112 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考核消費者理論中**完全替代品（Perfect Substitutes）**的效用極大化問題與需求分析，核心重點包括：

1. 經濟財（Economic Good）的定義：財貨之邊際效用大於零（$MU > 0$），即滿足「非飽和性」（Non-satiation）。
2. 完全替代品的最優選擇：比較主觀邊際替代率（$MRS_{xy}$）與市場相對價格比（$P_x / P_y$）以決定角隅解（Corner Solution）或任意重合解。
3. 需求曲線的推導與繪圖：需求曲線呈階梯狀（分段函數），包含垂直段、水平段與貼齊縱軸段。
4. 彈性分析：需求價格彈性（Price Elasticity of Demand, $\varepsilon_{xx}$）與需求所得彈性（Income Elasticity of Demand, $\varepsilon_{xI}$）之定義與計算。

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解題方法與詳細推導

(a) 解釋為何 $x$ 對 Mary 而言是經濟財（Economic Good）

• 定義：在個體經濟學中，若一種財貨的邊際效用（Marginal Utility, $MU$）恆為正值（即多消費該財貨能為消費者帶來額外的滿足程度），則該財貨稱為**經濟財（Economic Good）**或「好處」（Good）。
• 推導：
  Mary 的效用函數為： $$U(x, y) = \alpha x + y \quad (\alpha > 0)$$ 對 $x$ 取一階偏微分求邊際效用： $$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = \alpha > 0$$ 由於 $\alpha > 0$，表示消費量 $x$ 增加時總效用必定增加（滿足非飽和性，More is preferred to less），故 $x$ 為經濟財。

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(b) 推導並繪製 Mary 對 $x$ 的需求曲線

Mary 的效用極大化問題為：

$$\max_{x, y \ge 0} \ U(x, y) = \alpha x + y \quad \text{s.t.} \quad p_x x + p_y y = I$$

消費者的主觀邊際替代率（Marginal Rate of Substitution, $MRS_{xy}$）為：

$$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{\alpha}{1} = \alpha$$

客觀市場相對價格為 $\frac{p_x}{p_y}$。透過比較每花一元在兩財貨上所獲得的邊際效用 $\frac{MU_x}{p_x} = \frac{\alpha}{p_x}$ 與 $\frac{MU_y}{p_y} = \frac{1}{p_y}$：

1. 當 $\frac{\alpha}{p_x} > \frac{1}{p_y}$，即 $p_x < \alpha p_y$ 時：
   消費 $x$ 的性價比高於 $y$，Mary 將全部所得用於購買 $x$（角隅解）：

   $$x^* = \frac{I}{p_x}, \quad y^* = 0$$

2. 當 $\frac{\alpha}{p_x} = \frac{1}{p_y}$，即 $p_x = \alpha p_y$ 時：
   兩者性價比相同，預算線與無異曲線重合，預算線上所有非負配置均能達到相同最大效用：

   $$x^* \in \left[0, \frac{I}{p_x}\right] = \left[0, \frac{I}{\alpha p_y}\right]$$

3. 當 $\frac{\alpha}{p_x} < \frac{1}{p_y}$，即 $p_x > \alpha p_y$ 時：
   消費 $y$ 的性價比高於 $x$，Mary 將全部所得用於購買 $y$（角隅解）：

   $$x^* = 0, \quad y^* = \frac{I}{p_y}$$

綜上所述，Mary 對 $x$ 的**需求函數（Demand Function）**為：

$$x(p_x; p_y, I) = \begin{cases} \frac{I}{p_x}, & \text{if } p_x < \alpha p_y \\ \left[0, \frac{I}{\alpha p_y}\right], & \text{if } p_x = \alpha p_y \\ 0, & \text{if } p_x > \alpha p_y \end{cases}$$

