108 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

此題主要在考察消費者理論中，補償變異量（Compensating Variation, CV）與等價變異量（Equivalent Variation, EV）的概念及其異同。

觀念釐清：

• 補償變異量 (CV)：在價格變動後，需要給予消費者多少補貼（或課徵多少稅），才能使其回到變動前的效用水平。
• 等價變異量 (EV)：在價格變動前，消費者願意支付多少（或期望獲得多少），才能使其在價格變動後達到與變動前相同的效用水平。

判斷：

這句話是「真」。

詳解：

補償變異量 (CV) 和等價變異量 (EV) 都衡量了價格變動對消費者福利的影響，它們都將價格變動的影響視為對消費者效用水平的改變，並試圖量化這個改變。然而，它們衡量的「基準點」不同：

此題在考察完全競爭市場下，廠商的供給曲線的特性。

觀念釐清：

• 完全競爭市場：廠商為價格接受者，利潤最大化行為是在邊際成本 (MC) 等於市場價格 (p) 且 MC 遞增的區間內。
• 廠商供給曲線：在短期，廠商的供給曲線是其邊際成本曲線在平均變動成本 (AVC) 以上的部分。在長期，廠商的供給曲線是其邊際成本曲線在平均總成本 (ATC) 以上的部分。

判斷：

這句話是「假」。

詳解：

在完全競爭市場中，單個廠商的短期供給曲線是由其邊際成本 (MC) 曲線在平均變動成本 (AVC) 的最低點之上的部分所構成。由於邊際成本曲線通常是 U 型的，所以 MC 曲線在 AVC 最低點之上是向上傾斜的，這意味著在正常情況下，廠商的供給曲線是向上傾斜的。

然而，有兩種情況會導致供給曲線不總是正斜率：

此題考察成本最小化決策的條件，特別是關於等產量曲線（isoquant）的區域選擇。

觀念釐清：

• 成本最小化：在給定產量水平下，選擇能以最低成本生產該產量的要素組合。
• 等產量曲線 (Isoquant)：表示能生產相同產量水平的所有要素組合的點的軌跡。
• 邊際技術替代率 (MRTS)：在等產量曲線上的斜率的絕對值，表示在維持產量不變的前提下，為了增加一單位某要素的投入，可以減少多少另一要素的投入。

判斷：

這句話是「假」。

詳解：

成本最小化的目標是在給定產量下，尋找最便宜的要素組合。這個決策通常透過將等成本線 (isocost line) 與等產量曲線 (isoquant) 相切來達成。

等產量曲線通常是凸向原點的。在等產量曲線的「凸向原點」區域，邊際技術替代率 (MRTS) 是遞減的。在這個區域內，成本最小化的條件是等成本線的斜率（要素價格比）等於等產量曲線的斜率（MRTS），即 $\frac{w}{r} = MRTS_{LK}$ (假設要素是勞動 L 和資本 K，工資是 w，租金是 r)。

然而，等產量曲線的「向下傾斜」區域可能包含：

1. 邊際報酬遞減區域：這是成本最小化決策通常發生的區域，其中 MRTS 是遞減的。
2. 邊際報酬遞增區域：在等產量曲線的某些區域，增加一種要素的投入，另一種要素的邊際產出可能反而增加（例如，由於專業化或協作效益）。

此題考察成本會計中的固定成本與沉沒成本的區別。

觀念釐清：

• 固定成本 (Fixed Costs, FC)：不隨產量變動而變動的成本。即使產量為零，固定成本也依然存在（短期內）。
• 變動成本 (Variable Costs, VC)：隨產量變動而變動的成本。當產量為零時，變動成本也為零。
• 沉沒成本 (Sunk Costs)：已經發生且無法收回的成本。無論未來做出何種決策，沉沒成本都無法改變。

判斷：

這句話是「假」。

詳解：

固定成本和沉沒成本雖然有時會重疊，但它們是兩個不同的概念：

• 固定成本 關注的是成本是否隨產量變動。例如，廠房租金在短期內是固定成本，無論生產多少產品，這筆租金都必須支付。
• 沉沒成本 關注的是成本是否「已經發生且無法收回」。例如，為購買一台特定機器支付的款項，如果這台機器無法轉售，那麼這筆款項就是沉沒成本。

兩者關係：

此題考察列昂惕夫（Leontief）效用函數的特性，以及其是否違反「越多越好」的假設。

觀念釐清：

• 「越多越好」假設 (More is better assumption)：也稱為單調性假設 (monotonicity assumption)，指的是對於消費者來說，消費某種商品的數量越多，其總效用就越高。即，對於任何一種商品 $i$，其邊際效用 $\frac{\partial U}{\partial x_i} \ge 0$，且至少有一種商品的邊際效用大於零。
• 列昂惕夫效用函數 (Leontief utility function)：也稱為固定比例效用函數 (fixed proportions utility function)，其形式通常為 $U(x_1, x_2, ..., x_n) = \min\{a_1x_1, a_2x_2, ..., a_nx_n\}$，其中 $a_i > 0$。這種效用函數表示消費者需要按固定的比例組合消費各種商品，才能獲得更高的效用。

判斷：

這句話是「假」。

詳解：

列昂惕夫效用函數的形式為 $U = \min\{a_1x_1, a_2x_2, ..., a_nx_n\}$。我們來分析其是否違反「越多越好」的假設。

考慮最簡單的兩商品情況：$U(x_1, x_2) = \min\{a_1x_1, a_2x_2\}$，其中 $a_1 > 0, a_2 > 0$。

1. 在「非互補」區間：
   • 如果 $a_1x_1 < a_2x_2$，則 $U = a_1x_1$。此時，增加 $x_1$ 會增加 $U$（$\frac{\partial U}{\partial x_1} = a_1 > 0$），但增加 $x_2$ 不會增加 $U$（$\frac{\partial U}{\partial x_2} = 0$）。

