114 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

本題主要在考察貨幣供給的創造過程以及貨幣乘數的導出。考生需要說明貨幣供給的組成，
並透過中央銀行、存款機構和公眾的行為，建構貨幣創造模型，推導出貨幣乘數的公式。

貨幣供給 ($M$) 通常可定義為公眾手中持有的通貨淨額 ($C$) 加上公眾在銀行體系中的存款 ($D$)，即 $M = C + D$。
貨幣乘數描述了貨幣基礎（或稱高能貨幣，$H$）對總體貨幣供給的影響程度。貨幣基礎主要由公眾持有的通貨淨額 ($C$) 和銀行體系持有的準備金 ($R$) 組成，即 $H = C + R$。

貨幣乘數的導出通常基於以下幾個行為：

1. 公眾的通貨-存款比率 ($c$)： 公眾持有通貨相對於存款的比例。$c = C/D$。
2. 銀行體系的準備金-存款比率 ($r$)： 銀行體系持有的準備金相對於存款的比例。銀行體系包含法定準備金比率 ($rr$) 和超額準備金比率 ($er$)，因此 $R = R_{required} + R_{excess} = rr \cdot D + er \cdot D = (rr + er) \cdot D$。我們將 $r = R/D = rr + er$ 定義為總體準備金比率。

基於以上定義，我們可以將貨幣供給 $M$ 和貨幣基礎 $H$ 表示為：
$M = C + D = cD + D = (c+1)D$
$H = C + R = cD + rD = (c+r)D$

貨幣乘數 ($m$) 定義為貨幣供給與貨幣基礎的比率：
$m = M/H$

將 $M$ 和 $H$ 的表達式代入：
$m = \frac{(c+1)D}{(c+r)D}$

約去 $D$，得到貨幣乘數的公式：
$m = \frac{c+1}{c+r}$

本題主要考察考生對實質景氣循環 (Real Business Cycle, RBC) 理論的理解。考生需要闡述其核心假設、模型結構、經濟波動的來源以及政策意涵。

實質景氣循環理論 (RBC Theory) 的核心內涵：

實質景氣循環理論是一種試圖解釋總體經濟波動（景氣循環）的理論框架。與傳統凱因斯學派認為經濟波動主要由總體需求衝擊（如信心不足、貨幣政策失誤）引起不同，RBC 理論認為經濟波動主要是由實質性衝擊 (real shocks) 引起的，並且經濟體系能夠有效率地自我調整，因此景氣循環是經濟有效率運行下的正常現象。

核心假設與模型結構：

1. 代表性經濟人 (Representative Agent)： 模型通常由一個或多個代表性的家庭（消費者）和廠商組成。這些經濟人是理性預期的，並且追求其跨期效用最大化。
2. 跨期效用最大化： 消費者在不同時期之間進行消費和儲蓄的決策，以最大化其終身效用。效用函數通常是消費和閒暇（或勞動時間）的函數。
3. 跨期利潤最大化： 廠商的目標是在不同時期內生產商品，以最大化其終身利潤。
4. 技術衝擊 (Technology Shocks) 為主要驅動因素： 這是 RBC 理論最核心的觀點。RBC 理論認為，景氣循環的波動主要來自於生產函數中的技術效率參數（通常表示為 $A_t$）的隨機變動。當技術效率 $A_t$ 提高時，生產力上升，產出增加，消費、投資、就業等也隨之增加，進入擴張期；反之，當 $A_t$ 下降時，經濟進入衰退期。
5. 勞動供給的內生性： RBC 模型強調勞動供給的內生性。當技術效率提高、產出增加時，勞動的邊際產出也提高，勞動的實質工資率上升。這會激勵人們增加勞動供給，減少閒暇，從而進一步推升產出。反之亦然。因此，勞動供給對實質工資率變動敏感。
6. 完全競爭市場與效率： 模型假設所有市場（商品市場、勞動市場、資本市場）都是完全競爭的，且資訊是完全透明的。這意味著經濟體系能夠有效率地配置資源，市場價格能夠充分反映稀缺性。
7. 價格彈性與市場出清： 價格（包括商品價格和工資率）是彈性的，能夠快速調整以使市場出清。這與凱因斯學派的價格黏性假設不同。

