112 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

此題主要在考驗考生對殖利率曲線 (Yield Curve) 的理解，包含其定義、重要實證現象以及相關的理論模型。

一、Yield Curve 的意涵 (3%)

殖利率曲線 (Yield Curve) 是一條描繪不同到期日（或稱期限）的債券，在同一時間點所對應的殖利率 (Yield to Maturity, YTM) 的曲線。通常，橫軸代表債券的到期日，縱軸代表債券的殖利率。這條曲線可以提供市場對於未來利率走勢、經濟成長預期以及通膨預期的重要訊息。

二、Yield Curve 的三個重要現象 (Empirical Facts) (9%)

歷史上觀察到的殖利率曲線現象，通常有以下三個：

1. 預期理論的驗證 (Expectations Hypothesis Validation)：在多數情況下，殖利率曲線呈現向上傾斜的形態。這意味著長期債券的殖利率高於短期債券。這與市場預期未來利率將會上升的觀點一致。
2. 流動性偏好理論的驗證 (Liquidity Preference Hypothesis Validation)：即使在預期未來利率不變或下降的情況下，殖利率曲線也經常呈現向上傾斜。這是因為投資者通常偏好流動性較高的短期債券，對於承擔長期投資的風險（如利率變動風險）會要求額外的補償，即流動性溢價 (Liquidity Premium)。因此，即使預期利率不變，長期債券的殖利率也會高於短期債券。
3. 市場分割理論的驗證 (Market Segmentation Hypothesis Validation)：有時殖利率曲線的形態會受到特定期限市場供需的顯著影響，例如短期、中期或長期債券市場的資金狀況。這表示不同期限的債券市場可能相對獨立，價格（殖利率）主要由該特定市場的供需決定，而不僅僅是跨期利率的預期。

三、Yield Curve 相關理論發展及其意涵 (18%)

解釋殖利率曲線現象的理論主要有以下幾種，它們試圖解釋為何曲線會呈現特定的形態，以及這些形態背後代表的經濟意義：

1. 預期理論 (Expectations Theory)：
   • 理論內容：此理論認為，長期債券的殖利率僅由市場對未來短期利率的預期所決定。例如，持有兩年期債券的總報酬，應等於持有兩次一年期債券的總報酬。數學上，若 $y_{n}$ 為 $n$ 期債券的殖利率，則 $(1+y_{n})^n = (1+E[y_1])(1+E[y_2]) \dots (1+E[y_n])$，其中 $E[y_i]$ 為預期未來第 $i$ 期短期利率。

