114 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

本題為一個兩人非合作賽局的標準範例，考驗學生對於賽局理論中納許均衡（Nash Equilibrium）概念的理解，包含純策略納許均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium, PSNE）的尋找以及混合策略納許均衡（Mixed Strategy Nash Equilibrium, MSNE）的計算。

核心觀念：

• 純策略納許均衡 (PSNE): 在一個賽局中，若所有玩家都選擇了某個純策略，且在其他玩家策略固定的情況下，沒有任何玩家有動機單方面改變其策略，則此策略組合即為一個純策略納許均衡。
• 混合策略納許均衡 (MSNE): 在一個賽局中，玩家並非確定地選擇某一個純策略，而是以某種機率分佈來選擇其純策略。若在此機率分佈下，所有玩家在其其他玩家的機率分佈固定的情況下，都沒有動機單方面改變其機率分佈，則此機率分佈組合即為一個混合策略納許均衡。

解題過程：

a. 純策略納許均衡 (PSNE) 的數量

尋找純策略納許均衡的方法是檢查矩陣中的每一個策略組合，判斷是否有任何玩家有誘因單方面改變策略。

我們逐一檢視每個策略組合：

1. (Rock, Rock): 支付為 (0,0)。

   • 若 Player 2 選擇 Rock，Player 1 選擇 Paper 可得 5 (優於 Rock 的 0)。所以 Player 1 有誘因改變。
   • 若 Player 1 選擇 Rock，Player 2 選擇 Paper 可得 5 (優於 Rock 的 0)。所以 Player 2 有誘因改變。
   • (Rock, Rock) 不是 PSNE。

2. (Rock, Paper): 支付為 (-1,5)。

   • 若 Player 2 選擇 Paper，Player 1 選擇 Paper 可得 0 (優於 Rock 的 -1)。所以 Player 1 有誘因改變。
   • (Rock, Paper) 不是 PSNE。

3. (Rock, Scissors): 支付為 (1,-1)。

   • 若 Player 2 選擇 Scissors，Player 1 選擇 Paper 可得 -1 (劣於 Rock 的 1)。Player 1 不會改變。
   • 若 Player 1 選擇 Rock，Player 2 選擇 Rock 可得 0 (優於 Scissors 的 -1)。所以 Player 2 有誘因改變。
   • (Rock, Scissors) 不是 PSNE。

4. (Paper, Rock): 支付為 (5,-1)。

   • 若 Player 2 選擇 Rock，Player 1 選擇 Rock 可得 0 (劣於 Paper 的 5)。Player 1 不會改變。
   • 若 Player 1 選擇 Paper，Player 2 選擇 Paper 可得 0 (優於 Rock 的 -1)。所以 Player 2 有誘因改變。
   • (Paper, Rock) 不是 PSNE。

5. (Paper, Paper): 支付為 (0,0)。

   • 若 Player 2 選擇 Paper，Player 1 選擇 Rock 可得 -1 (劣於 Paper 的 0)。Player 1 不會改變。
   • 若 Player 1 選擇 Paper，Player 2 選擇 Rock 可得 -1 (劣於 Paper 的 0)。Player 2 不會改變。
   • (Paper, Paper) 是 PSNE。

6. (Paper, Scissors): 支付為 (-1,2)。

   • 若 Player 2 選擇 Scissors，Player 1 選擇 Rock 可得 1 (優於 Paper 的 -1)。所以 Player 1 有誘因改變。
   • (Paper, Scissors) 不是 PSNE。

7. (Scissors, Rock): 支付為 (-1,1)。

   • 若 Player 2 選擇 Rock，Player 1 選擇 Rock 可得 0 (優於 Scissors 的 -1)。所以 Player 1 有誘因改變。
   • (Scissors, Rock) 不是 PSNE。