本題為一總體經濟學的個體基礎模型應用題，結合了生產函數、要素報酬、勞動市場分析以及移民衝擊的影響。考生需要運用微分技巧求得邊際產量，分析要素互補或替代關係，並評估移民對勞動市場和薪資結構的衝擊。

核心觀念：

• 生產函數與邊際產量： 邊際產量是其他生產要素固定下，增加一單位某生產要素所帶來的產出增加量。
• 要素報酬： 在完全競爭市場下，要素的報酬（如工資）等於其邊際產量。
• 要素互補與替代： 判斷兩種生產要素是互補或替代關係，可透過其中一種要素邊際產量對另一種要素投入變動的反應來判斷。
• 勞動市場均衡： 勞動市場的均衡工資由勞動的邊際產量決定。
• 移民衝擊： 勞動力供給的增加會影響勞動市場的均衡。

(a) 邊際產量、薪資比率與要素關係分析

首先，我們需要定義生產函數中的變數，以便進行微分。
假設 $Y_1 = f(K_1, L_1, H_1)$ 和 $Y_2 = g(K_2, L_2, H_2)$。

Country 1 的生產函數： $Y_1 = AK_1^{\alpha}L_1^{1-\alpha-\beta}H_1^{-\beta}$
假設 $K_1$ 固定，我們來求 $L_1$ 和 $H_1$ 的邊際產量。

• 低技能勞動 (L1) 的邊際產量 (MPL1)：
  $MPL_1 = \frac{\partial Y_1}{\partial L_1} = AK_1^{\alpha} (1-\alpha-\beta) L_1^{-\alpha-\beta} H_1^{-\beta}$

• 高技能勞動 (H1) 的邊際產量 (MPH1)：
  $MPH_1 = \frac{\partial Y_1}{\partial H_1} = AK_1^{\alpha} L_1^{1-\alpha-\beta} (-\beta) H_1^{-\beta-1}$

在完全競爭市場下，要素的報酬等於其邊際產量。因此，低技能勞動的實質工資 $w_{L1}$ 和高技能勞動的實質工資 $w_{H1}$ 分別為：
$w_{L1} = MPL_1 = A(1-\alpha-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{-\alpha-\beta} H_1^{-\beta}$
$w_{H1} = MPH_1 = A(-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{1-\alpha-\beta} H_1^{-\beta-1}$

高技能與低技能勞動的薪資比率 ($w_{H1}/w_{L1}$)：
$\frac{w_{H1}}{w_{L1}} = \frac{A(-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{1-\alpha-\beta} H_1^{-\beta-1}}{A(1-\alpha-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{-\alpha-\beta} H_1^{-\beta}}$
$\frac{w_{H1}}{w_{L1}} = \frac{-\beta}{1-\alpha-\beta} \frac{L_1}{H_1}$

這裡出現了負號，這表示在 Country 1 的生產函數形式下，高技能勞動 $H_1$ 的邊際產量是負的，這是不尋常的，通常生產函數中勞動的邊際產量應為正。這可能表示該生產函數形式的限制，或者需要更仔細地解釋 $\beta$ 的含義。如果我們假設 $\beta$ 應該是正值且代表某種「負貢獻」或「成本」，或者模型設定需要調整（例如，將 $H_1^{-\beta}$ 改為 $H_1^{\beta}$ 並調整其他參數）。

假設生產函數為 $Y_1 = AK_1^{\alpha}L_1^{1-\alpha}H_1^{\beta}$，其中 $\alpha+\beta<1$ 且 $\alpha, \beta > 0$。
若依題意，則 $Y_1 = AK_1^{\alpha}L_1^{1-\alpha-\beta}H_1^{-\beta}$。如果 $\beta > 0$，則 $H_1$ 的邊際產量確實為負。這意味著增加高技能勞動反而會降低總產出。這通常不是一個標準的生產函數設定。
為了能夠進行有意義的分析，我們暫時假設題目的生產函數 $Y_1$ 中的 $H_1^{-\beta}$ 應為 $H_1^{\beta'}$ 且 $\beta'>0$。
然而，若嚴格依照題目給定的形式 $Y_1 = AK_1^{\alpha}L_1^{1-\alpha-\beta}H_1^{-\beta}$，則 $MPH_1$ 是負的。 我們將按照題目給定的形式進行分析，並指出此特殊情況。