此題旨在探討地緣政治風險（以烏俄戰爭為例）如何透過總體經濟模型影響一國或全球經濟。影響的層面廣泛，可從供給面、需求面、預期面及國際互動等多角度切入。

核心觀念：
地緣政治風險會透過干擾生產要素、增加不確定性、影響國際貿易與金融，進而對總體經濟變數（如產出、物價、就業、利率、匯率等）產生衝擊。

模型說明與影響分析：

我們可以從幾個總體經濟模型或概念來分析：

1. 總合供給 (Aggregate Supply, AS) / 總合需求 (Aggregate Demand, AD) 模型：

   • 供給面衝擊 (Supply Shock)：
     • 能源與原物料價格上漲： 烏俄戰爭直接影響全球能源（石油、天然氣）和農產品（小麥、玉米）的供應。若該國高度依賴進口這些商品，戰爭會導致其生產成本急劇上升。在 AS-AD 模型中，這表現為短期總合供給曲線 (SRAS) 向左移動。
     • 供應鏈中斷： 戰爭可能破壞關鍵的生產環節或運輸路線，導致供應鏈瓶頸，進一步推升生產成本或限制產出。這同樣會使 SRAS 向左移動。
     • 生產要素可得性下降： 戰爭可能導致特定國家（如俄羅斯）的關鍵礦產（如鎳、鈀）或勞動力供應受限，影響全球生產。
   • 需求面影響 (Demand Impact)：
     • 消費與投資信心下降： 地緣政治的不確定性會打擊國內外消費和投資者的信心。人們可能延後消費和投資計畫，導致總合需求曲線 (AD) 向左移動。
     • 政府支出增加： 為了應對戰爭影響（如軍事援助、能源補貼、難民安置），政府支出可能增加，這會使 AD 向右移動。但此效應可能被其他需求面的負面衝擊抵銷。
     • 出口減少： 戰爭可能導致國際貿易受阻，或因制裁、敵對關係而使出口市場萎縮，這會使 AD 向左移動。
   • 模型結果：SRAS 左移（成本推動型通膨）和 AD 可能左移（信心下降）或右移（政府支出），綜合影響下，通常會導致物價上漲 (Inflation) 和產出下降 (Recession)，即「停滯性通膨」(Stagflation) 的風險增加。

2. 菲利浦曲線 (Phillips Curve)：

   • 傳統菲利浦曲線：在短期，物價膨脹率與失業率呈負相關。
   • 受供給衝擊影響：烏俄戰爭造成的供給面衝擊（如能源價格飆升）會導致通膨上升，同時可能因生產受限而導致失業率上升。這意味著菲利浦曲線將發生向上移動，即在相同失業率下，通膨率更高；或在相同通膨率下，失業率更高。

此題為一個關於就業與失業的總體經濟模型，包含兩部門勞動市場的結構，並探討了穩態失業率、教育程度與失業的關係，以及國際比較和勞動移動成本等議題。

模型設定：

• 總勞動力：$L$
• 部門 $i$ 的就業人數：$E_i$
• 部門 $i$ 的失業人數：$U_i$
• 部門 $i$ 的勞動力佔比：$v$ (部門 1), $1-v$ (部門 2)
• 部門 $i$ 的離職率 (job separating rate)：$s_i$ (指已就業員工離職成為失業者的比例)
• 部門 $i$ 的尋職率 (job finding rate)：$f_i$ (指失業員工找到工作進入就業的比例)
• 部門 $i$ 的總勞動力為 $L_i = E_i + U_i$。
• 部門 $i$ 的失業率為 $u_i = U_i / L_i$。
• 部門 $i$ 的就業率為 $e_i = E_i / L_i = 1 - u_i$。
• 假設勞動市場是隔離的，無跨部門勞動移動。

總勞動力與部門勞動力分配：
雖然題目一開始提到「$v$ of the labor force being allocated to sector 1 and $(1-v)$ of the labor force being allocated to sector 2」，但後續問題 (c) 和 (e) 卻是要求計算「economy-wide」的失業率，且部門 $i$ 的 $s_i, f_i$ 是 sector-specific。這意味著我們需要區分「部門 $i$ 的勞動力 $L_i$」與「整個經濟的勞動力 $L$」。

一個較為一致的理解是：

• 部門 $i$ 的 就業人數 為 $E_i$，失業人數 為 $U_i$。
• 部門 $i$ 的 總勞動力 $L_i$ 是指在該部門工作或正在尋找該部門工作的總人數。
• 題目中 "$v$ of the labor force being allocated to sector 1" 可能指的是 就業勞動力 的分配，即 $E_1 = vL$ 且 $E_2 = (1-v)L$。
• 然而，失業率的定義是 $u_i = U_i / L_i$。而 $L_i = E_i + U_i$。
• 如果 $s_i$ 是指 就業人數 $E_i$ 中離職成為失業者的比例，則每月離職人數為 $s_i E_i$。
• 如果 $f_i$ 是指 失業人數 $U_i$ 中找到工作（進入就業）的比例，則每月找到工作人數為 $f_i U_i$。

為了讓模型一致，我們通常假設 $s_i$ 是指 就業工人 離職成為失業者的比例，而 $f_i$ 是指 失業工人 找到工作的比例。
那麼，在部門 $i$ 的勞動市場中：