8. (Scissors, Paper): 支付為 (2,-1)。

   • 若 Player 2 選擇 Paper，Player 1 選擇 Rock 可得 -1 (劣於 Scissors 的 2)。Player 1 不會改變。
   • 若 Player 1 選擇 Scissors，Player 2 選擇 Rock 可得 1 (優於 Paper 的 -1)。所以 Player 2 有誘因改變。
   • (Scissors, Paper) 不是 PSNE。

9. (Scissors, Scissors): 支付為 (0,0)。

   • 若 Player 2 選擇 Scissors，Player 1 選擇 Rock 可得 1 (優於 Scissors 的 0)。所以 Player 1 有誘因改變。
   • (Scissors, Scissors) 不是 PSNE。

經過逐一檢驗，只有 (Paper, Paper) 是純策略納許均衡。

答案： a. 只有一個純策略納許均衡。

b. 混合策略納許均衡 (MSNE)

假設 Player 1 以機率 $p_R, p_P, p_S$ 分別選擇 Rock, Paper, Scissors，其中 $p_R + p_P + p_S = 1$。
假設 Player 2 以機率 $q_R, q_P, q_S$ 分別選擇 Rock, Paper, Scissors，其中 $q_R + q_P + q_S = 1$。

在混合策略納許均衡中，每個玩家必須對其他玩家所選擇的策略組合（或其機率分佈）感到「無差異」。這意味著，玩家在面對對方混合策略時，選擇任一種純策略所獲得的預期效用都必須相等。

Player 1 的無差異條件：
Player 1 選擇 Rock, Paper, Scissors 的預期效用必須相等。
$E[U_1(\text{Rock})] = E[U_1(\text{Paper})] = E[U_1(\text{Scissors})]$

$E[U_1(\text{Rock})] = q_R \cdot 0 + q_P \cdot (-1) + q_S \cdot 1 = -q_P + q_S$

本題考驗學生對古諾（Cournot）賽局和卡特爾（Cartel）模型的理解。古諾賽局是寡占市場中最基本的模型之一，假設廠商同時決定產量；卡特爾則是廠商之間合作以追求聯合利潤最大化的協議。

核心觀念：

• 古諾賽局 (Cournot Competition): 在此模型中，廠商同時決定其產量，並假設對手的產量固定。每個廠商都根據其反應函數（reaction function）來決定自己的產量，市場均衡出現在反應函數的交點。
• 卡特爾 (Cartel): 廠商組成卡特爾時，如同一個壟斷者般行動，共同決定總產量以最大化聯合利潤，然後再按照協議分配利潤。
• 利潤最大化條件： 廠商的利潤最大化條件通常是邊際收益（Marginal Revenue, MR）等於邊際成本（Marginal Cost, MC）。

解題過程：

a. 古諾競爭 (Cournot Competition)

兩家廠商的成本函數分別為：
$C_1(q_1) = 1 \cdot q_1^2 = q_1^2$
$C_2(q_2) = 2 \cdot q_2^2$

市場需求函數為 $P = 100 - Q = 100 - (q_1 + q_2)$。

步驟 1：計算邊際成本 (MC)
$MC_1 = \frac{dC_1}{dq_1} = 2q_1$
$MC_2 = \frac{dC_2}{dq_2} = 4q_2$

步驟 2：計算邊際收益 (MR)
各廠商的收益函數為 $TR_i = P \cdot q_i = (100 - q_1 - q_2)q_i$。
$TR_1 = (100 - q_1 - q_2)q_1 = 100q_1 - q_1^2 - q_1q_2$
$TR_2 = (100 - q_1 - q_2)q_2 = 100q_2 - q_1q_2 - q_2^2$

各廠商的邊際收益為：
$MR_1 = \frac{dTR_1}{dq_1} = 100 - 2q_1 - q_2$
$MR_2 = \frac{dTR_2}{dq_2} = 100 - q_1 - 2q_2$

步驟 3：建立反應函數 (Reaction Functions)
廠商在古諾模型中，會設定其邊際收益等於邊際成本來最大化利潤。
Firm 1 的利潤最大化：$MR_1 = MC_1$
$100 - 2q_1 - q_2 = 2q_1$
$100 - q_2 = 4q_1 \implies q_1 = \frac{100 - q_2}{4}$ (Firm 1 的反應函數)