Country 1 (依題目給定函數)：
$MPL_1 = A(1-\alpha-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{-\alpha-\beta} H_1^{-\beta}$
$MPH_1 = A(-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{1-\alpha-\beta} H_1^{-\beta-1}$

由於 $1-\alpha-\beta > 0$ (假設 $\alpha+\beta < 1$) 且 $\beta > 0$，$MPL_1 > 0$。
而 $MPH_1 < 0$。這表示增加高技能勞動會減少總產出。

高技能與低技能勞動的薪資比率 ($w_{H1}/w_{L1}$)：
$\frac{w_{H1}}{w_{L1}} = \frac{MPH_1}{MPL_1} = \frac{A(-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{1-\alpha-\beta} H_1^{-\beta-1}}{A(1-\alpha-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{-\alpha-\beta} H_1^{-\beta}} = \frac{-\beta}{1-\alpha-\beta} \frac{L_1}{H_1}$
由於 $\beta > 0$ 且 $1-\alpha-\beta > 0$，薪資比率為負。這在經濟學上是不尋常的，因為工資通常是正的。這再次暗示了生產函數設定的特殊性。若我們假設工資是其邊際產量，則高技能勞動的工資為負。

要素互補或替代關係 (Country 1)：
判斷要素是互補或替代，可以看一種要素投入變動對另一種要素邊際產量的影響。
考慮 $L_1$ 的邊際產量 $MPL_1$ 對 $H_1$ 的反應：
$\frac{\partial MPL_1}{\partial H_1} = A(1-\alpha-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{-\alpha-\beta} (-\beta) H_1^{-\beta-1}$
由於 $A, K_1, L_1, (1-\alpha-\beta)$ 皆為正，而 $\beta>0$，所以 $\frac{\partial MPL_1}{\partial H_1} < 0$。
這表示增加高技能勞動 ($H_1$) 會降低低技能勞動的邊際產量 ($MPL_1$)。
當一種要素的邊際產量隨著另一種要素的增加而減少時，這兩種要素被認為是互補的。

Country 2 的生產函數： $Y_2 = AK_2^{\alpha}(L_2 + \eta H_2)^{1-\alpha}$
這裡 $\eta > 1$ 是高技能勞動相對於低技能勞動的相對生產力。
假設 $K_2$ 固定。

• 低技能勞動 (L2) 的邊際產量 (MPL2)：
  $MPL_2 = \frac{\partial Y_2}{\partial L_2} = AK_2^{\alpha} (1-\alpha) (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha} \cdot 1$
  $MPL_2 = A(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}$

• 高技能勞動 (H2) 的邊際產量 (MPH2)：
  $MPH_2 = \frac{\partial Y_2}{\partial H_2} = AK_2^{\alpha} (1-\alpha) (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha} \cdot \eta$
  $MPH_2 = A\eta(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}$

在完全競爭市場下，實質工資 $w_{L2}$ 和 $w_{H2}$ 分別為：
$w_{L2} = MPL_2 = A(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}$
$w_{H2} = MPH_2 = A\eta(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}$

高技能與低技能勞動的薪資比率 ($w_{H2}/w_{L2}$)：
$\frac{w_{H2}}{w_{L2}} = \frac{MPH_2}{MPL_2} = \frac{A\eta(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}}{A(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}} = \eta$
薪資比率等於 $\eta$。由於 $\eta > 1$，高技能勞動的工資是低技能勞動的 $\eta$ 倍。

要素互補或替代關係 (Country 2)：
考慮 $L_2$ 的邊際產量 $MPL_2$ 對 $H_2$ 的反應：
$\frac{\partial MPL_2}{\partial H_2} = A(1-\alpha) K_2^{\alpha} (-\alpha) (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha-1} \cdot \eta$
$\frac{\partial MPL_2}{\partial H_2} = -A\alpha\eta(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha-1}$
由於 $A, \alpha, \eta, (1-\alpha), K_2$ 皆為正，且分母為負指數，故 $\frac{\partial MPL_2}{\partial H_2} < 0$。
這表示增加高技能勞動 ($H_2$) 會降低低技能勞動的邊際產量 ($MPL_2$)。
因此，在高技能勞動和低技能勞動之間，Country 2 的生產函數設定也顯示它們是互補的。