需求曲線繪圖說明（縱軸為 $p_x$，橫軸為 $x$）：

• 當 $p_x > \alpha p_y$：需求曲線重合於縱軸上（$x = 0$）。
• 當 $p_x = \alpha p_y$：需求曲線為一條自 $(0, \alpha p_y)$ 延伸至 $\left(\frac{I}{\alpha p_y}, \alpha p_y\right)$ 的水平線段。

核心觀念

本題測驗消費者理論中非標準偏好的極大化問題及價格變動的效果分解，核心概念包含：

1. 消費者最適選擇（Consumer's Utility Maximization Problem, UMP）：
   在預算限制式下最大化效用函數。本題效用函數為 $U(x, y) = x^{1/3} + xy$，邊際效用分別為 $MU_x = \frac{1}{3}x^{-2/3} + y$、$MU_y = x$。當 $x > 0$ 且預算全用盡（$y = I - p_x x$）時，可轉為單一變數求極值。
2. 邊際替代率（MRS）與內部解/角落解判斷：
   此效用函數具有交互項 $xy$，需檢驗二階充分條件或直接將預算限制代入目標函數，觀察極值點是否符合非負限制（$x \ge 0, y \ge 0$）。
3. 替代效果（Substitution Effect, SE）：
   • Hicksian（希克斯）替代效果：維持原有效用水準 $U_0$ 不變，相對價格由 $p_x = 0.4$ 降至 $p_x = 0.2$ 下的最優需求變動量。
   • Slutsky（史勒斯基）替代效果：維持原始消費組合的購買力不變下的最優需求變動量。
     在台灣經研所考試中，標準規格以 Hicksian 替代效果 為主（詳解中將以 Hicksian 為主並附註 Slutsky 解法供對照）。
4. 補償變量（Compensating Variation, CV）：
   衡量價格下降後，為了使消費者回到「價格變動前」的效用水準 $U_0$，應從其所得中扣除的金額： $$CV = I - e(p_x', p_y, U_0)$$ 其中 $e(\cdot)$ 為支出函數（Expenditure Function）。

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解題方法與詳細步驟

(a) 求 $p_x = 0.4$ 與 $p_x = 0.2$ 下的最適解

消費者的極大化問題為：

$$\max_{x, y} U(x, y) = x^{1/3} + xy \quad \text{s.t.} \quad p_x x + y = 19, \quad x \ge 0, y \ge 0$$

由於 $p_y = 1$，預算限制式滿足 $y = 19 - p_x x$。將 $y$ 代入效用函數，將問題化簡為單一變數 $x$ 的極大化：

$$f(x) = x^{1/3} + x(19 - p_x x) = x^{1/3} + 19x - p_x x^2$$

對 $x$ 微分求一階條件（FOC）：

$$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 19 - 2p_x x = 0$$

檢查二階條件（SOC）：

$$f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-5/3} - 2p_x < 0 \quad (\forall x > 0, p_x > 0)$$

目標函數為嚴格凹函數（strictly concave），一階條件之正解即為全域唯一的效用極大解。

1. 當 $p_x = 0.4$ 時：
一階條件為：

$$\frac{1}{3}x^{-2/3} + 19 - 0.8x = 0$$

整理得：

$$0.8x - \frac{1}{3}x^{-2/3} = 19$$

檢驗整數解或特殊數值，令 $x = 8^{3/2}$ 或有理次方測試：
當 $x = 8$ 時：

$$x^{-2/3} = (2^3)^{-2/3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$$

代入左式：

$$0.8 \times 8 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = 6.4 - \frac{1}{12} \neq 19$$

若 $x$ 為較大數值，觀察 $0.8x \approx 19 \implies x \approx 23.75$。
測試具備三次立方根的數值：若令 $x^{-1/3}$ 為簡單分數：
測試 $x = 27$：

$$x^{-2/3} = (27)^{-2/3} = \frac{1}{9}$$

代入左式：

$$0.8(27) - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{9}\right) = 21.6 - \frac{1}{27} \neq 19$$

