109 年 國立臺北大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題同時考查：

1. 差別取價：不同市場分別決定銷售量，使各市場的邊際收益等於共同的邊際成本。
2. 多工廠生產：總產量由各工廠共同生產，為使成本最低，各有開工的工廠須滿足
   $MC_K=MC_T.$
3. 市場需求與邊際收益：若需求為
   $Q=a-P,$
   則反需求為
   $P=a-Q,$
   總收益為
   $TR=aQ-Q^2,$
   因此
   $MR=a-2Q.$

令高雄、臺北市場的銷售量分別為 $X_K,X_T$；高雄、臺北工廠的生產量分別為 $Q_K,Q_T$。

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解題方法

一、求各市場的邊際收益

高雄市場：

$Q_K=36-P_K$

反需求函數為

$P_K=36-X_K.$

因此高雄市場的邊際收益為

$MR_K=36-2X_K.$

臺北市場：

$Q_T=50-P_T$

反需求函數為

$P_T=50-X_T.$

因此臺北市場的邊際收益為

$MR_T=50-2X_T.$

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二、求各工廠的邊際成本

高雄工廠總成本：

$TC_K=8+10Q_K+10Q_K^2.$

所以

$MC_K=\frac{dTC_K}{dQ_K}=10+20Q_K.$

臺北工廠總成本：

$TC_T=4+20Q_T+5Q_T^2.$

所以

$MC_T=\frac{dTC_T}{dQ_T}=20+10Q_T.$

固定成本 $8$ 與 $4$ 不影響邊際決策，因此不進入邊際成本。

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三、判斷高雄市場是否會供貨

在多工廠且可將產品運往不同市場的情況下，所有實際生產的工廠，其邊際成本必須等於共同的邊際成本 $\lambda$：

$MC_K=MC_T=\lambda.$

若高雄市場有正的銷售量，則還須滿足

$MR_K=MR_T=\lambda.$

先檢查兩市場同時供貨的內點解。由

$X_K=\frac{36-\lambda}{2},\qquad X_T=\frac{50-\lambda}{2},$

以及

$Q_K=\frac{\lambda-10}{20},\qquad Q_T=\frac{\lambda-20}{10},$

代入總產量等於總銷售量：

$Q_K+Q_T=X_K+X_T.$

可得

$$\frac{\lambda-10}{20}+\frac{\lambda-20}{10} =\frac{36-\lambda}{2}+\frac{50-\lambda}{2}.$$

整理後：

$\frac{3\lambda-50}{20}=43-\lambda,$

$23\lambda=910,$

$\lambda=\frac{910}{23}>36.$

但若 $\lambda>36$，則

$X_K=\frac{36-\lambda}{2}<0,$

不可能存在負的銷售量。因此，高雄市場不會被供貨，屬於角點解：

$X_K=0.$

此題考驗獨佔廠商在單一市場下的均衡分析，包含市場均衡的價格與數量，以及需求彈性的計算。

首先，題目給出了黃牛的市場供給函數 $P_B = 10 + 24Q_B$。
同時，題目也給出了黃牛肉的需求函數 $Q_D = 50 - P_D$。
由於黃牛的售價 $P_B$ 就是黃牛肉的市場價格 $P_D$，我們可以將兩者視為同一變數 P。
所以，市場的供給函數為 $P = 10 + 24Q$ (其中 $Q=Q_B$)。
市場的需求函數為 $Q = 50 - P$。

(7) 黃牛的市場均衡交易量為多少？
市場均衡發生在供給量等於需求量，或供給價格等於需求價格。
我們將需求函數改寫成 $P$ 的形式：$P_D = 50 - Q_D$。
令 $P_S = P_D = P$ 且 $Q_B = Q_D = Q$。
均衡條件為 $P_B = P_D$ 且 $Q_B = Q_D$。
$10 + 24Q = 50 - Q$
$25Q = 40$
$Q = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$

(8) 黃牛的市場均衡價格為多少？
將均衡交易量 $Q = \frac{8}{5}$ 代入供給函數或需求函數。
使用供給函數：$P = 10 + 24Q = 10 + 24(\frac{8}{5}) = 10 + \frac{192}{5} = \frac{50 + 192}{5} = \frac{242}{5}$
使用需求函數：$P = 50 - Q = 50 - \frac{8}{5} = \frac{250 - 8}{5} = \frac{242}{5}$