• 每月新增失業人數 = $s_i E_i$
• 每月新增就業人數 = $f_i U_i$

穩態條件 (Steady State Condition)：
穩態意味著失業人數 $U_i$ 和就業人數 $E_i$ 保持不變。這意味著每月新增失業人數必須等於每月新增就業人數。
$s_i E_i = f_i U_i$

總經濟的失業率 (Economy-wide Unemployment Rate)：
總經濟的失業人數為 $U = U_1 + U_2$。
總經濟的就業人數為 $E = E_1 + E_2$。
總經濟的勞動力為 $L = E + U = L_1 + L_2$。
總經濟的失業率為 $u = U / L$。

部門 $i$ 的失業率與就業率：
從 $s_i E_i = f_i U_i$，我們可以推導出部門 $i$ 的失業率 $u_i$。
將 $E_i = L_i - U_i$ 代入：
$s_i (L_i - U_i) = f_i U_i$
$s_i L_i - s_i U_i = f_i U_i$
$s_i L_i = (f_i + s_i) U_i$
$U_i = \frac{s_i}{f_i + s_i} L_i$
因此，部門 $i$ 的失業率 $u_i = \frac{U_i}{L_i} = \frac{s_i}{f_i + s_i}$。
部門 $i$ 的就業率 $e_i = 1 - u_i = \frac{f_i}{f_i + s_i}$。

分項解答：

(a) The labor market in this economy is said to be in a steady state if the unemployment rate is constant. Write down the steady-state conditions for the labor markets. (4%)

對於部門 $i$ 的勞動市場，穩態意味著失業人數 $U_i$ 和就業人數 $E_i$ 不變。這要求每月新增失業人數等於每月新增就業人數。
每月新增失業人數（從就業轉為失業）= $s_i E_i$
每月新增就業人數（從失業轉為就業）= $f_i U_i$
因此，部門 $i$ 的穩態條件為：
$s_i E_i = f_i U_i$

【答案】
部門 $i$ 的穩態條件為 $s_i E_i = f_i U_i$，其中 $E_i$ 是部門 $i$ 的就業人數，$U_i$ 是部門 $i$ 的失業人數，$s_i$ 是離職率，$f_i$ 是尋職率。

(b) Suppose that $s_1/f_1$ is always higher than $s_2/f_2$. Which sector has a higher steady-state unemployment rate, sector 1 or sector 2? (3%)

由 (a) 的穩態條件 $s_i E_i = f_i U_i$，我們可以推導出部門 $i$ 的失業率 $u_i = \frac{U_i}{E_i+U_i}$。
將 $E_i = U_i / (f_i/s_i)$ 代入：
$u_i = \frac{U_i}{U_i/(f_i/s_i) + U_i} = \frac{1}{1/(f_i/s_i) + 1} = \frac{f_i/s_i}{1 + f_i/s_i} = \frac{1}{s_i/f_i + 1}$。
或者，我們從 $s_i E_i = f_i U_i$ 兩邊同時除以 $E_i$ 得到 $s_i = f_i (U_i/E_i)$。
所以 $U_i/E_i = s_i/f_i$。
失業率 $u_i = \frac{U_i}{E_i + U_i} = \frac{U_i/E_i}{1 + U_i/E_i} = \frac{s_i/f_i}{1 + s_i/f_i}$。

已知 $s_1/f_1 > s_2/f_2$。
我們需要比較 $u_1 = \frac{s_1/f_1}{1 + s_1/f_1}$ 和 $u_2 = \frac{s_2/f_2}{1 + s_2/f_2}$。
考慮函數 $g(x) = \frac{x}{1+x}$。當 $x>0$ 時，此函數是單調遞增的。
因為 $s_1/f_1 > s_2/f_2 > 0$，所以 $g(s_1/f_1) > g(s_2/f_2)$。
也就是說，$u_1 > u_2$。