此題考察需求彈性的概念及其可能取值範圍。

觀念釐清：

• 需求彈性 (Elasticity of Demand)：衡量需求量對價格變動的反應程度。通常是指價格彈性，定義為需求量變動百分比除以價格變動百分比：
  $\epsilon_d = \frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P} = \frac{\frac{\Delta Q_d}{Q_d}}{\frac{\Delta P}{P}} = \frac{\Delta Q_d}{\Delta P} \times \frac{P}{Q_d}$
• 「越多越好」假設 (Monotonicity)：在個體經濟學中，通常假設商品是「好」的，即消費越多，效用越高。這意味著需求量通常隨價格上升而下降（負相關），即需求曲線向下傾斜。

判斷：

這句話是「真」。

詳解：

對於大多數商品，我們假設它們是「好」的商品，即「越多越好」。這意味著當價格上漲時，需求量會下降；當價格下跌時，需求量會上升。這種關係體現在需求曲線向下傾斜。

• 當價格 $P$ 上升時，需求量 $Q_d$ 下降。此時 $\Delta P > 0$ 且 $\Delta Q_d < 0$。
• 當價格 $P$ 下跌時，需求量 $Q_d$ 上升。此時 $\Delta P < 0$ 且 $\Delta Q_d > 0$。

在兩種情況下，$\frac{\Delta Q_d}{\Delta P}$ 的值都是負的。由於價格 $P$ 和需求量 $Q_d$ 通常是正的，因此：
$\epsilon_d = \frac{\Delta Q_d}{\Delta P} \times \frac{P}{Q_d}$
由於 $\frac{\Delta Q_d}{\Delta P} < 0$ 且 $\frac{P}{Q_d} > 0$，所以需求彈性 $\epsilon_d$ 的值是負的。

此題考察經濟租 (Economic Rent) 與經濟利潤 (Economic Profit) 的區別與聯繫。

觀念釐清：

• 經濟租 (Economic Rent)：指某要素（如勞動、土地、資本）的實際所得，超過其維持在該用途上所需的最低所得（機會成本）的部分。
  • 例如，土地所有者從土地上獲得的租金，如果這塊土地的用途只能是農田，且其在作為農田時的最低所得（即機會成本，例如改為停車場的收益）是 100 元，但實際租金是 300 元，那麼 200 元就是經濟租。
  • 對於勞動者，如果其技能在市場上的最高報酬是 50,000 元/月，但他目前的工作提供 80,000 元/月，那麼 30,000 元就是經濟租。
• 經濟利潤 (Economic Profit)：指總收益減去總成本（包括顯性成本和隱性成本，即機會成本）後剩餘的部分。
  $\text{Economic Profit} = \text{Total Revenue} - (\text{Explicit Costs} + \text{Implicit Costs})$
  經濟利潤為零表示廠商的資源得到了其在其他最佳用途中所能獲得的報酬（即所有機會成本都已得到補償）。

判斷：

這句話是「真」。

詳解：

經濟租和經濟利潤在特定情況下可能相等。這主要取決於我們討論的對象是要素還是廠商，以及該要素或廠商的機會成本如何定義。

• 情況一：當討論的對象是某個「稀缺要素」時
  如果某個要素的供給是完全缺乏彈性的（例如，一塊特定的土地，或者某位絕世天才的才能），那麼它的機會成本可能非常低，甚至為零。在這種情況下，該要素的全部收入都將是經濟租。

此題考察優化問題中，邊界條件（切線條件）的普遍性。

觀念釐清：

• 優化問題 (Optimization Problem)：在給定約束條件下，最大化或最小化某個目標函數。
• 切線條件 (Tangent Condition)：在內點解（interior solution）的情況下，目標函數的邊際變化率（斜率）等於約束條件的邊際變化率（斜率）。在圖形上，這表現為目標函數的等值線與約束條件的等值線相切。
• 內點解 (Interior Solution)：指最優解出現在變數取值範圍的內部，而不是邊界上。
• 邊界解 (Boundary Solution)：指最優解出現在變數取值範圍的邊界上。

判斷：

這句話是「假」。

詳解：

切線條件，例如在消費者理論中的 $\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{P_x}{P_y}$，或在生產者理論中的 $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$，描述的是內點解的情況。在內點解下，目標函數的等值線（如無差異曲線或等產量曲線）與約束條件的等值線（如預算線或等成本線）相切，這意味著在最優點，兩種斜率相等。

然而，優化問題的解不一定是內點解，也可能是邊界解。當最優解出現在變數的邊界上時，切線條件就不一定成立。

例子：

此題考察供需同時變動時，市場均衡價格與數量的決定性。

觀念釐清：

• 均衡價格與數量 (Equilibrium Price and Quantity)：市場需求曲線與市場供給曲線的交點所決定的價格與數量。
• 需求變動 (Shift in Demand)：需求曲線整體向右（增加）或向左（減少）移動。
• 供給變動 (Shift in Supply)：供給曲線整體向右（增加）或向左（減少）移動。
• 決定性 (Determinacy)：指均衡價格和數量的變動方向是確定的。