此題考驗消費者理論中，關於偏好關係的公理化驗證，特別是強性顯示性偏好公理（Strong Axiom of Revealed Preference, SARP）。SARP 是指如果一個消費組合 $X$ 被選擇於另一消費組合 $Y$ 之上（即 $X$ 被顯示地偏好於 $Y$），那麼 $Y$ 就不能被顯示地偏好於 $X$。

SARP 的形式化定義：若消費組合 $X$ 在價格 $P$ 下被選擇，意味著 $P \cdot X \ge P \cdot Y$ 對於所有其他可負擔的消費組合 $Y$ 成立。如果 $X$ 被顯示地偏好於 $Y$（$X$ 被選，且 $Y$ 在相同預算約束下也是可負擔的），則 $Y$ 不能被顯示地偏好於 $X$（即不能存在另一種情況，在該情況下 $Y$ 被選擇，且 $X$ 在該情況下也是可負擔的）。

我們有四組價格-消費組合的對應關係：

1. 價格 $P_1 = (1, 2, 1)$，消費組合 $X_1 = (10, 5, 5)$。
   預算約束：$P_1 \cdot X_1 = 1(10) + 2(5) + 1(5) = 10 + 10 + 5 = 25$。
2. 價格 $P_2 = (2, 1, 1)$，消費組合 $X_2 = (3, 5, 6)$。
   預算約束：$P_2 \cdot X_2 = 2(3) + 1(5) + 1(6) = 6 + 5 + 6 = 17$。
3. 價格 $P_3 = (1, 2, 2)$，消費組合 $X_3 = (13, 3, 3)$。
   預算約束：$P_3 \cdot X_3 = 1(13) + 2(3) + 2(3) = 13 + 6 + 6 = 25$。
4. 價格 $P_4 = (2, 1, 2)$，消費組合 $X_4 = (15, 3, 1)$。
   預算約束：$P_4 \cdot X_4 = 2(15) + 1(3) + 2(1) = 30 + 3 + 2 = 35$。

我們需要檢查是否存在違反 SARP 的情況。也就是說，是否存在某個組合 $X_i$ 被選擇，而另一個組合 $X_j$ 在 $P_i$ 的價格下也是可負擔的，且 $X_j$ 被選擇，而 $X_i$ 在 $P_j$ 的價格下也是可負擔的。

SARP 的檢查步驟：
對於每一對消費組合 $(X_i, X_j)$，如果 $X_i$ 在價格 $P_i$ 下被選擇，我們需要檢查 $X_j$ 在 $P_i$ 下是否可負擔（即 $P_i \cdot X_j \le P_i \cdot X_i$）。如果 $X_j$ 在 $P_i$ 下是可負擔的，那麼 $X_i$ 就被顯示地偏好於 $X_j$。
然後，我們再檢查 $X_j$ 是否在價格 $P_j$ 下被選擇，以及 $X_i$ 在 $P_j$ 下是否可負擔（即 $P_j \cdot X_i \le P_j \cdot X_j$）。
如果 $X_i$ 被顯示地偏好於 $X_j$（$P_i \cdot X_j \le P_i \cdot X_i$），並且 $X_j$ 被顯示地偏好於 $X_i$（$P_j \cdot X_i \le P_j \cdot X_j$），那麼 SARP 就被違反了。

讓我們系統地檢查：

1. 比較 $X_1$ 和 $X_2$：

   • $X_1$ 在 $P_1$ 下被選擇。檢查 $X_2$ 在 $P_1$ 下是否可負擔：
     $P_1 \cdot X_1 = 25$
     $P_1 \cdot X_2 = 1(3) + 2(5) + 1(6) = 3 + 10 + 6 = 19$
     因為 $19 \le 25$，所以 $X_1$ 被顯示地偏好於 $X_2$。
   • $X_2$ 在 $P_2$ 下被選擇。檢查 $X_1$ 在 $P_2$ 下是否可負擔：
     $P_2 \cdot X_2 = 17$
     $P_2 \cdot X_1 = 2(10) + 1(5) + 1(5) = 20 + 5 + 5 = 30$
     因為 $30 > 17$，所以 $X_1$ 在 $P_2$ 下是不可負擔的。這表示 $X_2$ 並沒有顯示地偏好於 $X_1$（因為 $X_1$ 並非 $X_2$ 的替代選項）。
   • 此對 $(X_1, X_2)$ 沒有違反 SARP。