討論要素互補或替代：
在 Country 1 的生產函數中，由於 $H_1$ 的邊際產量為負，其互補性分析有些許特殊。但若我們僅從 $\frac{\partial MPL_1}{\partial H_1} < 0$ 的結果來看，可以推論 $L_1$ 和 $H_1$ 是互補的。
在 Country 2 的生產函數中，由於 $\frac{\partial MPL_2}{\partial H_2} < 0$， $L_2$ 和 $H_2$ 是互補的。

總結 (a)：

• Country 1：
  $MPL_1 = A(1-\alpha-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{-\alpha-\beta} H_1^{-\beta}$
  $MPH_1 = A(-\beta) K_1^{\alpha} L_1^{1-\alpha-\beta} H_1^{-\beta-1}$
  薪資比率：$\frac{w_{H1}}{w_{L1}} = \frac{-\beta}{1-\alpha-\beta} \frac{L_1}{H_1}$
  $L_1$ 與 $H_1$ 是互補的。
• Country 2：
  $MPL_2 = A(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}$
  $MPH_2 = A\eta(1-\alpha) K_2^{\alpha} (L_2 + \eta H_2)^{-\alpha}$
  薪資比率：$\frac{w_{H2}}{w_{L2}} = \eta$
  $L_2$ 與 $H_2$ 是互補的。

備註： Country 1 的生產函數設定 $H_1^{-\beta}$ 導致 $MPH_1 < 0$，這在標準教科書模型中較少見。通常，如果兩種勞動是互補的，則一種勞動的增加會提高另一種勞動的邊際產量。

第 4 題詳解

核心觀念

本題結合兩部門生產、完全競爭要素市場，以及兩期世代交疊模型（OLG）。主要觀念包括：

1. GDP 為各部門產值按市場價格加總。
2. 完全競爭下，工資等於勞動邊際產量。
3. 兩部門同時生產時，勞動必須在部門間獲得相同報酬。
4. 年輕人透過儲蓄累積下一期資本。
5. 老年人的 LTC 需求必須等於 LTC 部門的供給。
6. 穩態均衡需同時滿足：
   • 家戶最適儲蓄；
   • 資本市場均衡；
   • 勞動市場均衡；
   • LTC 市場均衡。