檢驗角落解與邊界：
若全買 $x$：$x = \frac{19}{0.4} = 47.5$，$y = 0$，此時 $U = (47.5)^{1/3} \approx 3.62$。
若全買 $y$：$x = 0, y = 19$，效用 $U(0, 19) = 0$。
但觀察 FOC：$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 19 - 0.8x$：

• 當 $x \to 0^+$ 時，$f'(x) \to +\infty$。
• 當 $x = \frac{19}{0.4} = 47.5$ 時：$f'(47.5) = \frac{1}{3}(47.5)^{-2/3} + 19 - 0.8(47.5) = \frac{1}{3}(47.5)^{-2/3} > 0$！

此時發現重要關鍵：在預算線的可行區間 $x \in [0, 47.5]$ 內，由於：

$$19 - 0.8x \ge 0 \quad (\text{因 } x \le \frac{19}{0.4} = 47.5)$$

且對所有 $x \in (0, 47.5]$，均有 $\frac{1}{3}x^{-2/3} > 0$，因此：

$$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} + (19 - 0.8x) > 0 \quad (\forall x \in (0, 47.5])$$

這表示效用函數在整個預算限制的非負可行區間 $[0, 47.5]$ 內為嚴格遞增函數！
因此極大值必定落在預算線的右端邊界（角落解 Corner Solution）：

$$x^* = 47.5, \quad y^* = 0$$

2. 當 $p_x = 0.2$ 時：
同理，可行區間為 $x \in [0, \frac{19}{0.2}] = [0, 95]$。
導函數為：

$$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 19 - 0.4x$$

在可行區間內，當 $x \in (0, 95]$ 時：

$$19 - 0.4x \ge 0 \implies f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} + (19 - 0.4x) > 0$$

函數在 $x \in [0, 95]$ 依舊保持嚴格遞增，極大值再度發生於右端邊界：

$$x^* = 95, \quad y^* = 0$$

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(b) 價格下降（$p_x = 0.4 \to 0.2$）的替代效果（Substitution Effect）

1. Hicksian 替代效果：
原始狀態 $A$：$p_x = 0.4, p_y = 1, I = 19$，最適解為 $(x_A, y_A) = (47.5, 0)$。
原始效用水準為：

$$U_0 = U(47.5, 0) = (47.5)^{1/3} + 47.5 \times 0 = (47.5)^{1/3}$$

欲求維持效用 $U_0 = (47.5)^{1/3}$，面對新價格 $p_x' = 0.2, p_y = 1$ 下的補償需求組合 $(x_h, y_h)$，求解支出極小化問題（EMP）：

$$\min_{x, y} 0.2x + y \quad \text{s.t.} \quad x^{1/3} + xy = (47.5)^{1/3}, \quad x \ge 0, y \ge 0$$

核心觀念

1. 獨占廠商的單一定價決策（Uniform Pricing）：
   獨占廠商面對整個市場的負斜率需求曲線，擁有市場力量（Market Power），為價格制定者（Price Maker）。在單一定價下，廠商追求利潤極大化之條件為邊際收益等於邊際成本： $$MR = MC$$
2. 反需求函數與邊際收益（MR）之雙倍斜率法則：
   對於線性反需求函數 $P(Q) = a - bQ$，若不考慮價格歧視，其邊際收益曲線具備相同的縱軸截距，但斜率絕對值為反需求曲線的 $2$ 倍，即 $MR(Q) = a - 2bQ$。
3. 獨占廠商的「供給量」觀念：
   嚴格而言，獨占廠商因其產量與價格由需求彈性及邊際成本共同決定，不存在如完全競爭廠商那樣一對一對應於市場價格的「供給曲線」（Supply Curve）。本題所稱之「供給量」（Supply of gym sessions），係指獨占者在利潤極大化下所提供的最適均衡產量（Profit-maximizing Output / Quantity Supplied）。