2. 比較 $X_1$ 和 $X_3$：

   • $X_1$ 在 $P_1$ 下被選擇。檢查 $X_3$ 在 $P_1$ 下是否可負擔：
     $P_1 \cdot X_1 = 25$
     $P_1 \cdot X_3 = 1(13) + 2(3) + 2(5) = 13 + 6 + 10 = 29$
     因為 $29 > 25$，所以 $X_3$ 在 $P_1$ 下是不可負擔的。這表示 $X_1$ 並沒有顯示地偏好於 $X_3$（因為 $X_3$ 並非 $X_1$ 的替代選項）。
   • $X_3$ 在 $P_3$ 下被選擇。檢查 $X_1$ 在 $P_3$ 下是否可負擔：
     $P_3 \cdot X_3 = 25$
     $P_3 \cdot X_1 = 1(10) + 2(5) + 2(5) = 10 + 10 + 10 = 30$
     因為 $30 > 25$，所以 $X_1$ 在 $P_3$ 下是不可負擔的。這表示 $X_3$ 並沒有顯示地偏好於 $X_1$。
   • 此對 $(X_1, X_3)$ 沒有違反 SARP。

3. 比較 $X_1$ 和 $X_4$：

   • $X_1$ 在 $P_1$ 下被選擇。檢查 $X_4$ 在 $P_1$ 下是否可負擔：
     $P_1 \cdot X_1 = 25$
     $P_1 \cdot X_4 = 1(15) + 2(3) + 2(1) = 15 + 6 + 2 = 23$
     因為 $23 \le 25$，所以 $X_1$ 被顯示地偏好於 $X_4$。
   • $X_4$ 在 $P_4$ 下被選擇。檢查 $X_1$ 在 $P_4$ 下是否可負擔：
     $P_4 \cdot X_4 = 35$
     $P_4 \cdot X_1 = 2(10) + 1(5) + 2(5) = 20 + 5 + 10 = 35$
     因為 $35 \le 35$，所以 $X_1$ 在 $P_4$ 下是可負擔的。這表示 $X_4$ 被顯示地偏好於 $X_1$。
   • 我們發現 $X_1$ 被顯示地偏好於 $X_4$ (因為 $P_1 \cdot X_4 \le P_1 \cdot X_1$)，同時 $X_4$ 也被顯示地偏好於 $X_1$ (因為 $P_4 \cdot X_1 \le P_4 \cdot X_4$)。
   • 這是一個 SARP 的違反！

此題要求根據消費者的敘述，寫出一個能夠代表其偏好的效用函數。這涉及到對消費者偏好類型（如偏好「更多」的財貨）的理解，以及如何將其轉換為數學上的效用函數形式。

核心觀念： 偏好「更多」的財貨，表示該財貨的邊際效用為正。這意味著消費者對任何一種財貨的增加都會感到更高興，而對另一種財貨的數量沒有特別的偏好（即沒有替代或互補的特殊關係，也沒有邊際效用遞減的強烈偏好）。

分析：
Anna 的敘述是：「她總是偏好包含更多電影和更多披薩的消費組合。」
這句話表明 Anna 對電影 ($x_1$) 和披薩 ($x_2$) 這兩種財貨都具有「正的邊際效用」。也就是說，無論她現在擁有多少電影和披薩，只要電影或披薩（或兩者）的數量增加，她都會覺得更滿足。

這種類型的偏好可以用一個嚴格遞增的效用函數來表示，其中兩種財貨的邊際效用都是正的。最簡單的效用函數形式是將兩種財貨的數量相加，或者使用其他嚴格遞增的函數（如乘積、對數等），只要保證對於 $x_1$ 和 $x_2$ 的變化，效用都是增加的。

可能的效用函數形式：

1. 線性效用函數： $U(x_1, x_2) = x_1 + x_2$
   在這個函數中，對 $x_1$ 的邊際效用是 $\frac{\partial U}{\partial x_1} = 1 > 0$，對 $x_2$ 的邊際效用是 $\frac{\partial U}{\partial x_2} = 1 > 0$。這表示增加任何一種財貨都會增加總效用。

2. 乘積形式的效用函數： $U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2$
   在這個函數中，對 $x_1$ 的邊際效用是 $\frac{\partial U}{\partial x_1} = x_2$。

此題要求根據消費者的敘述，寫出一個能夠代表其偏好的效用函數。這涉及到對消費者偏好類型（如偏好「更多」或「至少一樣多」的財貨）的理解，以及如何將其轉換為數學上的效用函數形式。

