115 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

本題為一個考慮政府部門的離散時間 Solow-Swan 模型，要求推導資本深化率的動態方程式、穩態值，以及黃金律的條件。

核心觀念：

• Solow-Swan 模型：資本積累、產出函數、穩態分析。
• 政府部門：租稅與政府購買對儲蓄與投資的影響。
• 黃金律：最大化穩態每人消費。

(1) 推導資本深化率的動態方程式 $k_{t+1} = g(k_t)$

首先，我們將總體經濟變數轉換為每人變數。假設勞動人口成長率為 $n$，且技術不變。
總產出：$Y_t = A K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}$
每人產出：$y_t = Y_t/L_t = A (K_t/L_t)^\alpha = A k_t^\alpha$

資本的變動由投資減去折舊與因人口成長而稀釋的部分。
資本存量變動：$K_{t+1} - K_t = I_t - dK_t$
兩邊同除以 $L_t$：
$(K_{t+1}/L_t) - (K_t/L_t) = (I_t/L_t) - d(K_t/L_t)$
由於 $L_{t+1} = (1+n)L_t$，則 $K_{t+1}/L_t = (K_{t+1}/L_{t+1}) \cdot (L_{t+1}/L_t) = k_{t+1}(1+n)$。
因此，資本深化率的變動方程式為：
$k_{t+1}(1+n) - k_t = i_t - dk_t$
其中 $i_t = I_t/L_t$ 為每人總投資。

根據題目，商品市場均衡條件為：國民儲蓄等於總投資。
$S_t = I_t$
題目給定政府收支平衡，且租稅率為 $\tau$，政府購買為 $G_t$。
$G_t = \tau Y_t$
國民儲蓄為 $S_t = s(1-\tau)Y_t$。
因此，總投資為 $I_t = S_t = s(1-\tau)Y_t$。

將每人變數代入：
每人總投資：$i_t = I_t/L_t = s(1-\tau)Y_t/L_t = s(1-\tau)y_t$
$i_t = s(1-\tau) A k_t^\alpha$

將 $i_t$ 代入資本深化率的變動方程式：
$k_{t+1}(1+n) - k_t = s(1-\tau) A k_t^\alpha - dk_t$
$k_{t+1}(1+n) = (1-d)k_t + s(1-\tau) A k_t^\alpha$
$k_{t+1} = \frac{1-d}{1+n} k_t + \frac{s(1-\tau) A}{1+n} k_t^\alpha$

這就是資本深化率的動態方程式，即 $k_{t+1} = g(k_t)$。

【答案】 $k_{t+1} = \frac{1-d}{1+n} k_t + \frac{s(1-\tau) A}{1+n} k_t^\alpha$

(2) 推導穩態值 $k^*, y^*, c^*, g^*$

穩態時，$k_{t+1} = k_t = k^*$。
將此代入動態方程式：
$k^* = \frac{1-d}{1+n} k^* + \frac{s(1-\tau) A}{1+n} (k^*)^\alpha$
$k^* - \frac{1-d}{1+n} k^* = \frac{s(1-\tau) A}{1+n} (k^*)^\alpha$
$\frac{1+n - (1-d)}{1+n} k^* = \frac{s(1-\tau) A}{1+n} (k^*)^\alpha$
$\frac{n+d}{1+n} k^* = \frac{s(1-\tau) A}{1+n} (k^*)^\alpha$
$\frac{n+d}{s(1-\tau) A} = (k^*)^{\alpha-1}$
$(k^*)^{\alpha-1} = \frac{n+d}{s(1-\tau) A}$
$k^* = \left( \frac{s(1-\tau) A}{n+d} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$

穩態每人產出：
$y^* = A (k^*)^\alpha = A \left( \frac{s(1-\tau) A}{n+d} \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$

穩態政府購買：
$G_t = \tau Y_t \implies g_t = G_t/L_t = \tau Y_t/L_t = \tau y_t$
$g^* = \tau y^* = \tau A \left( \frac{s(1-\tau) A}{n+d} \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$

穩態消費：
商品市場均衡：$y_t = c_t + i_t + g_t$
國民儲蓄：$S_t = s(1-\tau)Y_t \implies s_t = s(1-\tau)y_t$
總投資：$I_t = S_t \implies i_t = s_t = s(1-\tau)y_t$
穩態時：$i^* = s(1-\tau)y^*$
$y^* = c^* + i^* + g^*$
$c^* = y^* - i^* - g^*$
$c^* = y^* - s(1-\tau)y^* - \tau y^*$
$c^* = y^* (1 - s(1-\tau) - \tau)$
$c^* = y^* (1 - s + s\tau - \tau)$
$c^* = y^* (1 - \tau(1-s) - s)$