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解題方法

步驟一：導出反需求函數（Inverse Demand Function）

題目給定市場需求函數為：

$$q = \Delta - \delta \cdot p$$

其中 $\Delta > \delta \cdot c > 0$。移項整理可得反需求函數：

$$p(q) = \frac{\Delta}{\delta} - \frac{1}{\delta} q$$

步驟二：建立總收益（TR）與邊際收益（MR）函數

總收益函數 $TR(q)$ 為：

$$TR(q) = p(q) \cdot q = \left(\frac{\Delta}{\delta} - \frac{1}{\delta} q\right) q = \frac{\Delta}{\delta} q - \frac{1}{\delta} q^2$$

對產量 $q$ 微分，求得邊際收益函數 $MR(q)$：

$$MR(q) = \frac{dTR(q)}{dq} = \frac{\Delta}{\delta} - \frac{2}{\delta} q$$

步驟三：由利潤極大化條件求最適產量（供給量）與價格

已知廠商提供服務的邊際成本為固定常數 $c$，即 $MC(q) = c$。
廠商的利潤函數為 $\pi(q) = TR(q) - TC(q)$。
一階必要條件（F.O.C.）：

$$MR(q) = MC(q)$$

代入函數：

$$\frac{\Delta}{\delta} - \frac{2}{\delta} q = c$$ $$\frac{2}{\delta} q = \frac{\Delta}{\delta} - c = \frac{\Delta - \delta c}{\delta}$$

解得獨占廠商最適產量（供給量 $q^*$）：

$$q^* = \frac{\Delta - \delta c}{2}$$

將 $q^*$ 代回反需求函數，可得最適單一定價 $p^*$：

$$p^* = \frac{\Delta}{\delta} - \frac{1}{\delta}\left(\frac{\Delta - \delta c}{2}\right) = \frac{\Delta + \delta c}{2\delta}$$

二階充分條件（S.O.C.）：

核心觀念

本題考查獨占廠商的二段式定價（Two-Part Tariff）。

在二段式定價策略下，廠商收取兩筆費用：

1. 入場費／會員費（Membership Fee, 固定費 $T$）：消費者必須先支付固定費才能獲得購買資格。
2. 從量費／每次使用費（Usage Fee / Per-session Price, 邊際價格 $p$）：消費者進入市場後，每購買一單位商品或服務所支付的單價。

在消費者同質（或題幹給定單一代表性市場需求，且無套利轉售可能）的基準模型中，獨占廠商藉由將使用單價 $p$ 設定等於邊際成本 $c$，使市場交易量達到完全競爭水準，將社會總剩餘（Total Surplus）極大化；接著，再將會員費 $T$ 訂為等於該價格下的全部消費者剩餘（Consumer Surplus, $CS$），將所有經濟剩餘完全抽取轉化為廠商的獨占利潤，達成第一級差別定價的效果，此時無無謂損失（Deadweight Loss, $DWL = 0$）。

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解題方法與完整推導

1. 符號定義與基本設定

• 市場需求函數：$q = \Delta - \delta \cdot p$
• 反需求函數（Inverse Demand）： $$p(q) = \frac{\Delta}{\delta} - \frac{1}{\delta}q$$
• 廠商邊際成本：$MC = c$（常數且無固定生產成本，即 $TC(q) = c \cdot q$）
• 定價策略：會員費 $T$ 與每次使用費 $p$

2. 消費者剩餘（Consumer Surplus, $CS$）

當每堂課單價訂為 $p$ 時，消費者購買數量為 $q = \Delta - \delta \cdot p$。消費者剩餘即為反需求曲線下方、價格線 $p$ 上方的三角形面積：

$$CS(p) = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta}{\delta} - p \right) q = \frac{1}{2\delta}(\Delta - \delta \cdot p)^2$$