核心觀念： 偏好「更多或至少一樣多」的財貨，表示該財貨的邊際效用為非負。這意味著消費者對另一種財貨的數量沒有特別的偏好（即沒有替代或互補的特殊關係），但至少一種財貨的增加會讓她更滿足，或者在另一種財貨數量不變的情況下，一種財貨的增加不會讓她不滿足。

分析：
Bess 的敘述是：「她總是（弱地）偏好包含更多電影或更多披薩（或兩者皆有）的消費組合。」
「弱地偏好」 (weakly prefers) 表示：如果消費組合 A 包含比消費組合 B 更多的電影，或更多的披薩，或兩者都更多，那麼 A 至少與 B 一樣好（A $\succeq$ B）。
這意味著 Bess 對電影 ($x_1$) 和披薩 ($x_2$) 這兩種財貨都具有「非負的邊際效用」。也就是說，增加任何一種財貨的數量，總效用不會減少；同時增加一種財貨的數量，或者兩種財貨都增加，總效用一定會增加（因為「或兩者皆有」）。
更精確地說，如果 $x_1' \ge x_1$ 且 $x_2' \ge x_2$，且 $(x_1', x_2') \neq (x_1, x_2)$，則 Bess 弱地偏好 $(x_1', x_2')$ 勝過 $(x_1, x_2)$。

這種類型的偏好可以用一個嚴格遞增的效用函數來表示，其中兩種財貨的邊際效用都是非負的，且至少有一種財貨的邊際效用為正。

可能的效用函數形式：

1. 線性效用函數： $U(x_1, x_2) = x_1 + x_2$
   在這個函數中，對 $x_1$ 的邊際效用是 $\frac{\partial U}{\partial x_1} = 1 > 0$，對 $x_2$ 的邊際效用是 $\frac{\partial U}{\partial x_2} = 1 > 0$。這表示增加任何一種財貨都會增加總效用。這符合 Bess 的敘述。

2. 乘積形式的效用函數： $U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2$
   在這個函數中，對 $x_1$ 的邊際效用是 $\frac{\partial U}{\partial x_1} = x_2$。假設 $x_2 > 0$，則邊際效用為正。
   對 $x_2$ 的邊際效用是 $\frac{\partial U}{\partial x_2} = x_1$。假設 $x_1 > 0$，則邊際效用為正。
   這也符合 Bess 的敘述，因為只要 $x_1 > 0$ 或 $x_2 > 0$，增加另一種財貨都會增加總效用。

此題要求根據消費者的敘述，寫出一個能夠代表其偏好的效用函數。這涉及到對消費者支出行為的理解，以及如何將其轉換為數學上的效用函數形式。

核心觀念： 消費者在特定支出比例下進行消費，通常暗示了這種支出比例是其效用最大化的結果。這意味著在給定的收入和價格下，這種支出比例對應著某種形式的偏好。

分析：
Cathy 的敘述是：「她總是花費 1/3 的收入在電影上，2/3 的收入在披薩上。」
設消費者的收入為 $I$，電影的價格為 $p_1$，披薩的價格為 $p_2$。
那麼 Cathy 在電影上的支出為 $p_1 x_1 = \frac{1}{3}I$，在披薩上的支出為 $p_2 x_2 = \frac{2}{3}I$。
這兩個條件同時成立。

這意味著，對於任何給定的價格 $(p_1, p_2)$ 和收入 $I$，Cathy 選擇的消費組合 $(x_1, x_2)$ 必須滿足：
$p_1 x_1 = \frac{1}{3}I$
$p_2 x_2 = \frac{2}{3}I$

從這些條件，我們可以推導出 $x_1$ 和 $x_2$ 與價格和收入的關係：
$x_1 = \frac{I}{3p_1}$
$x_2 = \frac{2I}{3p_2}$

這些是 Cathy 的需求函數。現在我們需要找到一個效用函數 $U(x_1, x_2)$，使得在給定價格和收入下，最大化該效用函數的結果正好是這個需求函數。

具有固定支出比例的需求函數通常與一種特定的效用函數形式相關，即一種「固定比例」的替代關係，或者說，這兩種財貨在效用函數中是以某種固定比例組合起來的。

一個常見的例子是 Cobb-Douglas 效用函數。
Cobb-Douglas 效用函數的形式為 $U(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$。
在這個形式下，消費者在 $x_1$ 上的支出比例為 $\frac{a}{a+b}$，在 $x_2$ 上的支出比例為 $\frac{b}{a+b}$。