Firm 2 的利潤最大化：$MR_2 = MC_2$
$100 - q_1 - 2q_2 = 4q_2$
$100 - q_1 = 6q_2 \implies q_2 = \frac{100 - q_1}{6}$ (Firm 2 的反應函數)

步驟 4：求解均衡產量
將 Firm 2 的反應函數代入 Firm 1 的反應函數：
$q_1 = \frac{100 - (\frac{100 - q_1}{6})}{4}$
$4q_1 = 100 - \frac{100 - q_1}{6}$
$24q_1 = 600 - (100 - q_1)$
$24q_1 = 600 - 100 + q_1$
$23q_1 = 500$
$q_1 = \frac{500}{23}$

將 $q_1$ 代回 Firm 2 的反應函數：
$q_2 = \frac{100 - \frac{500}{23}}{6} = \frac{\frac{2300 - 500}{23}}{6} = \frac{1800/23}{6} = \frac{1800}{23 \cdot 6} = \frac{300}{23}$

步驟 5：計算總產量和市場價格
總產量 $Q = q_1 + q_2 = \frac{500}{23} + \frac{300}{23} = \frac{800}{23}$
市場價格 $P = 100 - Q = 100 - \frac{800}{23} = \frac{2300 - 800}{23} = \frac{1500}{23}$

答案： a. 均衡價格為 $P = \frac{1500}{23}$，Firm 1 的產量為 $q_1 = \frac{500}{23}$，Firm 2 的產量為 $q_2 = \frac{300}{23}$。

b. 卡特爾協議 (Cartel Agreement)

卡特爾的目標是將兩家廠商視為一個整體，共同決定總產量 $Q = q_1 + q_2$，以最大化聯合利潤。

步驟 1：計算聯合總收益 (Total Revenue, TR)
$TR(Q) = P \cdot Q = (100 - Q)Q = 100Q - Q^2$

步驟 2：計算聯合總成本 (Total Cost, TC)

此題考驗學生對生產理論中短期與長期成本函數的理解。在競爭市場中，利潤最大化的廠商會根據要素價格和生產函數來決定要素需求和產量。

核心觀念：

• 生產函數 (Production Function): 表示投入要素與產出之間的技術關係。
• 短期成本函數 (Short-run Cost Function): 在短期內，至少有一種生產要素的投入量是固定的（例如資本 $K$）。廠商需要根據固定的要素量來決定變動要素（例如勞動 $L$）的投入，以達成目標產量 $y$。
• 長期成本函數 (Long-run Cost Function): 在長期內，所有生產要素的投入量都可以變動。廠商會選擇使總成本最低的要素組合來生產目標產量 $y$。
• 利潤最大化/成本最小化： 在競爭市場中，廠商的目標是利潤最大化。這意味著在短期內，廠商會根據固定要素和要素價格來決定變動要素的投入；在長期內，廠商會選擇使總成本最小化的要素組合。

解題過程：

a. 短期成本函數 ($K = \bar{K}$ 固定)

生產函數為 $F(L, K) = L + 10K$。
在短期內，資本 $K$ 被固定為 $\bar{K}$。所以生產函數變為 $y = L + 10\bar{K}$。
要素價格為勞動的工資 $w$ 和資本的租金 $r$。

步驟 1：求取勞動需求函數 $L^*(y, \bar{K})$
廠商需要生產目標產量 $y$。由於 $K$ 固定為 $\bar{K}$，為了達到產量 $y$，勞動 $L$ 的需求量由生產函數決定：
$y = L + 10\bar{K}$
$L = y - 10\bar{K}$
這是生產 $y$ 所需的勞動量，假設 $y \ge 10\bar{K}$ (否則無法生產 $y$ 或需要負勞動，此情況通常不討論)。
所以，條件式的短期勞動需求函數為 $L^*(y, \bar{K}) = y - 10\bar{K}$。