因此，部門 1 的穩態失業率更高。

【答案】
部門 1。因為部門 1 的 $s_1/f_1$ 較高，而穩態失業率 $u_i = \frac{s_i/f_i}{1 + s_i/f_i}$，此函數隨 $s_i/f_i$ 遞增，故部門 1 的穩態失業率較高。

(c) Derive the steady-state unemployment rate for the economy. (5%)

這裡的「economy」是指整體經濟。整體經濟的失業率 $u$ 是由整體經濟的總失業人數 $U$ 除以總勞動力 $L$ 所得。
$U = U_1 + U_2$
$L = L_1 + L_2$
$u = \frac{U_1 + U_2}{L_1 + L_2}$

我們知道 $U_i = \frac{s_i}{f_i + s_i} L_i$。
所以，$U = \frac{s_1}{f_1 + s_1} L_1 + \frac{s_2}{f_2 + s_2} L_2$。
$u = \frac{\frac{s_1}{f_1 + s_1} L_1 + \frac{s_2}{f_2 + s_2} L_2}{L_1 + L_2}$。

題目中提到「$v$ of the labor force being allocated to sector 1 and $(1-v)$ of the labor force being allocated to sector 2」。這句話的解釋有多種可能。
解釋一： 這是指「就業勞動力」的分配，即 $E_1 = vL$ 和 $E_2 = (1-v)L$。但這與 $L_i = E_i + U_i$ 的定義不符，且無法直接推導出 $L_1, L_2$ 相對於 $L$ 的關係。
解釋二： 這是指「總勞動力」的分配，即 $L_1 = vL$ 和 $L_2 = (1-v)L$。這個解釋更符合計算整體失業率的需求。我們採用此解釋。

若 $L_1 = vL$ 且 $L_2 = (1-v)L$，則：
$u = \frac{\frac{s_1}{f_1 + s_1} (vL) + \frac{s_2}{f_2 + s_2} ((1-v)L)}{L_1 + L_2}$
$u = \frac{v \frac{s_1}{f_1 + s_1} L + (1-v) \frac{s_2}{f_2 + s_2} L}{vL + (1-v)L}$
$u = \frac{L [v \frac{s_1}{f_1 + s_1} + (1-v) \frac{s_2}{f_2 + s_2}]}{L}$
$u = v \frac{s_1}{f_1 + s_1} + (1-v) \frac{s_2}{f_2 + s_2}$

這個公式表示整體經濟的失業率是各部門失業率的加權平均，權重為該部門的勞動力佔總勞動力的比例。

【答案】
整體經濟的穩態失業率為 $u = v \frac{s_1}{f_1 + s_1} + (1-v) \frac{s_2}{f_2 + s_2}$，其中 $v$ 是部門 1 的勞動力佔總勞動力的比例。

(d) Which of the sector in the model corresponds to the "manual and service" in the description? (3%)

題目描述：「The less educated workers tend to hold manual and service occupations. ... the unemployment rate for the less educated workers is found to be higher than that for more educated workers.」
在 (b) 中，我們知道 $s_i/f_i$ 較高的部門，其穩態失業率也較高。
因此，如果「manual and service」職業與較高的失業率相關，那麼對應到模型的部門，應該是具有較高 $s_i/f_i$ 值的部門。
根據 (b) 的假設，$s_1/f_1 > s_2/f_2$，且我們推導出部門 1 的失業率較高。
因此，部門 1 最有可能對應於「manual and service」職業，因為這些職業的失業率通常較高。

【答案】
部門 1，因為部門 1 的 $s_1/f_1$ 較高，導致其穩態失業率較高，這與「manual and service」職業的特徵（通常失業率較高）相符。

**(e) Suppose that there is a developed North country and a developing South country. Suppose that prior to the pandemic, the two countries have t

