 50 - 30 = 20$。
$\Delta E_B = Q_B - W_B$
$30 = \gamma - 20$
$\gamma = 30 + 20 = 50$。
$\Delta E_B = E_{2B} - E_{1B}$
$30 = 50 - \delta$
$\delta = 50 - 30 = 20$。

Process C:
已知 $Q_C = -25$, $W_C = -80$, $E_{2C} = +160$。
$\Delta E_C = Q_C - W_C = -25 - (-80) = -25 + 80 = 55$。
$\Delta E_C = E_{2C} - E_{1C}$
$55 = 160 - \varepsilon$
$\varepsilon = 160 - 55 = 105$。
$\Delta E_C = \zeta$
$\zeta = 55$。

Process D:
已知 $W_D = -90$, $E_{1D} = +50$, $E_{2D} = 0$。
$\Delta E_D = E_{2D} - E_{1D} = 0 - 50 = -50$。
$\Delta E_D = Q_D - W_D$
$-50 = \eta - (-90)$
$-50 = \eta + 90$
$\eta = -50 - 90 = -140$。
$\Delta E_D = 0$ (題目表格中 $\Delta E$ 欄位為 0)
$\Delta E_D = Q_D - W_D$
$0 = \eta - (-90)$
$\eta = -90$。
此處有矛盾，根據表格 $\Delta E = 0$, 則 $Q_D = W_D = -90$。
然而 $E_1=50, E_2=0$ 則 $\Delta E = -50$。
假設表格最後一欄 $\Delta E$ 是正確的，則 $\Delta E_D = 0$。

核心觀念

本題考查兩個剛性槽內理想氣體混合後的：

1. 質量守恆；
2. 理想氣體狀態方程式；
3. 封閉系統第一定律；
4. 剛性槽無邊界功，且最終達到機械與熱平衡。

假設兩槽內為同一種理想氣體，氣體常數為 $R$，定容比熱為 $c_v$；兩槽均為剛性容器，忽略動能、位能及閥門節流區域的能量儲存。

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解題方法

1. 初始槽體積

由理想氣體方程式

$$PV=mRT$$

兩槽的體積分別為

$$V_1=\frac{m_1RT_1}{P_1}, \qquad V_2=\frac{m_2RT_2}{P_2}.$$

由於槽體為剛性容器，總體積在過程中保持不變：

$$V_{\mathrm{tot}}=V_1+V_2 =\frac{m_1RT_1}{P_1} +\frac{m_2RT_2}{P_2}.$$

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2. 最終平衡壓力

閥門開啟後，兩槽內氣體混合，最終達到平衡，因此兩槽壓力相同，記為 $P_f$。

總質量為

$$m_{\mathrm{tot}}=m_1+m_2.$$

以整個兩槽系統套用理想氣體方程式：

$$P_f(V_1+V_2)=(m_1+m_2)RT_f.$$

因此

$$P_f=\frac{(m_1+m_2)RT_f}{V_1+V_2}.$$

代入初始體積：

$$\boxed{ P_f= \frac{(m_1+m_2)RT_f} {\dfrac{m_1RT_1}{P_1}+\dfrac{m_2RT_2}{P_2}} }$$

約去分子、分母中的 $R$，也可寫成

$$\boxed{ P_f= \frac{(m_1+m_2)T_f} {\dfrac{m_1T_1}{P_1}+\dfrac{m_2T_2}{P_2}} }$$

這就是最終平衡壓力。

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3. 熱傳量

將兩個槽內的全部氣體視為一個封閉系統，套用第一定律：

$$Q-W=\Delta U.$$

由於容器為剛性容器，系統沒有邊界位移，因此

$$W=0.$$

所以

$$Q=\Delta U=U_f-U_i.$$

理想氣體的內能只與溫度有關，且

本題考查質量守恆定律在非穩態流體系統中的應用，以及微分方程的求解。

核心觀念：

1. 質量守恆定律： 在封閉系統或控制體積內，質量變化率等於淨質量流入率。
2. 流體在圓柱形容器中的高度變化： 容器內液體體積的變化率等於流入體積率減去流出體積率。體積與高度的關係為 $V = AL$。

解題步驟：

a. 求液體高度隨時間的變化

我們考慮一個時間間隔 $dt$ 內的質量變化。
系統的質量變化率為 $\frac{dm}{dt}$。
流入系統的質量率為 $\dot{m}_i = 6$ kg/s。
流出系統的質量率為 $\dot{m}_e = 1.2L$ kg/s。

根據質量守恆定律，系統內液體質量的變化率等於淨流入質量率：
$\frac{dm}{dt} = \dot{m}_i - \dot{m}_e$

液體的質量 $m$ 與高度 $L$ 和密度 $\rho$ 的關係為 $m = \rho V = \rho A L$。
因此，質量變化率可以表示為：
$\frac{dm}{dt} = \frac{d(\rho A L)}{dt}$
由於 $\rho$ 和 $A$ 是常數，所以：
$\frac{dm}{dt} = \rho A \frac{dL}{dt}$