判斷：

這句話是「真」。

詳解：

當需求和供給同時變動時，新的均衡價格和數量的變動方向取決於這兩次變動的相對幅度。我們需要分析四種情況：

1. 需求增加，供給增加：

   • 需求增加使 P 和 Q 均上升。
   • 供給增加使 P 下降，Q 上升。
   • 結果：Q 一定會增加。P 的變動方向則取決於需求增加的幅度與供給增加的幅度哪個更大。如果需求增加幅度大，P 上升；如果供給增加幅度大，P 下降；如果幅度相同，P 不變。因此，P 不確定。

2. 需求增加，供給減少：

   • 需求增加使 P 和 Q 均上升。
   • 供給減少使 P 和 Q 均上升。

此題考察經濟學中的重要引理，特別是 Shephard's Lemma 和 Roy's Identity 的區別。

觀念釐清：

• Shephard's Lemma (謝波德引理)：
  在成本最小化問題中，給定產量水平 $q$，廠商的支出函數（或稱成本函數） $C(w, r, q)$，其中 $w$ 是勞動價格，$r$ 是資本價格。
  Shephard's Lemma 指出，支出函數對要素價格的偏導數，等於該要素的條件需求量（或稱最佳要素投入量）。
  $\frac{\partial C(w, r, q)}{\partial w} = L^c(w, r, q)$
  $\frac{\partial C(w, r, q)}{\partial r} = K^c(w, r, q)$
  其中 $L^c$ 和 $K^c$ 是在給定產量 $q$ 下，為了最小化成本而對勞動 L 和資本 K 的條件需求量。

• Roy's Identity (羅伊恆等式)：
  在消費者理論中，給定貨幣收入 $m$ 和商品價格 $p_1, p_2, ..., p_n$，間接效用函數 $V(p_1, ..., p_n, m)$。
  Roy's Identity 指出，間接效用函數對價格的偏導數，與對收入的偏導數之比，等於該商品的馬歇爾需求量（Marshallian demand）。

核心觀念

本題考查生產函數、固定比例生產技術與成本函數的推導。

成本函數定義為：

$$C(q)=\min_{L,K}\{L+rK:\ q^A=\min\{2L,2K\}\ge q\}$$

其中：

• $L$ 的單位價格為 $1$；
• $K$ 的單位價格為 $r>0$；
• $q$ 為目標產量。

由於兩種投入的價格皆為正，廠商會選擇能以最低成本生產目標產量的投入組合。

解題方法

生產函數為：

$$q^A=\min\{2L,2K\}$$

要生產至少 $q$ 單位，必須同時滿足：

$$2L\ge q$$

以及

$$2K\ge q$$

因此：

$$L\ge \frac{q}{2},\qquad K\ge \frac{q}{2}$$

這是一種固定比例生產技術，兩種投入必須按照 $L=K$ 的比例搭配。若其中一項投入超過另一項，超出的部分無法增加產量，卻仍然需要支付成本，因此最適投入為：

$$L^*(q)=\frac{q}{2},\qquad K^*(q)=\frac{q}{2}$$

總成本為投入數量乘以各自的投入價格：

此題要求計算單一廠商壟斷市場下的利潤最大化產量。

核心觀念：
壟斷廠商的利潤最大化條件、成本函數、需求函數、邊際收益 (MR)。

解題步驟：

1. 從成本函數出發：
   根據上一題的結果，Firm A 的成本函數為 $C(q^A) = \frac{1+r}{2} q^A$。
   這表示邊際成本 (MC) 是常數：$MC = \frac{dC}{dq^A} = \frac{1+r}{2}$。

2. 確定市場需求與邊際收益：
   市場的逆需求函數為 $p = 1-Q$。
   總收益 (TR) 為 $TR(Q) = p \cdot Q = (1-Q)Q = Q - Q^2$。
   邊際收益 (MR) 為 $MR = \frac{dTR}{dQ} = 1 - 2Q$。
   注意：這裡的 $Q$ 是市場總產量。因為 Firm A 是唯一的生產者，所以 $Q = q^A$。
   因此，Firm A 的邊際收益函數為 $MR(q^A) = 1 - 2q^A$。

3. 利潤最大化條件：
   壟斷廠商的利潤最大化條件是邊際收益等於邊際成本 (MR = MC)。
   $MR(q^A) = MC$
   $1 - 2q^A = \frac{1+r}{2}$

核心觀念

1. 生產者成本極小化問題（Cost Minimization Problem）：
   廠商在給定產量目標 $\bar{q}$ 與要素價格 $(w, r)$ 下，追求生產總成本最小化。
2. 切線條件與最適要素配置：
   若生產函數嚴格準凹（Strictly Quasi-concave）且要素在邊界處的邊際產量趨於無窮大（滿足 Inada 條件），最適要素配置為內生解，必滿足「邊際技術替代率等於要素相對價格比」： $$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$$
3. 規模報酬與成本結構：
   若生產函數具備「一階齊次」（即規模報酬不變，Constant Returns to Scale, CRS），則其推導出的條件要素需求函數與產量 $q$ 成正比，長期總成本函數必為產量 $q$ 的線性函數，即 $C(q) = c(w,r) \cdot q$。

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解題方法

Step 1：設定成本極小化模型

根據題意，廠商 B 的要素價格為勞動工資 $w = 1$、資本租率 $r > 0$，目標產量為 $q^B$。
數學規劃問題為：

$$\min_{L \ge 0,\, K \ge 0} TC = wL + rK = L + rK$$ $$\text{s.t. } (\sqrt{L} + \sqrt{K})^2 = q^B \iff \sqrt{L} + \sqrt{K} = \sqrt{q^B}$$

