115 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考查：

1. 數值效用函數所誘導偏好的傳遞性。
2. 凹效用函數與凸偏好的關係。
3. 齊次性與偏好同質性的判斷。
4. 效用最大化下的需求函數。
5. 價格變動的等價變量與補償變量。

效用函數為

$$U(x_1,x_2)=x_1-x_2^2,$$

其中 $x_1$ 增加會提高效用，而 $x_2$ 增加會降低效用。因此，雖然題目稱兩者為 goods，但依效用函數可知，第二項實際上具有「厭惡品」的性質。

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(a) 傳遞性

偏好由效用函數表示：

$$x\gtrsim y \Longleftrightarrow U(x)\ge U(y).$$

若 $x\gtrsim y$ 且 $y\gtrsim z$，則

$$U(x)\ge U(y),\qquad U(y)\ge U(z).$$

根據實數大小關係的傳遞性，

$$U(x)\ge U(z).$$

因此，

$$x\gtrsim z.$$

判斷

【True】

解題技巧

只要偏好能由一個實值效用函數表示，通常可直接利用實數大小關係的傳遞性，判定偏好具有傳遞性。

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(b) 凸性

題目定義的凸偏好是：

若 $x\gtrsim z$ 且 $y\gtrsim z$，則兩者的加權平均也必須至少與 $z$ 一樣好。

先觀察效用函數的凹凸性。其 Hessian 矩陣為

$$H= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix}.$$

此矩陣為負半定，因此 $U$ 是凹函數。

對任意 $\alpha\in(0,1)$，凹函數滿足

$$U(\alpha x+(1-\alpha)y) \ge \alpha U(x)+(1-\alpha)U(y).$$

若 $x\gtrsim z$ 且 $y\gtrsim z$，則

$$U(x)\ge U(z),\qquad U(y)\ge U(z).$$

因此，

$$\alpha U(x)+(1-\alpha)U(y) \ge \alpha U(z)+(1-\alpha)U(z) =U(z).$$

綜合可得

$$U(\alpha x+(1-\alpha)y)\ge U(z),$$

所以

$$\alpha x+(1-\alpha)y\gtrsim z.$$

判斷

【True】

解題技巧

效用函數凹是判斷凸偏好的充分條件。更精確地說，凸偏好要求上等位集合為凸集合；凹效用函數所形成的上等位集合符合此條件。

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(c) 同質性

題目要求：

若 $x\gtrsim y$，則對所有 $t>0$，必須有

$$tx\gtrsim ty.$$

本題偏好並非同質性偏好。取

$$x=(2,1),\qquad y=(0,0).$$

原本的效用為

$$U(2,1)=2-1^2=1,$$ $$U(0,0)=0.$$

因此，

$$x\gtrsim y.$$

但取 $t=3$ 後，

$$tx=(6,3),\qquad ty=(0,0).$$

此時

$$U(6,3)=6-3^2=-3,$$

而

$$U(0,0)=0.$$

所以

$$U(6,3)<U(0,0),$$

亦即

$$tx\not\gtrsim ty.$$

因此題目所定義的同質性條件不成立。

判斷

【False】

解題技巧

本題的兩部分不是相同次方：

• $x_1$ 是一次項；
• $x_2^2$ 是二次項。

當所有消費量同時乘上 $t$ 時，

$$U(tx_1,tx_2)=tx_1-t^2x_2^2,$$

無法寫成原效用 $U(x_1,x_2)$ 的單調轉換，因此不能直接視為同質偏好。

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(d) 需求函數

消費者的預算限制為

$$p_1x_1+p_2x_2\le m,$$

且 $x_1,x_2\ge0$。假設 $p_1,p_2>0$。

由於

核心觀念

本題考查兩階段賽局的逆向歸納法（backward induction）與子賽局完美納許均衡（SPNE）。

第二階段中，司法機關比較「通過」與「否決」的報酬：

• 通過：$|B_L-B_J|$
• 否決：$|B_0-B_J|=|0-B_J|=B_J$

題目規定司法機關在無差異時不否決，因此當且僅當

$$|B_L-B_J|\ge B_J$$

司法機關會通過法案。

須注意：題目明確將報酬定義為距離 $|B-B_i|$。依照賽局理論的通常設定，玩家最大化報酬，因此此處代表玩家偏好距離自己理想政策越遠的結果；這與「favorite policy」的直觀經濟意義相反，但以下依題目所給報酬函數解答。