將 $y^*$ 代入：
$c^* = \left( 1 - s(1-\tau) - \tau \right) A \left( \frac{s(1-\tau) A}{n+d} \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$

【答案】
$k^* = \left( \frac{s(1-\tau) A}{n+d} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$
$y^* = A \left( \frac{s(1-\tau) A}{n+d} \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$
$g^* = \tau y^*$
$c^* = y^* (1 - s(1-\tau) - \tau)$

(3) 黃金律與外生參數的關係

黃金律的條件是最大化穩態每人消費 $c^*$。
$c^* = y^* - i^* - g^*$
$c^* = A k^{*\alpha} - (d+n) k^* - \tau A k^{*\alpha}$ (這裡將 $i^* = (d+n)k^*$ 代入，因為穩態時 $i^* = s(1-\tau)y^*$, 且 $y^* = A k^{*\alpha}$，所以 $s(1-\tau)A k^{*\alpha} = (d+n)k^*$，故 $s(1-\tau) = \frac{(d+n)k^*}{A k^{*\alpha}} = \frac{d+n}{A k^{*\alpha-1}}$。所以 $i^* = \frac{d+n}{A k^{*\alpha-1}} A k^{*\alpha} = (d+n)k^*$)
$c^* = (1-\tau)y^* - (d+n)k^*$
$c^* = (1-\tau) A k^{*\alpha} - (d+n) k^*$

為求最大值，對 $k^*$ 微分並設為零：
$\frac{dc^*}{dk^*} = (1-\tau) A \alpha (k^*)^{\alpha-1} - (d+n) = 0$
$(1-\tau) A \alpha (k^*)^{\alpha-1} = d+n$

黃金律的條件是邊際產出（扣除政府購買的部分）等於資本的折舊與人口成長率之和。
$MPK^* = \frac{dY^*}{dK^*} = \alpha A K^{*\alpha-1} L^{*1-\alpha} = \alpha A k^{*\alpha-1}$
每人邊際產出為 $MPY^* = \frac{dy^*}{dk^*} = \alpha A k^{*\alpha-1}$。
因此，黃金律條件為：$(1-\tau) MPY^* = d+n$。

我們需要將此條件與外生參數聯繫起來。
由穩態條件 $(k^*)^{\alpha-1} = \frac{s(1-\tau) A}{n+d}$，我們知道 $s(1-\tau) = \frac{n+d}{A (k^*)^{\alpha-1}}$。
將黃金律條件 $(1-\tau) A \alpha (k^*)^{\alpha-1} = d+n$ 代入。
我們將黃金律條件寫成 $\alpha A (k^*)^{\alpha-1} = \frac{d+n}{1-\tau}$。

現在我們看穩態時的投資 $i^* = s(1-\tau) y^* = s(1-\tau) A k^{*\alpha}$。
在穩態時，資本存量不變，意味著總投資必須等於總折舊加上因人口成長而新增的資本。
$I^* = dK^* + nK^*$
$i^* L^* = (d+n) k^* L^*$
$i^* = (d+n) k^*$

黃金律條件是最大化 $c^*$，而 $c^* = y^* - i^* - g^*$。
$c^* = y^* - (d+n)k^* - \tau y^*$

核心觀念

本題考查經典的 IS-LM-FE 模型與總合供需（AD-AS）分析架構，涵蓋以下關鍵觀念與公式：

1. 商品市場均衡（IS 曲線）：封閉經濟體系下，總產出等於總支出（$Y = C^d + I^d + G$）或意願儲蓄等於意願投資（$S^d = I^d$）。實質利率與實質產出呈現反向變動關係。
2. 貨幣市場均衡（LM 曲線）：實質貨幣供給等於實質貨幣需求（$\frac{M}{P} = L(Y, r + \pi^e)$），其中名目利率為 $i = r + \pi^e$（費雪方程式）。實質利率與實質產出呈現正向變動關係。
3. 總合需求曲線（AD 曲線）：結合 IS 曲線與 LM 曲線，消除利率變數 $r$ 後，所得出物價水準 $P$ 與產出 $Y$ 之間的負向關係式。
4. 短期均衡 vs. 長期均衡（IS-LM-FE 模型）：
   • 短期（Short Run）：假定物價僵固（Price Stickiness），短期均衡產出由 IS 與 LM 曲線之交點決定，此時產出可能偏離充分就業產出（$\bar{Y}$）。
   • 長期（Long Run）：物價具完全伸縮性（Price Flexibility）。若短期產出低於充分就業水準（存在緊縮缺口），物價將會下跌，帶動實質貨幣供給增加，使 LM 曲線向右下方移動，直至 IS、LM 與 FE 垂直線交於同一點為止。
5. 總體經濟穩定政策（財政政策與貨幣政策）：在短期物價固定下，政府可透過擴張性財政政策（增加 $G$ 或減稅 $T$）使 IS 曲線右移，或透過擴張性貨幣政策（增加 $M$）使 LM 曲線右移，藉以在短期直接消除產出缺口、恢復充分就業。