Step 2：計算邊際技術替代率（$MRTS_{LK}$）並由一階條件求要素比例

分別對勞動 $L$ 與資本 $K$ 微分求邊際產量：

$$MP_L = \frac{\partial q^B}{\partial L} = 2(\sqrt{L} + \sqrt{K}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{L}} = \frac{\sqrt{L} + \sqrt{K}}{\sqrt{L}}$$ $$MP_K = \frac{\partial q^B}{\partial K} = 2(\sqrt{L} + \sqrt{K}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{K}} = \frac{\sqrt{L} + \sqrt{K}}{\sqrt{K}}$$

由此可得邊際技術替代率：

$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{1/\sqrt{L}}{1/\sqrt{K}} = \sqrt{\frac{K}{L}}$$

令 $MRTS_{LK}$ 等於要素價格比 $\frac{w}{r} = \frac{1}{r}$：

$$\sqrt{\frac{K}{L}} = \frac{1}{r} \implies \sqrt{K} = \frac{\sqrt{L}}{r} \quad (\text{即 } K = \frac{L}{r^2})$$

Step 3：推導條件要素需求函數（Conditional Factor Demands）

將 $\sqrt{K} = \frac{\sqrt{L}}{r}$ 代回等產量限制式：

$$\sqrt{L} + \frac{\sqrt{L}}{r} = \sqrt{q^B}$$ $$\sqrt{L}\left( \frac{r+1}{r} \right) = \sqrt{q^B} \implies \sqrt{L} = \frac{r}{r+1}\sqrt{q^B}$$

兩邊平方，得勞動的條件要素需求函數：

$$L^*(q^B, r) = \left(\frac{r}{r+1}\right)^2 q^B$$

同理，代入 $\sqrt{K}$ 的關係式：

此題要求計算 Bertrand 競爭下的市場均衡價格和廠商利潤。

核心觀念：
Bertrand 競爭模型、價格領導、利潤最大化。

解題步驟：

1. 確定廠商的成本結構：

   • Firm A 的成本函數為 $C^A(q^A) = \frac{1+r}{2} q^A$。邊際成本 $MC^A = \frac{1+r}{2}$。
   • Firm B 的成本函數為 $C^B(q^B) = \frac{r}{r+1} q^B$。邊際成本 $MC^B = \frac{r}{r+1}$。

2. Bertrand 競爭的特點：
   在 Bertrand 競爭中，兩家廠商同時決定自己的產品價格。消費者會選擇購買價格較低的廠商的產品。如果兩家廠商的價格相同，則它們平分市場。

3. 比較邊際成本：
   在 Bertrand 競爭中，均衡價格通常會趨向於邊際成本。我們需要比較 $MC^A$ 和 $MC^B$。
   $MC^A = \frac{1+r}{2}$
   $MC^B = \frac{r}{r+1}$

   比較 $\frac{1+r}{2}$ 和 $\frac{r}{r+1}$：
   考慮函數 $f(r) = \frac{1+r}{2}$ 和 $g(r) = \frac{r}{r+1}$。
   我們想知道 $f(r)$ 和 $g(r)$ 哪個更大。
   令 $\frac{1+r}{2} - \frac{r}{r+1} = \frac{(1+r)(r+1) - 2r}{2(r+1)} = \frac{r^2 + 2r + 1 - 2r}{2(r+1)} = \frac{r^2+1}{2(r+1)}$。
   由於 $r > 0$，所以 $r^2+1 > 0$ 且 $2(r+1) > 0$。
   因此，$\frac{r^2+1}{2(r+1)} > 0$，這意味著 $\frac{1+r}{2} > \frac{r}{r+1}$。
   所以，$MC^A > MC^B$ 對於所有 $r>0$ 都成立。
   Firm A 的邊際成本始終高於 Firm B 的邊際成本。

4. 確定均衡價格：
   在 Bertrand 競爭中，擁有較低邊際成本的廠商（Firm B）將會對價格施加壓力。

   • 如果 Firm B 能夠以略低於 Firm A 的邊際成本的價格銷售，它就能贏得整個市場。
   • Firm A 的邊際成本是 $MC^A = \frac{1+r}{2}$。
   • Firm B 的邊際成本是 $MC^B = \frac{r}{r+1}$。

   均衡將會發生在價格接近於擁有較低邊際成本的廠商（Firm B）的邊際成本。
   如果 Firm B 設定價格 $p^B = MC^B = \frac{r}{r+1}$，它會贏得所有市場份額（假設 $p^A > p^B$）。
   Firm A 為了競爭，也必須將價格設定在 $p^A \ge MC^A = \frac{1+r}{2}$。
   由於 $MC^A > MC^B$，Firm A 無法以低於其邊際成本的價格與 Firm B 競爭。
   Firm B 可以將價格設定為略低於 $MC^A$，但高於 $MC^B$。
   然而，在標準的 Bertrand 模型中，如果兩家廠商的成本不同，擁有較低邊際成本的廠商會將價格設定為略低於擁有較高邊際成本的廠商的邊際成本，從而贏得整個市場。
   這裡 Firm B 的邊際成本是 $\frac{r}{r+1}$，Firm A 的邊際成本是 $\frac{1+r}{2}$。
   Firm B 可以將價格設定為 $p^B = MC^A - \epsilon = \frac{1+r}{2} - \epsilon$ (其中 $\epsilon$ 是一個無窮小的正數)。
   Firm A 由於其邊際成本較高，無法以低於 $\frac{1+r}{2}$ 的價格競爭，所以它會選擇不生產或生產很少。
   因此，Firm B 將獲得整個市場。