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解題方法：先解第二階段

設立法者在第一階段提出的法案為 $x$，以避免與立法者的理想政策 $B_L=9$ 混淆。

司法機關的報酬如下：

若通過：

$$\pi_J^{P}=|x-B_J|$$

若否決：

$$\pi_J^{R}=|0-B_J|=B_J$$

因此司法機關的策略為：

$$\text{通過} \Longleftrightarrow |x-B_J|\ge B_J$$ $$\text{否決} \Longleftrightarrow |x-B_J|<B_J$$

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（a）求 $B_{SPNE}$

立法者的理想政策為 $9$，其報酬為：

若法案通過：

$$\pi_L^{P}=|x-9|$$

若法案遭否決，回到狀態現況 $B_0=0$：

$$\pi_L^{R}=|0-9|=9$$

因為 $x\in[0,10]$，所以

$$|x-9|\le 9$$

立法者選擇一個會被否決的法案時，可確保報酬為 $9$；而任何被通過的法案，其報酬至多為 $9$。

特別地，若立法者提出 $x=0$，司法機關的通過報酬與否決報酬相同：

$$|0-B_J|=B_J$$

依題目規定，司法機關會選擇通過。但執行後的政策仍為

$$B=0$$

因此，無論立法者提出被否決的法案，或提出 $x=0$ 且由司法機關通過，均會導致執行政策為 $0$。

故 SPNE 下的均衡執行政策為

$$\boxed{B_{SPNE}=0}$$

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（b）固定 $B_L=9$，求 $B(B_J)$

現在法案固定為 $9$，司法機關的報酬為：

若通過：

$$\pi_J^{P}=|9-B_J|$$

若否決：

核心觀念

本題考查兩階段賽局、逆向歸納法、Cournot 數量競爭、研發外溢效果與社會福利。

• 第二階段：給定兩家廠商的研發投入，進行 Cournot 數量競爭。
• 第一階段：各廠商預期第二階段的均衡產量後，決定研發投入。
• 研發投入會降低兩家廠商的邊際成本，具有正向外溢效果。
• 社會福利為消費者剩餘加上兩家廠商利潤。

題目中的成本函數依其變數定義解讀為：$x_i$ 是廠商 $i$ 的研發投入，$x_j$ 是另一家廠商的研發投入。

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(a) 第二階段 Cournot 均衡產量

廠商 $i$ 的利潤為

$$\pi_i=Pq_i-C_i$$

代入 $P=100-q_i-q_j$ 與成本函數：

$$\pi_i = (100-q_i-q_j)q_i - \left[70-(x_i+x_j)\right]q_i -\frac{1}{2}x_i^2$$

整理得

$$\pi_i = \left[30+x_i+x_j-q_i-q_j\right]q_i -\frac{1}{2}x_i^2$$

在第二階段，$x_i,x_j$ 已經決定，因此 $\frac{1}{2}x_i^2$ 為固定項。廠商 $i$ 對 $q_i$ 的一階條件為

$$\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = 30+x_i+x_j-2q_i-q_j=0$$