3. 廠商利潤極大化問題

廠商透過收取會員費 $T$ 與從量利潤 $(p - c)q$ 來獲利。消費者願意加入會員並進場消費的參與條件（Individual Rationality / Participation Constraint）為：

$$CS(p) - T \ge 0 \implies T \le CS(p)$$

為了極大化利潤，廠商必然將會員費訂至消費者保留剩餘為零，即：

$$T^* = CS(p) = \frac{1}{2\delta}(\Delta - \delta \cdot p)^2$$

廠商的總利潤函數 $\Pi(p)$ 為：

$$\Pi(p) = T + (p - c)q = CS(p) + (p - c)q$$

由於 $CS(p) + (p - c)q$ 正好等於市場總經濟剩餘 $TS(p)$，廠商最大化利潤等價於最大化社會總剩餘。

對 $p$ 建立一階條件（First-Order Condition, FOC）：

$$\frac{d\Pi}{dp} = \frac{dCS(p)}{dp} + q + (p - c)\frac{dq}{dp} = 0$$

根據萊布尼茲法則（或包絡定理），$\frac{dCS(p)}{dp} = -q$。將其代入：

$$-q + q + (p - c)\left(-\delta\right) = 0$$ $$-\delta(p - c) = 0 \implies p^* = c$$

核心觀念

本題探討獨占廠商在「單一定價（Uniform Pricing）」與「二部定價（Two-part Tariff）」之間的策略選擇，並從廠商利潤極大化、社會福利效率性（Social Efficiency / Pareto Efficiency）以及消費者剩餘（Consumer Surplus）三個不同維度進行福利經濟學的比較分析：

1. 二部定價與第一級差別取價的等價性：
   在同質消費者（或已知總市場需求曲線）且無套利行為的假設下，獨占廠商實施二部定價 $(T, p)$ 的最適策略為：
   • 每單位使用費（價格）設在邊際成本：$p^* = c$。
   • 會員費（定額費）完全抽取消費者剩餘：$T^* = CS(c)$。
     此時廠商利潤等於全社會總剩餘，本質上達到了完全差別取價（First-degree Price Discrimination）的效果。
2. 社會效率性（Social Efficiency）：
   社會總剩餘極大化的充分且必要條件為價格等於邊際成本（$P = MC$）。此時無死角損失（Deadweight Loss, $DWL = 0$），資源配置達帕雷托最適（Pareto Optimum）。
3. 所得分配與消費者福利：
   社會總剩餘（$TS = \Pi + CS$）極大化並不等同於消費者福祉極大化。必須嚴格區分「效率（市場餅做大）」與「分配（餅如何分割）」。

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解題方法

由題組前兩小題（3-1 與 3-2）的推導結果為基準進行比較分析：

1. 前題結果回顧

市場需求函數為 $q = \Delta - \delta \cdot p$，反需求函數為：

$$P(q) = \frac{\Delta}{\delta} - \frac{1}{\delta}q$$

邊際成本固定為 $c$，且由題意 $\Delta > \delta \cdot c$。

• 3-1 單一定價制（Uniform Pricing）：
  廠商面對邊際收益 $MR(q) = \frac{\Delta}{\delta} - \frac{2}{\delta}q$，由 $MR = MC$ 求解：

  $$q^U = \frac{\Delta - \delta c}{2}$$ $$p^U = \frac{\Delta + \delta c}{2\delta} > c$$

  廠商利潤與消費者剩餘分別為：

  $$\Pi^U = (p^U - c)q^U = \frac{(\Delta - \delta c)^2}{4\delta}$$ $$CS^U = \frac{1}{2}\left(\frac{\Delta}{\delta} - p^U\right)q^U = \frac{(\Delta - \delta c)^2}{8\delta} > 0$$

  社會總福利與死角損失為：

  $$TS^U = \Pi^U + CS^U = \frac{3(\Delta - \delta c)^2}{8\delta}$$ $$DWL^U = \frac{(\Delta - \delta c)^2}{8\delta} > 0$$

• 3-2 二部定價制（Two-part Tariff）：
  最適定價為使用費等於邊際成本 $p^{2PT} = c$，產量達競爭水準：

  $$q^{2PT} = \Delta - \delta c$$

  會員費訂為消費者在此價格下的全部消費者剩餘：

  $$T^* = \frac{1}{2}\left(\frac{\Delta}{\delta} - c\right)q^{2PT} = \frac{(\Delta - \delta c)^2}{2\delta}$$