將此代入質量守恆方程：
$\rho A \frac{dL}{dt} = \dot{m}_i - \dot{m}_e$
$\rho A \frac{dL}{dt} = 6 - 1.2L$

這是一個一階線性微分方程。我們需要求解 $L(t)$。
將常數代入：
$1000 \, kg/m^3 \times 0.2 \, m^2 \frac{dL}{dt} = 6 \, kg/s - 1.2 \, kg/(s \cdot m) \times L$
$200 \, kg/m \frac{dL}{dt} = 6 - 1.2L$

為了方便求解，我們可以將方程改寫為：
$\frac{dL}{dt} = \frac{6 - 1.2L}{200}$
$\frac{dL}{dt} = 0.03 - 0.006L$

我們可以使用變數分離法來求解：
$\frac{dL}{0.03 - 0.006L} = dt$

對兩邊進行積分。
左邊積分：$\int \frac{dL}{0.03 - 0.006L}$
令 $u = 0.03 - 0.006L$，則 $du = -0.006 dL$，所以 $dL = -\frac{1}{0.006} du$。

核心觀念

本題考查液體槽排水的非定常流動，核心為：

1. 質量守恆（連續方程）：水箱內水量減少率等於噴流流出率。
2. 托里拆利定律（Torricelli’s law）：題目已給定噴流平均速度
   $V=\sqrt{2gh}$
3. 圓形截面積公式：
   $A=\frac{\pi D^2}{4}$

其中 $h$ 是水面至排水孔中心的高度。

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解題方法與公式推導

設水箱截面積為 $A_{tank}$，噴流截面積為 $A_{jet}$：

$$A_{tank}=\frac{\pi D_{tank}^2}{4}$$ $$A_{jet}=\frac{\pi D_{jet}^2}{4}$$

在時間 $dt$ 內，水箱液面下降 $-dh$，水箱內水量變化為

$$d(\text{水量})=A_{tank}\,dh$$

由於排水時 $dh<0$，因此流出的水量大小為

$$-d(\text{水量})=-A_{tank}\,dh$$

同一時間內，噴流排出的水量為

$$A_{jet}V\,dt$$

由質量守恆：

$$-A_{tank}\,dh=A_{jet}V\,dt$$

代入 $V=\sqrt{2gh}$：

$$-A_{tank}\,dh=A_{jet}\sqrt{2gh}\,dt$$

整理得

$$dt=-\frac{A_{tank}}{A_{jet}}\frac{dh}{\sqrt{2gh}}$$

從初始狀態 $t=0,\ h=h_0$，積分至末狀態 $t=t,\ h=h_t$：

$$\int_0^t dt = -\frac{A_{tank}}{A_{jet}} \int_{h_0}^{h_t}\frac{dh}{\sqrt{2gh}}$$

因為

$$\int \frac{dh}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{h}$$

所以

$$t= \frac{A_{tank}}{A_{jet}} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{h_0}-\sqrt{h_t}\right)$$

再利用截面積比：

$$\frac{A_{tank}}{A_{jet}} = \left(\frac{D_{tank}}{D_{jet}}\right)^2$$

可得所求時間公式：

本題要求從熱力學第一定律推導出白努利方程式，並列出所有假設條件。

核心觀念：

1. 熱力學第一定律 (穩態流)： 對於一個穩態流的開放系統 (控制體積)，其能量變化率等於淨能量流入率。對於單位質量的流體，可表示為：
   $q - w = \Delta h + \Delta \frac{V^2}{2} + \Delta gz$
   其中 $q$ 是單位質量流體吸收的熱量，$w$ 是單位質量流體對外做的功，$\Delta h$ 是焓的變化，$\Delta \frac{V^2}{2}$ 是動能的變化，$\Delta gz$ 是位能的變化。

2. 焓的定義： $h = u + Pv$，其中 $u$ 是內能，$P$ 是壓力，$v$ 是比容 ($v = 1/\rho$)。

3. 功的來源： 在流體流動中，功的來源主要有兩種：

   • 流體傳輸功 (Flow work)： 由於壓力作用於控制體積的進出口而產生的功。
   • 機械功 (Shaft work)： 由泵、渦輪等機械設備傳遞的功。

推導步驟：

我們考慮一個穩態流的控制體積，並分析單位質量的流體在流經該控制體積時的能量變化。

1. 熱力學第一定律 (穩態流，單位質量)：
$q - w_{shaft} = (u_2 - u_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) + w_{flow}$