   但如果我們假設，在 Bertrand 競爭下，價格最終會趨於最低的那個邊際成本（如果廠商願意以該價格生產的話）
   那麼，Firm B 的邊際成本 $MC^B = \frac{r}{r+1}$ 是最低的。
   Firm B 可以將價格設定為 $p = MC^B = \frac{r}{r+1}$。
   此時，Firm A 的邊際成本 $MC^A = \frac{1+r}{2}$ 顯然高於 $MC^B$。
   如果 Firm B 設定價格為 $p = \frac{r}{r+1}$，Firm A 為了不虧損，其價格必須 $p \ge \frac{1+r}{2}$。
   由於 $\frac{r}{r+1} < \frac{1+r}{2}$，Firm B 的價格低於 Firm A 的邊際成本。
   Firm B 可以以 $p = \frac{r}{r+1}$ 的價格贏得整個市場。

   情況一：價格趨近於較低的邊際成本
   如果均衡價格 $p = MC^B = \frac{r}{r+1}$。
   此時，Firm B 銷售所有產品，Firm A 銷售 0 產品。
   Firm B 的利潤：
   $q^B = Q$ (因為 B 獨佔市場)。
   首先，我們需要知道 Firm B 的產量。市場需求是 $p = 1-Q$，所以 $Q = 1-p$。
   如果 $p = \frac{r}{r+1}$，那麼 $Q = 1 - \frac{r}{r+1} = \frac{r+1-r}{r+1} = \frac{1}{r+1}$。
   所以，Firm B 的產量為 $q^B = \frac{1}{r+1}$。
   Firm B 的總收益 $TR^B = p \cdot q^B = \frac{r}{r+1} \cdot \frac{1}{r+1} = \frac{r}{(r+1)^2}$。
   Firm B 的總成本 $TC^B = C^B(q^B) = \frac{r}{r+1} q^B = \frac{r}{r+1} \cdot \frac{1}{r+1} = \frac{r}{(r+1)^2}$。
   Firm B 的利潤 $\pi^B = TR^B - TC^B = \frac{r}{(r+1)^2} - \frac{r}{(r+1)^2} = 0$。

   Firm A 的產量 $q^A = 0$。
   Firm A 的利潤 $\pi^A = 0$。

   情況二：價格由較高的邊際成本決定
   如果 Firm B 擔心 Firm A 的價格，它可能會將價格設定為略低於 Firm A 的邊際成本。
   假設 Firm B 將價格設定為 $p = MC^A - \epsilon = \frac{1+r}{2} - \epsilon$。
   那麼 Firm B 贏得市場，產量為 $Q = 1 - p = 1 - (\frac{1+r}{2} - \epsilon) = \frac{1-r}{2} + \epsilon$。
   Firm B 的利潤：
   $TR^B = p \cdot Q = (\frac{1+r}{2} - \epsilon)(\frac{1-r}{2} + \epsilon)$
   $TC^B = MC^B \cdot Q = \frac{r}{r+1} (\frac{1-r}{2} + \epsilon)$
   $\pi^B = TR^B - TC^B$

   當 $\epsilon \to 0$ 時：
   $p \to \frac{1+r}{2}$
   $Q \to \frac{1-r}{2}$ (注意：這裡需要 $1-r \ge 0$ 才能有正產量，即 $r \le 1$)
   如果 $r > 1$，則 $MC^A > 1$。市場需求曲線的最高價格是 1。如果 $MC^A > 1$，Firm A 永遠無法生產。Firm B 的 $MC^B < 1$。Firm B 會以略低於 1 的價格壟斷市場。
   若 $r > 1$, $MC^A > 1$, $MC^B = r/(r+1) < 1$. Firm B will set price slightly below 1. Let's assume $p=1-\epsilon$. Then $Q=1-(1-\epsilon)=\epsilon$. $TR^B \approx 1 \cdot \epsilon$. $TC^B = \frac{r}{r+1} \epsilon$. $\pi^B \approx (1-\frac{r}{r+1})\epsilon = \frac{1}{r+1}\epsilon > 0$.
   但是，這種情況下，Firm B 會將價格壓到最低，直到 Firm A 無法競爭。

   標準 Bertrand 均衡下的處理：
   如果兩家廠商的邊際成本不同，擁有較低邊際成本的廠商（B）會將價格設定為略低於較高邊際成本的廠商（A）的邊際成本，贏得整個市場。
   所以，均衡價格 $p = MC^A - \epsilon = \frac{1+r}{2} - \epsilon$。
   當 $\epsilon \to 0$ 時，$p \to \frac{1+r}{2}$。
   Firm B 獲得整個市場，產量 $Q = 1 - p = 1 - \frac{1+r}{2} = \frac{1-r}{2}$。
   這要求 $1-r \ge 0$，即 $r \le 1$。

   情況 2.1：若 $0 < r < 1$
   均衡價格 $p = \frac{1+r}{2}$。
   Firm B 獲得全部市場，產量 $q^B = \frac{1-r}{2}$。
   Firm A 的產量 $q^A = 0$。
   Firm B 的利潤：
   $TR^B = p \cdot q^B = \frac{1+r}{2} \cdot \frac{1-r}{2} = \frac{1-r^2}{4}$。
   $TC^B = MC^B \cdot q^B = \frac{r}{r+1} \cdot \frac{1-r}{2} = \frac{r(1-r)}{2(r+1)}$。
   $\pi^B = TR^B - TC^B = \frac{1-r^2}{4} - \frac{r(1-r)}{2(r+1)}$
   $\pi^B = \frac{(1-r)(1+r)}{4} - \frac{r(1-r)}{2(r+1)}$
   $\pi^B = \frac{(1-r)}{4} \left[ (1+r) - \frac{2r}{r+1} \right]$
   $\pi^B = \frac{(1-r)}{4} \left[ \frac{(1+r)^2 - 2r}{r+1} \right]$
   $\pi^B = \frac{(1-r)}{4(r+1)} [1 + 2r + r^2 - 2r]$
   $\pi^B = \frac{(1-r)(1+r^2)}{4(r+1)}$。