步驟 2：求取短期總成本函數 $C_{SR}(y, \bar{K})$
短期總成本由變動成本（勞動成本）和固定成本（資本成本）組成。
變動成本 $VC = w \cdot L = w \cdot (y - 10\bar{K})$
固定成本 $FC = r \cdot \bar{K}$ (因為資本的投入量 $\bar{K}$ 是固定的)
短期總成本 $C_{SR}(y, \bar{K}) = VC + FC = w(y - 10\bar{K}) + r\bar{K}$
$C_{SR}(y, \bar{K}) = wy - 10w\bar{K} + r\bar{K}$
$C_{SR}(y, \bar{K}) = wy + (r - 10w)\bar{K}$

答案：
a. 短期勞動需求函數為 $L^*(y, \bar{K}) = y - 10\bar{K}$。
短期成本函數為 $C_{SR}(y, \bar{K}) = w(y - 10\bar{K}) + r\bar{K}$ (或 $wy + (r - 10w)\bar{K}$)。

b. 長期成本函數 ($L$ 和 $K$ 皆可變)

在長期內，廠商可以自由選擇勞動 $L$ 和資本 $K$ 的投入量，以生產目標產量 $y$ 並最小化總成本。
總成本函數為 $C(L, K) = wL + rK$。
目標是最小化 $C(L, K)$，使得 $y = L + 10K$。

本題探討資訊不對稱下的勞動市場模型，特別是關於生產力差異但雇主無法直接觀察的勞工，他們如何透過訊號（如學位）來區分自己，以及雇主如何根據這些訊號來決定薪資。此題分為無訊號、大學學位訊號、以及碩士學位訊號三種情況。

核心觀念：

• 資訊不對稱 (Asymmetric Information): 勞動市場中，勞工的生產力資訊不對稱於雇主。
• 預期利潤最大化 (Expected Profit Maximization): 雇主在資訊不對稱下，會根據其對勞工類型的信念來最大化預期利潤。
• 預期效用最大化 (Expected Utility Maximization): 勞工會選擇能使其預期效用最大化的訊號（學位）策略。
• 訊號理論 (Signaling Theory): 生產力較高的勞工會花費成本來取得可被觀察但對生產力無直接貢獻的訊號（如學位），以區別自己並獲得較高薪資。訊號的成本對於不同生產力類型的勞工必須不同，才能達成區分效果。
• 納許均衡 (Nash Equilibrium): 在此情境下，均衡是指雇主的信念和薪資策略，以及勞工的訊號策略，彼此之間形成一個穩定的組合，沒有任何一方有誘因單方面改變。
• 純策略納許均衡 (PSNE): 類似於賽局理論中的 PSNE，在此指所有勞工都選擇一個確定的訊號策略（例如，H 類勞工獲得學士學位，L 類勞工不獲得），且雇主給予對應的薪資。
• 部分分離均衡 (Partial Separating Equilibrium): 某些類型的勞工會採取訊號策略，而另一些則不會，且雇主的信念能夠區分這些群體。
• 完全分離均衡 (Fully Separating Equilibrium): 每一種勞工類型都採取不同的訊號策略，使得雇主能完全辨識出所有勞工的類型。

解題過程：

a. 無訊號下的均衡工資

在沒有任何訊號的情況下，雇主無法區分勞工的生產力類型。他們只能知道勞工是 H, M, L 三種的機率各為 $\frac{1}{3}$。
雇主在第一階段 Hiring 時支付工資 $w$。在第二階段 Production 時才得知勞工類型 $\pi_i$。
雇主的利潤是 $\pi_i - w$。由於雇主是預期利潤最大化者，他們會支付等於勞工預期生產力的工資，以使預期利潤為零（在競爭市場中，此點為進入的誘因）。

預期生產力 $E[\pi] = \frac{1}{3}\pi_H + \frac{1}{3}\pi_M + \frac{1}{3}\pi_L$
$E[\pi] = \frac{1}{3}(15) + \frac{1}{3}(6) + \frac{1}{3}(3) = \frac{1}{3}(15 + 6 + 3) = \frac{1}{3}(24) = 8$