此題考驗考生對一個簡單兩時期消費-儲蓄模型、勞動市場均衡、跨期預算約束、以及稅制對預算約束影響的理解。

模型設定：

• 兩時期經濟 (Period 1, Period 2)。
• 代表性個體 (Representative Agent)：擁有一單位勞動力 ($L=1$)，勞動力供給內生性。
• 消費：$c_1, c_2$
• 資產（儲蓄）：$b_1$ (期末持有，期初為 0)。$b_1$ 可以是正數（儲蓄）或負數（借款）。
• 名目工資：$W_1, W_2$。
• 實質工資：$w_1, w_2$。
• 實質利率：$r_1$ (期 1 到期 2)。
• 生產函數：$Y = AL$。由於 $L=1$（代表性個體），則 $Y_i = A_i L = A_i$。
• 市場結構：所有市場均為競爭性市場。

個體預算約束 (Agent's Budget Constraints)：

• 時期 1：
  • 收入：勞動收入 $w_1 L = w_1$ (因 $L=1$)。
  • 支出：消費 $c_1$ 加上儲蓄 $b_1$。
  • 預算約束：$c_1 + b_1 = w_1$。
• 時期 2：
  • 收入：儲蓄的本利和 $b_1(1+r_1)$ 加上勞動收入 $w_2 L = w_2$。
  • 支出：消費 $c_2$。
  • 預算約束：$c_2 = b_1(1+r_1) + w_2$。

分項解答：

(a) What is the equilibrium wage rate in period 1 and period 2? (2%)

在競爭性市場中，要素價格（工資）等於其邊際生產力 (Marginal Product, MP)。
生產函數為 $Y_i = A_i L$。
由於勞動力供給是內生性，且個體只有一單位勞動力，我們可以認為 $L$ 在此代表總勞動力供給。
實質邊際生產力為 $\frac{\partial Y_i}{\partial L} = A_i$。
因此，在競爭性市場下，實質工資率等於勞動力的邊際生產力。

• 時期 1 的實質工資率：$w_1 = MP_1 = A_1$。
• 時期 2 的實質工資率：$w_2 = MP_2 = A_2$。

【答案】
時期 1 的實質工資率為 $w_1 = A_1$。
時期 2 的實質工資率為 $w_2 = A_2$。

(b) Derive the two-period intertemporal budget constraint for the agent. Plot it on the ($c_1, c_2$)-space. (3%)

推導跨期預算約束 (Intertemporal Budget Constraint)：
我們需要將兩期的預算約束聯立，消去期末資產 $b_1$。
從時期 1 的預算約束：$c_1 + b_1 = w_1 \implies b_1 = w_1 - c_1$。
將此代入時期 2 的預算約束：
$c_2 = (w_1 - c_1)(1+r_1) + w_2$
$c_2 = w_1(1+r_1) - c_1(1+r_1) + w_2$
$c_1(1+r_1) + c_2 = w_1(1+r_1) + w_2$

這條式子表示，在兩個時期內消費的總現值（以時期 2 為貼現點）等於總資源的現值（以時期 2 為貼現點）。
也可以將所有變數貼現到時期 1：
$c_1 + \frac{c_2}{1+r_1} = w_1 + \frac{w_2}{1+r_1}$
這表示，在時期 1 的消費加上未來消費的現值，等於當期收入加上未來收入的現值。這是個體終身資源的約束。

繪製在 ($c_1, c_2$)-space：
跨期預算約束的形式為 $c_2 = (w_1(1+r_1) + w_2) - c_1(1+r_1)$。
這是一條斜率為 $-(1+r_1)$ 的直線。