因此廠商 $i$ 的產量反應函數為

$$q_i=\frac{30+x_i+x_j-q_j}{2}$$

同理，廠商 $j$ 的反應函數為

$$q_j=\frac{30+x_i+x_j-q_i}{2}$$

解聯立方程式，可得

$$\boxed{ q_i^*=q_j^*=\frac{30+x_i+x_j}{3} }$$

因此本題中

$$\boxed{ q_O^*=q_G^*=\frac{30+x_O+x_G}{3} }$$

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(b) 將利潤表示為研發投入的函數

令

$$A=30+x_O+x_G$$

由 (a) 可知

$$q_O^*=q_G^*=\frac{A}{3}$$

在 Cournot 均衡下，由一階條件可知廠商的價格與邊際成本之差等於自身產量，因此：

$$P-MC_i=q_i$$

所以營業利潤為 $q_i^2$。故廠商 $O$ 的利潤為

$$\pi_O = \left(\frac{A}{3}\right)^2-\frac{1}{2}x_O^2$$

即

$$\boxed{ \pi_O(x_O,x_G) = \frac{(30+x_O+x_G)^2}{9} -\frac{1}{2}x_O^2 }$$

同理，廠商 $G$ 的利潤為

$$\boxed{ \pi_G(x_O,x_G) = \frac{(30+x_O+x_G)^2}{9} -\frac{1}{2}x_G^2 }$$

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(c) 第一階段的研發投入最佳反應函數

廠商 $O$ 選擇 $x_O$ 以最大化

$$\pi_O = \frac{(30+x_O+x_G)^2}{9} -\frac{1}{2}x_O^2$$

對 $x_O$ 微分：

$$\frac{\partial \pi_O}{\partial x_O} = \frac{2(30+x_O+x_G)}{9}-x_O$$

令一階條件等於零：

$$\frac{2(30+x_O+x_G)}{9}-x_O=0$$

整理得

$$2(30+x_G)=7x_O$$

因此廠商 $O$ 的研發投入最佳反應函數為

$$\boxed{ x_O=\frac{60+2x_G}{7} }$$

同理，廠商 $G$ 的最佳反應函數為

$$\boxed{ x_G=\frac{60+2x_O}{7} }$$

二階導數為

$$\frac{\partial^2\pi_i}{\partial x_i^2} = \frac{2}{9}-1 = -\frac{7}{9}<0$$

因此上述一階條件確實給出利潤最大值。

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(d) 第一階段的研發投入均衡

由對稱均衡，令

$$x_O=x_G=x$$

代入最佳反應函數：

$$x=\frac{60+2x}{7}$$

因此

$$7x=60+2x$$ $$5x=60$$ $$\boxed{x_O^*=x_G^*=12}$$

代回第二階段產量：

$$q_O^*=q_G^* = \frac{30+12+12}{3} = 18$$

此時總產量為

$$Q=36$$

價格為

$$P=100-36=64$$

每家廠商的利潤為

$$\pi_i = 18^2-\frac{1}{2}(12)^2 = 324-72 = 252$$

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(e) 非合作情況下的社會福利

線性需求的消費者剩餘為

$$CS=\frac{1}{2}(100-P)Q$$

因為 $100-P=Q$，所以也可以寫成

核心觀念

CEO 的薪酬為營業利潤的固定比例：

$$W=\lambda\left(p\theta\sqrt{k}-rk\right)$$

其中 $\lambda>0$。CEO 為風險趨避者，效用函數為：

$$U(W)=\ln W$$

因此其選擇資本 $k$ 時，並非最大化期望利潤，而是最大化期望效用：

$$\mathbb E[\ln W]$$

由於對數效用要求 $W>0$，資本選擇必須使兩種生產力狀態下的營業利潤皆為正。

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（a）CEO 的最適資本選擇

解題方法

令

$$x=\sqrt{k},\qquad k=x^2,\qquad x\ge 0$$

則各狀態下的薪酬為：

$$W(\theta)=\lambda x(p\theta-rx)$$

當 $\theta=1$ 時，薪酬為正的條件為：

$$p-rx>0$$

故可行範圍為：

$$0<x<\frac{p}{r}$$

CEO 的期望效用為：

$$\mathbb E[U(W)] = \frac12\ln\left[\lambda x(2p-rx)\right] + \frac12\ln\left[\lambda x(p-rx)\right]$$