因此，均衡工資 $w$ 將等於勞工的平均生產力。
$w = E[\pi] = 8$。

答案： a. 均衡工資為 $w = 8$。

b. 大學學位訊號下的部分分離均衡工資

雇主的信念：

• 有大學學位 (U) 的勞工：是 H 或 M 類型。
• 無大學學位 (N) 的勞工：是 L 類型。

市場上有兩種工資：

• $w^U$: 有大學學位的勞工所獲得的工資。
• $w^N$: 無大學學位的勞工所獲得的工資。

根據雇主信念，計算均衡工資：

• 無大學學位 (N) 的勞工： 雇主相信他們是 L 型。L 型勞工的生產力是 $\pi_L = 3$。因此，無大學學位者的均衡工資為 $w^N = \pi_L = 3$。
• 有大學學位 (U) 的勞工： 雇主相信他們是 H 或 M 型。由於勞工的生產力資訊是公開的，雇主知道這兩種情況的機率。這裡需要注意，雇主看到一個有學位的人，他知道這個人是 H 或 M 的機率。在部分分離均衡中，通常假設有學位的人裡面，H 和 M 的比例會是他們在總人口中的比例。題目沒有明確說明學位持有者中 H 和 M 的比例，但根據「雇主相信有學位者是 H 或 M」以及「H 和 M 才會拿到學位」的設定，我們可以假設，在有學位的人群中，H 和 M 的生產力是這個群體的平均。
  在一個部分分離均衡中，雇主支付的工資等於他們觀察到的訊號所預期的生產力。
  如果雇主相信有學位者是 H 或 M，那麼這些有學位者的平均生產力是 $E[\pi | \text{Degree}] = \frac{\pi_H + \pi_M}{2}$ （假設 H 和 M 在有學位群體中各佔一半）。
  $E[\pi | \text{Degree}] = \frac{15 + 6}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$
  因此，有大學學位者的均衡工資為 $w^U = 10.5$。

答案： b. 均衡工資為 $w^N = 3$ (無大學學位者) 和 $w^U = 10.5$ (有大學學位者)。

c. 支持部分分離均衡的成本結構選項

為了使上述部分分離均衡成立，需要滿足兩個條件：

1. 勞工的訊號選擇條件 (Incentive Compatibility Constraints):

   • H 型勞工選擇獲得學位 (U) 的效用必須大於不獲得學位 (N) 的效用：$w^U - c_H^U \ge w^N$
   • M 型勞工選擇獲得學位 (U) 的效用必須大於不獲得學位 (N) 的效用：$w^U - c_M^U \ge w^N$
   • L 型勞工選擇不獲得學位 (N) 的效用必須大於獲得學位 (U) 的效用：$w^N \ge w^U - c_L^U$

2. 雇主的信念與實際情況一致 (Belief Consistency): 這是我們在 b 部分使用的，即有學位者是 H 或 M，無學位者是 L。

我們已經計算出 $w^U = 10.5$ 和 $w^N = 3$。
將這些值代入勞工的訊號選擇條件：

• H 型：$10.5 - c_H^U \ge 3 \implies c_H^U \le 7.5$
• M 型：$10.5 - c_M^U \ge 3 \implies c_M^U \le 7.5$
• L 型：$3 \ge 10.5 - c_L^U \implies c_L^U \ge 10.5 - 3 \implies c_L^U \ge 7.5$

現在我們檢查提供的五種成本結構選項：

	$c_H^U$	$c_M^U$	$c_L^U$	$c_H^U \le 7.5$?	$c_M^U \le 7.5$?	$c_L^U \ge 7.5$?	支持均衡?
(1)	0	1	2	Yes	Yes	No	No
(2)	2	2	5	Yes	Yes	No	No
(3)	2	3	7	Yes	Yes	No	No
(4)	3	5	8	Yes	Yes	Yes	Yes
(5)	5	7	9	Yes	Yes	Yes	Yes