這裡 $w_{flow}$ 是流體傳輸功，它包含了進出口的壓力功。
入口處的流體傳輸功為 $P_1 v_1$ (壓力 $P_1$ 推動單位質量的流體進入的體積 $v_1$)。
出口處的流體傳輸功為 $-P_2 v_2$ (出口壓力 $P_2$ 被外部環境抵銷，相當於流體對外部做的功)。
因此，流體傳輸功的淨變化量是 $w_{flow} = P_2 v_2 - P_1 v_1$。

將此代入能量方程：
$q - w_{shaft} = (u_2 - u_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) + (P_2 v_2 - P_1 v_1)$

重新排列各項：
$q - w_{shaft} = (u_2 + P_2 v_2) - (u_1 + P_1 v_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1)$

利用焓的定義 $h = u + Pv$：
$q - w_{shaft} = (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1)$

2. 簡化與白努利方程式的聯繫：

白努利方程式通常是在沒有機械功和熱傳遞的理想情況下推導的。
因此，我們做以下假設：

• 無熱傳遞： $q = 0$。
• 無機械功： $w_{shaft} = 0$。
• 不可壓縮流體： 密度 $\rho$ 是常數，因此比容 $v = 1/\rho$ 也是常數。這意味著 $h_2 - h_1 = u_2 - u_1$ (因為 $Pv$ 的變化為零)。
• 無摩擦 (或摩擦影響忽略)： 這是推導理想白努利方程式的關鍵。

在這些假設下，熱力學第一定律變成：
$0 - 0 = (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1)$
$h_2 - h_1 + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) = 0$

重新排列，將所有項移到一邊，表示為兩點之間的關係：
$(h_2 + \frac{V_2^2}{2} + gz_2) - (h_1 + \frac{V_1^2}{2} + gz_1) = 0$
$h + \frac{V^2}{2} + gz = \text{constant}$

這就是以焓表示的白努利方程式。

3. 推導壓力形式的白努利方程式：

對於不可壓縮流體，焓的變化 $h_2 - h_1$ 可以進一步展開。
對於一個純物質，焓的微分是 $dh = du + Pdv + vdP$。
對於理想氣體， $du = c_v dT$。
對於不可壓縮流體， $dv = 0$。
因此，$dh = du + vdP$。
如果我們假設 $u$ 僅是溫度的函數 ($u=u(T)$) 且溫度變化很小，或者我們考慮的是等溫過程，那麼 $du \approx 0$。
或者，如果我們直接考慮熱力學第一定律的另一種形式：
$du + d(Pv) = dq - dw_{shaft}$
$du + Pdv + vdP = dq - dw_{shaft}$

對於不可壓縮流體 ($dv=0$)，且無熱傳遞 ($dq=0$)，無機械功 ($dw_{shaft}=0$)：
$du + vdP = 0$

白努利方程式的標準形式是：
$\frac{P}{\rho} + \frac{V^2}{2} + gz = \text{constant}$

如何從 $h + \frac{V^2}{2} + gz = \text{constant}$ 得到這個形式？
對於不可壓縮流體， $dh = du + vdP$。
如果我們假設內能 $u$ 不變 (例如等溫過程，或溫度變化對 $u$ 的影響很小)，那麼 $du = 0$。
此時，$dh = vdP$。
代入白努利方程式：
$vdP + \frac{V^2}{2} + gz = \text{constant}$

對此式進行積分。假設 $v$ 是常數：
$\int v dP + \int \frac{V^2}{2} dP + \int gz dP = \text{constant}$

核心觀念

由焓的定義

$$h=u+Pv$$

配合理想氣體狀態方程 $Pv=RT$，可推得理想氣體的定壓比熱與定容比熱之差為 $R$。定義比熱比

$$k\equiv\frac{c_p}{c_v}$$

其中 $k$ 是比熱比，亦稱絕熱指數。

題目後半要求 $T$–$v$ 與 $P$–$v$ 關係，需再假設氣體經歷可逆絕熱過程；對理想氣體而言，此過程為等熵過程。若要得到使用固定指數 $k$ 的冪次關係，還需假設 $c_p$、$c_v$ 為常數。

解題方法與推導

理想氣體滿足 $Pv=RT$，故焓定義可寫成

$$h=u+RT$$

理想氣體的內能與焓皆只與溫度有關。以定容比熱及定壓比熱的定義，有

$$du=c_v\,dT,\qquad dh=c_p\,dT$$

對 $h=u+RT$ 微分：

$$dh=du+R\,dT$$

代入比熱定義：

$$c_p\,dT=c_v\,dT+R\,dT$$

因此

$$c_p-c_v=R$$

由 $k=c_p/c_v$，可得

$$R=c_v(k-1)$$

接著考慮可逆絕熱過程。可逆時，熵變滿足

$$ds=\frac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}$$

絕熱表示 $\delta q_{\mathrm{rev}}=0$，所以 $ds=0$。理想氣體的熵微分式為

$$ds=c_v\frac{dT}{T}+R\frac{dv}{v}$$