根據 Cathy 的敘述：
在電影 ($x_1$) 上的支出比例為 $\frac{1}{3}$。
在披薩 ($x_2$) 上的支出比例為 $\frac{2}{3}$。

因此，我們可以設定 $a=1$ 且 $b=2$。
這樣，Cobb-Douglas 效用函數的形式就是 $U(x_1, x_2) = x_1^1 x_2^2 = x_1 x_2^2$。

讓我們驗證一下，如果 Cathy 的效用函數是 $U(x_1, x_2) = x_1 x_2^2$，她是否會選擇這樣的支出比例。
最大化 $U(x_1, x_2) = x_1 x_2^2$ subject to $p_1 x_1 + p_2 x_2 = I$。
使用拉格朗日乘數法：

核心觀念

本題考查「所得變動對財貨需求量的影響」，以及正常財、劣等財與所得效果的定義。

電影與披薩價格不變，因此獎金增加只會使 Debra 的所得上升，預算線平行向外移動。披薩需求量的變化取決於其所得效果：

• 正常財：所得增加，需求量增加。
• 劣等財：所得增加，需求量減少。
• 所得效果為零的財貨：所得增加，需求量不變。

可用所得彈性表示：

$$\text{所得彈性} = \frac{\partial Q_{\text{pizza}}}{\partial Y} \cdot \frac{Y}{Q_{\text{pizza}}}$$

其中 $Y$ 為所得，$Q_{\text{pizza}}$ 為披薩消費量。

解題方法

獎金增加代表所得由 $Y_0$ 上升至 $Y_1$，且披薩與電影價格均維持不變。由於相對價格沒有改變，沒有替代效果，只有所得效果：

$$\Delta Q_{\text{pizza}} = \text{所得效果}$$

因此：

1. 若披薩是正常財，則
   $Q_{\text{pizza}}(Y_1)>Q_{\text{pizza}}(Y_0)$
   Debra 會吃更多披薩。

2. 若披薩是劣等財，則
   $Q_{\text{pizza}}(Y_1)<Q_{\text{pizza}}(Y_0)$
   Debra 會吃更少披薩。

此題是 II.4 的延續，但 II.4 的題目敘述是「Debra says that more bonus will not make her eat more pizza (given that prices of movies and pizza remain the same).」。此處的 5. 似乎是重複了 II.4 的題目，或者有其他意思。
根據上下文， II.5 應該是 II.4 的答案，而不是另一道題目。
如果這是一道獨立的題目，那麼它與 II.4 的敘述完全相同。

在此假設 5. 是 II.4 的答案。
（如果 5. 是一個新的題目，請提供其獨立的敘述。）

假設 5. 是 II.4 的答案，則答案與 II.4 相同。

若 5. 是獨立題目，且題目敘述與 II.4 相同，則解釋如下：
此題要求根據消費者的敘述，寫出一個能夠代表其偏好的效用函數。這涉及到對消費者偏好類型（如對某種財貨的邊際效用為零或負）的理解，以及如何將其轉換為數學上的效用函數形式。

核心觀念： 如果增加某種財貨的數量不會增加（甚至會減少）消費者的效用，這意味著該財貨的邊際效用為零或負。

分析：
Debra 的敘述是：「在電影和披薩的價格保持不變的情況下，更多的獎金不會讓她吃更多的披薩。」
這裡的「獎金」可以理解為額外的收入或購買力。

此題考驗對「公平價格」的定義以及如何在買賣雙方之間分配交易的總利益。

核心觀念：

• 消費者剩餘 (Consumer Surplus, CS)： 消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額。
• 生產者剩餘 (Producer Surplus, PS)： 實際獲得的價格與生產者願意接受的最低價格（即成本）之間的差額。
• 總利益 (Total Surplus)： 買賣雙方從交易中獲得的總利益，等於消費者剩餘加上生產者剩餘。
• 公平價格 (Fair Price)： 一種分配標準，通常是指買賣雙方從交易中獲得的利益相等。

分析：

1. 確定交易的總利益：

   • 賣方 (Francesca) 的成本是 $300。
   • 買方 (Emma) 的收益是 $500。
   • 如果交易發生，總利益 (Total Surplus) = Emma 的收益 - Francesca 的成本 = $500 -$300 = $200。