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解題方法與逐步推導

第 (1) 小題：導出 IS、LM 與 AD 曲線方程式

1. 推導 IS 曲線方程式：
   商品市場均衡條件為：

   $$Y = C^d + I^d + G$$

   將題目給定之各項函數代入：

   $$Y = [10 + 0.8(Y - 40) - 30r] + (40 - 20r) + 30$$

   整理各項常數與變數：

   $$Y = 10 + 0.8Y - 32 - 30r + 40 - 20r + 30$$ $$Y = 48 + 0.8Y - 50r$$ $$0.2Y = 48 - 50r \quad \Longrightarrow \quad Y = 240 - 250r$$

   亦可表示為反函數形式：

   $$r = 0.96 - 0.004Y$$

2. 推導 LM 曲線方程式：
   貨幣市場均衡條件為：

   $$\frac{M}{P} = L = 20 + 0.8Y - 200(r + \pi^e)$$

   代入 $\pi^e = 0.1$：

   $$\frac{M}{P} = 20 + 0.8Y - 200r - 20 = 0.8Y - 200r$$

   整理可得實質利率 $r$ 或產出 $Y$ 之表示式：

   $$200r = 0.8Y - \frac{M}{P} \quad \Longrightarrow \quad r = 0.004Y - \frac{M}{200P}$$

   或產出表示式：

   $$Y = 250r + 1.25\left(\frac{M}{P}\right)$$

3. 推導 AD 曲線方程式：
   聯立 IS 與 LM 曲線方程式，消除實質利率 $r$。
   由 IS 曲線得：

   $$250r = 240 - Y$$

   將 $250r$ 代入 LM 曲線式 $Y = 250r + 1.25\left(\frac{M}{P}\right)$：

   $$Y = (240 - Y) + 1.25\left(\frac{M}{P}\right)$$ $$2Y = 240 + 1.25\left(\frac{M}{P}\right)$$

   代入名目貨幣供給量 $M = 600$：

   $$2Y = 240 + 1.25\left(\frac{600}{P}\right) = 240 + \frac{750}{P}$$

   兩邊同除以 2：

   $$Y = 120 + \frac{375}{P}$$

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第 (2) 小題：短期均衡、長期均衡與調整機制

1. 短期均衡計算（Short-Run Equilibrium, $P = 5$）：
   將 $P = 5$ 代入 AD 曲線：

   $$Y_{SR} = 120 + \frac{375}{5} = 120 + 75 = 195$$

   將 $Y_{SR} = 195$ 代入 IS 曲線求得實質利率：

   $$195 = 240 - 250r_{SR} \quad \Longrightarrow \quad 250r_{SR} = 45 \quad \Longrightarrow \quad r_{SR} = \frac{45}{250} = 0.18 \quad (18\%)$$

   計算消費 $C_{SR}$ 與投資 $I_{SR}$：

   $$C_{SR} = 10 + 0.8(195 - 40) - 30(0.18) = 10 + 0.8(155) - 5.4 = 10 + 124 - 5.4 = 128.6$$ $$I_{SR} = 40 - 20(0.18) = 40 - 3.6 = 36.4$$

   驗算商品市場恆等式：$C + I + G = 128.6 + 36.4 + 30 = 195 = Y_{SR}$，結果相符。

2. 長期均衡計算（Long-Run Equilibrium）：
   在長期，產出必定回歸充分就業水準：

   $$Y_{LR} = \bar{Y} = 182.5$$

   將 $Y_{LR} = 182.5$ 代入 IS 曲線求得長期實質利率：

   $$182.5 = 240 - 250r_{LR} \quad \Longrightarrow \quad 250r_{LR} = 57.5 \quad \Longrightarrow \quad r_{LR} = \frac{57.5}{250} = 0.23 \quad (23\%)$$

   計算長期消費 $C_{LR}$ 與長期投資 $I_{LR}$：

   $$C_{LR} = 10 + 0.8(182.5 - 40) - 30(0.23) = 10 + 0.8(142.5) - 6.9 = 10 + 114 - 6.9 = 117.1$$ $$I_{LR} = 40 - 20(0.23) = 40 - 4.6 = 35.4$$