整理後：

$$\mathbb E[U(W)] = \ln\lambda+\ln x +\frac12\ln(2p-rx) +\frac12\ln(p-rx)$$

其中 $\ln\lambda$ 不影響最適選擇，因此對 $x$ 微分：

$$\frac{d\mathbb E[U(W)]}{dx} = \frac1x-\frac{r}{2(2p-rx)}-\frac{r}{2(p-rx)}$$

一階條件為：

$$\frac1x = \frac{r}{2(2p-rx)} + \frac{r}{2(p-rx)}$$

令無量綱變數：

$$t=\frac{rx}{p}$$

則一階條件化為：

$$\frac1t = \frac12\left(\frac1{2-t}+\frac1{1-t}\right)$$

整理得：

$$4t^2-9t+4=0$$

解得：

$$t=\frac{9\pm\sqrt{17}}{8}$$

因為可行範圍要求 $t<1$，故取：

$$t^*=\frac{9-\sqrt{17}}{8}$$

因此：

$$x^*=\frac{p}{r}\cdot\frac{9-\sqrt{17}}{8}$$

又因 $k=x^2$，最適資本為：

$$k_U^* = \left(\frac{p}{r}\right)^2 \left(\frac{9-\sqrt{17}}{8}\right)^2$$

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（b）與風險中立基準的比較

風險中立 CEO 的最適資本

此題考查了外部性、環境政策（碳稅）、企業社會責任 (ECSR) 以及市場均衡的分析。

核心觀念：

1. 外部性 (Externality)：生產或消費活動對第三方造成的影響，且未在市場價格中反映。此處為負外部性（環境損害）。
2. 社會成本 (Social Cost)：私人成本 (Private Cost) 加上外部成本 (External Cost)。
3. 環境公司社會責任 (Environmental Corporate Social Responsibility, ECSR)：企業自願承擔部分外部性成本的行為。
4. 碳稅 (Carbon Tax)：政府對碳排放徵收的稅，旨在內部化負外部性。
5. 市場均衡 (Market Equilibrium)：在給定價格和政策下，供需平衡點。
6. 比較靜態分析 (Comparative Statics)：分析參數變化（如 $\gamma$, $t$）對均衡結果的影響。

解題步驟：

1. 定義總成本和社會邊際成本

• 私人成本 (Private Cost)：廠商的生產成本 $C(Q) = \frac{1}{2} d Q^2$.

• 邊際私人成本 (Marginal Private Cost, MPC)：$MPC = \frac{dC}{dQ} = dQ$.

• 環境損害 (Environmental Damage)：$D(Q) = \frac{1}{2} c Q^2$.

• 邊際環境損害 (Marginal Damage, MD)：$MD = \frac{dD}{dQ} = cQ$.

• ECSR 的影響：
  企業自願內化 $\gamma$ 的碳排放。這意味著企業在計算其「總成本」時，會考慮到一部分環境損害。
  企業的「總成本」可以看作是私人成本加上企業自願承擔的環境損害。
  企業自願承擔的環境損害部分是 $\gamma \times D(Q) = \gamma \frac{1}{2} c Q^2$.
  因此，企業的「總私人成本」為 $C_{ECSR}(Q) = C(Q) + \gamma D(Q) = \frac{1}{2} d Q^2 + \gamma \frac{1}{2} c Q^2 = \frac{1}{2}(d + \gamma c) Q^2$.
  對應的「邊際私人成本」為 $MPC_{ECSR} = \frac{dC_{ECSR}}{dQ} = (d + \gamma c) Q$.

• 碳稅的影響：
  政府徵收每單位產量 $t$ 的碳稅。這相當於提高了生產的邊際成本。
  碳稅增加的邊際成本為 $t$.