   Firm A 的利潤 $\pi^A = 0$。

   情況 2.2：若 $r = 1$
   $MC^A = \frac{1+1}{2} = 1$。
   $MC^B = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$。
   Firm B 的邊際成本低於 Firm A。
   Firm B 會將價格設定為略低於 $MC^A=1$。假設 $p = 1-\epsilon$。
   市場產量 $Q = 1-p = \epsilon$。
   Firm B 獲得全部市場，產量 $q^B = \epsilon$。
   Firm B 的利潤：

此題要求找出在子賽局完美均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE) 下，市場價格和消費者剩餘。這是一個包含進入決策和 Bertrand 競爭的動態賽局。

核心觀念：
子賽局完美均衡、壟斷定價、Bertrand 競爭、消費者剩餘。

解題步驟：

1. 分析賽局結構：
   賽局是動態的：

   • 第一階段：Firm D 決定是否進入市場（支付固定成本 $f$）。
   • 第二階段：
     • 如果 Firm D 不進入：Firm C 獨佔市場，設定壟斷價格。
     • 如果 Firm D 進入：Firm C 和 Firm D 進行 Bertrand 競爭，消費者選擇購買。

2. 從最後階段開始分析（逆向歸納法）：

   第二階段：如果 Firm D 進入

   • Firm C 的邊際成本 $MC^C = 2$。
   • Firm D 的邊際成本 $MC^D = 1/2$。
   • 消費者願意支付的最高價格是 $4$（消費價值）。
   • 在 Bertrand 競爭中，兩家廠商會競價。擁有較低邊際成本的廠商（Firm D）將會贏得市場。
   • Firm D 會將價格設定為略低於 Firm C 的邊際成本，以贏得整個市場。
   • Firm C 的價格必須 $p^C \ge MC^C = 2$。
   • Firm D 的價格必須 $p^D \ge MC^D = 1/2$。
   • Firm D 希望贏得市場，所以它會將價格設定為略低於 Firm C 的邊際成本，即 $p^D = MC^C - \epsilon = 2 - \epsilon$。
   • 由於消費者願意支付的最高價格是 $4$，且 Firm D 的價格 $2-\epsilon$ 低於 $4$，消費者會購買。
   • Firm D 的價格 $2-\epsilon$ 也低於 Firm C 的邊際成本 $2$，Firm C 在此競爭下無法獲利，實際上會退出或不生產。
   • 因此，Firm D 將以略低於 2 的價格贏得整個市場。

   市場價格：在 Bertrand 競爭中，價格會被壓低。由於 Firm D 的邊際成本是 $1/2$，而 Firm C 的邊際成本是 $2$，Firm D 只需要略高於 $1/2$ 就能贏得市場。但 Firm C 的存在會將價格推高到 Firm C 的邊際成本附近。
   正確的 Bertrand 均衡分析是：如果兩家廠商的邊際成本不同，擁有較低邊際成本的廠商（D）會將價格設定為略低於較高邊際成本的廠商（C）的邊際成本，從而贏得整個市場。
   所以，Firm D 的價格 $p^D = MC^C - \epsilon = 2 - \epsilon$。
   Firm C 的價格 $p^C \ge MC^C = 2$。
   消費者選擇購買價格較低的產品。
   由於 $p^D = 2-\epsilon < 2 \le p^C$，消費者會從 Firm D 購買。
   Firm D 的產量將是滿足市場需求的全部產量。
   由於消費者最多購買一單位，且消費價值為 4，如果價格低於 4，消費者就會購買。
   Firm D 的價格 $2-\epsilon$ 低於 4，所以消費者會購買。

   Firm D 的利潤（如果進入）：
   Firm D 的價格 $p^D = 2-\epsilon$。
   Firm D 的邊際成本 $MC^D = 1/2$。
   Firm D 的利潤 $\pi^D = (p^D - MC^D) \times \text{quantity}$。
   由於消費者只購買一單位，Firm D 的產量是 1。

核心觀念

本題考查消費者的契約接受條件，以及「接受契約所得效用」與「拒絕契約後的外部選項（outside option）」之比較。

消費者簽約後的消費者剩餘為：

$$CS_{\text{accept}}=4-p_c+x$$

其中 $4$ 為消費價值，$p_c$ 為支付價格，$x$ 為簽約獎金。

解題方法

先計算消費者拒絕契約後的效用。

若 Firm D 不進入市場，Firm C 維持獨占並收取獨占價格。由於消費者最高願付價格為 $4$，其消費者剩餘為 $0$。

若 Firm D 進入市場，兩家廠商進行 Bertrand 價格競爭。Firm D 的邊際成本為 $1/2$，Firm C 的邊際成本為 $2$。Firm D 可將價格訂在 $2$，並依題目規定在消費者無差異時由 Firm D 成交。因此消費者可支付 $2$ 購買商品，消費者剩餘為：

此題要求判斷是否存在一個合約 $(p_c, x)$，使得消費者接受合約，且 Firm C 獲得嚴格正的利潤。

核心觀念：
消費者選擇、Firm C 的利潤最大化、Firm D 的進入決策、子賽局完美均衡。

解題步驟：

1. 回顧 Firm D 的進入決策：
   在上一題的分析中，我們得知 Firm D 進入市場的條件是其預期利潤大於零。
   如果 Firm D 進入，它將以 $p^D = 2-\epsilon$ 的價格銷售，Firm C 則退出。
   Firm D 的利潤是 $3/2 - \epsilon - f$。由於 $f < 1/2$，Firm D 的利潤始終大於 0。
   因此，Firm D 必然會進入市場，無論 Firm C 是否提出合約。