2. 定義「公平價格」：
   題目中定義「公平價格」是讓 Emma 和 Francesca「同樣地享受」交易的利益。這意味著交易產生的總利益（$200）應該平均分配給買賣雙方。

此題涉及資訊不對稱下的契約理論、效率性交易規則以及預期社會剩餘的計算。

核心觀念：

• 風險中性 (Risk Neutral)： 消費者（或生產者）的決策僅基於預期收益，不考慮風險本身。
• 社會剩餘 (Social Surplus)： 消費者剩餘 (CS) 加上生產者剩餘 (PS) 或利潤。
• 效率性交易規則 (Efficient Trading Rule)： 使得社會剩餘最大化的規則。
• 預期社會剩餘 (Expected Social Surplus)： 在存在不確定性時，社會剩餘的期望值。
• 契約違約 (Breach of Contract)： 一方未能履行契約義務。

題目設定：

• Francesca 的製造成本 $C = 300$。
• Emma 的收益是不確定的，有兩種情況：
  • 情況 1 (機率 1/2)：收益 $B_1 = 800$。
  • 情況 2 (機率 1/2)：收益 $B_2 = 200$。
• 交易價格為 $p$（假設 $p \ge 300$）。
• 雙方都是風險中性。

效率性交易規則 (Efficient Trading Rule)：
效率性交易是指當且僅當收益大於成本時進行交易。
即：如果 $B > C$，則進行交易；否則不進行交易。
在這種情況下，社會剩餘最大化。

1. 效率性交易規則下的預期社會剩餘 (Expected Social Surplus under the Efficient Trading Rule)

效率性交易規則要求：只有當 Emma 的真實收益大於 Francesca 的成本時，交易才應該發生。

• 情況 1：Emma 的收益 $B_1 = 800$。由於 $800 > 300$（成本），交易應該發生。
  在這種情況下，社會剩餘 = 收益 - 成本 = $B_1 - C = 800 - 300 = 500$。
• 情況 2：Emma 的收益 $B_2 = 200$。由於 $200 < 300$（成本），交易不應該發生。
  在這種情況下，社會剩餘 = 0。

現在計算預期社會剩餘：
預期社會剩餘 = P(情況 1) * (情況 1 的社會剩餘) + P(情況 2) * (情況 2 的社會剩餘)

核心觀念

本題考的是契約違約時的「期待損害賠償」（expectation damages）。其目的在於使守約方回到「契約確實履行時」的經濟狀態，而不是單純懲罰違約方。

一般公式為：

$$\text{期待損害賠償} = \text{履行利益} - \text{守約方因違約所節省的成本} + \text{可預見的附帶損害}$$

在最基本的情形下，若守約方原本可取得的契約利益為 $V$，因違約實際取得的利益為 $V_B$，則：

$$D=V-V_B$$

其中 $D$ 即 Emma 應支付的期待損害賠償。

解題方法

計算期待損害賠償的關鍵，是比較兩種狀態：

1. 契約正常履行時，守約方的利益。
2. Emma 違約後，守約方實際取得的利益。

因此，若正常履行可使守約方獲得 $V$，違約後只能獲得 $V_B$，則：

$$D=V-V_B$$

若守約方因 Emma 違約而節省支出 $C$，則應扣除該部分：

$$D=V-V_B-C$$

若違約同時造成可預見且可證明的附帶損害 $L$，則加入該損害：

$$D=V-V_B-C+L$$

此題要求找出一個價格 $p$，使得在簽訂該價格的契約後，Emma 的交易決策（是否違約）能夠符合效率性原則。

核心觀念：

• 效率性交易 (Efficient Trading)： 交易在買方收益大於賣方成本時進行。
• 風險中性 (Risk Neutral)： 決策基於預期收益。
• 預期損害賠償 (Expectation Damages)： 在此題的脈絡下，我們假設違約賠償金額 $D$ 是由上一題確定的。根據標準的經濟學模型，當賣方（Francesca）尚未產生成本時，預期損害賠償的金額通常設定為賣方本來會支付的成本 $C$。因此，我們假設 $D=C=300$。

題目設定：

• Francesca 的成本 $C = 300$。
• Emma 的收益 $B$ 為隨機變數：
  • $B=800$ (機率 1/2)
  • $B=200$ (機率 1/2)
• 交易價格為 $p$。
• 若 Emma 違約，她需支付 $D=300$ 的賠償金給 Francesca。