答案： c. 選項 (4) 和 (5) 可以支持此均衡。

d. 支持均衡的 $c_H^U, c_M^U, c_L^U$ 的範圍

核心觀念

本題考查：

• Cobb–Douglas 效用函數的最適消費選擇。
• 邊際替代率與預算線切點。
• 收入彈性之定義：
  $\varepsilon_{x_1,M}=\frac{\partial x_1}{\partial M}\cdot\frac{M}{x_1}$
• Cobb–Douglas 偏好具有固定支出比例。
• Engel curve（恩格爾曲線）與收入的關係。

由於 $k>0$，效用函數可取對數：

$$\ln U=k\ln x_1+k\ln x_2$$

因為對數函數為嚴格遞增函數，最大化 $U$ 等價於最大化 $\ln U$。

---

解題方法

Ann 的預算限制為

$$4x_1+5x_2=M$$

由於兩種商品的邊際效用皆為正，收入會全部花完，因此預算限制必定取等號。

最大化問題為

$$\max_{x_1,x_2} \ k\ln x_1+k\ln x_2$$

其一階條件為

$$\frac{\partial \ln U}{\partial x_1}=\frac{k}{x_1}, \qquad \frac{\partial \ln U}{\partial x_2}=\frac{k}{x_2}$$

最適條件為邊際替代率等於價格比：

$$\frac{MU_1}{MU_2}=\frac{p_1}{p_2}$$

因此

$$\frac{k/x_1}{k/x_2} = \frac{x_2}{x_1} = \frac{4}{5}$$

整理得

$$x_2=\frac{4}{5}x_1$$

代入預算限制：

$$4x_1+5\left(\frac{4}{5}x_1\right)=M$$ $$8x_1=M$$

所以

$$x_1^*=\frac{M}{8}$$

再代回 $x_2=\frac45x_1$：

$$x_2^*=\frac{M}{10}$$

---

(a) 最適消費組合

最適消費組合為

$$\boxed{(x_1^*,x_2^*)=\left(\frac{M}{8},\frac{M}{10}\right)}$$

此時兩種商品的支出分別為

$$4x_1^*=4\left(\frac{M}{8}\right)=\frac{M}{2}$$ $$5x_2^*=5\left(\frac{M}{10}\right)=\frac{M}{2}$$

因此 Ann 將收入平均分配在兩種商品上。這是因為效用函數中兩種商品的指數相同，均為 $k$。

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(b) 商品 1 的收入彈性

商品 1 的需求函數為

$$x_1^*=\frac{M}{8}$$

對收入 $M$ 微分：

$$\frac{\partial x_1^*}{\partial M}=\frac18$$

收入彈性為

$$\varepsilon_{x_1,M} = \frac{\partial x_1^*}{\partial M} \cdot \frac{M}{x_1^*}$$