   驗算：$C + I + G = 117.1 + 35.4 + 30 = 182.5 = Y_{LR}$。

   將 $Y = 182.5$ 代入 AD 曲線求解長期物價水準 $P_{LR}$：

   $$182.5 = 120 + \frac{375}{P_{LR}} \quad \Longrightarrow \quad 62.5 = \frac{375}{P_{LR}} \quad \Longrightarrow \quad P_{LR} = \frac{375}{62.5} = 6$$

3. 由短期過渡至長期的動態調整機制說明：

   • 產出缺口性質：在短期均衡點，實質產出 $Y_{SR} = 195$ 高於充分就業產出 $\bar{Y} = 182.5$，市場存在「膨脹缺口」（Inflationary Gap），代表勞動與要素市場處於過度就業的超額需求狀態。
   • 調整歷程：隨著時間推移，過度的要素需求促使名目工資與投入成本上升，廠商開始調高產品售價，物價水準自 $P = 5$ 逐漸上漲至 $P = 6$。
   • 圖形調整路徑：物價上漲使實質貨幣供給 $\frac{M}{P}$ 下降（由 $\frac{600}{5} = 120$ 降至 $\frac{600}{6} = 100$），導致 LM 曲線向左上方移動（自 $LM(P=5)$ 移至 $LM(P=6)$）。在貨幣市場緊縮下，實質利率由 $r = 0.18$ 上升至 $r = 0.23$，進而抑制意願投資與消費支出，總產出沿著原 IS 曲線縮減，最終經濟體穩定於 IS、LM 與垂直的 FE 曲線之三線交點，恢復長期充分就業均衡。

4. IS-LM-FE 均衡圖示：

核心觀念

本題考查兩期消費—儲蓄模型與 Euler equation。核心權衡為：

• 本期多儲蓄 $1$，會使本期消費減少 $1$；
• 下一期可增加消費 $1+r$；
• 消費的邊際效用具有遞減性，且不確定性可能產生預防性儲蓄。

效用函數為

$$u(c_1)+\beta E[u(c_2)].$$

其中 $u'(c)>0$、$u''(c)<0$，表示消費越多效用越高，但邊際效用遞減。

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（1）$\sigma=0$ 時的 Euler 方程式

當 $\sigma=0$ 時，

$$x=\omega.$$

由預算限制式：

$$c_1=\omega-a_2,$$ $$c_2=\omega+(1+r)a_2.$$

因此，代表性消費者選擇 $a_2$ 最大化：

$$V(a_2) = u(\omega-a_2) + \beta u\bigl(\omega+(1+r)a_2\bigr).$$

對 $a_2$ 微分：

$$\frac{dV}{da_2} = -u'(c_1) + \beta(1+r)u'(c_2).$$

內部最適解須滿足一階條件：

$$-u'(c_1)+\beta(1+r)u'(c_2)=0.$$

故 Euler 方程式為

$$\boxed{u'(c_1)=\beta(1+r)u'(c_2)}.$$

也可寫成：

$$\boxed{\frac{u'(c_1)}{u'(c_2)}=\beta(1+r)}.$$

經濟直覺

增加 $a_2$ 一單位時：

• 當期消費減少 $1$，造成效用損失 $u'(c_1)$；
• 下一期消費增加 $1+r$，帶來折現後的效用利益 $\beta(1+r)u'(c_2)$。

最適狀態下，兩者必須相等：

$$\text{當期少消費一單位的效用損失} = \text{下一期多消費的折現效用利益}.$$

若 $\beta(1+r)u'(c_2)>u'(c_1)$，代表延後消費較有利，應增加儲蓄；若反向成立，則應減少儲蓄、提高當期消費。

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（2）當 $\beta(1+r)=1$ 時的最適儲蓄

由（1）的 Euler 方程式：

$$u'(c_1)=\beta(1+r)u'(c_2).$$

代入 $\beta(1+r)=1$：

$$u'(c_1)=u'(c_2).$$

因為 $u''<0$，所以 $u'$ 嚴格遞減，邊際效用相等必然表示：

$$c_1=c_2.$$

在 $\sigma=0$ 時，兩期消費為：

$$c_1=\omega-a_2,$$ $$c_2=\omega+(1+r)a_2.$$

令兩期消費相等：

$$\omega-a_2 = \omega+(1+r)a_2.$$

整理得：

$$-a_2=(1+r)a_2,$$ $$-(2+r)a_2=0.$$

只要 $r>-1$，即可得到：

$$\boxed{a_2^*=0}.$$

此時：

$$c_1^*=c_2^*=\omega.$$

經濟直覺

當 $\beta(1+r)=1$ 時，儲蓄所帶來的下一期報酬，經過時間折現後，恰好等於本期消費的效用價值。因此在沒有所得風險時，消費者選擇平滑消費：

$$c_1=c_2.$$

由於兩期的確定性所得都等於 $\omega$，不需要透過儲蓄移轉消費，故最適儲蓄為零。

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（3）$\beta(1+r)=1$ 且 $\sigma>0$ 時的正儲蓄條件