• 總的邊際成本 (Total Marginal Cost)：
  考慮到企業的 ECSR 行為和政府的碳稅，企業面臨的總邊際成本是其私人邊際成本加上碳稅。
  企業實際面臨的邊際成本為 $MPC_{ECSR} + t = (d + \gamma c) Q + t$.
  然而，我們需要將碳稅視為對總社會成本的影響。
  社會邊際成本 (Marginal Social Cost, MSC) 是 MPC 加上外部邊際損害 (MEC)。
  這裡的外部性是 $D(Q)$，所以 MEC = $MD = cQ$.
  MSC = $MPC + MEC = dQ + cQ = (d+c)Q$.

  政府徵收碳稅 $t$ 的目的通常是讓企業的邊際成本等於社會邊際成本。
  企業的邊際成本（考慮到 ECSR 和碳稅）應等於社會邊際成本。
  企業面臨的總邊際成本，包括其私人成本、ECSR 的內部化部分以及政府課徵的碳稅。
  如果企業將 $\gamma$ 的碳排放視為成本，那麼其邊際成本為 $MPC_{ECSR} = (d + \gamma c) Q$.
  政府課徵的碳稅 $t$ 相當於額外增加的邊際成本。
  因此，企業的總邊際成本為 $(d + \gamma c) Q + t$.
  市場均衡發生在邊際私人成本（考慮 ECSR 和碳稅）等於邊際價格（來自需求曲線）。
  $P = a - bQ$.
  邊際收益 (Marginal Revenue, MR) 在完全競爭市場中等於價格 P。
  所以，均衡條件是：企業面對的邊際成本 = 價格。
  $(d + \gamma c) Q + t = a - bQ$.

此題為一般均衡理論的應用，探討了生產效率、外部性對競爭性均衡的影響。

核心觀念：

1. 一般均衡 (General Equilibrium)：在多個市場同時達到均衡的狀態。
2. 生產可能性曲線 (Production Possibility Frontier, PPF)：經濟體能夠生產的兩種商品的最大組合。
3. 生產效率 (Production Efficiency)：在給定的要素投入下，不可能在不減少另一種商品產量的同時增加某種商品的產量。這意味著 PPF 上的點。
4. 帕累托效率 (Pareto Efficiency)：一種資源配置狀態，無法在不損害任何個體的情況下，改善任何個體的情況。生產效率是帕累托效率的必要條件之一。
5. 競爭性均衡 (Competitive Equilibrium)：在完全競爭市場下，由價格和資源配置決定的均衡狀態。
6. 要素市場 (Factor Market)：勞動 (L) 和資本 (K) 等生產要素的市場。
7. 邊際要素替代率 (Marginal Rate of Factor Substitution, MRFS)：在維持相同產量水平下，一種要素替換另一種要素的比例。
8. 要素價格 (Factor Prices)：勞動的工資 (w) 和資本的租金 (r)。
9. 外部性 (Externality)：生產或消費活動對第三方造成的影響，且未在市場價格中反映。

解題步驟：

(a) 證明競爭性均衡必然滿足生產效率

前提條件：

• 兩種商品 X 和 Y，兩種要素 L 和 K。
• 生產函數 $X = F_X(L_X, K_X)$ 和 $Y = F_Y(L_Y, K_Y)$，具有規模報酬恆定 (Constant Returns to Scale, CRS) 且嚴格凹函數 (Strictly Concave)。
• 要素總量約束：$L_X + L_Y = L$, $K_X + K_Y = K$.
• 消費者偏好為標準的科布-道格拉斯函數。

生產效率的條件：
生產效率意味著經濟體的所有要素都被有效利用，且生產組合位於生產可能性曲線 (PPF) 上。
在一般均衡模型中，生產效率的條件可以表述為：

1. 要素的完全利用：總要素投入等於總要素禀賦。
2. 邊際要素替代率 (MRFS) 在兩種生產活動中相等：
   對於商品 X 的生產，MRFS$_X = \frac{MP_{L,X}}{MP_{K,X}}$ (其中 $MP_{L,X}$ 是勞動的邊際產出，$MP_{K,X}$ 是資本的邊際產出)。
   對於商品 Y 的生產，MRFS$_Y = \frac{MP_{L,Y}}{MP_{K,Y}}$.
   生產效率要求 MRFS$_X = \text{MRFS}_Y$.