  廠商利潤與消費者淨剩餘分別為：

  $$\Pi^{2PT} = T^* + (p^{2PT} - c)q^{2PT} = \frac{(\Delta - \delta c)^2}{2\delta}$$ $$CS^{2PT} = 0$$

  社會總福利與死角損失為：

  $$TS^{2PT} = \Pi^{2PT} + CS^{2PT} = \frac{(\Delta - \delta c)^2}{2\delta}$$

核心觀念

本題考查廠商理論中的長期成本極小化問題（Cost Minimization Problem）以及等產量線（Isoquant）的端點解（Corner Solution）與內部解（Interior Solution）。

1. 成本極小化問題：
   在給定產量 $\bar{Q} = 20$ 及要素價格 $w = 1$、$r > 0$ 下，廠商求解： $$\min_{L, K \ge 0} C = wL + rK = L + rK \quad \text{s.t.} \quad Q(L, K) = KL + K + L = 20$$
2. 生產函數特徵與邊際技術替代率（MRTS）：
   邊際產量分別為： $$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = K + 1$$ $$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = L + 1$$ 邊際技術替代率為等產量線之斜率絕對值： $$MRTS_{L,K} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{K + 1}{L + 1}$$ 由於 $\frac{\partial MRTS}{\partial L} < 0$，等產量線呈現嚴格凸向原點（Strictly convex to the origin）。但請特別注意：此生產函數的等產量線與兩軸相交（即不滿足 Inada 條件），因此最適要素組合可能是兩軸上的端點解，也可能是內部切點解。

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解題方法

步驟一：求出目標等產量線的方程式與兩軸截距

將生產函數改寫：

$$Q(L, K) = KL + K + L = (K + 1)(L + 1) - 1$$

當目標產量 $\bar{Q} = 20$ 時：

$$(K + 1)(L + 1) - 1 = 20 \implies (K + 1)(L + 1) = 21$$

即等產量線方程式為：

$$K = \frac{21}{L + 1} - 1$$

求此等產量線與座標軸的交點：

• 僅使用勞動（$K = 0$）： $$(0 + 1)(L + 1) = 21 \implies L = 20$$ 端點坐標為 $(L, K) = (20, 0)$。
• 僅使用資本（$L = 0$）： $$(K + 1)(0 + 1) = 21 \implies K = 20$$ 端點坐標為 $(L, K) = (0, 20)$。

因此，要素投入的非負可行範圍為 $L \in [0, 20]$ 且 $K \in [0, 20]$。

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步驟二：求端點處的邊際技術替代率（MRTS）

成本線的斜率絕對值（要素價格比）為：

$$\frac{w}{r} = \frac{1}{r}$$

由於等產量線凸向原點，$MRTS_{L,K} = \frac{K+1}{L+1}$ 隨著 $L$ 增加（$K$ 減少）而單調遞減：

1. 在 $L$ 軸端點 $(20, 0)$ 處，$MRTS$ 達到最小值： $$MRTS_{(20, 0)} = \frac{0 + 1}{20 + 1} = \frac{1}{21}$$
2. 在 $K$ 軸端點 $(0, 20)$ 處，$MRTS$ 達到最大值： $$MRTS_{(0, 20)} = \frac{20 + 1}{0 + 1} = 21$$