代入 $x_1^*=M/8$：

$$\varepsilon_{x_1,M} = \frac18\cdot\frac{M}{M/8} =1$$

因此

$$\boxed{\varepsilon_{x_1,M}=1}$$

商品 1 是正常財，且具有單位收入彈性。收入增加 $1\%$ 時，商品 1 的需求量也增加 $1\%$。

---

(c) 商品 2 價格由 5 上升至 10

價格改變後：

$$p_1=4,\qquad p_2=10$$

Cobb–Douglas 效用函數的支出比例不變，Ann 仍將一半收入花在商品 2 上。因此新的商品 2 需求量為

$$x_2'=\frac{M/2}{10}=\frac{M}{20}$$

商品 2 的支出為

$$10x_2' = 10\left(\frac{M}{20}\right) = \frac{M}{2}$$

價格上升前，商品 2 的支出為

$$5\left(\frac{M}{10}\right)=\frac{M}{2}$$

所以支出金額沒有改變：

本題考驗學生對風險與保險決策的理解，以及風險態度的判斷。這涉及預期效用理論，特別是風險規避（Risk Aversion）的衡量。

核心觀念：

• 預期效用 (Expected Utility, EU): 消費者在面對不確定結果時，其預期效用是各種可能結果的效用與其發生機率的加權平均。
• 保險決策 (Insurance Decision): 消費者是否購買保險，取決於購買保險的預期效用是否大於不購買保險的預期效用。
• 風險規避 (Risk Aversion): 指消費者在面對相同預期收益的不確定性時，傾向於選擇確定性結果。在效用函數方面，風險規避的效用函數是凹函數（二階導數為負）。
• 確定性等價 (Certainty Equivalent, CE): 指消費者願意放棄多少確定財富，以換取一項不確定收益。對於風險規避者，CE 小於預期收益。

解題過程：

a. Dick 是否會購買保險？

Dick 的初始財富 $W_0 = 400$。
損失金額 $L = 175$。
損失發生的機率 $p = 0.20$。
保險提供全額補償。
保險費用（保費）$P = 30$。

情況 1：不購買保險
有兩種可能結果：

• 發生損失： 財富變為 $W_{loss} = W_0 - L = 400 - 175 = 225$。此情況發生的機率為 $p = 0.20$。
• 未發生損失： 財富保持為 $W_{no\_loss} = W_0 = 400$。此情況發生的機率為 $1-p = 0.80$。

Dick 不購買保險的預期效用 $EU_{no\_insurance}$ 為：
$EU_{no\_insurance} = p \cdot U(W_{loss}) + (1-p) \cdot U(W_{no\_loss})$
$EU_{no\_insurance} = 0.20 \cdot U(225) + 0.80 \cdot U(400)$
$U(W) = W^{0.5}$
$U(225) = 225^{0.5} = 15$
$U(400) = 400^{0.5} = 20$
$EU_{no\_insurance} = 0.20 \cdot 15 + 0.80 \cdot 20 = 3 + 16 = 19$

情況 2：購買保險
Dick 支付保費 30。

• 如果發生損失： Dick 支付 30 的保費，並遭受 175 的損失，但保險補償 175。所以最終財富為 $W_{loss\_insured} = W_0 - L - P + L = W_0 - P = 400 - 30 = 370$。此情況發生的機率為 $p = 0.20$。
• 如果未發生損失： Dick 支付 30 的保費，財富變為 $W_{no\_loss\_insured} = W_0 - P = 400 - 30 = 370$。此情況發生的機率為 $1-p = 0.80$。

無論是否發生損失，購買保險後的最終財富都是確定的：370。
Dick 購買保險的預期效用 $EU_{insurance}$ 為：
$EU_{insurance} = 1 \cdot U(370)$
$U(370) = 370^{0.5} \approx 19.235$

決策：
比較 $EU_{insurance}$ 和 $EU_{no\_insurance}$。
$EU_{insurance} \approx 19.235$
$EU_{no\_insurance} = 19$

由於 $EU_{insurance} > EU_{no\_insurance}$，Dick 會選擇購買保險。

原因解釋：
Dick 購買保險的預期效用高於不購買保險的預期效用。

本題考驗學生對一般均衡理論的理解，特別是純交換經濟中的瓦爾拉斯均衡（Walrasian Equilibrium）的求解，以及對帕累托效率（Pareto Efficiency）的判斷。

核心觀念：

• 純交換經濟 (Pure Exchange Economy): 經濟體系中只有兩個或多個消費者和兩種或多種商品，沒有生產活動。消費者的目標是透過交換來最大化其效用。
• 初始稟賦 (Initial Endowment): 每個消費者在交換開始時擁有的商品數量。
• 瓦爾拉斯均衡 (Walrasian Equilibrium): 在一個交換經濟中，存在一組價格（$p_x, p_y$），使得在這些價格下，每個消費者的總需求等於其總供給（即，市場的總需求等於總供給），並且每個消費者都在其預算線內最大化其效用。
• 瓦爾拉斯法則 (Walras's Law): 在任何一組價格下，所有消費者的總需求價值等於所有消費者的總供給價值。這意味著，如果一個市場（商品）處於均衡狀態，那麼所有其他市場（商品）也必然處於均衡狀態。因此，我們只需要找到其中一個市場的均衡價格。
• 帕累托效率 (Pareto Efficiency): 一種資源配置狀態，在此狀態下，不可能在不使至少一個人的境況變差的情況下，使至少一個人的境況變得更好。
• 交換曲線 (Contract Curve): 所有帕累托效率的資源配置點的集合，通常是兩消費者邊際替代率相等的點的連線。