此時下一期所得為：

$$x= \begin{cases} \omega+\sigma, & \text{機率 }0.5,\\ \omega-\sigma, & \text{機率 }0.5. \end{cases}$$

核心觀念

本題考察兩期消費—儲蓄模型中的「借款限制」如何扭曲跨期消費配置。

家庭可透過第一期儲蓄 $a_2$ 將所得移轉至第二期；若 $a_2<0$，代表借款。限制式

$$a_2\ge -l$$

表示家庭最多只能借 $l$。無借款限制時，家庭依跨期 Euler equation 配置消費；若家庭想借得更多卻遭限制，第一期消費相對不足、第二期消費相對過多，因此 Euler equation 會由等號改為嚴格不等號。

以下假設 $u(c_1)$ 可微、嚴格遞增且嚴格凹，並且可行解滿足 $c_1>0$、$c_2>0$。

（1）拉格朗日式與跨期 Euler equation

解題方法

將兩個預算限制與借款限制同時納入拉格朗日式。令 $\mu_1$、$\mu_2$ 分別為兩期預算限制的乘數，並將借款限制寫成 $a_2+l\ge0$，令其乘數為 $\lambda\ge0$。

拉格朗日式

$$\mathcal{L} = u(c_1)+\beta\log(c_2) +\mu_1(y_1-c_1-a_2) +\mu_2[y_2+(1+r)a_2-c_2] +\lambda(a_2+l)$$

其中：

$$\lambda\ge0,\qquad a_2+l\ge0,\qquad \lambda(a_2+l)=0$$

一階條件為：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_1} = u'(c_1)-\mu_1=0$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_2} = \frac{\beta}{c_2}-\mu_2=0$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial a_2} = -\mu_1+(1+r)\mu_2+\lambda=0$$

由前兩式可得：

$$\mu_1=u'(c_1)$$ $$\mu_2=\frac{\beta}{c_2}$$

代入 $a_2$ 的一階條件：

$$u'(c_1) = \frac{\beta(1+r)}{c_2} +\lambda$$

且必須搭配：

$$\lambda\ge0,\qquad \lambda(a_2+l)=0$$

（2）消去 $\lambda$ 後的不等式與經濟意涵

由於 $\lambda\ge0$，可由 Euler equation 得到：

$$u'(c_1)\ge\frac{\beta(1+r)}{c_2}$$

若家庭未受借款限制，則 $a_2>-l$，互補鬆弛條件使得 $\lambda=0$，因此：

$$u'(c_1) = \frac{\beta(1+r)}{c_2}$$

若家庭確實受借款限制，則：

$$a_2=-l$$

而且家庭原本希望借得更多，故限制具有經濟上的約束力，$\lambda>0$。因此：

$$u'(c_1) > \frac{\beta(1+r)}{c_2}$$

經濟意涵

左邊 $u'(c_1)$ 是多增加一單位第一期消費的邊際效用；右邊 $\beta(1+r)/c_2$ 是少儲蓄一單位、因而減少未來消費 $(1+r)$ 單位所造成的折現邊際效用損失。

受借款限制的家庭，第一期資源不足，想要把更多未來所得移轉到現在消費，也就是想進一步借款。然而，家庭已達借款上限 $a_2=-l$，無法再降低 $a_2$。因此，第一期消費的邊際效用仍高於犧牲未來消費的成本；家庭不是不想調整，而是無法調整，故最適條件呈現嚴格不等號。

（3）判斷家庭是否受借款限制的 $y_2$ 門檻

解題方法

若家庭剛好借至上限，則：

$$a_2=-l$$

由預算限制可得邊界上的消費組合：

$$c_1=y_1+l$$ $$c_2=y_2-(1+r)l$$

在借款上限處，判斷家庭是否還想進一步借款。若第一期消費的邊際效用大於犧牲第二期消費的折現邊際效用，家庭便想增加借款，因而受限制。

將邊界消費代入第（2）題的不等式：

$$u'(y_1+l) \ge \frac{\beta(1+r)}{y_2-(1+r)l}$$