2. 分析消費者在合約下的選擇：

   • 簽約：消費者獲得 $x$ 的簽約獎金，並以 $p_c$ 的價格購買。簽約後的總效用（消費者剩餘）為 $CS_{sign} = x + (4 - p_c)$。
   • 不簽約：由於 Firm D 必然進入，消費者可以從 Firm D 購買，價格為 $p^D = 2-\epsilon$。此時的消費者剩餘為 $CS_{no\_contract} = 4 - (2-\epsilon) = 2+\epsilon$。

   消費者接受合約的條件是：$CS_{sign} \ge CS_{no\_contract}$
   $x + 4 - p_c \ge 2 + \epsilon$

3. 分析 Firm C 的利潤：
   如果消費者接受合約，Firm C 可以獲得 $p_c$ 的收入，支付 $x$ 的簽約獎金，邊際成本是 2。
   Firm C 的利潤為 $\pi_C = (p_c - 2) - x$。

4. 判斷是否存在使消費者接受且 Firm C 利潤為正的合約：
   Firm C 要想讓消費者接受合約，必須滿足 $x + 4 - p_c \ge 2 + \epsilon$。
   Firm C 要想獲得嚴格正的利潤，必須滿足 $\pi_C = (p_c - 2) - x > 0$。

此題考察在有違約罰款（penalty clause）的排他性協議下，消費者是否會選擇違約購買競爭對手的產品。

核心觀念：
消費者剩餘最大化、違約條件、罰款機制。

解題步驟：

1. 理解合約條款：

   • Firm C 的合約：價格為 $p_c$，沒有簽約獎金 ($x=0$)。若消費者違約購買其他廠商的產品，需支付 Firm C 罰款 $d$。
   • Firm D 的價格為 $p$。
   • Firm D 進入市場。

2. 分析消費者選擇：
   消費者在簽約（繼續從 Firm C 購買）和違約（從 Firm D 購買）之間做選擇。
   消費者會選擇使自身總效用（消費者剩餘）最大的選項。

3. 計算簽約情況下的消費者剩餘：
   如果消費者不違約，他將以 $p_c$ 的價格從 Firm C 購買。
   獲得的消費者剩餘是 $CS_{sign} = 4 - p_c$。

4. 計算違約情況下的消費者剩餘：
   如果消費者選擇違約，他需要支付：

   • 給 Firm D 的購買價格：$p$。
   • 給 Firm C 的違約罰款：$d$。
     消費者從 Firm D 購買獲得的消費者剩餘是 $4 - p$。
     然而，他還需要支付罰款 $d$ 給 Firm C。

核心觀念

本題考查：

• 單一消費者下的壟斷定價；
• Bertrand 價格競爭；
• 轉換／違約罰金如何改變競爭者的有效價格；
• 進入者的零利潤進入條件；
• 利用消費者無差異時的購買規則判斷均衡結果。

消費者購買 Firm C 時的剩餘為

$$CS_C=4-p^\circ,$$

購買 Firm D 時，因須支付罰金 $d$，其有效支付成本為 $q+d$，故剩餘為

$$CS_D=4-q-d.$$

其中 $q$ 為 Firm D 的價格。

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解題方法

Firm D 若要成功銷售，必須使消費者偏好購買 D。由於消費者在兩家公司間無差異時會選擇 D，D 的價格可設定為使兩者無差異：

$$4-q-d=4-p^\circ.$$

因此，Firm D 能夠收取的最高價格為

$$q=p^\circ-d.$$

Firm D 的利潤為

$$\pi_D=q-\frac12-f.$$

依題目條件，D 只要利潤不為負就會進入並銷售，因此其進入並成功銷售的臨界條件為

$$q-\frac12-f\geq 0.$$

代入 $q=p^\circ-d$：

$$p^\circ-d-\frac12-f\geq 0.$$

亦即，

$$d\leq p^\circ-\frac12-f.$$

若 $d$ 大於此門檻，D 無法以足以支付邊際成本與進入成本的價格銷售，因而不會進入；C 便維持壟斷。

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Firm C 的最適價格

若 D 不進入，C 為單一消費者的壟斷者。由於消費者最高願付價格為 $4$，C 的壟斷價格為

$$p^\circ=4.$$

此時若 D 不進入，C 的壟斷利潤為

$$\pi_C=4-2=2.$$

若 C 設定罰金使 D 剛好願意進入，則由上式可得最適罰金為

核心觀念

本題考的是具有外部性的同時決策，以及獨家交易契約的策略效果。消費者是否接受契約，不只影響自己的契約收益，也會改變未簽約消費者的人數，進而影響 Firm D 是否進入市場。

消費者 E 的判斷順序如下：

1. 先根據三位消費者中未簽約者的人數，判斷 Firm D 是否進入。
2. 再比較 E 接受與拒絕契約時的效用。

由前一小題的進入子賽局可知：

• 若 Firm D 只能服務一位未簽約消費者，其進入利潤為 $3$。因為 $f>3$，所以不進入。
• 若有兩位未簽約消費者，其進入利潤為 $\frac{9}{2}$。因為 $f<\frac{9}{2}$，所以進入。