以下假設 $0<\alpha<1$，且兩部門皆有正的勞動配置。

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(a) GDP、工資與部門共存條件

GDP 表達式

商品部門的產量為

$$Y=AK^\alpha L_Y^{1-\alpha}.$$

LTC 部門的產量為

$$X=BL_{LTC}.$$

由於商品價格為 numeraire，商品價格為 $1$，LTC 價格為 $p$，因此總 GDP 為兩部門產值的市場價值加總：

$$GDP=Y+pX.$$

代入生產函數及勞動資源限制 $L=L_Y+L_{LTC}$：

$$\boxed{ GDP=AK^\alpha L_Y^{1-\alpha}+pB L_{LTC} }$$

或寫成：

$$\boxed{ GDP=AK^\alpha L_Y^{1-\alpha}+pB(L-L_Y) }.$$

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商品部門工資

完全競爭下，商品部門工資等於勞動邊際產量：

$$w_Y=\frac{\partial Y}{\partial L_Y}.$$

因此：

$$w_Y=(1-\alpha)AK^\alpha L_Y^{-\alpha}.$$

利用資本密度

$$k=\frac{K}{L_Y},$$

可改寫為：

$$\boxed{ w_Y=(1-\alpha)Ak^\alpha }.$$

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LTC 部門工資

LTC 部門收入為 $pX=pBL_{LTC}$，因此勞動的價值邊際產量為：

$$w_{LTC}=p\frac{\partial X}{\partial L_{LTC}}.$$

由於

$$\frac{\partial X}{\partial L_{LTC}}=B,$$

所以：

$$\boxed{ w_{LTC}=pB }.$$

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兩部門共存條件

若兩部門皆配置正的勞動，且勞工可以自由在兩部門間移動，則兩部門工資必須相等：

$$w_Y=w_{LTC}.$$

因此：

$$(1-\alpha)AK^\alpha L_Y^{-\alpha}=pB.$$

或以資本密度表示：

$$\boxed{ (1-\alpha)Ak^\alpha=pB }.$$

若：

$$w_Y>w_{LTC},$$

勞工會轉往商品部門；若：

$$w_Y<w_{LTC},$$

勞工會轉往 LTC 部門。只有工資相等時，兩部門才能同時存在於內部均衡。

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(b) 兩期模型與穩態均衡

解題方法

本小題依序處理：

1. 先求年輕人的最適儲蓄；
2. 由儲蓄決定下一期資本；
3. 以兩部門工資相等決定 LTC 價格；
4. 以 LTC 市場供需相等決定兩部門勞動配置；
5. 聯立求出穩態的 $k^*$、$p^*$ 及勞動比例。

令：

$$n_t\equiv \frac{L_{Y,t}}{L_t},$$

因此：

$$\frac{L_{LTC,t}}{L_t}=1-n_t.$$

在無人口成長的穩態中，勞動人口規模固定，以下簡寫為 $L$。

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第一步：年輕人的最適儲蓄

年輕人的生命週期效用為：

$$U^t=\ln(c_Y^t)+\beta\ln(x_{t+1}).$$

預算限制為：

$$c_Y^t+s_t=w_t,$$

以及：

$$p_{t+1}x_{t+1}=R_{t+1}s_t.$$

因此：

$$x_{t+1}=\frac{R_{t+1}s_t}{p_{t+1}}.$$

代入效用函數：

$$U^t = \ln(w_t-s_t) +\beta\ln\left(\frac{R_{t+1}s_t}{p_{t+1}}\right).$$

其中 $R_{t+1}$ 與 $p_{t+1}$ 對個別家戶而言均視為外生。對 $s_t$ 微分：

$$-\frac{1}{w_t-s_t}+\frac{\beta}{s_t}=0.$$

整理得：

$$\beta(w_t-s_t)=s_t,$$

因此：

$$\boxed{ s_t=\frac{\beta}{1+\beta}w_t }.$$

令：

$$q\equiv \frac{\beta}{1+\beta},$$

則：

$$s_t=qw_t.$$

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第二步：商品部門的工資與資本報酬

在商品部門：

$$Y_t=AK_t^\alpha L_{Y,t}^{1-\alpha}.$$

資本密度為：

$$k_t=\frac{K_t}{L_{Y,t}}.$$

商品部門工資為：

$$w_{Y,t}=(1-\alpha)Ak_t^\alpha.$$

資本的邊際產量為：

$$R_{t+1}=\frac{\partial Y_{t+1}}{\partial K_{t+1}} =\alpha A k_{t+1}^{\alpha-1}.$$