競爭性均衡下的要素配置：
在競爭性市場中，要素價格（工資 $w$ 和資本租金 $r$）由市場決定。
廠商 X 追求利潤最大化，其利潤函數為 $\pi_X = p_X F_X(L_X, K_X) - w L_X - r K_X$.
最大化條件（一階條件）給出了要素的最優使用量。對於要素 L，廠商 X 會選擇 $L_X$ 使得 $p_X \frac{\partial F_X}{\partial L_X} = w$。
對於要素 K，廠商 X 會選擇 $K_X$ 使得 $p_X \frac{\partial F_X}{\partial K_X} = r$.
因此，$\frac{\partial F_X / \partial L_X}{\partial F_X / \partial K_X} = \frac{w}{r}$.
由於 $F_X$ 嚴格凹函數，這個比率就是 MRFS$_X$. 所以 MRFS$_X = \frac{w}{r}$.

同理，對於商品 Y 的生產，廠商 Y 追求利潤最大化：$\pi_Y = p_Y F_Y(L_Y, K_Y) - w L_Y - r K_Y$.
最大化條件給出：
$\frac{\partial F_Y / \partial L_Y}{\partial F_Y / \partial K_Y} = \frac{w}{r}$.
因此，MRFS$_Y = \frac{w}{r}$.

結論：
在競爭性均衡中，所有廠商（無論生產 X 還是 Y）都會選擇要素投入組合，使得其邊際要素替代率等於要素價格之比 $\frac{w}{r}$。
因此，MRFS$_X = \frac{w}{r}$ 且 MRFS$_Y = \frac{w}{r}$.
這就意味著 MRFS$_X = \text{MRFS}_Y$.
這個條件是生產效率的必要條件。

此外，在一般均衡中，我們也假設要素市場是完全競爭的，並且要素會流向能提供更高回報的行業。如果存在生產無效率（即點不在 PPF 上），則意味著可以通過重新配置要素來同時增加 X 和 Y 的產量，或者在不減少任何一方產量的同時增加另一方的產量。這將導致更高的總收益，從而可能改變要素價格，並進一步促使要素重新配置，直到達到生產效率。
嚴格凹函數的假設保證了邊際產出遞減，使得 MRFS 存在且唯一，並且利潤最大化條件能唯一確定要素使用比例。
規模報酬恆定 (CRS) 意味著廠商的利潤只取決於要素價格，與生產規模無關（在完美競爭下，利潤為零）。

【答案】(a)
在競爭性均衡中，廠商的利潤最大化行為（在給定的商品價格 $p_X, p_Y$ 和要素價格 $w, r$ 下）要求其選擇要素組合，使得邊際要素替代率等於要素價格之比。對於生產商品 X 的廠商，MRFS$_X = MP_{L,X}/MP_{K,X} = w/r$。對於生產商品 Y 的廠商，MRFS$_Y = MP_{L,Y}/MP_{K,Y} = w/r$。因此，MRFS$_X = \text{MRFS}_Y$。這個條件是生產效率的必要條件，即經濟體恰好在其生產可能性曲線 (PPF) 上。

(b) 要素使用外部性對競爭性均衡效率的影響

外部性的定義：
要素使用外部性是指一種生產活動的要素使用量，影響了另一種生產活動的生產函數或成本函數，但這種影響沒有在市場價格中得到反映。
例如，題目中提到「輸出 X 的數量取決於總要素使用項，除了公司自身的投入。」