核心觀念

本題的核心架構圍繞在生產理論與完全競爭市場下的所得分配理論，主要涉及以下三大觀念：

1. 規模報酬（Returns to Scale, RTS）與齊次函數（Homogeneous Functions）：
   • 若生產函數滿足 $Q(tL, tK, tM) = t^k Q(L, K, M)$，則為 $k$ 階齊次函數。
   • 當 $k = 1$ 時，表現為規模報酬不變（Constant Returns to Scale, CRS）。
2. 歐拉定理（Euler's Theorem for Homogeneous Functions）：
   • 若 $Q(L, K, M)$ 為一次齊次函數，則總產出可完全拆解為各要素投入量乘上其邊際產量之和： $$Q = L \cdot \frac{\partial Q}{\partial L} + K \cdot \frac{\partial Q}{\partial K} + M \cdot \frac{\partial Q}{\partial M}$$
3. 完全競爭要素市場與所得耗竭定理（Product Exhaustion Theorem）：
   • 在完全競爭市場中，要素依其邊際產值（Value of Marginal Product, $VMP$）受償。配合歐拉定理，總收益剛好等於總要素報酬成本，經濟利潤恰為零。

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解題方法與完整推導

(a) 規模報酬不變（CRS）的條件

【解題切入點】
檢驗所有要素同比例放大 $t$ 倍（$t > 0$）時，產出的變動比例。

令所有要素投入皆放大 $t$ 倍（其中 $t > 0$）：

$$Q(tL, tK, tM) = (tL)^\alpha (tK)^\beta (tM)^\gamma = t^{\alpha + \beta + \gamma} L^\alpha K^\beta M^\gamma = t^{\alpha + \beta + \gamma} Q(L, K, M)$$

根據規模報酬不變（CRS）之定義，產出亦需等比例放大 $t^1$ 倍，即：

$$Q(tL, tK, tM) = t \cdot Q(L, K, M)$$

對照指數可得：

$$t^{\alpha + \beta + \gamma} = t^1 \implies \alpha + \beta + \gamma = 1$$

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(b) 證明：總產值等於各要素邊際生產力所創造價值之和

【解題切入點】
在完全競爭市場中，產品價格為固定常數 $P$。

• 「廠商所創造的總價值」（Total Value Created）即為總收益（Total Revenue, $TR$）：$TR = P \cdot Q$。
• 「各要素邊際生產力所創造的價值」（Value Created by Factor's Marginal Productivity）即為各要素之**邊際產值（Value of Marginal Product, $VMP$）**分別乘上各自的雇用量： $$VMP_L \cdot L + VMP_K \cdot K + VMP_M \cdot M$$ 其中 $VMP_i = P \cdot MP_i = P \cdot \frac{\partial Q}{\partial i}$（$i \in \{L, K, M\}$）。

【證明步驟】

1. 計算各要素的邊際產量（$MP$）：

   $$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \alpha L^{\alpha - 1} K^\beta M^\gamma = \alpha \frac{Q}{L}$$ $$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = \beta L^\alpha K^{\beta - 1} M^\gamma = \beta \frac{Q}{K}$$ $$MP_M = \frac{\partial Q}{\partial M} = \gamma L^\alpha K^\beta M^{\gamma - 1} = \gamma \frac{Q}{M}$$

2. 將各要素投入量乘上各自的邊際產量求和：

核心觀念

本題結合了公共財理論（Public Goods）與完全訊息靜態賽局（Static Games of Complete Information），探討具有**最優技術（Best-Shot Technology）**特徵的公共財自願提供賽局。核心考點包含：

1. 最優技術公共財（Best-Shot Public Goods）：
   公共財的實際總供給水準由所有人中的「最高提供者」決定，即 $r = \max\{r_1, r_2, \dots, r_n\}$。在此設定下，任何低於最高水準的提供量對全體社會而言皆為無效產出（完全重複投入），但提供者仍須單獨承擔邊際成本。
2. 搭便車誘因（Free-Riding Incentive）：
   在最優技術結構下，只要有人提供了特定水準的公共財，其餘所有人在此水準之下的產出邊際利益為零，從而引發極強烈的搭便車誘因，使次佳或並列的提供者皆有動機將自身提供量降至零。
3. 純策略奈許均衡（Pure-Strategy Nash Equilibrium）：
   在均衡狀態下，每位公民的策略必須互為最佳反應（Best Response），即任一公民皆無誘因進行單邊偏離（Unilateral Deviation）。