因此，Firm D 的進入規則為：

$$\text{未簽約消費者少於兩位：D 不進入；}$$ $$\text{未簽約消費者至少兩位：D 進入。}$$

契約接受時的效用

消費者的消費價值為 $4$，Firm C 的價格為 $p_C=4$，接受契約可獲得簽約獎金 $x=0.01$。

若消費者接受契約，即使 Firm D 進入，由於違約罰金 $d=10$ 很高，消費者仍會留在 Firm C。其效用為

$$u_E^{A}=4-4+0.01=0.01.$$

若消費者拒絕契約且 Firm D 不進入，E 仍可向 Firm C 購買，但沒有簽約獎金，因此效用為

$$u_E^{R,D\text{ 不進入}}=4-4=0.$$

若消費者拒絕契約且 Firm D 進入，E 可以向 Firm D 購買，其競爭均衡效用嚴格高於 $0.01$，記為

核心觀念

本題考的是「排他交易契約」下，消費者接受決策的策略互動，以及由此形成的純策略 Nash equilibrium。

消費者接受契約後：

• 向 Firm C 購買，消費價值與契約價格均為 $4$；
• 因此基本消費剩餘為 $4-4=0$；
• 另獲得 sign-up bonus $x=0.01$；
• 若改向 Firm D 購買，須負擔 penalty $d=10$，故不會改買 D。

因此，若 D 不進入，接受契約的消費者效用為：

$$u_A=4-p_C+x=4-4+0.01=0.01.$$

拒絕契約的消費者若沒有競爭者進入，只能以 $4$ 向 C 購買，效用為：

$$u_R=4-4=0.$$

若 D 進入，拒絕契約的消費者可在開放市場中購買，依前一小題的價格競爭結果，其競爭消費剩餘高於 $0.01$；因此在 D 進入時，拒絕契約優於接受契約。

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第 6 題：消費者 E 的最佳反應

令其他兩位消費者中，接受契約的人數為 $m$。

由前面廠商進入決策的結果，在

$$3<f<\frac{9}{2}$$

的條件下，D 的進入規則為：

• 若拒絕契約的消費者人數為 $0$ 或 $1$，D 不進入；
• 若拒絕契約的消費者人數至少為 $2$，D 進入。

原因是 D 的進入後利潤，在一位消費者未被排他契約鎖定時為 $3$，在至少兩位消費者未被鎖定時達到 $\frac{9}{2}$；因此由 $3<f<\frac{9}{2}$ 可知，只有至少兩位消費者拒絕契約時，D 才會進入。

情況一：其他兩人皆拒絕契約

此時 $m=0$。

• 若 E 接受，總共有兩位消費者拒絕，D 進入。E 被排他契約鎖定，效用為 $0.01$。
• 若 E 拒絕，總共有三位消費者拒絕，D 也進入。E 可享有競爭市場的消費剩餘，效用高於 $0.01$。

所以 E 應拒絕契約。

$$BR_E(R,R)=R.$$

情況二：其他兩人中恰有一人接受

此時 $m=1$。

• 若 E 接受，只有一位消費者拒絕，D 不進入。E 的效用為 $0.01$。
• 若 E 拒絕，將有兩位消費者拒絕，D 進入。E 可在競爭市場購買，效用高於 $0.01$。

所以 E 仍應拒絕契約。

$$BR_E(A,R)=BR_E(R,A)=R.$$

情況三：其他兩人皆接受契約

此時 $m=2$。

• 若 E 接受，三位消費者皆簽約，D 不進入。E 的效用為 $0.01$。
• 若 E 拒絕，只有 E 一人未被鎖定，D 不進入。E 只能以 $4$ 向 C 購買，效用為 $0$。

此題考察交換經濟中的競爭性均衡 (Competitive Equilibrium)。要求在給定兩位代理人 (Agent H 和 Agent I) 的效用函數和稟賦後，找出均衡價格 $p_1$。

核心觀念：
競爭性均衡、瓦拉斯法則 (Walras' Law)、固定比例效用函數 (列昂惕夫效用函數)、總體需求。

解題步驟：

1. 確定稟賦 (Endowments)：
   兩位代理人 H 和 I，每人都有 1 個單位的好 1 和 1 個單位的好 2。
   總供給量：Good 1 = $1+1=2$；Good 2 = $1+1=2$。

2. 確定價格體系：
   好 2 的價格歸一化為 $p_2 = 1$。
   我們要尋找好 1 的均衡價格 $p_1$。

3. 確定效用函數：
   Agent H: $u^H(x_1^H, x_2^H) = \min\{x_1^H, x_2^H\}$。
   Agent I: $u^I(x_1^I, x_2^I) = \min\{x_1^I, x_2^I\}$。
   這兩位代理人都有列昂惕夫效用函數，表示他們需要以 1:1 的比例消費這兩種商品才能獲得最大效用。

4. 計算個別代理人的需求函數：
   對於列昂惕夫效用函數 $U = \min\{a_1x_1, a_2x_2\}$，在價格 $p_1, p_2$ 和預算 $m$ 下，其需求函數是：
   為了最大化效用，代理人會選擇使得 $x_1 = x_2$。
   預算約束為 $p_1x_1 + p_2x_2 = m$。
   將 $x_1=x_2$ 代入：$p_1x_1 + p_2x_1 = m \implies x_1(p_1+p_2) = m \implies x_1 = \frac{m}{p_1+p_2}$。
   所以，$x_1 = x_2 = \frac{m}{p_1+p_2}$。

   在我們的例子中，$a_1=1, a_2=1$。
   對於 Agent H：
   稟賦是 $(1, 1)$。總預算 $m_H = p_1 \cdot 1 + p_2 \cdot 1 = p_1 + 1$。
   Agent H 的需求函數：