• 縱截距 (c2-intercept)：當 $c_1 = 0$ 時，$c_2 = w_1(1+r_1) + w_2$。這是個體在不消費任何東西的情況下，最大化時期 2 的消費能力，相當於將時期 1 的所有收入 $w_1$ 儲蓄起來，並獲得利息。
• 橫截距 (c1-intercept)：當 $c_2 = 0$ 時，$c_1(1+r_1) = w_1(1+r_1) + w_2 \implies c_1 = w_1 + \frac{w_2}{1+r_1}$。這是個體在不消費任何東西的情況下，最大化時期 1 的消費能力，相當於將所有收入（包括未來收入的現值）都在時期 1 消費。
• 斜率：斜率為 $-(1+r_1)$。這代表將一單位消費從時期 1 轉移到時期 2 的機會成本。如果個體減少時期 1 的消費一單位（即 $c_1$ 減少 1），則他可以儲蓄 $(1+r_1)$ 單位，用於在時期 2 增加消費。反之，將時期 2 的消費移到時期 1，則每減少一單位的時期 2 消費，可以增加 $\frac{1}{1+r_1}$ 單位的時期 1 消費。

圖形繪製：
畫一個標準的 (c1, c2) 座標平面。
橫軸為 $c_1$，縱軸為 $c_2$。
畫一條負斜率的直線，通過橫截距 $(w_1 + \frac{w_2}{1+r_1}, 0)$ 和縱截距 $(0, w_1(1+r_1) + w_2)$。
直線的斜率為 $-(1+r_1)$。
可負擔的組合區域在直線及其左下方。

【答案】
跨期預算約束為 $c_1(1+r_1) + c_2 = w_1(1+r_1) + w_2$。
圖形為一條斜率為 $-(1+r_1)$ 的直線，橫截距為 $w_1 + \frac{w_2}{1+r_1}$，縱截距為 $w_1(1+r_1) + w_2$。可負擔的組合位於該直線及其左下方。

(c) Let $\tau_c$, $\tau_k$ and $\tau_w$ denote the consumption tax rate, the capital income tax rate and the labor income tax rate. How will the taxes affect the agent's budget constraint? Write down the agent's budget constraints in periods 1 and 2 as well as the intertemporal budget constraint. Illustrate the intertemporal budget constraint under consumption tax, capital income tax and labor income tax in figures, respectively. (10%)

假設政府提供服務，且這些服務的價值不直接體現在個體的預算約束中，我們只考慮稅收對預算約束的影響。

1. 消費稅 ($\tau_c$)：
消費稅是對消費行為徵稅。假設稅收是從消費者角度徵收，即消費者支付的價格包含稅。

• 時期 1：

  • 收入：$w_1$。
  • 支出：消費 $c_1$ 以及儲蓄 $b_1$。
  • 消費者支付的價格為 $c_1(1+\tau_c)$。
  • 預算約束：$c_1(1+\tau_c) + b_1 = w_1$。

• 時期 2：

  • 收入：儲蓄本利和 $b_1(1+r_1)$ 加上勞動收入 $w_2$。
  • 支出：消費 $c_2$。
  • 消費者支付的價格為 $c_2(1+\tau_c)$。
  • 預算約束：$c_2(1+\tau_c) = b_1(1+r_1) + w_2$。

• 跨期預算約束 (消費稅)：
  從時期 1：$b_1 = w_1 - c_1(1+\tau_c)$。
  代入時期 2：
  $c_2(1+\tau_c) = (w_1 - c_1(1+\tau_c))(1+r_1) + w_2$
  $c_2(1+\tau_c) = w_1(1+r_1) - c_1(1+\tau_c)(1+r_1) + w_2$
  $c_1(1+\tau_c)(1+r_1) + c_2(1+\tau_c) = w_1(1+r_1) + w_2$
  除以 $(1+\tau_c)$：
  $c_1(1+r_1) + c_2 = \frac{w_1(1+r_1) + w_2}{1+\tau_c}$
  這表示，消費稅降低了個體終身消費的總現值。

  • 圖形 (消費稅)： 斜率仍為 $-(1+r_1)$，但縱截距變為 $\frac{w_1(1+r_1) + w_2}{1+\tau_c}$，橫截距變為 $\frac{w_1(1+r_1) + w_2}{1+\tau_c} \frac{1}{1+r_1} = \frac{w_1 + w_2/(1+r_1)}{1+\tau_c}$。預算線向下移動。