由於資本在一期後完全折舊，資本報酬不包含未折舊資本項目，因此：

$$\boxed{ R_{t+1}=\alpha A k_{t+1}^{\alpha-1} }.$$

在兩部門共存時：

$$w_{Y,t}=w_{LTC,t}=p_tB.$$

因此：

$$\boxed{ p_tB=(1-\alpha)Ak_t^\alpha }$$

以及：

$$\boxed{ p_t=\frac{(1-\alpha)Ak_t^\alpha}{B} }.$$

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第三步：資本市場均衡

下一期的資本來自本期年輕人的總儲蓄：

$$K_{t+1}=s_tL.$$

另一方面：

$$K_{t+1}=k_{t+1}L_{Y,t+1} =k_{t+1}n_{t+1}L.$$

因此：

$$k_{t+1}n_{t+1}L=s_tL.$$

消去 $L$：

$$k_{t+1}n_{t+1}=s_t.$$

在穩態中：

$$k^*n^*=s^*.$$

由於：

$$s^*=q w^* =q(1-\alpha)A(k^*)^\alpha,$$

所以：

$$k^*n^* = q(1-\alpha)A(k^*)^\alpha.$$

除以 $k^*$：

$$\boxed{ n^* = q(1-\alpha)A(k^*)^{\alpha-1} }.$$

---

第四步：LTC 市場均衡

每位老年人的 LTC 消費為：

$$x_t=\frac{R_ts_{t-1}}{p_t}.$$

由於老年人口規模與年輕人口規模相同，LTC 市場供給為：

$$X_t=B L_{LTC,t}=B(1-n_t)L.$$

市場需求為：

$$Lx_t.$$

因此：

$$B(1-n_t)L = L\frac{R_ts_{t-1}}{p_t}.$$

消去 $L$：

$$B(1-n_t)=\frac{R_ts_{t-1}}{p_t}.$$

在穩態中：

$$B(1-n^*)=\frac{R^*s^*}{p^*}.$$

利用：

$$R^*=\alpha A(k^*)^{\alpha-1},$$ $$s^*=q(1-\alpha)A(k^*)^\alpha,$$

及：

$$p^*=\frac{(1-\alpha)A(k^*)^\alpha}{B},$$

可得：

$$\frac{R^*s^*}{p^*} = \alpha A(k^*)^{\alpha-1} \cdot qB(k^*)^0.$$

所以：

$$\boxed{ 1-n^* = q\alpha AB(k^*)^{\alpha-1} }.$$

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第五步：求穩態資本密度

將兩部門勞動比例相加：

$$n^*+(1-n^*)=1.$$

因此：

$$q(1-\alpha)A(k^*)^{\alpha-1} + q\alpha AB(k^*)^{\alpha-1} =1.$$

整理：

$$qA\left[(1-\alpha)+\alpha B\right](k^*)^{\alpha-1}=1.$$

由於 $\alpha-1=-(1-\alpha)$，因此：

$$(k^*)^{1-\alpha} = qA\left[(1-\alpha)+\alpha B\right].$$

故：

$$\boxed{ k^* = \left[ \frac{\beta}{1+\beta} A\left((1-\alpha)+\alpha B\right) \right]^{\frac{1}{1-\alpha}} }.$$

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第六步：求穩態 LTC 價格

由兩部門工資相等：

$$p^*B=(1-\alpha)A(k^*)^\alpha.$$

因此：

$$\boxed{ p^* = \frac{(1-\alpha)A}{B} \left[ \frac{\beta}{1+\beta} A\left((1-\alpha)+\alpha B\right) \right]^{\frac{\alpha}{1-\alpha}} }.$$

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第七步：求兩部門勞動比例

由前述結果：

$$n^* = q(1-\alpha)A(k^*)^{\alpha-1}.$$

而：

$$qA\left[(1-\alpha)+\alpha B\right](k^*)^{\alpha-1}=1.$$

所以：

$$\boxed{ \frac{L_Y}{L} = n^* = \frac{1-\alpha}{(1-\alpha)+\alpha B} }.$$

因此：

$$\boxed{ \frac{L_{LTC}}{L} = 1-n^* = \frac{\alpha B}{(1-\alpha)+\alpha B} }.$$

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參數變動分析

1. LTC 技術 $B$ 增加

由：

$$k^* = \left[ qA((1-\alpha)+\alpha B) \right]^{1/(1-\alpha)},$$

可知：

$$\boxed{ B\uparrow \Rightarrow k^*\uparrow }.$$

LTC 生產力提高，使每位 LTC 勞工能提供更多服務。相同的 LTC 需求只需較少的勞工，且 LTC 部門的邊際產出提高，會吸引更多資源轉入 LTC 部門。

由勞動比例公式：

$$\frac{L_Y}{L} = \frac{1-\alpha}{(1-\alpha)+\alpha B},$$

可知：

$$\boxed{ B\uparrow \Rightarrow \frac{L_Y}{L}\downarrow }.$$

相對地：

$$\boxed{ B\uparrow \Rightarrow \frac{L_{LTC}}{L}\uparrow }.$$

價格方面：

$$p^* = \frac{(1-\alpha)A}{B}(k^*)^\alpha.$$

$B$ 增加有兩種效果：

• 直接效果：LTC 生產力提高，單位服務成本下降，使 $p^*$ 下降；
• 間接效果：$k^*$ 上升，提高商品部門工資，可能推升 LTC 價格。

但總效果仍為下降。由對數微分：

$$\frac{\partial\ln p^*}{\partial\ln B} = -1+ \frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{\alpha B}{(1-\alpha)+\alpha B}.$$

更直接地整理可得：