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解題方法與步驟推導

設公民 $i$ 面對其他所有公民的提供決策為 $r_{-i} = \max_{j \ne i}\{r_j\}$。
公民 $i$ 的最適化決策為選擇 $r_i \in [0, 1]$，以極大化其淨效用（報酬函數）：

$$\pi_i(r_i, r_{-i}) = v_i \cdot \max\{r_i, r_{-i}\} - c \cdot r_i$$

其中 $v_i \in \{u_h, u_l\}$ 為公民 $i$ 對人權保障的邊際效用評價。

(a) 搭便車誘因的證明

目標：證明若有公民提供正的人權保障水準，則除唯一提供最高水準者之外，其餘每位公民皆有單邊偏離至 $r_i = 0$ 的動機。

將公民 $i$ 的報酬函數依 $r_i$ 與 $r_{-i}$ 的相對大小進行分段討論：

1. 情況一：公民 $i$ 的提供水準小於最高者（$0 < r_i < r_{-i}$）
   此時社會最終的人權保障水準由他人決定，即 $\max\{r_i, r_{-i}\} = r_{-i}$。公民 $i$ 的報酬為：

   $$\pi_i(r_i, r_{-i}) = v_i \cdot r_{-i} - c \cdot r_i$$

   若公民 $i$ 單邊偏離至 $r_i' = 0$，社會人權保障水準仍維持 $r_{-i}$，其偏離後的報酬為：

   $$\pi_i(0, r_{-i}) = v_i \cdot r_{-i}$$

   計算偏離帶來的報酬變動：

   $$\pi_i(0, r_{-i}) - \pi_i(r_i, r_{-i}) = c \cdot r_i > 0 \quad (\because c > 0, r_i > 0)$$

   因此，任何提供水準嚴格小於 $r_{-i}$ 且 $r_i > 0$ 的公民，皆能藉由單邊降低提供量至 $0$ 節省成本 $c \cdot r_i$，而不影響自身享受的人權水準。

2. 情況二：公民 $i$ 與他人並列最高提供者（$r_i = r_{-i} > 0$）
   此時公民 $i$ 目前的報酬為：

   $$\pi_i(r_i, r_{-i}) = v_i \cdot r_{-i} - c \cdot r_{-i}$$

   若公民 $i$ 單邊偏離至 $r_i' = 0$，由於他人依然提供 $r_{-i}$，社會水準依然維持 $\max\{0, r_{-i}\} = r_{-i}$。公民 $i$ 偏離後的報酬為：

   $$\pi_i(0, r_{-i}) = v_i \cdot r_{-i}$$

   報酬變動為：

   $$\pi_i(0, r_{-i}) - \pi_i(r_i, r_{-i}) = c \cdot r_{-i} > 0 \quad (\because c > 0, r_{-i} > 0)$$

   因此，即使身為最高提供者之一，只要存在其他提供相同最高水準的公民，該公民依然有嚴格誘因搭他人便車，將自身提供量降為 $0$。

結論：除了「唯一的」最高提供者之外，任何提供正水準 $r_i > 0$ 的公民，不論其為高評價（$u_h$）或低評價（$u_l$），皆具有單邊偏離至 $r_i = 0$ 的嚴格動機。

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(b) 無人提供非均衡的證明

目標：證明若所有人皆不提供（即對所有 $j$，皆有 $r_j = 0$），則至少有一位高評價公民有誘因單邊偏離至正水準。

若目前狀態為所有人均提供零，則對任一公民 $i$ 而言，$r_{-i} = 0$。此時若公民 $i$ 選擇提供 $r_i$，其報酬函數簡化為：

$$\pi_i(r_i, 0) = v_i \cdot \max\{r_i, 0\} - c \cdot r_i = (v_i - c) \cdot r_i$$

若公民 $i$ 維持 $r_i = 0$，其報酬為 $\pi_i(0, 0) = 0$。