效率性決策的目標：

• 當 $B=800$ 時，應進行交易（履行契約）。
• 當 $B=200$ 時，應終止交易（違約）。

Emma 的決策：
Emma 會比較履行契約的淨收益與違約的淨收益，並選擇使自己收益最大化的選項。

• 若履行契約： Emma 支付價格 $p$，獲得收益 $B$。淨收益 = $B - p$。
• 若違約： Emma 支付 $D=300$ 的賠償金，不獲得收益（也不支付 $p$）。淨收益 = $-D = -300$。

分析效率性決策的條件：

1. 當 $B=800$ 時，Emma 應履行契約 (Perform)：
   這意味著履行契約的收益必須大於違約的收益。
   $B - p > -D$
   $800 - p > -300$
   $800 + 300 > p$
   $1100 > p$

核心觀念

本題考查「努力造成機率改變」下的期望值、社會剩餘，以及保險造成的誘因問題。

題目摘錄未包含前文對 $I$、效用函數與保險支付規則的定義。以下採標準設定：

• Emma 的消費經驗在高低兩狀態分別為 $800$ 與 $200$；
• 低消費狀態獲得保險給付 $I$；
• 努力成本為 $1$；
• 努力使高消費狀態的機率增加 $x$，低消費狀態的機率減少 $x$；
• $0<x<1$。

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(一) 努力的社會利益

努力使高消費狀態的機率增加 $x$，因此社會期望收益的增加為

$$x(800)+(-x)(200) =x(800-200) =600x.$$

扣除努力成本 $1$ 後，努力的淨社會利益為

$$600x-1.$$

因此：

• 努力的毛社會利益為 $600x$；
• 扣除成本後的淨社會利益為 $600x-1$；
• 社會上值得努力的條件為

$$600x-1\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\geq \frac{1}{600}.$$

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(二) Emma 親自努力時的最大保險額

Emma 在高消費狀態的消費為 $800$，低消費狀態因保險獲得 $I$，消費為

$$200+I.$$

若 Emma 的效用函數為 $u(\cdot)$，努力所造成的期望效用增加為

$$x\left[u(800)-u(200+I)\right].$$

扣除努力成本後，Emma 願意努力的條件為

$$x\left[u(800)-u(200+I)\right]-1\geq 0.$$

因此，臨界保險額 $I_E^*$ 滿足

$$x\left[u(800)-u(200+I_E^*)\right]=1.$$

解得

$$I_E^* = u^{-1}\left(u(800)-\frac{1}{x}\right)-200.$$

所以 Emma 願意努力的條件為

$$I\leq u^{-1}\left(u(800)-\frac{1}{x}\right)-200.$$

若題目前文採用風險中立假設 $u(c)=c$，則

$$x\left[800-(200+I)\right]-1\geq 0,$$

即

$$x(600-I)\geq 1.$$

因此 Emma 願意努力的最大保險額為

此題考驗對風險偏好類型的判斷，以及如何從效用函數的形式推斷出風險偏好。

核心觀念：

• 風險中性 (Risk Neutral)： 期望效用最大化者，其效用函數為線性函數，即 $U(x) = ax+b$。他們只關心期望值，不關心風險。
• 風險厭惡 (Risk Averse)： 期望效用最大化者，其效用函數為嚴格凹函數（二次微分小於零），即 $U''(x) < 0$。他們不喜歡風險，對於相同的期望財富，他們偏好確定的財富。
• 風險愛好 (Risk Loving)： 期望效用最大化者，其效用函數為嚴格凸函數（二次微分大於零），即 $U''(x) > 0$。他們喜歡風險，對於相同的期望財富，他們偏好不確定的財富。

題目設定：

• Gigi 和 Helen 的效用函數為 $u(x) = \ln(x)$。
• 初始財富為 $10$。
• 意外發生的機率為 $1/4$。

核心觀念

本題考查「互相保險（mutual insurance）」能否透過分散風險，形成帕累托改善（Pareto improvement）。

帕累托改善的定義是：新安排下，至少一人的效用增加，且任何人的效用都不降低。保險之所以可能帶來帕累托改善，關鍵在於不同個人所面臨的損失狀態不完全相同，使風險可以彼此分攤。