2. 資本所得稅 ($\tau_k$)：
資本所得稅是對儲蓄所得（利息、租金、資本利得）徵稅。假設稅收是針對利息收入徵收。

• 時期 1：
  • 收入：$w_1$。
  • 支出：消費 $c_1$ 加上儲蓄 $b_1$。
  • 預算約束：$c_1 + b_1 = w_1$。（與無稅時相同，因為稅是針對期 2 的資本所得）
• 時期 2：
  • 收入：來自時期 1 儲蓄 $b_1$ 的本利和，但利息收入需課稅。
  • 來自儲蓄的總金額為 $b_1(1+r_1)$。
  • 資本所得（利息）為 $b_1 r_1$。
  • 稅額為 $\tau_k (b_1 r_1)$。
  • 淨收入為 $b_1 + b_1 r_1 - \tau_k (b_1 r_1) = b_1 + b_1 r_1 (1-\tau_k)$。
  • 加上勞動收入 $w_2$。
  • 預算約束：$c_2 = b_1 + b_1 r_1 (1-\tau_k) + w_2 = b_1(1 + r_1(1-\tau_k)) + w_2$。
  • 注意：此處假設 $b_1$ 是期初的儲蓄額，期末的資產總額是 $b_1(1+r_1)$。若 $b_1$ 是期末資產，則稅收應是 $b_1$ 產生的一部分。更標準的寫法是，利率是 $r_1$，稅後利率是 $r_1(1-\tau_k)$。
  • 標準寫法：$c_2 = b_1(1+r_1(1-\tau_k)) + w_2$。
  • 另一種理解：若 $b_1$ 是期初儲蓄，期末總資產為 $b_1(1+r_1)$。稅收是對「所得」徵收，即利息所得 $b_1 r_1$。所以期末總資產為 $b_1 + (b_1(1+r_1) - b_1) - \tau_k (b_1 r_1) = b_1 + b_1 r_1 - \tau_k b_1 r_1 = b_1(1 + r_1(1-\tau_k))$。
  • 但題目給的 $c_2 = b_1(1 + r_1) + w_2$ 是無稅情況。 如果 $b_1$ 是期初儲蓄，那麼期末總收入是 $b_1(1+r_1) + w_2$. 資本所得是 $b_1 r_1$. 稅後資本所得是 $b_1 r_1 (1-\tau_k)$.
  • 若 $b_1$ 是期末資產，則 $b_1$ 是來自期初儲蓄的本利和。 假設 $b_1$ 是期初的資產持有量，則期末總資產是 $b_1(1+r_1)$. 稅收是針對利息 $b_1 r_1$。
  • 題目給的 $b_1$ 是 asset position in period 1. 這通常指期初持有或期末結餘。如果 $b_1$ 是期初儲蓄，那麼 $c_1+b_1 = w_1$ 是指期初的資源分配。期末的資產是 $b_1(1+r_1)$.
  • 最常見的定義：$b_1$ 是期初儲蓄，則 $c_1 + b_1 = w_1$。期末資產是 $b_1(1+r_1)$. 稅收是對利息 $b_1 r_1$ 徵收。
  • 正確的表達：$c_2 = b_1(1+r_1) + w_2 - \tau_k (b_1 r_1) = b_1(1+r_1 - \tau_k r_1) + w_2 = b_1(1+r_1(1-\tau_k)) + w_2$。
  • 另一種可能：如果 $b_1$ 是期末資產，那麼 $c_1 + b_1 = w_1$. $c_2 = b_1(1+r_1) + w_2$. 稅收針對 $b_1$ 產生的利息。
  • 我們採用 $b_1$ 為期初儲蓄的解釋。
  • 更精確的資本所得稅： 稅收是針對「資本所得」，即利息收入 $b_1 r_1$。