解題過程：

a. 求解瓦爾拉斯均衡 (Walrasian Equilibrium)

1. 確定總量和初始稟賦：

• 總商品 X 數量：$X_{total} = x_A^{initial} + x_B^{initial} = 2 + 0 = 2$
• 總商品 Y 數量：$Y_{total} = y_A^{initial} + y_B^{initial} = 0 + 2 = 2$
• 消費者 A 的初始稟賦：$(x_A^{initial}, y_A^{initial}) = (2, 0)$
• 消費者 B 的初始稟賦：$(x_B^{initial}, y_B^{initial}) = (0, 2)$

2. 建立消費者的效用最大化條件：

• 消費者 A:
  效用函數 $U_A(x_A, y_A) = x_A y_A$
  邊際效用：$MU_{A,x} = y_A$, $MU_{A,y} = x_A$
  MRS$_A = \frac{MU_{A,x}}{MU_{A,y}} = \frac{y_A}{x_A}$
  預算限制式：$p_x x_A + p_y y_A = p_x x_A^{initial} + p_y y_A^{initial} = p_x(2) + p_y(0) = 2p_x$
  效用最大化條件：$\frac{y_A}{x_A} = \frac{p_x}{p_y}$ (若 $x_A, y_A > 0$)

• 消費者 B:
  效用函數 $U_B(x_B, y_B) = x_B^2 y_B$
  邊際效用：$MU_{B,x} = 2x_B y_B$, $MU_{B,y} = x_B^2$
  MRS$_B = \frac{MU_{B,x}}{MU_{B,y}} = \frac{2x_B y_B}{x_B^2} = \frac{2y_B}{x_B}$
  預算限制式：$p_x x_B + p_y y_B = p_x x_B^{initial} + p_y y_B^{initial} = p_x(0) + p_y(2) = 2p_y$
  效用最大化條件：$\frac{2y_B}{x_B} = \frac{p_x}{p_y}$ (若 $x_B, y_B > 0$)

3. 求解均衡價格和配置：
由於我們有兩個市場，根據瓦爾拉斯法則，我們只需要關注一個市場的均衡。我們可以將價格歸一化，例如設定 $p_y = 1$。然後我們求解 $p_x$。

從消費者 A 的效用最大化條件：$y_A = \frac{p_x}{p_y} x_A$。
代入 A 的預算限制式 $p_x x_A + p_y y_A = 2p_x$：
$p_x x_A + p_y (\frac{p_x}{p_y} x_A) = 2p_x$
$p_x x_A + p_x x_A = 2p_x$
$2 p_x x_A = 2p_x$
如果 $p_x > 0$，則 $x_A = 1$。
由 $y_A = \frac{p_x}{p_y} x_A$，當 $p_y=1$ 時，$y_A = p_x \cdot 1 = p_x$。
所以，A 的需求為 $(x_A, y_A) = (1, p_x)$。

從消費者 B 的效用最大化條件：$\frac{2y_B}{x_B} = \frac{p_x}{p_y}$。
代入 B 的預算限制式 $p_x x_B + p_y y_B = 2p_y$：
$p_x x_B + p_y (\frac{p_x}{2p_y} x_B) = 2p_y$
$p_x x_B + \frac{p_x}{2} x_B = 2p_y$
$\frac{3}{2} p_x x_B = 2p_y$
$x_B = \frac{4p_y}{3p_x}$。