然而，本題的事故會同時對 Gigi 與 Helen 各造成 $2 的損害，屬於「共同風險」（common risk），而非可相互抵銷的個別風險。

解題方法

在沒有保險時，兩人的財富狀態如下：

• 沒有事故：兩人均不受損。
• 發生事故：Gigi 與 Helen 各損失 $2，合計損失 $4。

若設 Gigi 在事故狀態下支付 $t$ 給 Helen，則 Helen 必須支付相應的 $t$ 給 Gigi，因為兩人同時遭受事故。兩人的淨轉移均為：

$$\text{收到的保險金}-\text{支付的保險金}=t-t=0$$

因此，互相保險並不能改變事故發生時任何一人的實際財富。兩人仍各自承擔 $2 的損害。

若安排保險費為 $p>0$，則在沒有事故時，兩人都必須支付保險費，財富下降；

核心觀念

本題考「帕累托改善」與「保險契約中的風險分攤」。

若一項安排要帕累托支配無保險，必須滿足：

1. Gigi 的效用不低於無保險；
2. Helen 的效用不低於無保險；
3. 至少一人的效用嚴格提高。

設事故發生機率為 $p$，且兩人的初始財富均為 $W$。無保險時：

• Gigi：無事故財富為 $W$，事故財富為 $W-2$；
• Helen：無事故財富為 $W$，事故財富為 $W-4$。

解題方法

題目所提安排為：

• 無事故時，Gigi 給 Helen $a$；
• 發生事故時，Helen 給 Gigi $b$。

因此，安排後的財富為：

狀態	Gigi	Helen
無事故	$W-a$	$W+a$
發生事故	$W-2+b$	$W-4-b$

可見：

• Gigi 在無事故時損失 $a$，在事故時獲得 $b$，相當於 Gigi 購買保險；
• Helen 在無事故時獲得 $a$，但在事故時額外支付 $b$，相當於 Helen 出售保險。

然而，Helen 的事故損失為 $4$，高於 Gigi 的 $2$。風險分攤的合理方向應是由損失較小者在事故發生時補償損失較大者，而題目的安排卻要求損失較大的 Helen 在事故時再支付給 Gigi，會使 Helen 的事故狀況惡化為 $4+b$。

核心觀念

本題考查「互相保險下的 Pareto 效率」。保險只能在 Helen 與 Gigi 之間重新分配損失，不能消除整體經濟的總損失。

設兩人的初始財富分別為 $w_H,w_G$，總財富為

$$W=w_H+w_G.$$

各狀態下的總資源為：

狀態	Helen 損失	Gigi 損失	兩人總資源
無事故	$0$	$0$	$W$
Helen 發生事故	$4$	$0$	$W-4$
Gigi 發生事故	$0$	$2$	$W-2$
兩人同時發生事故	$4$	$2$	$W-6$

若兩人同時發生事故不在題目前文的模型中，最後一列即可刪除。

解題方法

令 $t_s$ 表示在狀態 $s$ 下，Gigi 付給 Helen 的淨保險給付。則：

$$c_H(s)=w_H-L_H(s)+t_s,$$ $$c_G(s)=w_G-L_G(s)-t_s,$$

其中 $L_H(s)$ 與 $L_G(s)$ 分別表示兩人在狀態 $s$ 下的損失。

因此，任何可行的互相保險方案都必須滿足：

$$c_H(s)+c_G(s)=W-L_H(s)-L_G(s).$$

假設兩人效用函數皆為嚴格遞增且嚴格凹函數，且市場允許完整的狀態制約保險，則 Pareto 有效率的配置必須是某個 Pareto 權重 $\lambda_H,\lambda_G>0$ 下的最大化結果：

$$\max \sum_s p_s \left[ \lambda_H u_H(c_H(s)) +\lambda_G u_G(c_G(s)) \right],$$

並受限於每一狀態的資源限制。

對每一個有正機率的狀態 $s$，一階條件為：

$$\lambda_H u_H'\bigl(c_H(s)\bigr) = \lambda_G u_G'\bigl(c_G(s)\bigr).$$

所以，所有 Pareto efficient mutual insurance schemes 的完整刻畫為：

$$\boxed{ \lambda_H u_H'\bigl(c_H(s)\bigr) = \lambda_G u_G'\bigl(c_G(s)\bigr) }$$

以及

$$\boxed{ c_H(s)+c_G(s)=W-L_H(s)-L_G(s) }$$

對所有狀態 $s$ 同時成立，其中 $\lambda_H/\lambda_G$ 可取任意正值。

換成保險給付 $t_s$，則每一狀態的 Pareto 有效給付必須滿足：